中考數(shù)學知識點與經(jīng)典題型練習 相似三角形中的旋轉型相似模型(解析版)

專題12相似三角形中的旋轉型相似模型

【模型展示】

—力

特點

如圖，?ΔABC^^Δ,ADE,則AA8OS2?ACE.

結論?ΔABC^^ADE,則AABOS^ACE

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，正方形ABS中，點尸是8C邊上一點，連接4尸，以A尸為對角線作正方形AEFG,

邊尸G與正方形ABa)的對角線AC相交于點“，連接。G.以下四個結論：①

NEAB=NGAD；②ΔAFCSΔAGL);③2AE2=A"?AC;?DGLAC.其中正確的個數(shù)為

()

【答案】D

【分析】①四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，ZEAB,NGAD與NBAG的和均

ΔΓ,ΛΓ

為90。,即可證明NEAB與NGAD相等;②山題意易得AD=DC,AG=FG,進而可得一=—,

ADAG

ZDAG=ZCAF,然后問題可證；③由四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，可求證

ApΛ(^

ΔHAF-AFAC,則有黑=去，然后根據(jù)等量關系可求解；④由②及題意知

AHAF

ZADG=ZACF=45o,則問題可求證.

【詳解】解：①???四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形

ΛZEAG=ZBAD=90o

又?.?∕EAB=90°-∕BAG,ZGAD=90o-ZBAG

ΛZEAB=ZGAD

①正確

②四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形

AD=DC,AG=FG

.,.AC=√2AD,AF=√2AG

償=&,空=五

ADAG

即￡空

ADAG

XVZDAG+ZGAC=ZFAC+ZGAC

.*.NDAG=NCAF

,ISAFCS.GD

，②正確

③：四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，AF、AC為對角線

ΛZAFH=ZACF=450

又YNFAH=ZCAF

Λ?HAF<^?FAC

,AFAC

"AW^^AF

即AF-=ACAH

又YAF=亞AE

；?IAE2=AHAC

.?.③正確

④由②知ΔAFC^ΔAGP

又Y四邊形ABCD為正方形，AC為對角線

NADG=NACF=45°

ADG在正方形另外一條對角線上

ΛDG±AC

.?.④正確

故選：D.

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質綜合運用，同時利用到正方形相關性質，解

題關鍵在于找到需要的相似三角形進而證明.

2.如圖，在矩形ABCD中，E是AQ邊的中點，BELAC于點F,連接￡>F,給出下列四個

結論：Φ?ΛEF^?CAB;?CF=IAF↑?DF=DC；(4)S?ABF-.S沖燒COEf=2:5,其中

正確的結論有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】①根據(jù)四邊形ABCD是矩形,BE_LAC,可得NABC=/AFB=90。,又/BAF=/CAB,

于是AAEFs^CAB,故①正確；

②根據(jù)點E是AD邊的中點，以及AD〃BC,得出AAEFs∕?CBF,根據(jù)相似三角形對應邊

成比例，可得CF=2AF,故②正確；

③過D作DM〃BE交AC于N,得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=

IBC,得到CN=NF,根據(jù)線段的垂直平分線的性質可得結論，故③正確；

④根據(jù)ZiAEFsZ?CBF得到EF與BF的比值，以及AF與AC的比值，據(jù)此求事S△AEF=J

S?ABF,S?ABH==~SMiKABCD,可得SWiiκCnEH≈S?ACD-SAAEF=~S,ι∣;ABCD>即可得到S四邊形

612

CDEF=?S△ABF,故④正確.

【詳解】如圖，過。作。加〃8E交AC于M

???四邊形ABCO是矩形，

：.AD//BC,ZABC=90o,AD=BC,

???8E_LAC于點F,

：.ZEAC=ZACB,ZABC=ZAFE=90o,

：.?AEF^?C4B,故①正確；

?9AD∕∕BC,

ΔPAf

：.AAEFsACBF,.?.絲="，

BCCF

'：AE=AD=BC,

AP1

.?.美=J,.?.CF=2A凡故②正確，

CrN

*：DE〃BM,BE//DM,

???四邊形BMDE是平行四邊形，

；.BM=DE=qBC,：.BM=CM,

：.CN=NF,

于點凡DM//BE,

：.DNLCF,：.DF=DC,故③正確；

,.??AfF∞?CBF,

.EFAE

"BF

ΛS?AEF=?S?ABF,S?ABF=-S.ABCD,

J6

S?AEF=SηABCDt

又?.?S叫如CDEF=S4ACD-S?AEF=?SwABCD-?sABCD=?Sif.κABCD,

ΛS?ABF：StmiCDEF=2:5,故④正確；

故選D.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，圖形面積的計算，正確的作出

輔助線是解題的關鍵.

二、填空題

3.已知正方形。EFG的頂點尸在正方形ABCD的一邊AO的延長線上，連結AG,CE交于

點H,若AB=3,DE=五,則C”的長為.

