吉林省吉林市三校聯(lián)考2024年高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

吉林省吉林市三校聯(lián)考2024年高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一,但陀螺這個(gè)名詞,直到明朝劉侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一書中才正式出現(xiàn).如圖所示的網(wǎng)格紙中小正方形的邊長均為1,粗線畫出的是一個(gè)陀螺模型的三視圖,則該陀螺模型的表面積為()A. B.C. D.2.博覽會(huì)安排了分別標(biāo)有序號(hào)為“1號(hào)”“2號(hào)”“3號(hào)”的三輛車,等可能隨機(jī)順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想,設(shè)計(jì)兩種乘車方案.方案一:不乘坐第一輛車,若第二輛車的車序號(hào)大于第一輛車的車序號(hào),就乘坐此車,否則乘坐第三輛車;方案二:直接乘坐第一輛車.記方案一與方案二坐到“3號(hào)”車的概率分別為P1,P2,則()A.P1?P2= B.P1=P2= C.P1+P2= D.P1<P23.已知集合,,則=()A. B. C. D.4.函數(shù)的圖象為C,以下結(jié)論中正確的是()①圖象C關(guān)于直線對稱;②圖象C關(guān)于點(diǎn)對稱;③由y=2sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長度可以得到圖象C.A.① B.①② C.②③ D.①②③5.雙曲線C:(,)的離心率是3,焦點(diǎn)到漸近線的距離為,則雙曲線C的焦距為()A.3 B. C.6 D.6.已知等比數(shù)列滿足,,等差數(shù)列中,為數(shù)列的前項(xiàng)和,則()A.36 B.72 C. D.7.已知集合,,則A. B. C. D.8.若函數(shù)的圖象如圖所示,則的解析式可能是()A. B. C. D.9.函數(shù)的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.10.將函數(shù)的圖象分別向右平移個(gè)單位長度與向左平移(>0)個(gè)單位長度,若所得到的兩個(gè)圖象重合,則的最小值為()A. B. C. D.11.已知雙曲線(,)的左、右頂點(diǎn)分別為,,虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為,,若四邊形的內(nèi)切圓面積為,則雙曲線焦距的最小值為()A.8 B.16 C. D.12.已知拋物線的焦點(diǎn)為,為拋物線上一點(diǎn),,當(dāng)周長最小時(shí),所在直線的斜率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)的和,成等差數(shù)列,則的值為_____.14.若橢圓:的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,則的長軸長為_______.15.若的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為,則______,含項(xiàng)的系數(shù)是______(用數(shù)字作答).16.已知函數(shù)為奇函數(shù),則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)己知,,.(1)求證:;(2)若,求證:.19.(12分)已知橢圓與拋物線有共同的焦點(diǎn),且離心率為,設(shè)分別是為橢圓的上下頂點(diǎn)(1)求橢圓的方程;(2)過點(diǎn)與軸不垂直的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),當(dāng)弦的中點(diǎn)落在四邊形內(nèi)(含邊界)時(shí),求直線的斜率的取值范圍.20.(12分)已知兩數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值點(diǎn);(2)當(dāng)時(shí),若恒成立,求的最大值.21.(12分)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線,的交點(diǎn)分別為、(、異于原點(diǎn)),當(dāng)斜率時(shí),求的最小值.22.(10分)已知數(shù)列滿足,且,,成等比數(shù)列.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)三視圖可知,該幾何體是由兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱構(gòu)成,由此計(jì)算出陀螺的表面積.【詳解】最上面圓錐的母線長為,底面周長為,側(cè)面積為,下面圓錐的母線長為,底面周長為,側(cè)面積為,沒被擋住的部分面積為,中間圓柱的側(cè)面積為.故表面積為,故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學(xué)文化,考查三視圖還原為原圖,考查幾何體表面積的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出,找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為:123、132、213、231、312、321方案一坐車可能:132、213、231,所以,P1=;方案二坐車可能:312、321,所以,P1=;所以P1+P2=故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率的求法,常用列舉法得到各種情況下基本事件的個(gè)數(shù),屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

