信號與系統(tǒng)連續(xù)時間時域分析

1連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析第二章2引言時域分析

建立和求解線性微分方程的過程建立數(shù)學模型數(shù)學模型的建立過程與應(yīng)用系統(tǒng)的特性有關(guān)對電系統(tǒng)而言，《電路分析》課程中已經(jīng)提供了相應(yīng)的理論和方法，主要有KCL和KVL方程線性非時變系統(tǒng)的微分方程的一般形式3引言時域分析

建立和求解線性微分方程的過程求解線性微分方程經(jīng)典法

求齊次方程通解和非齊次方程特解

通解：由方程左邊部分所對應(yīng)的特征方程解得的特征頻率所求解得的系統(tǒng)的自然響應(yīng)（或稱自由響應(yīng)）

特解：由系統(tǒng)的激勵函數(shù)得到系統(tǒng)的受迫響應(yīng)

通解：將初始條件帶入，確定全解中通解的待定系數(shù)線性非時變系統(tǒng)的微分方程的一般形式4引言時域分析

建立和求解線性微分方程的過程求解線性微分方程卷積法/近代時域法/算子法

零輸入響應(yīng)：系統(tǒng)在無輸入激勵的情況下，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的響應(yīng)

零狀態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)初始狀態(tài)為零（無初始儲能）的條件下，僅由輸入激勵引起的響應(yīng)線性非時變系統(tǒng)的微分方程的一般形式5引言時域分析

建立和求解線性微分方程的過程求解線性微分方程經(jīng)典法與卷積法/近代時域法/算子法在簡單激勵信號形式下經(jīng)典解法求解簡單，但比較復雜的激勵信號形式下難確定特解的形式卷積法要求激勵信號是有始信號，否則無法確定初始狀態(tài)零輸入響應(yīng)可用經(jīng)典法求解，在只有自然響應(yīng)部分零狀態(tài)響應(yīng)可用經(jīng)典法求解，但用卷積積分法更方便卷積積分法可借助計算機數(shù)值計算，求出任意信號激勵下的響應(yīng)（數(shù)值解），實用價值大6內(nèi)容系統(tǒng)方程的算子表示法1系統(tǒng)零輸入響應(yīng)2奇異信號與信號時域分解3系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)4疊加積分與卷積5線性系統(tǒng)響應(yīng)的時域求解67系統(tǒng)方程的算子表示法1算子表達符號微分算子

積分算子應(yīng)用算子8系統(tǒng)方程的算子表示法算子簡化系統(tǒng)方程微分方程積分微分方程9系統(tǒng)方程的算子表示法算子n階微分方程簡化10系統(tǒng)方程的算子表示法算子n階微分方程簡化系統(tǒng)特征多項式系統(tǒng)特征方程算子方程11系統(tǒng)方程的算子表示法運算規(guī)則利用算子符號：微分方程

形式上的代數(shù)方程。有一些代數(shù)規(guī)則可適用加法交換率分配率乘法交換率分配率結(jié)合率12系統(tǒng)方程的算子表示法運算規(guī)則因式分解系統(tǒng)的特征根13系統(tǒng)方程的算子表示法運算規(guī)則不適用算子運算等號兩邊相同微分算子不能相消代數(shù)方程： 微分方程：分子分母中相同算子不能隨意相消，微分積分運算次序不能任意顛倒代數(shù)方程： 微分方程：

14系統(tǒng)方程的算子表示法轉(zhuǎn)移算子（傳遞算子）系統(tǒng)激勵與響應(yīng)之間的轉(zhuǎn)移關(guān)系，反映了系統(tǒng)對信號的影響求系統(tǒng)零輸入響應(yīng)解齊次方程求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)解非齊次方程15系統(tǒng)方程的算子表示法轉(zhuǎn)移算子舉例激勵e(t)作用于電路，求i1(t)與i2(t)的轉(zhuǎn)移算子1

用克雷姆法可求解出i1(t)，i2(t)