【答案】岑

（分析】連接EG,與DF交于N,設CD和AH交于M,證明△ANGSADM,得到器=當,

NGAN

從而求出DM的長，再通過勾股定理算出AM的長，通過證明^ADG^?CDE得到

An4Λ4

ZDAG=ZDCE,從而說明△ADMSACHM,得到黑=不7，最后算出CH的長.

【詳解】解：連接EG,與DF交于N,設CD和AH交于M,

ΛZGNA=90o,DN=FN=EN=GN,

YNMAD=NGAN,NMDA=NGNA=90。，

???ZSANGSADM,

.DMAD

"~NG~'ANf

?：DE=M，

：.DF=EG=2,

ΛDN=NG=I,

*.βAD=AB=3,

.DM3

..-----=-----,

13+1

3

解得：DM=-,

4

9I--------------Q[?∏

.*.MC=—,AM=VAD2+DM2=------,

44

???ZADM÷ZMDG=ZEDG÷ZCDG,

ΛZADG=ZEDC,

在^ADG和△CDE中，

AD=CD

<ZADG=ZCDE,

DG=DE

ΛΔADG^ΔCDE(SAS),

.*.ZDAG=ZDCE,

VZAMD=ZCMH,

ΛZADM=ZCHM=90o,

Λ?ADM^ΔCHM,

.ADAM

uu~CH~~CMf

3√17

4

解得：CH=當.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，正方形的性質,

勾股定理，綜合性較強，解題的關鍵是找到合適的全等三角形和相似三角形，通過其性質計

算出CH的長.

4.如圖，正方形ABCD的邊長為8,線段CE繞著點C逆時針方向旋轉，且CE=3,連接BE,

以BE為邊作正方形BEF6,M為AB邊的中點，當線段FM的長最小時，IanZECB=

【答案】I

【分析】連接BD,BF,FD,證明AEBCsaFBD,根據(jù)題意，知道M,F,D三點一線時,

FM最小，然后過點M作MG_LBD,垂足為G,根據(jù)等腰直角三角形的性質、勾股定理分

別求出MG和DG的長，再根據(jù)正切的定義計算即可.

【詳解】解：連接BD,BF,FD,如圖,

?嘿嚶S

.BDBC

''~BF~~BE

VZFBD+ZDBE=45o,∕EBC+NDBE=45°,

ΛZFBD=ZEBC,

.?.?EBC^?FBD,

DFK

ΛZFDB=ZECB,—

CE

：.DF=√2CE=3√2,

由題意知：FM、DF、DM三條線段滿足FM+DF≥MD,其中DM、DF的值一定，

，當M,F,D三點一線時，F(xiàn)M最小，

過點M作MN_LBD,垂足為G,

VZMBN=450,BM=TAB=4,

；.MN=BN=2&,

YMD=AM2+AD2=√42+82=4√5,

22

,DG=y∣MD-MG=J(4√5)2-(20y?e&，

??/“a/m心MG2√21

??tan/ECB=tanZFDG=-----=--==-,

DG6√f23

故答案為：?.

【點睛】本題考查「正方形的性質，手拉手相似模型，銳角三角函數(shù)，勾股定理，三角形面

積，線段最值模型，熟練構造相似模型，準確確定線段最小值的條件是解題的關鍵.

5.如圖，在矩形4BCD中，E是AO邊的中點，BELAC于點R連接。凡分析下列結論：

①4AEFS^C4B;?CF=2AF；③OF=OC;?SCDEF=^SΔABF,其中正確的結論

【答案】①②③?

［分析］根據(jù)四邊形ABCD是矩形，BE_LAC,可得ZABC=ZAFE=90。，又ZEAC=ZACB,

于是AA￡FSAC4B,故①符合題意；根據(jù)點E是AD邊的中點，以及AD//BC,得出

ΔAEFSΔCBF,根據(jù)相似三角形對應邊成比例，可得b=2AF,故②符合題意；過。作

DMMBE交AC千N,得到四邊形BA〃汨是平行四邊形，求出==得到

CN=NF,根據(jù)線段的垂宜平分線的性質可得結論，故③符合題意；根據(jù)ΔAEFSACB廠得到

EF與M的比值，以及AF與AC的比值，據(jù)此求出5.防‰=^‰8cd.可

得S四邊形CDEf~SMCD-SMEF~丘'S矩形皿，即可得到與邊眩四=5SMBF，故④符合題意.

【詳解】解：如圖，過。作交AC1于N,交BC于M,

四邊形ABQ）是矩形，

ΛAD/∕BC.ZABC=90。，AD=BC,

ZEAC=ZACB,

BE工AC于點、F,

ZABC=ZAFE=90°,

.?.ΔAEFSAC4B,故①符合題意；

?,AD//BC,AD=BC,

.?.ΔAEFSAcB尸，而E是AD的中點，

AEAF1

..----=-----=—.

