高一數(shù)學(xué)人教A版必修1學(xué)案3-2-2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例

3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例[目標(biāo)]1.會(huì)用分段函數(shù)模型或自建函數(shù)模型解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；2.會(huì)根據(jù)所給數(shù)據(jù)選擇合適的函數(shù)模型進(jìn)行擬合．[重點(diǎn)]根據(jù)給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題．[難點(diǎn)]建立數(shù)學(xué)模型解答實(shí)際問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)一解函數(shù)模型應(yīng)用題的一般步驟[填一填]1．函數(shù)模型應(yīng)用的兩個(gè)方面(1)利用已知函數(shù)模型解決問(wèn)題；(2)建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象，對(duì)某些發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)．2．解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)理關(guān)系．(2)建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論．(4)還原：將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題．[答一答]1．常見(jiàn)的函數(shù)模型有哪些？提示：(1)正比例函數(shù)模型：f(x)＝kx(k為常數(shù)，k≠0)；(2)反比例函數(shù)模型：f(x)＝eq\f(k,x)(k為常數(shù)，k≠0)；(3)一次函數(shù)模型：f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)；(4)二次函數(shù)模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)；(5)指數(shù)函數(shù)模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1)；(6)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，m≠0，a>0，a≠1)；(7)冪函數(shù)模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠1)．知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)擬合與預(yù)測(cè)的一般步驟[填一填](1)收集數(shù)據(jù)；(2)畫(huà)散點(diǎn)圖；(3)選擇函數(shù)模型；(4)求函數(shù)模型；(5)檢驗(yàn)．若符合實(shí)際情況，則用函數(shù)模型解釋實(shí)際問(wèn)題；若不符合實(shí)際情況則從(3)重新開(kāi)始．[答一答]2．如何根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)解決實(shí)際問(wèn)題？提示：通過(guò)收集數(shù)據(jù)直接去解決問(wèn)題的一般過(guò)程如下：第一步：收集數(shù)據(jù)；第二步：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出散點(diǎn)圖；第三步：根據(jù)點(diǎn)的分布特征，選擇一個(gè)能刻畫(huà)散點(diǎn)圖特征的函數(shù)模型；第四步：選擇其中的幾組數(shù)據(jù)求出函數(shù)模型；第五步：將已知數(shù)據(jù)代入所求出的函數(shù)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否符合實(shí)際．若不符合實(shí)際，則重復(fù)第三、四、五步．若符合實(shí)際，則進(jìn)入下一步；第六步：用求得的函數(shù)模型去解釋實(shí)際問(wèn)題．以上過(guò)程可用程序框圖表示如下：3．?dāng)?shù)據(jù)擬合時(shí)，得到的函數(shù)為什么需要檢驗(yàn)？提示：因?yàn)楦鶕?jù)已給的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，一般是以比較熟悉的、最簡(jiǎn)單的函數(shù)作模擬，但所估計(jì)的函數(shù)有時(shí)可能誤差較大或不切合客觀實(shí)際，此時(shí)要重新調(diào)整數(shù)據(jù)或選用其他函數(shù)模型．類(lèi)型一建立函數(shù)模型的應(yīng)用題[例1]某汽車(chē)城銷(xiāo)售某種型號(hào)的汽車(chē)，進(jìn)貨單價(jià)為25萬(wàn)元．市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為29萬(wàn)元時(shí)，平均每周能售出8輛，而當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)每降低0.5萬(wàn)元時(shí)，平均每周能多售出4輛．設(shè)每輛汽車(chē)降價(jià)x萬(wàn)元，每輛汽車(chē)的銷(xiāo)售利潤(rùn)為y萬(wàn)元(每輛車(chē)的銷(xiāo)售利潤(rùn)＝銷(xiāo)售單價(jià)－進(jìn)貨單價(jià))．