信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間時(shí)域分析

1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析第二章2引言時(shí)域分析

建立和求解線性微分方程的過程建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的建立過程與應(yīng)用系統(tǒng)的特性有關(guān)對(duì)電系統(tǒng)而言，《電路分析》課程中已經(jīng)提供了相應(yīng)的理論和方法，主要有KCL和KVL方程線性非時(shí)變系統(tǒng)的微分方程的一般形式3引言時(shí)域分析

建立和求解線性微分方程的過程求解線性微分方程經(jīng)典法

求齊次方程通解和非齊次方程特解

通解：由方程左邊部分所對(duì)應(yīng)的特征方程解得的特征頻率所求解得的系統(tǒng)的自然響應(yīng)（或稱自由響應(yīng)）

特解：由系統(tǒng)的激勵(lì)函數(shù)得到系統(tǒng)的受迫響應(yīng)

通解：將初始條件帶入，確定全解中通解的待定系數(shù)線性非時(shí)變系統(tǒng)的微分方程的一般形式4引言時(shí)域分析

建立和求解線性微分方程的過程求解線性微分方程卷積法/近代時(shí)域法/算子法

零輸入響應(yīng)：系統(tǒng)在無輸入激勵(lì)的情況下，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的響應(yīng)

零狀態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)初始狀態(tài)為零（無初始儲(chǔ)能）的條件下，僅由輸入激勵(lì)引起的響應(yīng)線性非時(shí)變系統(tǒng)的微分方程的一般形式5引言時(shí)域分析

建立和求解線性微分方程的過程求解線性微分方程經(jīng)典法與卷積法/近代時(shí)域法/算子法在簡單激勵(lì)信號(hào)形式下經(jīng)典解法求解簡單，但比較復(fù)雜的激勵(lì)信號(hào)形式下難確定特解的形式卷積法要求激勵(lì)信號(hào)是有始信號(hào)，否則無法確定初始狀態(tài)零輸入響應(yīng)可用經(jīng)典法求解，在只有自然響應(yīng)部分零狀態(tài)響應(yīng)可用經(jīng)典法求解，但用卷積積分法更方便卷積積分法可借助計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算，求出任意信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)（數(shù)值解），實(shí)用價(jià)值大6內(nèi)容系統(tǒng)方程的算子表示法1系統(tǒng)零輸入響應(yīng)2奇異信號(hào)與信號(hào)時(shí)域分解3系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)4疊加積分與卷積5線性系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域求解67系統(tǒng)方程的算子表示法1算子表達(dá)符號(hào)微分算子

積分算子應(yīng)用算子8系統(tǒng)方程的算子表示法算子簡化系統(tǒng)方程微分方程積分微分方程9系統(tǒng)方程的算子表示法算子n階微分方程簡化10系統(tǒng)方程的算子表示法算子n階微分方程簡化系統(tǒng)特征多項(xiàng)式系統(tǒng)特征方程算子方程11系統(tǒng)方程的算子表示法運(yùn)算規(guī)則利用算子符號(hào)：微分方程

形式上的代數(shù)方程。有一些代數(shù)規(guī)則可適用加法交換率分配率乘法交換率分配率結(jié)合率12系統(tǒng)方程的算子表示法運(yùn)算規(guī)則因式分解系統(tǒng)的特征根13系統(tǒng)方程的算子表示法運(yùn)算規(guī)則不適用算子運(yùn)算等號(hào)兩邊相同微分算子不能相消代數(shù)方程： 微分方程：分子分母中相同算子不能隨意相消，微分積分運(yùn)算次序不能任意顛倒代數(shù)方程： 微分方程：

14系統(tǒng)方程的算子表示法轉(zhuǎn)移算子（傳遞算子）系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)之間的轉(zhuǎn)移關(guān)系，反映了系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的影響求系統(tǒng)零輸入響應(yīng)解齊次方程求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)解非齊次方程15系統(tǒng)方程的算子表示法轉(zhuǎn)移算子舉例激勵(lì)e(t)作用于電路，求i1(t)與i2(t)的轉(zhuǎn)移算子1

用克雷姆法可求解出i1(t)，i2(t)