BCFC2

AF1

----=——,

CF2

.?CF=2AF,故②符合題意；

?：DE//BMyDM//BEt

???四邊形血〃組是平行四邊形，

:,BM=DE=-BC

21

.?BM=CM,CN=NF,

BE工AC于點、F,DM〃BE,

DNVCFi

.?.。7垂直平分。尸，

:.DF=DC,故③符合題意；

.ΔAEF^ΔCBF,

,AFEFAEI

FC-BF-BC-2,

?"?SdAEF=萬SΔABF，SχΛBF=/SVBFC=§SVABC=eS矩形AjBeO，

?'?SCM：F=WS矩形ABa），

—

乂S四邊形COEF=^MCD~SAAEF=-S矩物IBCD五S矩JgABCD=??S矩形AfiCD，

?,?S四邊形CDEF=2S?ABF，故④符合題意；

故答案①②③④.

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，圖形

面積的計算的綜合應用，正確作出輔助線是解題的關鍵.解題時注意，相似三角形的對應邊

成比例.

6.如圖，正方形A88中，點F是BC邊上一點，連接AF,以AF為對角線作正方形AEFG,

邊尸G與AC相交于點H,連接。G.以下四個結論：

?AEAB=ZBFE=ZDAG；

②AkCFsXQG:

③A"?AC=√∑4E2;

④。G_LAC

其中正確的是.（寫出所有正確結論的序號）

【答案】①②④

【分析】根據(jù)正方形的性質可知Nβ=NE=90。，有對頂角相等，可證NE4B=∕BFE,由

/E4G=/B4￡>=90?？勺CNE4B=ND4G,可判斷結論①正確：由K=F=及，

ZFAC=ZGAD,兩邊對應成比例且夾角相等即可得AACFSZviOG,UJ?判斷結論②正確；

由結論②可知NAb=NADG=45。，可得。G平分NAr>C,由正方形可知ACD是等腰直

角三角形，可推出OGj_4C,結論④正確：利用兩組角對應相等的兩個三角形相似可得

AJ-IA17

△ACF<^AAFH1根據(jù)相似的性質可得K=則A∕7?AC=A尸，又有A尸=2Af2,則

AFAC

結論③錯誤.

【詳解】解：設AB與M相交于點O,如圖所示,

Y四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，

ΛZB=ZE=90o,ZEAG=ZBAD=90°.

又：ZAOE=ZBOF9

JZEAB=ZBFE.

,.,ZEAG-ZBAG=ZBAD-ZBAG,

???ZEAB=ZDAG,

ZEAB=ZBFE=ZDAG,

故結論①正確；

?uAC.A尸是正方形A5C。和正方形AEFG的對角線,

:?AC=EAD,AF=√2ΛG,

.?.如="二5

ADAG

又,.?ZFAG=ZCAD=45°,

ZFAG-ZGAH=ZCAD-ZGAH,

即NE4C=NG4).

.?∕?ACF^∕?ADG.

故結論②正確；

由△ACFS/XADG可知AADG=ZACF=45°,

二。G平分N4)C.

,/.48是等腰直角三角形，

.?DGLAC.

故結論④正確；

,.?ZFAC=NHAF,ZACF=ZAFH=45°,

Δ.ACF^Δ,AFH,

.AHAF

??------=------,

AFAC

?*?AHAC=AF2.

??,在等腰直角AAEF中，AF-=IAE1，

∕?AH-AC=IAE1,

故結論③錯誤，

正確的結論是①②④，

故答案為：①②④.

【點睛】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性

質以及勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定定理證明三角形相似是解題的關鍵.

7.如圖，在一個12X13的網(wǎng)格中，點AB都在格點上，3=A8=8,點P是線段AB

上的一個動點，連接。P,將線段OA沿直線OP進行翻折，點A落在點C處，連接8C,以

BC為斜邊在直線BC的左側（或下方）構造等腰直角三角形BZ）C,則點P從A運動到B的

過程中，線段BC的長的最小值為,線段BD所掃過的區(qū)域內的格點的個數(shù)為

（不包含所掃過的區(qū)域邊界上的點）.

【答案】8√2-84

【分析】根據(jù)OB-OC≤5C僅當C在OB上時等號成立，由折疊性質可知。A=OC,從而求

出8C的最小值；再證明△OCBAADB,而且相似比為0：1,從而得出點。在以日。A

為半徑的圓弧AP上運動，由此畫出圖形即可得出格點的個數(shù).

【詳解】解：如圖，連接。8,AD.

