2022-2023上海建平中學(xué)高三年級(jí)下冊開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷及答案

建平中學(xué)2022學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)開學(xué)考

2023.2

一、填空題(共12小題)

1.已知集合4={1,2},B={a,a2+1},若Zc8={l},則實(shí)數(shù)a的值為.

2.已知向量萬=(—1,2),向量B=(—3,4),則向量方在B方向上的投影向量為.

3.若不等式|x-1|<。無解，則〃的取值范圍是.

4.已知圓G：x2+y2=l,圓。2：x2+y2-2x-2y+l=0,則圓G與圓的位置關(guān)

系為.

5.從某小學(xué)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高(單位：cm)數(shù)據(jù)繪制成頻率

分布直方圖(如圖)，其中樣本數(shù)據(jù)分組[100,110),[110,120),

[120,130),[130,140),[140,150),若要從身高在[120,130),

[130,140),[140,150)三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽

取12人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在[130,140)內(nèi)的學(xué)生中抽取

的人數(shù)應(yīng)為.

6.已知正實(shí)數(shù)“，6滿足a+b=l,則丑立白的最小值為

ah------

7.投擲紅、藍(lán)兩顆均勻的骰子，設(shè)事件4藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為5或6；事件&兩骰子的點(diǎn)

數(shù)之和大于8,則已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率P(川3)=.

8.已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)隨機(jī)變量的一組觀測數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖分布在函數(shù)y=3e2川的圖

象附近，則可通過轉(zhuǎn)換得到的線性回歸方程為.

2x+x+lx<-\

9.已知函數(shù)/(x)=<x2',g(x)=公？+2x+a+1,若對(duì)任意的％eR,

log2(2x+6),x>-1

總存在實(shí)數(shù)/€[0,+8)，使得/(不)=8(々)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

10.設(shè)平面向量萬，b,E滿足|刈=2,匹|=|即，|a-6|=1,小伍一23)=0,則|2—^|

第1頁共13頁

的最大值為.

11.若0為/（》）=/+（4—1）/+這2的極大值點(diǎn)，則a的取值范圍為.

12.在長方體N6C0—44Goi中，AB=AD=6,Z4=2,M為棱8C的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)

P滿足ZAPD=ZCPM,則點(diǎn)P的軌跡與長方體的側(cè)面DCCQi的交線長等于.

二、選擇題（共4小題）

13.為第二象限角"是"sin。＞cos?！钡模ǎ?/p>

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

14.某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10,b2）,下列結(jié)論中不正確的是（）

A.。越大，該物理量在一次測量中在（9.9,10.1）的概率越大

B.。越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5

C.o■越大，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.o■越小，該物理量在一次測量中落在（9.9,10.2）與落在（9.8,10.1）的概率相等

15.已知向量G,b,是空間的一個(gè)基底，其中與向量0+B,一定構(gòu)成空間另一

個(gè)基底的向量是（）

A.aB.bC.cD.a,b,都不可以

16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)力的坐標(biāo)為（1,0）,將點(diǎn)“繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角G

得到點(diǎn)4,再將點(diǎn)4繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到4,…，如此繼續(xù)下去，得到前

10個(gè)點(diǎn)4,4,…,40.若｛%｝是公差為J的等差數(shù)列，且點(diǎn)4,4,4,…,4。在同一函數(shù)

6

圖像上，則角%的取值可以是（）

71-71八n_n

A.—B.—C.—D.—

12645

三、解答題（共5小題）

17.如圖，多面體/8COE/7中，四邊形/BCD為菱形，ZABC=60°,￡4，平面/88,

FA//ED,且力8=功=2ED=2.尸

（1）求證：BDVFC-,在

（2）求點(diǎn)Z到平面尸8。的距離./%'、'、/總

D

第2頁共13頁B

18.已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且$2=2,=-6；數(shù)列也｝滿足8=7,

"=-3；且也―4｝為等差數(shù)列.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和7；.

