青海省西寧市海湖中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前西寧市海湖中學(xué)2020—2021學(xué)年度第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)第一階段測(cè)試題時(shí)間：120分鐘滿分：100分單選題1.某人用如圖所示的紙片沿折痕折后粘成一個(gè)四棱錐形的“走馬燈“，正方形做燈底，且有一個(gè)三角形面上寫上了“年”字，當(dāng)燈旋轉(zhuǎn)時(shí)，正好看到“新年快樂(lè)”的字樣，則在①、②、③處可依次寫上()A.樂(lè)、新、快B.快、新、樂(lè)C.新、樂(lè)、快D.樂(lè)、快、新2.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為BC、BB1的中點(diǎn)，則下列直線中與直線EF相交的是（）A.直線AA1B.直線A1B1C.直線A1D1D.直線B1C13.已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A.122πB.12πC.82πD.10π4.等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，它繞其一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的體積為（）A.14πB.18πC.12πD.16π5.如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)E在線段A1C1上，F(xiàn)，M分別是AD，CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.FM∥A1C1B.BM⊥平面CC1FC.三棱錐B﹣CEF的體積為定值D.存在點(diǎn)E，使得平面BEF∥平面CC1D1D6.如圖，O為正方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，則下列直線中與B1O垂直的是()

A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C17.已知三棱錐ABCD的頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，AB=CD=1，BD=2BD=2，則球O的表面積為()A.π2B.πC.2πD.4π8.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為A1C1的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成的角為（）.A.30o?B.45oC.60oD.90o?9.某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是()A.8-B.8-C.8-2πD.2π10.設(shè)α為平面，a、b為兩條不同的直線，則下列敘述正確的是（）A.若a∥α，b∥α，則a∥bB.若a⊥α，a∥b，則b⊥αC.若a⊥α，a⊥b，則b∥αD.若a∥α，a⊥b，則b⊥α11.已知m、n是兩條不同直線，α、β、γ是三個(gè)不同平面，以下有三種說(shuō)法：

①若α∥β，β∥γ，則γ∥α；②若α⊥γ，β∥γ，則α⊥β；

③若m⊥β，m⊥n，n?β，，則n∥β．

其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)12.水平放置的△ABC，用斜二測(cè)畫法作出的直觀圖是如圖所示的△A＇B＇C＇，其中O＇A＇=O＇B＇=1，O'C'A.23B.4C.2D.4填空題13.在三棱錐B﹣ACD中，BA，BC，BD兩兩垂直，BC＝2，BD＝4，三棱錐B﹣ACD的側(cè)面積為13，則該三棱錐外接球的表面積為_______．14.已知圓錐的側(cè)面積(單位：cm2)為2π，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑(單位：cm)是_______．15.在正方體ABCDA1B1C1D1中，六個(gè)面內(nèi)與BD成60o角的對(duì)角線共有_______條．16.中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體共有______個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_______．三、解答題17.如圖(1)，在四棱錐PABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，圖(2)為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長(zhǎng)為6cm的全等的等腰直角三角形．

（10分）(1)根據(jù)圖所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；（5分）(2)在四棱錐PABCD中，求PA的長(zhǎng)（5分）18.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1.

（12分）(1)求異面直線A1B與B1C所成的角；（6分）(2)求證：平面A1BD∥平面B1CD1．（6分）19.如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)C的直線SC垂直于圓O所在的平面，D，E分別是SA，SC的中點(diǎn)．

（12分）(1)證明：DE∥平面ABC；（6分）(2)平面SAC⊥平面SBC.（6分）20.如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)。

(Ⅰ)證明：BC1∥平面A1CD；

(Ⅱ)設(shè)AA1＝AC＝CB＝2，AB＝，求三棱錐C－A1DE的體積。

（12分）21.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．

（12分）(1)求證：PA∥平面EDB；（6分）(2)求證：PB⊥平面EFD．（6分）22.如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD是等腰梯形，且AB∥CD，O是AB中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，PO＝CD＝DA＝12AB＝4，M是PA中點(diǎn)．