Oo

?/OA=AB=8,NOAB=90o

?"?OB=>]OA2+AB2=8√2，

又OB-OC≤BC僅當C在08上時等號成立，

.?.8C的最小值=OB—OC,

又WC=GW=8,

BC的最小值=OB-OC=80-8，

Y,。?和，83C均為等腰直角三角形，

ΛZOBA=ZCBD=45°,—=—=√2,

ABBD

又?/NoBA=ZABC+ZOBC,ADBC=ZABC+ZABD,

ZOBC=ΛABD,

：.AOCBAADB,

.?.-^∣=-^=√2,即AO=&C=40,

ADBD2

.?.如圖：點。在以孝。4為半徑的圓弧ADl上運動，當點P與點A重合時，點。在R）處，

當點P與點8重合時，點。在R處，

線段BD所掃過的區(qū)域內的格點的個數(shù)為（不包含所掃過的區(qū)域邊界上的點）4個.

故答案為：8夜-8,4.

【點睛】本題主要考查了對稱變換和旋轉相似，解題關鍵是通過旋轉相似證明

AD=與OC=4五,從而得出點。在以孝OA為半徑的圓弧AR上運動，再根據(jù)畫圖得

出結論?

三、解答題

8.【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,在R2ABC中，NBAC=90。，AB=AC,O為斜邊BC上一點(不

與點8，C重合)，將線段Ao繞點A順時針旋轉90。得到AE,連接EC,則線段BO與CE

的數(shù)量關系是,位置關系是;

【探究證明】如圖2,在RQABC和RfAAOE中，ZBAC=ZDAE=90o,AB=AC,AO=

AE,將AADE繞點A旋轉，當點C,D,E在同一條直線上時，8。與CE具有怎樣的位置

關系，說明理由；

【拓展延伸】如圖3,在心ABCC中，ZBCD=90o,BC=2CD=4,過點C作C。于

A.將AACD繞點力順時針旋轉,點C的對應點為點E.設旋轉角NeAE為α(0yα<360°),

當C,D,E在同一條直線上時，畫出圖形，并求出線段8E的長度.

【答案】BD=CE,BD±CE;BDLCE,理由見解析：圖見解析，y

【分析】(1)證明ABAD絲ACAE,根據(jù)全等三角形的性質解答；

(2)連接BD,根據(jù)全等三角形的判定和性質以及垂直的定義即可得到結論；

(3)如圖3,過A作AFlEC,根據(jù)相似三角形的判定和性質以及勾股定理即可得到結論.

【詳解】解：(1)BD=CE,BDLCE-,

(2)BDYCE.理由如下：在RrZSABC和放AAOE中，AB=AC,AD=AE,ZAEC=45°,

"：ZCAB=ZDAE=90°,：.ABAD=ACAE,.".?CEA^?BDA,

ΛZBDA=ZA￡C=45°,ΛZBDE=ZBDA+ZADE=90o,LBDLCE.

(3)如圖所示，過點A作A凡LCE,垂足為點F.

根據(jù)題意可知，RtxABCSRt&AED,ZBAC=ZEAD,

.ABAC.ABAE

"~AE~~AD'"~AC~~AD'

`:NBAC=ZEAD=90o,：.ZBAE=ZCAD,：.∕?BAE^ACAD,

：.ZBEA^ZCDA,ZBEC+ZDEA=ZDEA+90o,

ΛZBEC=90o,：.BE±CE.

在旋轉前，在必△BCD中，ZBCD=9O°,8C=2CD=4,

?'?BD=y∣BC2+CD2≈2√5-^?'AC±BD,

114

Λ5BCD=-BDAC=-BD-ACf：.AC=-j=,

在心AACD中，CO邊上的高〃=嗓/=S,旋轉后，得AF="

【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性

質，勾股定理，等腰三角形的性質等知識點，關鍵是添加恰當輔助線.

9.如圖，在正方形ABCO中，點P在對角線BO上，直線AP交C。于￡,PFLAE交BC

于點凡連接AF交BO于M.

(1)判斷△APF的形狀，并說明理由；

⑵連接EF,求EF:PM的值.

【答案】(I)AAPF是等腰直角三角形，理由見解析

(I)EF-/'M=2:√2.

(分析］(1)過點尸作PG，BC于點G,交于點H,根據(jù)正方形的性質證明4APgAPFG,

即可得結論；

(2)將4AQE繞點A順時針旋轉90。得到△ABN,利用全等三角形的性質證明/AFN=NAFE,

然后證明△可得EF：PM=AP:AF,根據(jù)△A尸尸是等腰直角三角形，進而可

以解決問題.