但系數(shù)中有p和1/p，為避開算子乘除能否相消，先將方程改寫成為16系統(tǒng)方程的算子表示法轉(zhuǎn)移算子舉例整個變量17系統(tǒng)方程的算子表示法轉(zhuǎn)移算子舉例兩邊微分，先除后乘可消18系統(tǒng)方程的算子表示法轉(zhuǎn)移算子舉例分子、分母中多下公因子，但不能隨意相消，因此產(chǎn)生一個問題既三階系統(tǒng)其特征多項式為四階，注意以后問題不要這樣處理，求零輸入響應(yīng)時由于多了一特征根則多出一項19系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)激勵信號e(t)=0，由初始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應(yīng)求解方法解特征方程確定零輸入響應(yīng)模式由初始條件確定常數(shù)220系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)一階系統(tǒng)零輸入響應(yīng)小結(jié)若初始r(0),代入可確定C1=r(0)則rzi(t)=r(0)eλt，t≥0若初狀為r(t0)，則rzi(t)=r(t0)eλ(t-t0)，t≥t0221系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)二階系統(tǒng)零輸入響應(yīng)初始條件若222系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)二階系統(tǒng)零輸入響應(yīng)異實根重實根共軛復根23系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)例題1(p33)已知某系統(tǒng)微分方程相應(yīng)的齊次方程為系統(tǒng)的初始條件為求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)24系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)例題2(p32)在RLC串聯(lián)電路中，設(shè)L=1H，C=1F，R=2Ω激勵e(t)=0,且電路的初始條件為求兩種初值下電流的零輸入響應(yīng)求關(guān)于電流的微分方程特征方程求特征根，求微分方程解初始條件求系數(shù)25系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)例題3系統(tǒng)的微分方程是初始狀態(tài)為求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)齊次方程特征方程求特征根初始條件求系數(shù)26系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)n階系統(tǒng)零輸入響應(yīng)不同特征根所對應(yīng)的齊次解單實根

r重實根一對共軛復根特性根，自然頻率

特性方程代數(shù)量27系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)n階系統(tǒng)零輸入響應(yīng)初始條件

范德蒙德矩陣28奇異信號單位階躍函數(shù)定義延遲3t

(t)01t

(t-t0)t00129奇異信號利用階躍信號描述理想開關(guān)的動作t=0合閘

u(t)=Et=0合閘

i(t)=IsIsKu(t)KEu(t)30奇異信號利用階躍信號表示矩形脈沖

110=+-1門函數(shù)31奇異信號利用階躍信號組成復雜信號1t1

f(t)0

1t1

f(t)032奇異信號任何一個函數(shù)乘以單位階躍函數(shù)后，其乘積在階躍之前為零，在階躍之后保持原函數(shù)值1t1

f(t)0-11t1

f(t-2)(t-2)02右移2個單位保持階躍后值33奇異信號單位沖激函數(shù)定義設(shè)矩形脈沖函數(shù)f(t)，面積恒定為13（1）

34奇異信號單位沖激函數(shù)定義本質(zhì)在t=0處一個寬度無限小。幅度無限大，面積為“1”的脈沖函數(shù)表示δ(t)

箭頭表示是沖激函數(shù)。沖激函數(shù)的強度,1表示面積t

(t)(1)0335奇異信號單位沖激函數(shù)數(shù)學定義式?jīng)_激函數(shù)面積為A則表示為Aδ(t)

t

(t)(1)0336奇異信號單位沖激函數(shù)延遲

t0處沖激函數(shù)t

(t-t0)t00（1）337奇異信號沖激函數(shù)性質(zhì)抽樣性任一函數(shù)f(t)與單位沖激函數(shù)相乘后,在(－∞,＋∞)區(qū)間上的積分，等于f(t)在沖激時刻的函數(shù)值

從函數(shù)f(t)中抽取一個樣值t

(t)(1)0f(t)f(0)38奇異信號沖激函數(shù)性質(zhì)抽樣性任一函數(shù)f(t)與單位沖激函數(shù)相乘后,在(－∞,＋∞)區(qū)間上的積分，等于f(t)在沖激時刻的函數(shù)值

從函數(shù)f(t)中抽取一個樣值t

(t)(1)0f(t)f(0)339奇異信號沖激函數(shù)性質(zhì)偶函數(shù)時域壓擴性340奇異信號沖激函數(shù)性質(zhì)單位沖激函數(shù)的積分是單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)的導數(shù)是單位沖激函數(shù)341奇異信號沖激函數(shù)性質(zhì)奇異函數(shù)若干次積分和微分也是奇異函數(shù)單位階躍函數(shù)的積分是單位斜變函數(shù)單位沖激函數(shù)的導數(shù)是單位沖激偶11010求導342奇異信號沖激函數(shù)性質(zhì)