19.如圖，一個(gè)半圓和長方形組成的鐵皮，長方形的邊為半圓的直徑，。為半圓的圓心,

AB=\,BC=2,現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個(gè)等腰三角形其底邊MNJ.BC,點(diǎn)、P

在邊N8上，設(shè)

(1)若6=30。，求三角形鐵皮的面積；

(2)求剪下的三角形鐵皮PAW面積的最大值.

20.(1)設(shè)橢圓G：*?+方=1與雙曲線。2：9-—*=1有相同的焦點(diǎn)片、F2,M是

橢圓G與雙曲線G的公共點(diǎn)，且居的周長為6,求橢圓G的方程；

(2)我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對(duì)稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”.如

(4x(0<x<3)

圖，已知'‘盾圓?！钡姆匠虨?=4\一-1,設(shè)“盾圓?！鄙系娜我庖稽c(diǎn)M

■l-12(x-4)(3<x<4)

第3頁共13頁

到尸（1,0）的距離為4,加到直線/：》=3的距離為功，求證4+出為定值；

（3）由拋物線弧&：y2=4x[o4x?g）與第（1）小題橢圓弧與：三+2=

所合成的封閉曲線為“盾圓E"，設(shè)‘‘盾圓E"上的兩點(diǎn)48關(guān)于x軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn),

試求△OZ6面積的最大值.

21.己知函數(shù)/（X）=ox?_伍+2）x+Inx.

（1）當(dāng)a=IB寸，求曲線y=/（x）在點(diǎn)（1,/（1））處的切線方程；

（2）當(dāng)a>0時(shí)，若/（x）在區(qū)間[l,e]上的最小值為—2,求a的取值范圍；

（3）若對(duì)任意須，x2e（0,+oo）,x]<x2,且/（xJ+2X]</（》2）+2》2恒成立，求4的

取值范圍.

第4頁共13頁

建平中學(xué)2022學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)開學(xué)考

2023.2

一、填空題(共12小題)

1.已知集合4={1,2},B=\a,a1+\\,若Zc8={l},則實(shí)數(shù)。的值為.

2.已知向量不=(一1,2),向量5=(—3,4),則向量值在B方向上的投影向量為.

3.若不等式|x-1|<。無解，則。的取值范圍是.

4.已知圓G：幺+/=1，圓。2：x2+y2-2x-2y+l^0,則圓G與圓G的位置關(guān)系為

5.從某小學(xué)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高(單位：cm)數(shù)據(jù)繪制成頻率

分布直方圖(如圖)，其中樣本數(shù)據(jù)分組[100,110),

[110,120),[120,130),[130,140),[140,150),若要從身

高在[120,130),[130,140),[140,150)三組內(nèi)的學(xué)生中，用

分層抽樣的方法抽取12人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在

[130,140)內(nèi)的學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為.

6.已知正實(shí)數(shù)”，6滿足a+b=l,則生上白的最小值為

ab------

7.投擲紅、藍(lán)兩顆均勻的骰子，設(shè)事件4藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為5或6；事件8：兩骰子的點(diǎn)

數(shù)之和大于8,則已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率P(川3)=.

8.已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)隨機(jī)變量的一組觀測數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖分布在函數(shù)y=3e2川的圖

象附近，則可通過轉(zhuǎn)換得到的線性回歸方程為.

2x~+x+1

--------Y<f—1

9.已知函數(shù)/(x)=<X2',g(x)=ax?+2x+Q+1,若對(duì)任意的王￡R,

log2(2x+6),x>-1

總存在實(shí)數(shù)》2€[0,+8)，使得/(xj=g(w)成立，則實(shí)數(shù)0的取值范圍為.

10.設(shè)平面向量向,b,H滿足I，1=2,防1=1司,\a-b\=\,c-(c-2b)=0,則|一一平|

的最大值為.

II.若0為/(刀)=/+5一1)/+℃2的極大值點(diǎn)，則。的取值范圍為.

12.在長方體力88-44。12中，4B=AD=6,AAt=2,M為棱8C的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)

產(chǎn)滿足Z.APD=4cpM,則點(diǎn)尸的軌跡與長方體的側(cè)面。CG2的交線長等于.