(1)

解：AAPF,是等腰直角三角形，理由如下：

如圖，過點P作PGLBC于點G,交AD于點H,

IGH=CD,

???四邊形ABCo是正方形,

ΛZΛDB≈45o,AD^CD,

'：ZPHD=90o,

：.NHPD=45。,

：.HD=HP,

：.AH=GP,

9CPFLAE,

：.NAPF=90。,

ZAPH+ZFPG=9Qo,

β/ZMH÷ZAPH=90o,

：.ZPAH=ZFPG9

在△河尸”和4PFGψ,

ZPAH=NFPG

<AH=PG,

NAHP=NPGF=90°

:,AAPHqAPFG(ASA),

IAP=FP,

???△AP/是等腰直角三角形；

(2)

解：如圖，將AAOE繞點A順時針旋轉90。得到AABM

oo

VZADE=ZABN=WfZABC=W9

o

：.ZABC+ZABN=ISO9

ΛC,B,N共線，

VZEΛF=450,

/.NNAF=NFAB+NBAN=NFAB+NDAE=45。,

：./FAE=/FAN,

在^EAN和^MEψ,

AF=AF

<ZFAN=ZFAEf

AN=AE

：.AFAN^∕?FAE(SAS),

/.ZAFN=ZAFE9

O

VZFMB=ZAMP1ZMBF=ZPAM=45,

NBFM=NAPM,

：.NAPM=NAFE,

：.ΛAPM^ΛAFE,

J.EF?.PM=AP：AF,

由(1)知：AAP尸是等腰直角三角形，

：.AF：4尸=2：√2.

：.EF：PΛ∕=2:√2.

【點睛】本題屬于幾何綜合題，考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形

的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，

構造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考題的壓軸題.

10.某校數(shù)學活動小組探究了如下數(shù)學問題：

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,ABC中，ZBAC=90°,AB=AC.點尸是底邊BC上一點，連接

AP,以”為腰作等腰RtΛAPQ,且ZPAQ=90°,連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關系是

(2)變式探究：如圖2,_ABC中，ZfiAC=90o,AB=AC.點P是腰AB上一點，連接CP,

以CP為底邊作等腰RtACPQ,連接A。，判斷8P和AQ的數(shù)量關系，并說明理由；

(3)問題解決：如圖3,在正方形ABeQ中，點P是邊BC上一點，以OP為邊作正方形DPEF,

點Q是正方形OPEF兩條對角線的交點,連接CQ.若正方形OPEr的邊長為√10,Cβ=√2,

求正方形ABC。的邊長.

【答案】(I)BP=CQ

Q)BP=CAQ

(3)3

【分析】(1)根據(jù)已知條件利用邊角邊證明絲eAC。，再利用全等三角形的性質即可

得到BP和CQ的數(shù)量關系；

(2)根據(jù)任意等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比是相等的，利用兩邊長比例且夾角相等

的判定定理證明ACBPsac4Q,之后再由相似三角形對應邊成比例即可得到BP和A。的

數(shù)量關系；

(3)連接8。，如圖(見詳解)，先由正方形的性質判斷出ABCD和aPQD都是等腰直角

三角形，再利用與第二問同樣的方法證出a8OPSz?cr>Q,由對應邊成比例，依據(jù)相似比

求出線段BP的長，接著設正方形ABCD的邊長為X,運用勾股定理列出方程即可求得答案.

(I)解：:AAPQ是等腰直角三角形，NPAQ=90。，在ASC中，ZBAC=90o.AB^AC,

：.AP=AQ,ZBAP+ZPAC=ZCAQ+ZPAC,：.ZBAP=ZCAQ,在=ABP和.ACQ中，

AB=AC

<NBAP=ZCAQ,：.?AβP^ΔACβ(5A5),.*.BP=CQ.

AP=AQ

(2)解：判斷BP=√∑A°,理由如下：；CP。是等腰直角三角形，:ABC中，Nfi4C=90。，

AB=AC,.?.空=生=立，ZACB=ZQCP=45°,"

PCBC2

ZBCP+ZACP=ZACQ+ZACP^45o,：.ABCPAACQ,：.Δ,CBP^ΛCAQ,：.

史=生=絲=也，：.BP=立AQ；

PCBCBP2

4----------M

//

//I?

(3)解：連接BQ,如圖所示，ρ?.?四邊形ABc。與四邊形。尸所

I*,L<\/

BpC

E

是正方形,DE與PF交于點Q,：.ABCD和XPg都是等腰直角一角形，二變=C2=也，

PDBD2

NBDC=ZPDQ=45。.'：ZBDP+ZPDC?ZCDQ+ZPDC=45o,ΛZBDP=ZCDQ,：.

∕?BDPs∕?CDQ,.?.絲=烏=絲=叵：CQ=C,：.BP=-JlCQ=2.在RIAPCD

PDBDBP2

2

中，CDr+CP=DP-,設C?>=x,則CP=X-2,又：正方形。尸EF的邊長為JiU

DP=√iiθ,Λx2+(x-2)2=(√iθ)2,解得Xl=-I(舍去)，々=3.正方形ABCO的邊長

為3.

【點睛】本題是一道幾何綜合題，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性質，以及正方

形和等腰三角形的性質，正確識圖并能熟練地掌握幾何圖形的性質與判定定理進行證明是解

題的關鍵.

