高中數學北師大版必修二課時分層作業(yè)1-6-1垂直關系的判定

課時分層作業(yè)九垂直關系的判定一、選擇題(每小題5分，共30分)1.如果一條直線垂直于一個平面內的下列各種情況，能保證該直線與平面垂直的是 ()①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊.A.①③ B.② C.②④ D.①②④【解析】選A.由線面垂直的判定定理知，直線垂直于①③圖形所在的平面；對于②④圖形中的兩邊不一定是相交直線，所以該直線與它們所在的平面不一定垂直.2.在四棱錐的四個側面中，直角三角形最多可有 ()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【解析】選D.如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，取四棱錐A1ABCD，則此四棱錐的四個側面都是直角三角形.3.如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關系是 ()A.平行 B.垂直相交C.垂直但不相交 D.相交但不垂直【解析】選C.因為ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，則BD⊥MC.因為AC∩MC=C，所以BD⊥平面AMC.又MA平面AMC，所以MA⊥BD.顯然直線MA與直線BD不共面，因此直線MA與BD的位置關系是垂直但不相交.4.在正方體ABCDA1B1C1D1中，與BC1垂直的平面是 ()A.平面DD1C1C B.平面A1B1CDC.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB【解析】選B.因為易證BC1⊥B1C，且CD⊥平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.因為B1C∩CD=C，所以BC1⊥平面A1B1CD.5.如圖所示，正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2、G2G3的中點，D是EF的中點，現(xiàn)在沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1，G2，G3三點重合，重合后的點記為G，則在四面體SEFG中必有 ()A.SG⊥平面EFG B.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEF D.GD⊥平面SEF【解析】選A.折疊后，有些線線的位置關系不發(fā)生變化，如SG⊥GF，SG⊥GE.所以SG⊥平面GEF.6.已知三條相交于一點的線段PA，PB，PC兩兩垂直，PH⊥平面ABC于點H，則垂足H是△ABC的 ()A.外心 B.內心 C.垂心 D.重心【解析】選C.因為PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC=P，所以PA⊥平面PBC，因為BC平面PBC，所以PA⊥BC.因為PH⊥平面ABC，所以PH⊥BC.又PA∩PH=P，所以BC⊥平面PAH，所以BC⊥AH.同理可證AB⊥CH，AC⊥BH，所以H為△ABC的垂心.二、填空題(每小題5分，共10分)7.已知四棱錐PABCD中，ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，則平面PBD與平面PAC的位置關系是_________.

【解析】因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，在正方形ABCD中，BD⊥AC.又AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC.又BD平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC.答案：垂直8.已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，則平行四邊形一定是_________.