二、選擇題(共4小題)

13.“6為第二象限角”是“sin。＞cos?！钡?)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

14.某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,b2),下列結(jié)論中不正確的是()

A.。越大，該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大

B.b越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5

C.b越大，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.。越小，該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(9.8,10.1)的概率相等

15.已知向量方，b,是空間的一個(gè)基底，其中與向量1+九2-5一定構(gòu)成空間另一個(gè)

基底的向量是()

A.aB.bC.cD.a,b,云都不可以

16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)”的坐標(biāo)為(1,0),將點(diǎn)/繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角因

得到點(diǎn)4,再將點(diǎn)4繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到4,…，如此繼續(xù)下去，得到前

JT

10個(gè)點(diǎn)4,4,…,40.若｛4｝是公差為一的等差數(shù)列，且點(diǎn)4,4,4,…,4。在同一函數(shù)

圖像上，則角力的取值可以是()

三、解答題(共5小題)

17.如圖，多面體/8C0E/7中，四邊形Z3C。為菱形，Z.ABC=60°,E41平面/BCD,

FA//ED,且力8=4=2ED=2.c

(1)求證：BD工FC；r

(2)求點(diǎn)N到平面必。的距離.

18.己知等比數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和為S,,,且g=2,S3=-6；數(shù)列也｝滿足4=7,

”=一3；且為等差數(shù)列.

(1)求｛可｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和7；.

19.如圖，一個(gè)半圓和長方形組成的鐵皮，長方形的邊4。為半圓的直徑，。為半圓的圓心，

4B=1,BC=2,現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個(gè)等腰三角形PMV,其底邊MN工BC,點(diǎn)、P

在邊48上，設(shè)NMOO=6；

(1)若6=30。，求三角形鐵皮尸MN的面積；/

(2)求剪下的三角形鐵皮PAW面積的最大值.A\^O~\\D

B

丫2V29V2

20.(1)設(shè)橢圓G：「+%=1與雙曲線G：9——薄-=1有相同的焦點(diǎn)片、F2,M是

橢圓G與雙曲線G的公共點(diǎn)，且與心的周長為6,求橢圓G的方程：

(2)我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對(duì)稱軸的兩段圓錐曲線弧合成封閉曲線稱為“盾圓如圖，

[4x(0<x<3)

已知“盾圓?！钡姆匠虨関9，

[-12(x-4)(3<x<4)

設(shè)‘'盾圓。”上的任意一點(diǎn)加到尸(1,0)的距離為4,"到直線/:x=3的距離為由，求證

4+4為定值;

(3)由拋物線弧用：歹2=4x(o?xw|)與第(1)小題橢圓弧后2：2■+方'=111

所合成的封閉曲線為“盾圓E"，設(shè)'‘盾圓E"上的兩點(diǎn)/、8關(guān)于x軸對(duì)稱，。為坐標(biāo)原點(diǎn),

試求△0Z8面積的最大值.

21.已知函數(shù)/(x)=ox?-(。+2)x+lnx.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)當(dāng)。>0時(shí)，若/(X)在區(qū)間［l,e］上的最小值為一2,求。的取值范圍；

(3)若對(duì)任意事,x2e(0,+oo),xt<x2,且/(xj+2X］</(x2)+2x2恒成立，求“的

取值范圍.

參考答案

一、填空題

（3344、7

1.0；2.-----,—；3.（—oo,01；4.相交；5.4；6.9；7.—；

[2525）'」10

-3]

8._y=l+ln3+2x；9.0,—；10.3；11.（-8,0）；

12.在長方體中，AB=AD=6,/4=2,M為棱8C的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸

滿足NAPD=ACPM,則點(diǎn)P的軌跡與長方體的側(cè)面DCCR的交線長等于

_,,..2乃

【答案】—

3

【解析】當(dāng)尸在面DCCR內(nèi)時(shí)，Z￡＞，面DCC]D、,CM1面。CQA:

又NAPD=4MPC,在RtAPDA與Rt^PCM中,

Z￡>=6,則A/C=3,

…r4D八,八八MC皿63er

tanZAPD=---=tanZMPC=----,則----=----,即mPlD=2PC.