計(jì)算,,再計(jì)算交集得到答案.【詳解】,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心和圖象變換的知識(shí),判斷出正確的結(jié)論.【詳解】因?yàn)?,又,所以①正確.,所以②正確.將的圖象向右平移個(gè)單位長度,得,所以③錯(cuò)誤.所以①②正確,③錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心,考查三角函數(shù)圖象變換,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離,可得,然后根據(jù),可得結(jié)果.【詳解】由題可知:雙曲線的漸近線方程為取右焦點(diǎn),一條漸近線則點(diǎn)到的距離為,由所以,則又所以所以焦距為:故選:A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線方程,以及之間的關(guān)系,識(shí)記常用的結(jié)論:焦點(diǎn)到漸近線的距離為,屬基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)是與的等比中項(xiàng),可求得,再利用等差數(shù)列求和公式即可得到.【詳解】等比數(shù)列滿足,,所以,又,所以,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的求和公式,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是中檔題.7、C【解析】分析:根據(jù)集合可直接求解.詳解:,,故選C點(diǎn)睛:集合題也是每年高考的必考內(nèi)容,一般以客觀題形式出現(xiàn),一般解決此類問題時(shí)要先將參與運(yùn)算的集合化為最簡形式,如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決,若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進(jìn)行運(yùn)算.8、A【解析】

由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗(yàn)證,通過排除法求得結(jié)果.【詳解】對于選項(xiàng)B,為奇函數(shù)可判斷B錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí),,可判斷C錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無增區(qū)間,故D錯(cuò)誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問題,通過函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.9、B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性,可排除D;求得及,由導(dǎo)函數(shù)符號(hào)可判斷在上單調(diào)遞增,即可排除AC選項(xiàng).【詳解】函數(shù)易知為奇函數(shù),故排除D.又,易知當(dāng)時(shí),;又當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,所以,綜上,時(shí),,即單調(diào)遞增.又為奇函數(shù),所以在上單調(diào)遞增,故排除A,C.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關(guān)系,屬于中檔題.10、B【解析】

首先根據(jù)函數(shù)的圖象分別向左與向右平移m,n個(gè)單位長度后,所得的兩個(gè)圖像重合,那么,利用的最小正周期為,從而求得結(jié)果.【詳解】的最小正周期為,那么(∈),于是,于是當(dāng)時(shí),最小值為,故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的周期與函數(shù)圖象平移之間的關(guān)系,屬于簡單題目.11、D【解析】

根據(jù)題意畫出幾何關(guān)系,由四邊形的內(nèi)切圓面積求得半徑,結(jié)合四邊形面積關(guān)系求得與等量關(guān)系,再根據(jù)基本不等式求得的取值范圍,即可確定雙曲線焦距的最小值.【詳解】根據(jù)題意,畫出幾何關(guān)系如下圖所示:設(shè)四邊形的內(nèi)切圓半徑為,雙曲線半焦距為,則所以,四邊形的內(nèi)切圓面積為,則,解得,則,即故由基本不等式可得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故焦距的最小值為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用,圓錐曲線與基本不等式綜合應(yīng)用,屬于中檔題.12、A【解析】

本道題繪圖發(fā)現(xiàn)三角形周長最小時(shí)A,P位于同一水平線上,計(jì)算點(diǎn)P的坐標(biāo),計(jì)算斜率,即可.【詳解】結(jié)合題意,繪制圖像要計(jì)算三角形PAF周長最小值,即計(jì)算PA+PF最小值,結(jié)合拋物線性質(zhì)可知,PF=PN,所以,故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)處,三角形周長最小,故此時(shí)M的坐標(biāo)為,所以斜率為,故選A.【點(diǎn)睛】本道題考查了拋物線的基本性質(zhì),難度中等.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比設(shè)為再根據(jù)成等差數(shù)列利用基本量法求解再根據(jù)等比數(shù)列各項(xiàng)間的關(guān)系求解即可.【詳解】解:等比數(shù)列的公比設(shè)為成等差數(shù)列,可得若則顯然不成立,故則,化為解得,則故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及運(yùn)用,屬于中檔題.14、【解析】