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并在保證商家不虧本的前提下，寫(xiě)出x的取值范圍；(2)假設(shè)這種汽車(chē)平均每周的銷(xiāo)售利潤(rùn)為z萬(wàn)元，試寫(xiě)出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)每輛汽車(chē)的銷(xiāo)售單價(jià)為多少萬(wàn)元時(shí)，平均每周的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？[分析]解決本題需弄清楚：每輛車(chē)的銷(xiāo)售利潤(rùn)＝銷(xiāo)售單價(jià)－進(jìn)貨單價(jià)；先求出每輛車(chē)的銷(xiāo)售利潤(rùn)，再乘以售出輛數(shù)可得每周銷(xiāo)售利潤(rùn)．通過(guò)二次函數(shù)求最值，可得汽車(chē)合適的銷(xiāo)售單價(jià)．[解](1)因?yàn)閥＝29－25－x，所以y＝－x＋4(0≤x≤4)．(2)z＝(8＋eq\f(x,0.5)×4)y＝(8x＋8)(－x＋4)＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4)．(3)由(2)知，z＝－8x2＋24x＋32＝－8(x－1.5)2＋50(0≤x≤4)．故當(dāng)x＝1.5時(shí)，zmax＝50.所以當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為29－1.5＝27.5萬(wàn)元時(shí)，每周的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為50萬(wàn)元．在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位，因?yàn)楦鶕?jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等來(lái)求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問(wèn)題中的最大、最小等問(wèn)題.[變式訓(xùn)練1]據(jù)市場(chǎng)分析，煙臺(tái)某海鮮加工公司當(dāng)月產(chǎn)量在10噸至25噸時(shí)，月生產(chǎn)總成本y(萬(wàn)元)可以看成月產(chǎn)量x(噸)的二次函數(shù)；當(dāng)月產(chǎn)量為10噸時(shí)，月總成本為20萬(wàn)元；當(dāng)月產(chǎn)量為15噸時(shí)，月總成本最低為17.5萬(wàn)元，且為二次函數(shù)的頂點(diǎn)．(1)寫(xiě)出月總成本y(萬(wàn)元)關(guān)于月產(chǎn)量x(噸)的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知該產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)為每噸1.6萬(wàn)元，那么月產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲最大利潤(rùn)？解：(1)設(shè)y＝a(x－15)2＋17.5，將x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a解得a＝eq\f(1,10).所以y＝eq\f(1,10)(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．(2)設(shè)最大利潤(rùn)為Q(x)，則Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)x2－3x＋40))＝－eq\f(1,10)(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)．因?yàn)閤＝23∈[10,25]，所以月產(chǎn)量為23噸時(shí)，可獲最大利潤(rùn)12.9萬(wàn)元．類(lèi)型二已知函數(shù)模型的應(yīng)用題[例2]已知某產(chǎn)品市場(chǎng)價(jià)格與市場(chǎng)供應(yīng)量P的關(guān)系近似滿足P(x)＝2(1－kt)(x－b)2(其中t為關(guān)稅的稅率，且t∈[0，eq\f(1,2))，x為市場(chǎng)價(jià)格，b，k為正常數(shù))，當(dāng)t＝eq\f(1,8)時(shí)的市場(chǎng)供應(yīng)量曲線如圖所示．(1)根據(jù)圖象求b，k的值；(2)記市場(chǎng)需求量為Q，它近似滿足Q(x)＝211－eq\f(x,2)，當(dāng)P＝Q時(shí)的價(jià)格稱(chēng)為市場(chǎng)平衡價(jià)格，為使市場(chǎng)平衡價(jià)格不低于9元，求稅率的最小值．[解](1)由圖象知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21－\f(k,8)5－b2＝1，,21－\f(k,8)7－b2＝2，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\f(k,8)5－b2＝0，,1－\f(k,8)7－b2＝1，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝5，,k＝6.))