11.［問題發(fā)現(xiàn)］

(1)如圖1,在RMABC中，AB=AC,ABAC=90°,點。為BC的中點，以8為一邊作正

方形CQEF,點E與點A重合，已知AACFSASCE.請直接寫出線段BE與AF的數(shù)量關系；

［實驗研究］

(2)在(1)的條件下，將正方形CDEF繞點C旋轉至如圖2所示的位置，連接BE,CE,AF.請

猜想線段5E和AF的數(shù)量關系，并證明你的結論；

［結論運用］

(3)在(1)(2)的條件下，若ΔA3C的面積為8,當正方形CDEF旋轉到B,E,F三點共

線時，請求出線段4尸的長.

【答案】(A)BE=近AF

Q)BE=6AF，證明見解析

(3)線段AF的長為-2或2百+2

【分析】⑴先判斷出△的￡?為等腰直角三角形，進而求出AB=√∑4D,即可得出結論；

(2)先利用三角函數(shù)得出發(fā)=隹，證明夾角相等即可得出進而求出結論;

BCEC

(3)分兩種情況計算，當點E在線段8尸上時，先用勾股定理求出EF=CF=4。=血，

BF=E即可得出BE=#-?,借助(2)得出結論；當點E在線段B尸延長線上同前一種

情況一樣即可得出結論.

(1)

解：,AB=AC,/84C=90。，

.-.ZB=ZACB=45°,

四邊形CDE尸是正方形，

:.EF=CF,ZF=90o,

；.NFEC=NFCE=45°,

.-.ZFEC=ZB,NFCE=ZACB,

;點E與點A重合，

.?.NFEC=NFAC=NB,ZFCE=ZFCA=ZACB,AB=BEf

.?ΔACF^ΔBCE;

.AFAC

一~AB~~BC1

AC.n.4:0V2

----=smπ=sin45o=——,

BC----------------------2

.AFyf2

??=—,

BE2

.?BE=√2ΛF;

(2)

解：BE=OAF.

證明:由(1)得,=SinB=sin45°=也^，

BC2

四邊形CDE尸是正方形，

.?.EF=CF,NEFC=900,

.?./FEC=NFCE=45。,

—=sinZFEC=sin450=—,

EC2

...-A-C=-F--C=—42,

BCEC2

ZACF=ZBCE=45°-ZACE,

.?.ΔACF^ΔBCE,

.AFACy∣2

:.BE=CAF;

(3)

解：如圖1,AB=AC,NB4C=90。，點。為BC的中點,

/.AD=-BCAD1BC、

2f

BC=2AD,

AABC的面積為8,

.?.-BCAD=S,

2

.?.AD1=8，

.?.AD=2y∕2,

:.BC=40,

一點E與點A重合，四邊形8E尸是正方形，

EF=CF=DE=AD=2五;

如圖2,B、E、尸三點共線且點E在線段BF上，

A

圖2

NBFC=90。，

.?.BF=√BC2-CF2=√(4√2)2-(2√2)2=2√6，

BE=BF-EF=2√6-2√2,

BE=近AF.

?,?√2AF=2√6-2√2,

.?.ΛF=2√3-2;

如圖3,B、E、F三點共線且點F在線段BE上,

則BE=BF+EF=2&+2正，

BE=√2AF.

√2AF=2√6+2√2，

.?.Af=2√3+2,

綜上所述，線段AF的長為26-2或2√5+2.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，以及等腰直角三角形的性質，正方形性質和

旋轉性質，分類討論和畫出圖形是解決本題的關鍵.

12.如圖1,已知點G在正方形ABCD的對角線AC上，GELBC,垂足為點E,GFVCD,

垂足為點F.

(1)證明：四邊形CEG尸是正方形；

（2）探究與證明：將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉α角（0o<a<45o）,如圖2所示，

試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關系，并說明理由；

（3）拓展與運用：正方形CEG尸繞點C順時針方向旋轉a角（0。<。<45°）,如圖3所示,

當8,E,尸三點在一條直線上時，延長CG交AD于點”，若AG=9,G∕7=3√2.求BC

【答案】（1）答案見解析；（2）AG=近BE；理由見解析；（3）BC=當.

【分析】（1）先說明GE_L8C、G凡LCD,再結合/8。。=90。可證四邊形CEG/是矩形，再

由∕ECG=45。即可證明：

（2）連接CG,證明4ACGsZ?8CE,再應用相似三角形的性質解答即可；

CHAH

（3）先證△A∕∕Gs∕^CHA可得---=----=----,設3C=CZ）=AO=a,則AC=

ACAHCH

求出A"=1a,DH=^a,6=半。最后代入即可求得”的值.