（12分）(1)證明：平面PBC∥平面ODM（6分）；(2)求點(diǎn)A到平面PCD的距離（6分）．

BDBADDDDABAB13.29π14.115.816.262117.如圖(1)，在四棱錐PABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，圖(2)為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長(zhǎng)為6cm的全等的等腰直角三角形．

（12分）(1)根據(jù)圖所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；（5分）【正確答案】解：該四棱錐的俯視圖為邊長(zhǎng)為6cm的正方形(內(nèi)含對(duì)角線)，如圖，其面積為36cm2．

解：該四棱錐的俯視圖為邊長(zhǎng)為6cm的正方形(內(nèi)含對(duì)角線)，如圖，其面積為36cm2．【答案解析】該四棱錐的俯視圖為邊長(zhǎng)為6cm的正方形(內(nèi)含對(duì)角線)，如圖，即可得出面積．(2)在四棱錐PABCD中，求PA的長(zhǎng)（7分）【正確答案】

解：由側(cè)視圖可求得．

由正視圖可知AD=6且AD⊥PD，

所以在Rt△APD中，．

解：由側(cè)視圖可求得．

由正視圖可知AD=6且AD⊥PD，

所以在Rt△APD中，．

【答案解析】

利用勾股定理即可得出．

21.

如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．

（10分）(1)求證：PA∥平面EDB；（4分）【正確答案】

證明：

連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，

∵底面ABCD是正方形，∴O是AC中點(diǎn)，

∵點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，∴OE∥PA，

∵OE?平面EDB，PA?平面EDB，

∴PA∥平面EDB．證明：

連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，

∵底面ABCD是正方形，∴O是AC中點(diǎn)，

∵點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，∴OE∥PA，

∵OE?平面EDB，PA?平面EDB，

∴PA∥平面EDB．【答案解析】連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，推導(dǎo)出OE∥PA，由此能證明PA∥平面EDB．(2)求證：PB⊥平面EFD．（6分）【正確答案】

解：∵PD=DC=1，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，∴DE⊥PC，

∵底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥BC，CD⊥BC，又PD∩DC=D，

∴BC⊥平面PDC，∴DE⊥BC，

∵PC∩BC=C，∴DE⊥平面PBC，∴DE⊥PB，

∵EF⊥PB，EF∩DE=E，

∴PB⊥平面EFD．解：∵PD=DC=1，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，∴DE⊥PC，

∵底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥BC，CD⊥BC，又PD∩DC=D，

∴BC⊥平面PDC，∴DE⊥BC，

∵PC∩BC=C，∴DE⊥平面PBC，∴DE⊥PB，

∵EF⊥PB，EF∩DE=E，

∴PB⊥平面EFD．【答案解析】推導(dǎo)出DE⊥PC，PD⊥BC，CD⊥BC，從而DE⊥BC，進(jìn)而DE⊥平面PBC，DE⊥PB，再由EF⊥PB，能證明PB⊥平面EFD．

18.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1.

（12分）(1)求異面直線A1B與B1C所成的角；（6分）【正確答案】

解：連接A1D、DB．由正方體可得A1B1∥DC，A1B1=DC，

∴對(duì)角面A1B1CD是一個(gè)平行四邊形，∴B1C∥A1D．

∴∠BA1D或其補(bǔ)角即為異面直線A1B與B1C所成的角，

∵△A1BD是一個(gè)等邊三角形，

∴∠BA1D=60°即為異面直線A1B與B1C所成的角；解：連接A1D、DB．由正方體可得A1B1∥DC，A1B1=DC，

∴對(duì)角面A1B1CD是一個(gè)平行四邊形，∴B1C∥A1D．

∴∠BA1D或其補(bǔ)角即為異面直線A1B與B1C所成的角，

∵△A1BD是一個(gè)等邊三角形，

∴∠BA1D=60°即為異面直線A1B與B1C所成的角；【答案解析】通過(guò)平移先作出異面直線所成的角，進(jìn)而求出即可；(2)求證：平面A1BD∥平面B1CD1．（6分）【正確答案】