(2)當(dāng)P＝Q時(shí)，有2(1－6t)(x－5)2＝211－eq\f(x,2)，即(1－6t)(x－5)2＝11－eq\f(x,2)?2(1－6t)＝eq\f(22－x,x－52)＝eq\f(17－x－5,x－52)＝eq\f(17,x－52)－eq\f(1,x－5).令m＝eq\f(1,x－5)，則2(1－6t)＝17m2－m.∵x≥9，∴m∈(0，eq\f(1,4)]．當(dāng)m＝eq\f(1,4)時(shí)，2(1－6t)取最大值eq\f(13,16)，故t≥eq\f(19,192)，即稅率的最小值為eq\f(19,192).1本題利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，首先利用給出的函數(shù)圖象，通過(guò)待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)關(guān)系式求最值，求最值時(shí)注意自變量的取值范圍.2對(duì)于題中已給出數(shù)學(xué)模型問(wèn)題，只要解數(shù)學(xué)模型即可，較常用的方法是待定系數(shù)法解模型，然后利用相應(yīng)的解析式及對(duì)應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.[變式訓(xùn)練2]灌滿開(kāi)水的熱水瓶放在室內(nèi)，如果瓶?jī)?nèi)開(kāi)水原來(lái)的溫度是θ1度，室內(nèi)氣溫是θ0度，t分鐘后，開(kāi)水的溫度可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，這里，k是一個(gè)與熱水瓶類(lèi)型有關(guān)的正的常量．現(xiàn)有一只某種類(lèi)型的熱水瓶，測(cè)得瓶?jī)?nèi)水溫為100℃，過(guò)1小時(shí)后又測(cè)得瓶?jī)?nèi)水溫變?yōu)?8℃.已知某種奶粉必須用不低于85℃的開(kāi)水沖調(diào)，現(xiàn)用這種類(lèi)型的熱水瓶在早上六點(diǎn)灌滿100解：根據(jù)題意，有98＝20＋(100－20)e－60k，整理得e－60k＝eq\f(39,40).利用計(jì)算器，解得k＝0.0004222.故θ＝20＋80e－0.0004222t.從早上六點(diǎn)至中午十二點(diǎn)共過(guò)去6小時(shí)，即360分鐘．當(dāng)t＝360時(shí)，θ＝20＋80e－0.0004222×360＝20＋80e－0.152，由計(jì)算器算得θ≈88℃>85即能夠在這一天的中午十二點(diǎn)用這瓶開(kāi)水來(lái)沖調(diào)奶粉．類(lèi)型三擬合函數(shù)模型的應(yīng)用題[例3]某個(gè)體經(jīng)營(yíng)者把開(kāi)始六個(gè)月試銷(xiāo)A，B兩種商品的逐月投資與所獲純利潤(rùn)列成下表：該經(jīng)營(yíng)者準(zhǔn)備下月投入12萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種產(chǎn)品，但不知投入A，B兩種商品各多少萬(wàn)元才合算．請(qǐng)你幫助制定一個(gè)資金投入方案，使得該經(jīng)營(yíng)者能獲得最大利潤(rùn)，并按你的方案求出該經(jīng)營(yíng)者下月可獲得的最大純利潤(rùn)(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)．[分析]只給出數(shù)據(jù)，沒(méi)明確函數(shù)關(guān)系，這樣就需要準(zhǔn)確的畫(huà)出散點(diǎn)圖．然后根據(jù)圖形選擇合適的函數(shù)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．[解]以投資額為橫坐標(biāo)，純利潤(rùn)為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出散點(diǎn)圖，如圖所示．觀察散點(diǎn)圖可以看出，A種商品的所獲純利潤(rùn)y與投資額x之間的變化規(guī)律可以用二次函數(shù)模型進(jìn)行模擬，如圖①所示．取(4,2)為最高點(diǎn)，則y＝a(x－4)2＋2，再把點(diǎn)(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2.B種商品所獲純利潤(rùn)y與投資額x之間的變化規(guī)律是線性的，可以用一次函數(shù)模型進(jìn)行模擬，如圖②所示．設(shè)y＝kx＋b，取點(diǎn)(1,0.25)和(4,1)代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.25＝k＋b，,1＝4k＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝0.25，,b＝0.))所以y＝0.25x.即前六個(gè)月所獲純利潤(rùn)y關(guān)于月投資A種商品的金額x的函數(shù)關(guān)系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六個(gè)月所獲純利潤(rùn)y關(guān)于月投資B種商品的金額x的函數(shù)關(guān)系式是y＝0.25x.設(shè)下月投入A，B兩種商品的資金分別為xA，xB(萬(wàn)元)，總利潤(rùn)為W(萬(wàn)元)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xA＋xB＝12，,W＝y(tǒng)A＋yB＝－0.15xA－42＋2＋0.25xB.))所以W＝－0.15(xA－eq\f(19,6))2＋0.15×(eq\f(19,6))2＋2.6.