新教材蘇教版高中數(shù)學選擇性必修第二冊 練習 12 空間距離的計算

12空間距離的計算

目錄

☆【題型一】點到點的距離........................................................................?

☆【題型二】點到面的距離........................................................................3

☆【題型三】直線到平面的距離....................................................................9

☆【題型四】平面到平面的距離...................................................................12

☆【題型五】點到直線的距離.....................................................................14

☆【題型六】直線到直線的距離...................................................................18

☆【題型一】點到點的距離

【例題】已知點Z(2,3,-1),B(0,2,3),則叁=,|茄I=.

【答案】(-2,-1,4)；√21

【詳解】施=(-2,-1,4),?AB?=√(-2)2+(-1)2+42=√21.

【總結(jié)】在空間直角坐標系中，設(shè)/(X1,'1，z∣),B(X2,yi，Z2),貝Ij

AB-?j(x2-χ])2+(y2-yι)2^l^(z2~z∣)2.

【變式訓練】

1.設(shè)一地球儀的球心為空間直角坐標系的原點。，球面上的兩個點4,8的坐標分別為(1,2,2),(2,-2,

1).則I而I等于()

A.18B.12

C.2√3D3出

【答案】D

[詳解]?AB?-√(2-1)2+(-2-2)2+(1-2)2=3√2,故選D.

2.設(shè)Z(3,3,l),8(1,0,5),C(0,l,0),則/8的中點〃到點C的距離CN的值為()

A返B.-

42

r√53n√13

C.-----D.-----

22

【答案】C

【詳解】??Z5的中點小，2,3],ΛCΛ∕=(2,2,?],

故CΛ∕=∣C?]=V22+E)2+32=?

3.若。為坐標原點，OA=(},I,-2),OB=(3,2,8),成7=(0,1,0),則線段/8的中點尸到點C的

距離為()

?,??B.2√14

C.√53D.—

2

【答案】D

【詳解】由題意得?3],無=無一辦=〔一2，-2,—3),

.?.PC=I的=5+；+9=當.

4.如圖，在正三棱柱∕8C-Z∣8∣C∣中，N8=∕C=44∣=2,E,E分別是8C,4G的中點.設(shè)D是線段8C∣(包

括兩個端點)上的動點，若直線80與EF所成的角的余弦值為遍，則線段8。的長為________.

4

【答案】23

【詳解】以E為坐標原點，EA,EC所在直線分別為X,y軸,

平面8CG8∣內(nèi)垂直于SC的直線為Z軸建立空間直角坐標系，如圖，則

E(0,0,0),^2,Γ2].MfO).

設(shè)。(0,t,2)(-l≤∕≤l),則際=?！?,2),BD=(0,z+l,2).

設(shè)直線與物所成的角為仇

1+4

θ^?BD?l?l√W

則COS解得t=1T舍去1

?EF??BD?瓜I(，+1)2+44

所以應)=(0,2,2),所以I應)1=^2+22=23.

☆【題型二】點到面的距離

【例題】已知正方體48CZ)-4囪GDi的棱長為1,求點8到平面8∣CZ)∣的距離.

【答案】W

【詳解】以｛扇，DC,應M為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系》砂z,

則知點B(l,l,0),C(0,1,0),5ι(l,1,1),知ι(0,0,1),

所以而∣=(1,1,0),C5l=(l,0,I),5C=(-l,0,0).

設(shè)平面囪。I的一個法向量為〃=(XJ,z),

n-D?Bι-0,x+y=0,

則,_即

∏'CB?=0?χ+z=O,

令x=-l,則y=l,z=l.所以"=(一1,1,1).

因為"?說"=1,∣"∣=3,

所以點B到平面SCA的距離為√=1?=?

1?13

【總結(jié)】利用向量法求點到平面的距離的一般步驟

(1)建立空間直角坐標系.

(2)求出該平面的一個法向量.

(3)找出該點與平面內(nèi)一點連線形成的斜線段對應的向量.

(4)法向量與斜線段對應向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即為點到平面的距離.