PDPCPDPC

在平面DCGA中，以DC所在直線為x軸，以DC的垂直平

分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則Z)(-3,0),C(3,0),

設(shè)尸（xj）,由尸。=2PC,得7（%+3）2+/=27（X-3）2+/,

整理得：f—i0x+y2+9=0,即(x—5)2+；/=i6.?__

?OT校1r"?’?j

:.點(diǎn)P的軌跡是以F(5,0)為圓心,半徑為4的圓.

設(shè)圓R與面。CGR的交點(diǎn)為E、卜1,作￡1(垂直》軸于點(diǎn)長，則5畝/后/火="=2=_1；

11EF42

71

NEFK=—;

6

，———IT27r

故點(diǎn)尸的軌跡與長方體的面。CG。的交線為劣弧板，所以劣弧ME的長為一x4=——.

63

整理：ShmathYu(公眾號(hào)：上海數(shù)學(xué)研討)

第10頁共13頁

二、選擇題

13.A；14.A；15.C；16.C

16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4的坐標(biāo)為（1,0）,將點(diǎn)/繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角必得

到點(diǎn)4,再將點(diǎn)4繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角a?得到如此繼續(xù)下去，得到前10

jr

個(gè)點(diǎn)4,4,…,小?若｛%｝是公差為々的等差數(shù)列，且點(diǎn)4,4,4，一,，4。在同一函數(shù)圖

6

像上，則角四的取值可以是（）

71717171

A.—B.—C.—D.—

12645

【答案】C

［解析】點(diǎn)…，4o在同一函數(shù)圖像上,

則根據(jù)函數(shù)定義可得點(diǎn)4,4,4,…，4。所對(duì)應(yīng)的角度不能終邊一樣或者角度相加等于2人7；

點(diǎn)4對(duì)應(yīng)角度外,

兀

點(diǎn)A對(duì)應(yīng)角度為%+%=2。］+—;

2~~6

712兀71

點(diǎn)4對(duì)應(yīng)角度為%+a、+%—2alH---F%4---=3四H—

662

JI37r

點(diǎn)A對(duì)應(yīng)角度為%+a2+。3+。4=3al+—+/+—=4%+乃;

426

4454

點(diǎn)應(yīng)對(duì)應(yīng)角度為%+a,+%+/+%=4^1+?+%H---=5/H----;

_'63

j廣57r54,5TT

點(diǎn)46對(duì)應(yīng)角度為%+a?+%+-----i-6ZjH----6alH------;

362

57r77r

點(diǎn)、A?對(duì)應(yīng)角度為+。2+。3+。4+。5+。6+。7=6+—+?,+7T=7al+—

、77r77r14萬

點(diǎn)4對(duì)成角度為+%+。3+。4+。5+。6+%+。8=7----h4----&Z］H-----；

263

14乃87r

點(diǎn)4）對(duì)應(yīng)角度為%+%+%+%+%+%+%+%+%=初］+---+6+—=9?+6乃

36

97r157r

點(diǎn)A對(duì)應(yīng)角度為6+%+生+/+生+q+弓+%+%+?o=9/+6萬+0+—=1施+——；

l062

1T

點(diǎn)4與點(diǎn)4可得：10。］+6萬。8)0w父。錯(cuò)誤;

77r7i

點(diǎn)4與點(diǎn)4可得：6%+-^-。4肛。尸石,力錯(cuò)誤;

57r57r4

點(diǎn)4與點(diǎn)4可得：11%+二+"工6"，。尸2,8錯(cuò)誤;

5613216

故選：c.

三、解答題

17.(1)證明略(2)、一

5

18.(1)a?=(-2)"(2)^=?2-|[l-(-2)H]

,、6+3>/3,、3+2近

19.(1)........-(2)........-

84

22

20.(1)二+匕=1(2)證明略(3)273

43

21.已知函數(shù)f(x)=ax2-(a+2)x+lnx.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/.(1))處的切線方程;

(2)當(dāng)?！?時(shí)，若/(x)在區(qū)間［l,e］上的最小值為一2,求。的取值范圍;

(3)若對(duì)任意項(xiàng)，x2e(0,+oo),xl<x2,且/(xJ+2X]</(彳2)+2々恒成立，求”的

取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=x2