證明：由(1)可知：A1D∥B1C，而A1D?平面B1CD1，B1C?平面B1CD1，

∴A1D∥平面B1CD1，

同理可得A1B∥平面B1CD1，

又∵A1D∩A1B=A1，∴平面A1BD∥平面B1CD1．證明：由(1)可知：A1D∥B1C，而A1D?平面B1CD1，B1C?平面B1CD1，

∴A1D∥平面B1CD1，

同理可得A1B∥平面B1CD1，

又∵A1D∩A1B=A1，∴平面A1BD∥平面B1CD1．

【答案解析】利用線面、面面平行的判定定理即可證明．19.如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)C的直線SC垂直于圓O所在的平面，D，E分別是SA，SC的中點(diǎn)．

（12分）(1)證明：DE∥平面ABC；（4分）【正確答案】

證明：∵D，E分別是SA，SC的中點(diǎn)，∴DE∥AC，

又∵DE?平面ABC，AC?平面ABC，∴DE∥平面ABC；證明：∵D，E分別是SA，SC的中點(diǎn)，∴DE∥AC，

又∵DE?平面ABC，AC?平面ABC，∴DE∥平面ABC；【答案解析】由D，E分別是SA，SC的中點(diǎn)，可得DE∥AC，從而得到DE∥平面ABC．(2)平面SAC⊥平面SBC.（8分）【正確答案】

解：∵AB為圓O的直徑，∴AC⊥BC，

∵SC垂直于圓O所在的平面，∴SC⊥AC，

而BC∩SC=C，∴AC⊥平面SBC，

∵DE∥AC，∴DE⊥平面SBC，

又DE?平面SAC，∴平面SAC⊥平面SBC．解：∵AB為圓O的直徑，∴AC⊥BC，

∵SC垂直于圓O所在的平面，∴SC⊥AC，

而BC∩SC=C，∴AC⊥平面SBC，

∵DE∥AC，∴DE⊥平面SBC，

又DE?平面SAC，∴平面SAC⊥平面SBC．【答案解析】由AB為圓O的直徑，得AC⊥BC，再由SC垂直于圓O所在的平面，得SC⊥AC，可得AC⊥平面SBC，結(jié)合DE∥AC，得DE⊥平面SBC，從而得到平面SAC⊥平面SBC．20.如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)。

(Ⅰ)證明：BC1∥平面A1CD；

(Ⅱ)設(shè)AA1＝AC＝CB＝2，AB＝，求三棱錐C－A1DE的體積。

（12分）【正確答案】

(Ⅰ)

見解析，(Ⅱ)1【答案解析】解：(Ⅰ)連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn)．

又D是AB的中點(diǎn)，連結(jié)DF，則BC1∥DF。

因?yàn)镈F平面A1CD，BC1平面A1CD，

所以BC1∥平面A1CD。

(Ⅱ)因?yàn)锳BC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD，由已知AC＝CB，D為AB的中點(diǎn)，的以CD⊥AB。又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A。

由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝得

故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D．

22.如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD是等腰梯形，且AB∥CD，O是AB中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，PO＝CD＝DA＝12AB＝4，M是PA中點(diǎn)．

（12分）(1)證明：平面PBC∥平面ODM；（6分）【正確答案】

證明：由題意，CD∥BO，CD＝BO，

∴四邊形OBCD為平行四邊形，∴BC∥OD．

又∵AO＝OB，AM＝MP，∴OM∥PB

又OM?平面PBC，PB?平面PBC，

∴OM∥平面PBC

同理，OD∥平面PBC，

又OM∩OD＝O，

∴平面PBC∥平面ODM．證明：由題意，CD∥BO，CD＝BO，

∴四邊形OBCD為平行四邊形，∴BC∥OD．

又∵AO＝OB，AM＝MP，∴OM∥PB

又OM?平面PBC，PB?平面PBC，

∴OM∥平面PBC

同理，OD∥平面PBC，

又OM∩OD＝O，

∴平面PBC∥