【變式訓練】

1.已知平面ɑ的一個法向量〃=(一2,—2,1),點4一1,3,0)在α內(nèi)，則尸(一2,1,4)到α的距離為()

A.10B.3

c?!吟

【答案】D

【詳解】由條件可得p(—2,1,4)到α的距離為

a,=成?“∣=-I(---1,----2,--4)--(---2,----2,--1)-=I—10.

間33

2.如圖所示，已知四棱柱Z8CD-4田Gn是底面邊長為1的正四棱柱.若點。到平面小8。的距離為之

3

求正四棱柱ABCD-ABCIDl的高.

【答案】2

【詳解】設(shè)正四棱柱的高為∕7(∕A0),建立如圖所示的空間直角坐標系,

則4(0,O,h),8(1,O,0),￡>(0,1,O),C,(l,1,h),

則府=(1,O,-h),Zb=(0,1,-h),A^Ci=(?,I,0).

設(shè)平面/山。的一個法向量為"=(x,y,z),

ιvA?B=Q,χ-Az=O,

則即取z=l,得〃=(〃，A,1),

“ATD=O,y-Az=O,

所以點G到平面4BD的距離為(Z=叵向=q±止￡==4,解得h=2

∣W∣√Λ2+A2+13

故正四棱柱ABCD-A↑B↑C↑D?的高為2.

3.已知平面ɑ的一個法向量〃=(一2,—2,1),點力(-1,3,0)在平面ɑ內(nèi)，則平面ɑ外的點尸(-2,1,4)

到平面ɑ的距離為()

A.10B.3

4

【答案】D

【詳解】由題意可知RI=(1,2,一4).設(shè)點尸到平面ɑ的距離為d,

?PA-n?∣-2-4~4∣10

則d=,

|〃|,4+4+13

4.在長方體/8C。一小囪GDl中，底面是邊長為2的正方形，高為4,則點4到平面N8Q∣的距離為()

8

Aa-B.-

38

c.-D.-

34

【答案】C

【詳解】如圖，建立空間直角坐標系。一孫z,則Z(2,0,0),Al(2,0,4),

囪(2,2,4),Dl(0,0,4),

ΛZ57?I=(2,2,0),D^A=(2,0,-4),筋I(lǐng)=(0,0,4).

設(shè)"=(x,y,Z)是平面∕8∣O∣的一個法向量，則"，。由nLD?A,

W-DiBi=O,Zt+2y=0,

-即

∏-D?A=Q,NV—4z=0,

令z=l,則平面ZBiDl的一個法向量為"=(2,-2,1).

故點小到平面4BQι的距離為"=邑紅鳳=4

1~13

5.如圖的多面體是由底面為四邊形的長方體被截面/EGF所截而得到的，其中N8=4,BC=2,CCi

=3,BE=I.

(1)求8尸的長;

(2)求點C到平面AECxF的距離.

C1

F,

'C

AB

【詳解】(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則。(O,O,O),BQ,4,0),

A(2,0,O),C(0,4,O),E(2,4,1),Cι(O,4,3).

設(shè)尸(O,O,z).由題意知，截面4EGk為平行四邊形，

二由弱=反rI得(一2,0,z)=(-2,0,2),.?.z=2,ΛF(0,0,2),

.,.BF=(-2,-4,2),Λ∣fiF∣=√(-2)2+(-4)2+22,

Λ∣β>∣=2√6,即B尸的長為2#.

(2)設(shè)"∣=(x,"Z)為平面ZEGF的一個法向量，

5L?=(0,4,1),AF=(~2,0,2),

“1WE=O,[4y÷z=0,

則’即?λ_1

n?AF=0,I-2x÷2z-0,"

1

令z=l,則"1=['7J

又Cl=(0,0,3),

.?.點C到平面AECxF的距離為d=&匈=生叵

⑹H

6.已知正方體∕8CD48∣GO∣的棱長為瓦廠分別是BB∣,CD的中點，則點尸到平面AχD↑E的距離為

【答案】端

【詳解】以。為坐標原點，04OC所在直線分別為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標系,

o

則知點Aι(a0,a),JDl(0,0,a),A(a,0,0),B(a,a,0),B(aa,a)葩?

f?t9M“?l

設(shè)平面的一個法向量為n=(x,yfz),

—ax=O,x=0,

則“∕bι=O,/ι∕^=0,得Z_V=O即.Z

V=-,

ay'E2

令z=2,得〃=(0,1,2).