練習343奇異信號沖激函數(shù)性質(zhì)練習44奇異信號練習：求f(t)，并畫出f(t)的導數(shù)的波形f(t)44t(1)(2)f(t)t1Att2f(t)11t(3)-12-1012342-2(4)跳變值45奇異信號分段函數(shù)求一階導數(shù)小結(jié)分段進行在波形上直接進行，注意間斷點出會產(chǎn)生沖激函數(shù),其系數(shù)為正或負的跳變值，再寫出相應(yīng)導數(shù)函數(shù)對函數(shù)表達式直接求導，再畫出導數(shù)波形圖，注意分步求導波形直接求解法簡單方便46奇異信號斜變函數(shù)f(t)tt347奇異信號沖激偶t由－∞→0－時,是一個強度無限大的正沖激t由+∞→0＋時,是一個強度無限大的負沖激f(t)348信號時域分解任務(wù)外加的復雜激勵信號分解成一系列單元激勵信號周期性脈沖信號分解為奇異函數(shù)之和3矩形脈沖49信號時域分解周期性脈沖信號分解為奇異函數(shù)之和鋸齒形脈沖梯形脈沖350信號時域分解任意函數(shù)表示為階躍函數(shù)的積分分解為無限多個小階躍函數(shù)相疊加的疊加積分表示式將t軸n等分每段△t作階梯信號fa(t)逼近f(t)

fa(t)≈f(t)當△t→0，n→∞，fa(t)→f(t)△tk△tf(0)f(t)t(k-1)△tf(k△t)-f((k-1)△t)351信號時域分解任意函數(shù)表示為沖激函數(shù)的積分分解為無限多個沖激函數(shù)相疊加的疊加積分的形式將t軸n等分每段△t作階梯信號fb(t)逼近f(t)

fb(t)≈f(t)當△t→

，n→∞，fb(t)→f(t)△tk△tf(0)f(t)t(k-1)△tf(k△t)352信號時域分解總結(jié)信號在時間域里分解成階躍函數(shù)、沖激函數(shù)、斜變函數(shù)這樣的一些單元激勵信號任意函數(shù)表示為階躍函數(shù)或沖激函數(shù)的積分為求響應(yīng)方便，分解的單元激勵種類越少越好求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)，可先求對各單元激勵信號的響應(yīng)，再利用系統(tǒng)線性、時不變性求所有單元響應(yīng)353系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)定義無初始狀態(tài)條件下，系統(tǒng)對激勵信號e(t)產(chǎn)生的響應(yīng)典型單元激勵響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)階躍響應(yīng)r

(t)斜變響應(yīng)rR(t)h(t),r

(t),rR(t)三者之間存在互求關(guān)系，h(t)用處最多454系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)沖激響應(yīng)系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，對單位沖激函數(shù)激勵所產(chǎn)生的響應(yīng)，用h(t)表示

455系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)關(guān)于0-與0+值0+：t=0+時刻的初始值，即y(j)(0+)0-：t=0-時刻,激勵尚未接入，響應(yīng)及其各階導數(shù)在該時刻的值y(j)(0-)，即初始狀態(tài)對于具體系統(tǒng)，初始狀態(tài)0-值容易求得如果激勵f(t)中含有沖激函數(shù)及其導數(shù)，當t=0激勵接入系統(tǒng)，響應(yīng)及其導數(shù)y(j)(0-)值到y(tǒng)(j)(0+)值可能發(fā)生躍變56系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)關(guān)于0-與0+值舉例：LTI系統(tǒng)初始狀態(tài)求小結(jié)：二階系統(tǒng)將輸入f(t)代入微分方程對積分求得將上述代入微分方程，根據(jù)系數(shù)相等原則，求各待定系數(shù)分別對兩邊從0-與0+進行積分，依次求得y(0+)，y’(0+)57系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)關(guān)于0-與0+值舉例：LTI系統(tǒng)求零狀態(tài)響應(yīng)58系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)階躍響應(yīng)系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，對單位階躍函數(shù)激勵所產(chǎn)生的響應(yīng)，用rε(t)表示

459系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)斜變響應(yīng)系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，對單位斜變函數(shù)激勵所產(chǎn)生的響應(yīng)，用rR(t)表示

60系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)的平衡求取法保持系統(tǒng)對應(yīng)的動態(tài)方程式恒等，方程式兩邊所具有的沖激信號函數(shù)及其各階導數(shù)必須相等求沖激響應(yīng)61系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法62系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法n>m第i項構(gòu)成的一階微分方程解63系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法n>m第i項構(gòu)成的一階微分方程解64系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法

n>m第i項構(gòu)成的一階微分方程解依同樣方法可求出部分分式中每一項所對應(yīng)的一階微分方程的解，得到65系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法

n＝m66系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法

n<m67系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法討論存在重根或共軛復根和單根情況下h0(t)的模式一定與零輸入響應(yīng)模式相同68系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法討論若系統(tǒng)有m重根λs,n－m個相異實根若系統(tǒng)有2m個復根，n－