但系數(shù)中有p和1/p，為避開算子乘除能否相消，先將方程改寫成為16系統(tǒng)方程的算子表示法轉(zhuǎn)移算子舉例整個(gè)變量17系統(tǒng)方程的算子表示法轉(zhuǎn)移算子舉例兩邊微分，先除后乘可消18系統(tǒng)方程的算子表示法轉(zhuǎn)移算子舉例分子、分母中多下公因子，但不能隨意相消，因此產(chǎn)生一個(gè)問題既三階系統(tǒng)其特征多項(xiàng)式為四階，注意以后問題不要這樣處理，求零輸入響應(yīng)時(shí)由于多了一特征根則多出一項(xiàng)19系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)激勵(lì)信號(hào)e(t)=0，由初始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應(yīng)求解方法解特征方程確定零輸入響應(yīng)模式由初始條件確定常數(shù)220系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)一階系統(tǒng)零輸入響應(yīng)小結(jié)若初始r(0),代入可確定C1=r(0)則rzi(t)=r(0)eλt，t≥0若初狀為r(t0)，則rzi(t)=r(t0)eλ(t-t0)，t≥t0221系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)二階系統(tǒng)零輸入響應(yīng)初始條件若222系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)二階系統(tǒng)零輸入響應(yīng)異實(shí)根重實(shí)根共軛復(fù)根23系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)例題1(p33)已知某系統(tǒng)微分方程相應(yīng)的齊次方程為系統(tǒng)的初始條件為求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)24系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)例題2(p32)在RLC串聯(lián)電路中，設(shè)L=1H，C=1F，R=2Ω激勵(lì)e(t)=0,且電路的初始條件為求兩種初值下電流的零輸入響應(yīng)求關(guān)于電流的微分方程特征方程求特征根，求微分方程解初始條件求系數(shù)25系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)例題3系統(tǒng)的微分方程是初始狀態(tài)為求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)齊次方程特征方程求特征根初始條件求系數(shù)26系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)n階系統(tǒng)零輸入響應(yīng)不同特征根所對(duì)應(yīng)的齊次解單實(shí)根

r重實(shí)根一對(duì)共軛復(fù)根特性根，自然頻率

特性方程代數(shù)量27系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)n階系統(tǒng)零輸入響應(yīng)初始條件

范德蒙德矩陣28奇異信號(hào)單位階躍函數(shù)定義延遲3t

(t)01t

(t-t0)t00129奇異信號(hào)利用階躍信號(hào)描述理想開關(guān)的動(dòng)作t=0合閘

u(t)=Et=0合閘

i(t)=IsIsKu(t)KEu(t)30奇異信號(hào)利用階躍信號(hào)表示矩形脈沖

110=+-1門函數(shù)31奇異信號(hào)利用階躍信號(hào)組成復(fù)雜信號(hào)1t1

f(t)0

1t1

f(t)032奇異信號(hào)任何一個(gè)函數(shù)乘以單位階躍函數(shù)后，其乘積在階躍之前為零，在階躍之后保持原函數(shù)值1t1

f(t)0-11t1

f(t-2)(t-2)02右移2個(gè)單位保持階躍后值33奇異信號(hào)單位沖激函數(shù)定義設(shè)矩形脈沖函數(shù)f(t)，面積恒定為13（1）

34奇異信號(hào)單位沖激函數(shù)定義本質(zhì)在t=0處一個(gè)寬度無限小。幅度無限大，面積為“1”的脈沖函數(shù)表示δ(t)

箭頭表示是沖激函數(shù)。沖激函數(shù)的強(qiáng)度,1表示面積t

(t)(1)0335奇異信號(hào)單位沖激函數(shù)數(shù)學(xué)定義式?jīng)_激函數(shù)面積為A則表示為Aδ(t)

t

(t)(1)0336奇異信號(hào)單位沖激函數(shù)延遲

t0處沖激函數(shù)t

(t-t0)t00（1）337奇異信號(hào)沖激函數(shù)性質(zhì)抽樣性任一函數(shù)f(t)與單位沖激函數(shù)相乘后,在(－∞,＋∞)區(qū)間上的積分，等于f(t)在沖激時(shí)刻的函數(shù)值

從函數(shù)f(t)中抽取一個(gè)樣值t

(t)(1)0f(t)f(0)38奇異信號(hào)沖激函數(shù)性質(zhì)抽樣性任一函數(shù)f(t)與單位沖激函數(shù)相乘后,在(－∞,＋∞)區(qū)間上的積分，等于f(t)在沖激時(shí)刻的函數(shù)值

從函數(shù)f(t)中抽取一個(gè)樣值t

(t)(1)0f(t)f(0)339奇異信號(hào)沖激函數(shù)性質(zhì)偶函數(shù)時(shí)域壓擴(kuò)性340奇異信號(hào)沖激函數(shù)性質(zhì)單位沖激函數(shù)的積分是單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是單位沖激函數(shù)341奇異信號(hào)沖激函數(shù)性質(zhì)奇異函數(shù)若干次積分和微分也是奇異函數(shù)單位階躍函數(shù)的積分是單位斜變函數(shù)單位沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是單位沖激偶11010求導(dǎo)342奇異信號(hào)沖激函數(shù)性質(zhì)