又因為前」“2\

所以所求距離〃=畫

∣“∣310

7.在三棱錐8-/CO中，平面平面/若棱長力C=CD=40=48=1,且/6/0=30。，則點。到

平面ZBC的距離為—

【答案】普

【詳解】如圖，以“。的中點。為原點，OD,OC所在直線分別為X軸、V軸,

過點。作OATL平面/8,交/B于點、M,以直線OM為Z軸建立空間直角坐標系,

則知點力1―3

0,。),FF…3,Io興。1晶。T

0,11一1」退

*停’2」，DC=I22'

所以/C=G當。1

〃?林=重x+，z=0,

22

設(shè)"=(XJZ)為平面ABC的一個法向量，則'n'AC=-χ+-y=Or

22

√3+√IL

—X,可取〃=(一韻，1,3),代入d=」C"L得422=逗

所以y=一Z=—y∣3χt

3?n?√B13

即點D到平面ABC的距離是典

13

8.已知在正三棱柱∕8C-∕∣8∣C∣中，。是BC的中點，AAl=AB=2.

(1)求證:小C〃平面Z8Q；

(2)求點G到平面AB?D的距離.

【詳解】(1)證明如圖，以。為坐標原點，分別以。C,D4所在直線為X軸、y軸，過點。且與/4平行

的直線為Z軸建立空間直角坐標系。一中z,則。(0,0,0),

C(l,0,0),S∣(-l,0,2),J1(0,√3,2),A(0,y∣3,0),Cι(l,0,2),

.?.Zc=(l,-√3,-2),ABl=(-?,-√3,2),AD=(0,-√3,0).

設(shè)平面ZBQ的一個法向量為"=(x,夕，z),

AB]'H=0,∫-χ-√3j∕+2z=0,0,

則＜_即,I-令z=1,則y=0,X=2,,/1=(2,0,1).

.一√3y=0.

ADF=0,χ=2z.

V∕ΓC?Λ=1×2+(-√3)×0+(-2)×1=0,Λ∕Γc±rt.

...∕∣αt平面Z8∣Q,.?.4C〃平面481D

(2)由⑴知平面48。的一個法向量為“=(2,0,1),

且3‰(-l,√5,-2),

Λ點Ci到平面ABiD的距離d=叵如=爺=撞.

同√55

9.已知正方體NBCfMiBQDi的棱長為2,E,F,G分別是C∣GD↑A↑,AB的中點，求點A到平面EFG的距離.

【答案】也

3

【詳解】以。為坐標原點，OCOO所在直線分別為X軸、y軸、Z軸建立如圖所示的空間直角坐標

系D-xyz,則知點A(2,0,0),E(0,2,1),尸(1,0,2),G(2,1,0).

所以就=(0,1,0),GE^(~2,1,1),G>=(-l,-1,2).

設(shè)"=(x,y,Z)是平面EFG的一個法向量，點A到平面EFG的距離為d,

H-GE=O,-2x+y+z=0~[χ=z,

則,-即??f所以,

nGF=G,-χ-y+2z=0,?y=z.

令z=l,此時Λ=(1,1,1),

所以d=越洌=:=魚，即點A到平面EFG的距離為強.

∣∕i∣√333

10.已知點A(2,3,1),5(4,1,2),C(6,3,7),0(—5,~4,8),則點D到平面ABC的距離為_____.