【解析】如圖，由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD.又PC⊥BD，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，平行四邊形ABCD為菱形.答案：菱形三、解答題(每小題10分，共20分)9.如圖，在四棱錐SABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.求證：SD⊥平面SAB.【證明】因為AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1，所以底面ABCD為直角梯形，AD=QUOTE=QUOTE.因為側面SAB為等邊三角形，所以SA=SB=AB=2.又SD=1，所以AD2=SA2+SD2，所以SD⊥SA.連接BD，則BD=QUOTE=QUOTE，所以BD2=SD2+SB2，所以SD⊥SB.又SA∩SB=S，所以SD⊥平面SAB.10.如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中點.求證：平面ABM⊥平面A1B1M.【證明】由長方體的性質可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1=2，M為CC1的中點，所以C1M=CM=1.在Rt△B1C1M中，B1M=QUOTE=QUOTE，同理BM=QUOTE=QUOTE，又B1B=2，所以B1M2+BM2=B1B2，從而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B1，所以BM⊥平面A1B1M，因為BM平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.一、選擇題(每小題5分，共25分)1.已知直線a∥直線b，b⊥平面α，則 ()A.a∥α B.aαC.a⊥α D.a是α的斜線【解析】選C.2.如圖，BC是Rt△ABC的斜邊，過A作△ABC所在平面α的垂線AP，連接PB，PC，過A作AD⊥BC于D，連接PD，那么圖中直角三角形的個數是 ()A.4個 B.6個C.7個 D.8個【解析】選D.由圖中△ABC，△APC，△ABP為直角三角形可以得△PBC為銳角三角形，所以圖中有8個直角三角形.3.對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是 ()A.m⊥n，m∥α，n∥βB.m⊥n，α∩β=m，nαC.m∥n，n⊥β，mαD.m∥n，m⊥α，n⊥β【解析】選C.因為n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又mα，由面面垂直的判定定理，所以α⊥β.4.如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(不同于A，B)，且PA=AC，則二面角PBCA的大小為 ()A.60° B.30° C.45° D.90°【解析】選C.因為AB為直徑，所以AC⊥CB，又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，所以PC⊥BC，所以∠PCA為二面角PBCA的平面角，又PA=AC，所以∠ACP=45°.5.在三棱錐PABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，點E，F(xiàn)，G分別是所在棱的中點，則下列結論中錯誤的是 ()A.平面EFG∥平面PBCB.平面EFG⊥平面ABCC.∠BPC是直線EF與直線PC所成的角D.∠FEG是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角【解析】選D.由題意，EG∥BC，F(xiàn)G∥PC，所以平面EFG∥平面PBC，A正確；由PC⊥BC，PC⊥AC，可得PC⊥平面ABC，又因為PC∥FG，所以FG⊥平面ABC，所以平面EFG⊥平面ABC，B正確；因為E，F(xiàn)分別為所在棱的中點，所以EF∥PB，所以∠BPC是直線EF與直線PC所成的角，C正確；因為AB與平面EFG不垂直，所以D錯誤.二、填空題(每小題5分，共20分)6.在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，把菱形沿對角線AC折起，使折起后BD=QUOTE，則二面角BACD的余弦值為_________.

【解析】如圖所示，由二面角的定義知∠BOD即為二面角的平面角.因為DO=OB=BD=QUOTE，所以∠BOD=60°.答案：60°7.?ABCD的對角線交點為O，點P在?ABCD所在平面外，且PA=PC，PD=PB，則PO與平面ABCD的位置關系是_________.

【解析】因為PA=PC，O是AC的中點，所以PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.因為AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD.答案：垂直8.如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長是1，過A點作平面A1BD的垂線，垂足為點H，有下列三個命題：①點H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③AC1與B1C所成的角是90°.其中正確命題的序號是_________.

【解析】由于ABCDA1B1C1D1是正方體，所以AA1BD是一個正三棱錐，因此A點在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正確；又因為平面CB1D1與平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正確；從而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1與B1C垂直，所成的角等于90°，故③正確.答案：①②③9.(2018·安康高一檢測)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC=CC1，當底面A1B1C1滿足條件__________________時，有AB1⊥BC1(注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況).

【解析】如圖所示，連接B1C，由BC=CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要證AB1⊥BC1，則只要證明BC1⊥平面AB1C，即只要證AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要證AC⊥BC即可.因為A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要證A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的條件，如∠A1C1B1=90°等)答案：∠A1C1B1=90°(答案不唯一)三、解答題(每小題10分，共20分)10.如圖所示，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD.求證：(1)AB∥EF.(2)平面BCF⊥平面CDEF.【證明】(1)因為四邊形ABCD是矩形，所以AB∥CD，CD平面CDEF，AB平面CDEF，所以AB∥平面CDEF.又AB平面ABFE，且平面ABFE∩平面CDEF=EF，所以AB∥EF.(2)因為DE⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以DE⊥BC.因為BC⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE平面CDEF，所以BC⊥平面CDEF.又因為BC平面BCF，所以平面BCF⊥平面CDEF.11.如圖所示，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+QUOTE，過點A作AE⊥CD，垂足為E，G、F分別為AD、CE的中點，現(xiàn)將△ADE沿A