由焦點(diǎn)坐標(biāo)得從而可求出,繼而得到橢圓的方程,即可求出長軸長.【詳解】解:因?yàn)橐粋€(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,則,即,解得或由表示的是橢圓,則,所以,則橢圓方程為所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了橢圓的幾何意義.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是忽略,從而未對的兩個(gè)值進(jìn)行取舍.15、【解析】的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為,,,項(xiàng)的系數(shù)是,故答案為(1),(2).16、【解析】

利用奇函數(shù)的定義得出,結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于函數(shù)為奇函數(shù),則,即,,整理得,解得.當(dāng)時(shí),真數(shù),不合乎題意;當(dāng)時(shí),,解不等式,解得或,此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?,定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,合乎題意.綜上所述,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù),考查了函數(shù)奇偶性的定義和對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng)或時(shí),,所以可轉(zhuǎn)化為,解得,所以不等式的解集為.(2)因?yàn)?,所以,所以,即,即.?dāng)時(shí),因?yàn)?,所以,不符合題意.當(dāng)時(shí),解可得,因?yàn)楫?dāng)時(shí),不等式恒成立,所以,所以,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】

(1)采用分析法論證,要證,分式化整式為,再利用立方和公式轉(zhuǎn)化為,再作差提取公因式論證.(2)由基本不等式得,再用不等式的基本性質(zhì)論證.【詳解】(1)要證,即證,即證,即證,即證,即證,該式顯然成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故.(2)由基本不等式得,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.將上面四式相加,可得,即.【點(diǎn)睛】本題考查證明不等式的方法、基本不等式,還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題..19、(1)(2)或【解析】

(1)由已知條件得到方程組,解得即可;(2)由題意得直線的斜率存在,設(shè)直線方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,消元、列出韋達(dá)定理,由得到的范圍,設(shè)弦中點(diǎn)坐標(biāo)為則,所以在軸上方,只需位于內(nèi)(含邊界)就可以,即滿足,得到不等式組,解得即可;【詳解】解:(1)由已知橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為,離心率為,,,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)由題意得直線的斜率存在,設(shè)直線方程為聯(lián)立,消元整理得,,由,解得設(shè)弦中點(diǎn)坐標(biāo)為,所以在軸上方,只需位于內(nèi)(含邊界)就可以,即滿足,即,解得或【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì),直線與橢圓的綜合應(yīng)用,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.20、(1)唯一的極大值點(diǎn)1,無極小值點(diǎn).(2)1【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù),求得的解,確定此解兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù),確定極值點(diǎn);(2)問題可變形為恒成立,由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值,時(shí),無最小值,因此只有,從而得出的不等關(guān)系,得出所求最大值.【詳解】解:(1)定義域?yàn)?,?dāng)時(shí),,令得,當(dāng)所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以有唯一的極大值點(diǎn),無極小值點(diǎn).(2)當(dāng)時(shí),.若恒成立,則恒成立,所以恒成立,令,則,由題意,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以所以,所以,故的最大值為1.【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值,研究不等式恒成立問題.在求極值時(shí),由確定的不一定是極值點(diǎn),還需滿足在兩側(cè)的符號(hào)相反.不等式恒成立深深轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,這里分離參數(shù)法起關(guān)鍵作用.21、(1)的極坐標(biāo)方程為;曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)【解析】

(1)消去參數(shù),可得曲線的直角坐標(biāo)方程,再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,即可求解.(2)解法1:設(shè)直線的傾斜角為,把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程,求得,再把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程,得,得出,利用基本不等式,即可求解;解法2:設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為,分別代入曲線,的極坐標(biāo)方程,得,,得出,即可基本不等式,即可求解.【詳解】(1)由題曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù),可得曲線的直角坐標(biāo)方程為,即,則曲線的極坐標(biāo)方程為,即,又因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為,即,根據(jù),代入即可求解曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)解法1:設(shè)直線的傾斜角為,則直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得:,解得,,,把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得:,解得,,,,,即,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),故的最小值為.解法2:設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為),代入曲線的極

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