【答案】喀

【詳解】設(shè)平面48C的一個法向量為〃=(x,yz),而就=(2,—2,1),農(nóng)=(4,0,6),

n?AB=0,即FL2y+z=o,

則＜_取z=l,則x=—a，y=?9

H'ACJ-01l?x+6z=0,

所以〃=[/

又因為應)=(-7,-7,7),

所以點D到平面NBC的距離為〃=&!=應立

1?117

☆【題型三】直線到平面的距離

【例題】如圖，在棱長為1的正方體∕8CD-48∣GD∣中，EF分別為BBLCCl的中點，DG=^DD↑,過點￡,

F,G的平面交/小于點H,求D?A?到平面EFGH的距離.

【詳解】因為瓦尸分別為88∣.CG的中點，所以E&G〃4G.

又因為小。血平面EFGH,EFU平面EFGH,所以4D∣〃平面EFGH.

B

所以。∣4到平面EFGH的距離即為點Dl到平面EFGH的距離.

以。為坐標原點，ZUOCOA所在直線分別為X軸、V軸、Z軸建立空間直角坐標系。-平,

則知點』

1,1,,0,

3J，3G[°3Ol(0,0,1),

所以濟=(—1,0,0),用=3'7'-

設(shè)平面EFGH的一個法向量為"=(x,y,z),

-χ=0,

n-EF=0,

~即,

則-Lz=Q令Z=6,可得〃=(0,-1,6).

fιFG=0,,'6'

設(shè)A4到平面E/GH的距離為d,連接。IE

因為方工"=3，ι,-3,

所以占曾上科嚕

故Dι4到平面EFGH的距離為幽.

【變式訓練】

1.如圖，在直棱柱/8C。-48∣CQl中，底面為直角梯形，/8〃CD且NZOC=90。，4D=1,CD=①

BC=2,44ι=2,E是CG的中點，求直線4B∣與平面48E的距離.

【答案】√2.

【詳解】以。為坐標原點，以DC,。。所在直線為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標系。一個,

則4(1,0,2),A(l,0,0),E(0,?G,1),C(0,√3,0).

過點C作AB的垂線交AB于點F,

易得BF=S,Λ5(l,2√3,0),

.?AB=(O,2√3,0),BE=(-1,-√3,1).

設(shè)平面的一個法向量為〃=(x,y,z),

n-AB—O,f2y∣3y-0,

則’即[r?'?y=0,x=z,不妨取"=(1,0,1).

".前：=0,I-LN3y+z=0,

?.?刀1=(0,0,2),

A

.?.點Ai到平面ABE的距離d=她NI=Mr=√1

l?l√2

"：A\B\//AB,由8號平面4",NBu平面Z8E,

.?.481〃平面ABE,

.?.直線與平面ABE的距離等于點A1到平面ABE的距離，

直線4囪與平面/18E的距離為√i

2.已知正方形ZBCO的邊長為1,POL平面/8C。，且尸。=1,E,尸分別為42,BC的中點，則直線NC

到平面PEF的距離為()

√17

A.2

17

√3

Cr.—D.√5

3

【答案】B

【詳解】建立以。為坐標原點,扇,虎，而5的方向分別為X軸、y軸、Z軸正方向的空間直角坐標系.

00

則P(0,0,1),4(1,0,0),斯?].Eh),

1

.毋=H2'°),PE^2'^1

設(shè)平面PEF的一個法向量為"=(x,y,z),

n-EF—O,

則,_則j=2,z=3,所以〃=(2,2,3).

"?無=0,

因為就=E'2,°],所以點N到平面PE尸的距離為I=&1=，==近

因為E,尸分別為/B,8C的中點，

所以EE√∕C,又EFU平面PEF,4CQ平面PE產(chǎn)，

所以/C〃平面尸EF,

所以AC到平面PEF的距離即為點A到平面PEF的距離,

☆【題型四】平面到平面的距離

【例題】如圖，正方體∕8CD∕bβ∣GO∣的棱長為1,MN分別是88∣,8∣G的中點.

DiC,

AB

(1)求直線MN到平面/COi的距離;

(2)若G是小8∣的中點，求平面MNG與平面Za)I的距離.