【詳解】（1）???四邊形ABeO是正方形，

ΛZBCD=W°,ZBCA=45°,

,：GELBC.GFLCD,

：.ZCEG=ZCFG=NECF=90。，

，四邊形CEG尸是矩形，NCGE=NECG=45。,

：.EG=EC,

四邊形CEGF是正方形.

（2）結論:AG=√2BE；

由旋轉性質知NBCE=/ACG=a,

在RtXCEG和RtACBA中，

CE.√2

——=cos4λ5o=—,

CG2

=θ=,

CAcos452

Λ∞=ɑ=√2,

CECB

：.?ACGsABCE,

???任衛(wèi)=也

BECB

???線段AGH8￡之間的數(shù)量關系為AG=√2BE；

(3)VZCEF=45o,點5、E、尸三點共線，

；?NBEC=135。，

?.?LACGS∕?BCE,

：.ZAGC=ZBEC=135°,

NAGH=NC4〃=45。，

?：NCHA=NAHG,

:.AAHGsACHA,

.AGGHAH

,,AC-A77^CH,

設5C=CO=AO=m則Aoa小

,AGGH,曰93√2

由就=而,得忘二下’

2

.,.AH=-a,

3

則DH=AD-AH=?a,CH=?∣CD2+DH2=—a,

33

2

.AG=AHJ_=_1二，

'?ACCH'”也a√?

---a

3

解得：“=竺，即BC=噸.

22

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查相似形的判定和性質、正方形的性質等知識點,

解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題并利用參數(shù)構建方程解決問題.

13.如圖，,AeC和VAZ)E是有公共頂點直角三角形，NB4C=NDAE=90。，點P為射線30,

CE的交點.

D

D

圖1圖2備用圖

（1）如圖I,若ABC和V4）E是等腰直角三角形，求證：CPLBD；

（2）如圖2,若NAL應=NA6C=30。，問：（1）中的結論是否成立？請說明理由.

（3）在（1）的條件下，AB=A,AD=3,若把VADE繞點A旋轉，當NE4C=90。時，請

直接寫出P8的長度

【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）P8的長為］4或128.

【分析】（1）由條件證明△ABA<Z?4CE,即可得/ABO=NACE,可得出/BPC=90。，進

而得出BDLCP-,

（2）先判斷出△ADBs/XAEC,即可得出結論;

（3）分為點E在A8上和點E在AB的延長線上兩種情況畫出圖形,然后再證明△PEBS∕?AEC,

最后依據(jù)相似三角形的性質進行證明即可.

【詳解】解：（I）證明：如圖，

ZBAE+ZCAE=ZBAD+ZBAE,

ZBAD=ZCAE.

???AfiC和VADE是等腰直角三角形,

AD=AE,AB=AC

在aABQ和AACE中，

AD=AE

■ZBAD=ZCAE,

AB=AC

：.?ABD^?ACE(SAS),

ZABD^ZACE.

,/ZCAB=90°,

：.ZACF+ZAFC=90o,

/.ZABP+ZBFP=90o.

/.NBPF=90。,

：?BDlCP；

(2)(1)中結論成立，理由：

在心ZkABC中，NA8030。，

ΛAB=√3AC,

在RAAOE中，ZΛDE=30o,

：.AD=JjAEf

.ADAE

**AB^AC

9：ZBAC=ZDAE=90?

：?/BAD=/CAE,

：.?ΛDβ^?ΛEC.

ZABD=ZACE

同(1)得CP上BD；

(3)解：???，ABC和VAz)E是等腰直角三角形,

ΛAD=AJE=3,AB=AC=4

①當點E在A8上時，BE=AC-AE=L

CE=7AE2÷AC2=√32+42=5.

同(1)∏TiiE?ΛDθ^ΔΛEC.

，ZDBA=ZECA.

?：NPEB=NAEC,

：?BEBsAAEC.

.PBBE

,u~AC~~CE

.PB1

??—=—.

45

②當點E在84延長線上時，BE=5.

綜上所述，P8的長為力4或告28.

【點睛】此題主要考查的是旋轉的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的性質和判定、相

似三角形的性質和判定，證明得△PEBsz?4EC是解題的關鍵.

14.一次小組合作探究課上，老師將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點&A、。在同

一條直線上），發(fā)現(xiàn)BE=DG且BElDG.

小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：

（1）將正方形WG繞點A按逆時針方向旋轉（如圖I）,還能得到BE=DG嗎？若能，請

給出證明，請說明理由；

（2）把背景中的正方形分別改成菱形4小G和菱形ABa）,將菱形AEFG繞點A按順時針方

向旋轉（如圖2）,試問當/EAG與/34Q的大小滿足怎樣的關系時，BE=DG-,

?pAR2

（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形AEFG和矩形ABCD,S.-=-=-,AE=2a,

AGAD3

AB=Ib（如圖3）,連接DE,BG.試求OE2+8G2的值（用a,b表示）.