當(dāng)xA＝eq\f(19,6)≈3.2(萬(wàn)元)時(shí)，W取最大值，約為4.1萬(wàn)元，此時(shí)xB≈8.8(萬(wàn)元)．即該經(jīng)營(yíng)者下月把12萬(wàn)元中的3.2萬(wàn)元投資A種商品，8.8萬(wàn)元投資B種商品，可獲得最大利潤(rùn)約為4.1萬(wàn)元．?dāng)M合數(shù)據(jù)，建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，然后根據(jù)散點(diǎn)圖的形狀，選用比較接近的可能的函數(shù)模型來(lái)描述所涉及的數(shù)量之間的關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法確定出具體的函數(shù)解析式，若符合實(shí)際，可用此函數(shù)模型解釋問(wèn)題，若不符合實(shí)際，則繼續(xù)選擇模型，重復(fù)操作過(guò)程.[變式訓(xùn)練3]我國(guó)2014年至2017年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(單位：萬(wàn)億元)如下表所示：年份2014201520162017x0123生產(chǎn)總值y8.20678.94429.593310.2398(1)畫(huà)出函數(shù)圖象，猜想它們之間的函數(shù)關(guān)系，近似地寫(xiě)出一個(gè)函數(shù)關(guān)系式；(2)利用得出的關(guān)系式求生產(chǎn)總值，與表中實(shí)際生產(chǎn)總值比較．解：(1)畫(huà)出函數(shù)圖象，如圖所示，從函數(shù)的圖象可以看出，畫(huà)出的點(diǎn)近似地落在一條直線上，設(shè)所求的一次函數(shù)為y＝kx＋b(k≠0)．把點(diǎn)(0,8.2067)和(3,10.2398)的坐標(biāo)代入上式，解方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝0.6777，,b＝8.2067.))因此所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝0.6777x＋8.2067.(2)由得到的關(guān)系式計(jì)算出2015年和2016年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值分別為0.6777×1＋8.2067＝8.8844(萬(wàn)億元)，0．6777×2＋8.2067＝9.5621(萬(wàn)億元)．與實(shí)際的生產(chǎn)總值相比，誤差不超過(guò)0.1萬(wàn)億元．1．一根蠟燭長(zhǎng)20cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5cm，燃燒時(shí)剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為圖中的(B)解析：由題意h＝20－5t,0≤t≤4.結(jié)合圖象知應(yīng)選B.2．“紅豆生南國(guó)，春來(lái)發(fā)幾枝？”如圖給出了紅豆生長(zhǎng)時(shí)間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點(diǎn)圖，那么紅豆生長(zhǎng)時(shí)間與枝數(shù)的關(guān)系用下列哪個(gè)函數(shù)模型擬合最好(C)A．y＝t3 B．y＝log2tC．y＝2t D．y＝2t2解析：符合指數(shù)函數(shù)模型．3．將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按10元/個(gè)銷(xiāo)售時(shí)，每天可賣(mài)出100個(gè)，若此商品的銷(xiāo)售單價(jià)漲1元，日銷(xiāo)售量就減少10個(gè)，為了獲取最大利潤(rùn)，此商品的銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為14元．解析：設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)漲x元，則實(shí)際銷(xiāo)售單價(jià)為(10＋x)元，此時(shí)日銷(xiāo)售量為(100－10x)個(gè)，每個(gè)商品的利潤(rùn)為(10＋x)－8＝2＋x(元)，∴總利潤(rùn)y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200＝－10(x－4)2＋360(0<x<10，且x∈N*)．∴當(dāng)x＝4時(shí)y有最大值，此時(shí)單價(jià)為14元．4．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的質(zhì)量M千克、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m千克的函數(shù)關(guān)系式是v＝2000·ln(1＋eq\f(M,m))．當(dāng)燃燒質(zhì)量是火箭質(zhì)量的e6－1倍時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)12千米/秒．解析：當(dāng)v＝12000時(shí)，2000·ln(1＋eq\f(M,m))＝12000，∴l(xiāng)n(1＋eq\f(M,m))＝6，∴eq\f(M,m)＝e6－1.5．某學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)一批電腦，在購(gòu)買(mǎi)前進(jìn)行的市場(chǎng)調(diào)查顯示：在相同品牌、質(zhì)量與售后服務(wù)的條件下，甲、乙兩公