【詳解】(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，

1,1,

則知點4(1,0,0),d(0,0,1),C(0,1,0)J3出L

，

所以歷∣=(-l,0,1),疝=I2’02.所以加=?病1.

2

因為直線MV與∕O∣不重合，所以MV〃/。L

又因為MW平面/CDL4D∣u平面ZCG，

所以腸V〃平面∕CZ>∣.

故直線MN到平面ACDi的距離等于點M到平面/Cd的距離.

ic=(-l,1,0),益1=(-1,0,1).

設(shè)平面NcOI的一個法向量為m^(x,y,z),

m,AD?—0>—x+z=O,

所以‘即<令X=1,得y=2=l,所以〃ι=(l,1,1).

m-AC=O,I—x+y=O,

因為晶/=〔"L3所以彘f?=?∣I+：=坐

—]+1Γ

而網(wǎng)=3,所以點M到平面/CA的距離為隨3=_Z=強,

∣w,∣√32

即直線MN到平面ACD^的距離為重.

2

(2)連接小G，因為G,N分別為4出|,Sel的中點,

所以GN〃4G.又因為4G〃ZC,所以GN〃4C

因為GMJ平面∕CQ∣∕CU平面∕CZ)∣,所以GN〃平面NCO1.

同理可得MN〃平面ACD.

因為MNCGN=N,MN,GNU平面MNG所以平面朋NG〃平面/CD”

所以平面MNG與平面ZCn的距離即為直線MN到平面NC0的距離，由(1)知其為，.

【變式訓練】

1.已知正方體43Cz)-48C∣D∣的棱長為1,求平面小8。與平面8∣C”間的距離.

【答案】也

3

【詳解】以。為坐標原點，DA,DC,所在直線為X軸、y軸、Z軸，建立空間直角坐標系。一個,

則。(0,0,0),4(1,0,1),5(1,1,O),∏ι(0,0,1),

ΛJιB=(O,1,—1),A?D=(-1,0,—1),A?D?=(-?,0,0).

設(shè)平面小8。的一個法向量為〃=(x,/z),

n?A↑B=Ofy-z=O,

則_即

nA↑D=Q9

令z=1,得y=l,X——1,.?.”=(-1,1,1).

二點G到平面小8D的距離d=遢臼=；=也.

I川\'33

平面48。與平面8C9間的距離等于口到平面小8。的距離,

二平面”如與平面Ss間的距離為當

2.兩平行平面α,￡分別經(jīng)過坐標原點。和點Z(2,1,1),且兩平面的一個法向量"=(-1,0,1),則兩平

面間的距離是()

?3B,也

A-

22

C.√3D.3√2

【答案】B

【詳解】：兩平行平面α,夕分別經(jīng)過坐標原點。和點/(2,1,1),O4--(2,1,1),

且兩平面的一個法向量"=(-1,0,1),

兩平面間的距離d=k?J-2*)+l∣=.

I?l√22

3.已知正方體力8CD-48∣G2的棱長為4,MN,E,尸分別為∕Q∣,48∣.C∣G.8∣G的中點，則平面/MN與

平面EFBD之間的距離為一.

【答案】I

【詳解】以。為原點，CDn所在直線為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標系，

則知點A(4,0,0),M(2,0,4),0(0,0,0),8(4,4,0),￡(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4),

從而壽=(2,2,0),Λ?=(2,2,0),JA/=(-2,0,4),而=(-2,0,4),

所以前=疝,AM=BF,

所以EF〃MN,AM〃BF,

所以平面4W〃平面EFBD.

設(shè)"=(x,yZ)是平面EFBD的一個法向量，

從而?"Q=2x+2y=0,解得］EZ'取z=l,得”=(2,-2,1).

tvBF=-2x÷4z=0,□=-2z，

?

因為施=(0,4,0),所以點/到平面EF8。的距離為血型=總，

∣M∣3

即平面NMN與平面EFBD之間的距離為6.

3

☆【題型五】點到直線的距離

【例題】已知向量"=(6,3,4)和直線/垂直，且在由直線/與點尸(一4,0,2)確定的平面內(nèi)，點2(2,0,

2)在直線/上，則點尸(-4,0,2)到直線/的距離為.