練習(xí)343奇異信號(hào)沖激函數(shù)性質(zhì)練習(xí)44奇異信號(hào)練習(xí)：求f(t)，并畫出f(t)的導(dǎo)數(shù)的波形f(t)44t(1)(2)f(t)t1Att2f(t)11t(3)-12-1012342-2(4)跳變值45奇異信號(hào)分段函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)小結(jié)分段進(jìn)行在波形上直接進(jìn)行，注意間斷點(diǎn)出會(huì)產(chǎn)生沖激函數(shù),其系數(shù)為正或負(fù)的跳變值，再寫出相應(yīng)導(dǎo)數(shù)函數(shù)對(duì)函數(shù)表達(dá)式直接求導(dǎo)，再畫出導(dǎo)數(shù)波形圖，注意分步求導(dǎo)波形直接求解法簡單方便46奇異信號(hào)斜變函數(shù)f(t)tt347奇異信號(hào)沖激偶t由－∞→0－時(shí),是一個(gè)強(qiáng)度無限大的正沖激t由+∞→0＋時(shí),是一個(gè)強(qiáng)度無限大的負(fù)沖激f(t)348信號(hào)時(shí)域分解任務(wù)外加的復(fù)雜激勵(lì)信號(hào)分解成一系列單元激勵(lì)信號(hào)周期性脈沖信號(hào)分解為奇異函數(shù)之和3矩形脈沖49信號(hào)時(shí)域分解周期性脈沖信號(hào)分解為奇異函數(shù)之和鋸齒形脈沖梯形脈沖350信號(hào)時(shí)域分解任意函數(shù)表示為階躍函數(shù)的積分分解為無限多個(gè)小階躍函數(shù)相疊加的疊加積分表示式將t軸n等分每段△t作階梯信號(hào)fa(t)逼近f(t)

fa(t)≈f(t)當(dāng)△t→0，n→∞，fa(t)→f(t)△tk△tf(0)f(t)t(k-1)△tf(k△t)-f((k-1)△t)351信號(hào)時(shí)域分解任意函數(shù)表示為沖激函數(shù)的積分分解為無限多個(gè)沖激函數(shù)相疊加的疊加積分的形式將t軸n等分每段△t作階梯信號(hào)fb(t)逼近f(t)

fb(t)≈f(t)當(dāng)△t→

，n→∞，fb(t)→f(t)△tk△tf(0)f(t)t(k-1)△tf(k△t)352信號(hào)時(shí)域分解總結(jié)信號(hào)在時(shí)間域里分解成階躍函數(shù)、沖激函數(shù)、斜變函數(shù)這樣的一些單元激勵(lì)信號(hào)任意函數(shù)表示為階躍函數(shù)或沖激函數(shù)的積分為求響應(yīng)方便，分解的單元激勵(lì)種類越少越好求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)，可先求對(duì)各單元激勵(lì)信號(hào)的響應(yīng)，再利用系統(tǒng)線性、時(shí)不變性求所有單元響應(yīng)353系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)定義無初始狀態(tài)條件下，系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)信號(hào)e(t)產(chǎn)生的響應(yīng)典型單元激勵(lì)響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)階躍響應(yīng)r

(t)斜變響應(yīng)rR(t)h(t),r

(t),rR(t)三者之間存在互求關(guān)系，h(t)用處最多454系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)沖激響應(yīng)系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，對(duì)單位沖激函數(shù)激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)，用h(t)表示

455系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)關(guān)于0-與0+值0+：t=0+時(shí)刻的初始值，即y(j)(0+)0-：t=0-時(shí)刻,激勵(lì)尚未接入，響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)在該時(shí)刻的值y(j)(0-)，即初始狀態(tài)對(duì)于具體系統(tǒng)，初始狀態(tài)0-值容易求得如果激勵(lì)f(t)中含有沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，當(dāng)t=0激勵(lì)接入系統(tǒng)，響應(yīng)及其導(dǎo)數(shù)y(j)(0-)值到y(tǒng)(j)(0+)值可能發(fā)生躍變56系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)關(guān)于0-與0+值舉例：LTI系統(tǒng)初始狀態(tài)求小結(jié)：二階系統(tǒng)將輸入f(t)代入微分方程對(duì)積分求得將上述代入微分方程，根據(jù)系數(shù)相等原則，求各待定系數(shù)分別對(duì)兩邊從0-與0+進(jìn)行積分，依次求得y(0+)，y’(0+)57系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)關(guān)于0-與0+值舉例：LTI系統(tǒng)求零狀態(tài)響應(yīng)58系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)階躍響應(yīng)系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，對(duì)單位階躍函數(shù)激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)，用rε(t)表示

459系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)斜變響應(yīng)系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，對(duì)單位斜變函數(shù)激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)，用rR(t)表示

60系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)的平衡求取法保持系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程式恒等，方程式兩邊所具有的沖激信號(hào)函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)必須相等求沖激響應(yīng)61系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法62系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法n>m第i項(xiàng)構(gòu)成的一階微分方程解63系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法n>m第i項(xiàng)構(gòu)成的一階微分方程解64系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法

n>m第i項(xiàng)構(gòu)成的一階微分方程解依同樣方法可求出部分分式中每一項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的一階微分方程的解，得到65系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法

n＝m66系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法

n<m67系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法討論存在重根或共軛復(fù)根和單根情況下h0(t)的模式一定與零輸入響應(yīng)模式相同68系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法討論若系統(tǒng)有m重根λs,n－m個(gè)相異實(shí)根若系統(tǒng)有2m個(gè)復(fù)根，n－