【答案】嚕?

【詳解】??AP=(-6,0,0),

.?.點P到直線，的距離占曾=^r等

【例題】如圖，在空間直角坐標系中有長方體力88—4bCO,AB=?,BC=2,AA'=3,求點8到直線HC

【答案】學.

【詳解】,."AB=l,BC=2,AΛ'=3,

.?.4(0,0,3),C(l,2,0),5(1,0,0),

ΛiiC=(l,2,-3),fiC=(0,2,0).

√14

設(shè)9=(ArC,BC),則cosφ=

IHClIg7

√35

.*.sinφ=

7

.?.點B到直線4C的距離J=∣5C∣?sin9=益至

【總結(jié)】用向量法求點到直線的距離的一般步驟

(1)建立空間直角坐標系.

(2)求直線的方向向量e.

(3)計算所求點與直線上某一點所構(gòu)成的向量a.

(4)求a與e夾角的余弦值cos9,進而求正弦值sinφ.

(5)計算距離d=?a?sinφ.

【變式訓練】

1.在長方體48CD—aICQl中,若AB=BC=a,AAι=2a(a>0)9則點A到直線4C的距離為()

A.√3aB.弧

2

,2√2α3‰

Cr.-------pDi.-------

32

【答案】迎.

2

【詳解】(方法1)連接8。，4C交于點O,

則D?O-為所求.

(方法2)如圖建立空間直角坐標系，易得C(α,a,0),4(0,0,0),Z51(0,α,2a),

則就'=3,a,0),CD↑=(-a,0,2a).

設(shè)后,元)=Φ,.?.cos夕=廠—“：=一遍,

√2.?√5.10

..3√10.,,→.c3√103/

..smφ=?θ,..J=∣CZ)∣∣slmφ=y∣5a-?θ

2.如圖，。為矩形力BC。所在平面外一點，"J_平面相CO,若已知/8=3,/0=4,PA=?,求點尸到

【答案】y.

【詳解】如圖，分別以NB,AD,NP所在直線為X,y,Z軸建立空間直角坐標系,

則P(0,0,1),5(3,0,0),0(0,4,0),

麗=(3,0,-1),肪=(-3,4,0).

取。=兩=(3,O,-I),設(shè)〈%詼〉=<p,

._BDPB_9√10

..cosφ-__――9

?BD^PB?50

?.,13√10

??sinφ-=--------,

50

...點P到BD的距離<∕=∣P?∣?sinφ*.

3.在正方體∕8CO-∕∣8∣GG中，E,尸分別是C∣C,54的中點，求點力到直線E尸的距離.

【答案】垣.

6

【詳解】以。為坐標原點，以。4DC,。。所在直線為X軸、)，軸、Z軸建立空間直角坐標系。一xyz

設(shè)。4=2,則4(2,0,0),E(0,2,1),F(l,0,2),￡>=(1,-2,1),法=(1,0,-2).

EFE4-1ST

設(shè)〈球,育〉=φ,貝!1cos。=1

?EF^FA?水義3而

.?d=?E4?smφ=^^-.

4.如圖，/88—EFG”是棱長為1的正方體，若尸在正方體內(nèi)部且滿足成=3港+?疝+與則尸到

423

?i

c?iDI

【答案】C

【詳解】如圖，分別以48,AD,ZE所在直線為X,y,Z軸建立空間直角坐標系,

則/(0,O,O),8(1,O,O),D(O,1,0),E(0,O,1),

所以次=(1,0,0),誦=M+沙+輛=jl,0,0)+^(0,1,0)+∣(0,0,1)=

所以COS{AP,AB)=AP"B=2^1

?AP??AB????

sin(AP,AB'>=血畫，

181

所以點尸到”的距離d=∣N而in<AP,AB)=返IX應返I=f.

☆【題型六】直線到直線的距離

【例題】如圖，已知正方體力88-4BiGG的棱長為1,瓦尸分別是BC和CD的中點