【答案】(I)見解析；(2)當NE4G=NBAD時，BE=DG`理由見解析；(3)13a2+13?2.

【分析】(1)由正方形的性質得出AE=AG,ZE4G=90o,AB=AD,ZBAD=90°,得

出∕E4B=∕G4f>,則可證明AAEB絲AAGO(SAS),從而可得出結論；

(2)由菱形的性質得出Λfi=AG,AB=AD,則可證明△用之aAGf>(?S4S),由全等三

角形的性質可得出結論；

(3)設BE與。G交于Q,BE與AG交于點尸，證明AE48SZ?G4Z),得出NEBA=NGD4,

得出G￡>_L￡B,連接EG,BD,由勾股定理可求出答案.

【詳解】(1)：四邊形AERJ為正方形，

ΛAE=AG,ZE4G=90°,

又?；四邊形ABCO為正方形，

?AB=AD,ΛBAD=90o,

：.ZEAG-ZBAG=ΛBAD-ZBAG

：.ZEAB^ZGAD,

在AAE8∕ffUAG。中，

AE^AG

-NEAB=ZGAD,

AB=AD

：.ΛAEB^ΛAGD(SAS),

BE=DG-,

(2)當ZE4G=∕β4f>時，BE=DG,

理由如下：

?.?AEAG=ABAD,

:.ZEAG+ZBAG=NBAD+NBAG

：.NEAB=NGAD,

又V四邊形AEFG和四邊形ABCZ)均為菱形，

ΛAE=AG,AB=AD,

在A4E8和△AGD中，

AE=AG

NEAB=ZGAD,

AB=AD

：.ΛAEB^ΛAGD(SAS),

：?BE=DG;

(3)設BE與OG交于Q,破與AG交于點P,

由題意知，AE=2af

AEAB2

—=—=-,ZEAB=ZGDA=90o+ZGAB,

AGAD3

/.AEAβsAGAD,

:./EBA=NGDA,

?.?AADB+ZABD=ZGDA+ZQDB+ZABD=90°,

/.∕QDB"QBD=/EBA+NQDB+ZABD=90°,

：.GDlEB,

連接EG,BD,

.β.ED2+GB2

=EQ2+QD2+GQ2-^QB2

=EG-BD"

..AEAB2

?==—,AE=2a,AB=2b,

AGAD3

.β.AG=3a?AD=3b,

在RmEAG中,山勾股定理得：EG2=AE2+AG2，同理BD2=AB2+AD2，

.*.ED2+GB2

=(2a)2+(30)2+(2?)2+(36)2

=13a2+13?2.

【點睛】本題考查了矩形、菱形、正方形的性質，三角形全等的判定與性質，三角形相似的

判定與性質，勾股定理等知識，熟練掌握特殊平行四邊形的性質是解題的關鍵.由(3)可得

結論：當四邊形的對角線相互垂直時，四邊形兩組對邊的平方和相等.

15.在AABC中，AB=AC,N84C=α,點尸是AABC外一點，連接3P,將線段BP繞點尸

逆時針旋轉α得到線段PZx連接B。，CD,AP.

觀察猜想:

圖1圖2圖3

（1）如圖1,當α=60。時，WCD的值為，直線Co與AP所成的較小角的度數(shù)為°；

AP

類比探究：

CD

（2）如圖2,當α=90。時，求出W的值及直線。。與AP所成的較小角的度數(shù)；

AP

拓展應用：

（3）如圖3,當α=90。時，點E,F分別為AB,4C的中點，點尸在線段FE的延長線上，

點4,D,尸三點在一條直線上，BD交PF于點G,CD交AB于點H.若CO=2+√5,求

8。的長.

【答案】（1）1,60；（2）絲=6,直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為45。；（3）BD

AP

=√2.

【分析】（1）根據(jù)α=60。時，4ABC是等邊三角形，再證明△PBA絲Z?DBC,即可求解，

再得到直線Cz）與AP所成的度數(shù)；

（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質證明^PBAS∕?DBC,再得到三二:石，再根據(jù)相似三角

APAB

形的性質求出直線CO與AP所成的度數(shù)；

（3）延長SC相交于點K,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質及中位線定理證得

=ZKCD,由（2）的結論求出AP的長，再利用在MAP8D中，設PB=PD=x,由勾股定

理可得BD=√2x^AD,再列出方程即可求出X,故可得到BD的長.

【詳解】（1）Va=60o,AB=AC,

,△ABC是等邊三角形，

：.AB=CB

V將線段BP繞點P逆時針旋轉a得到線段PD,

...△8DP是等邊三角形，

LBP=BD

'：ZPBA=ZPBD-ZABD=60o-ZABD,ZDBC=ZABC-ZABD=6Qo-ZABD,

：.NPBA=NDBC

.MPBA0?J)BC,

：.AP=CD

如圖，延長Co交A3,"分別于點G,”，則NAHC為直線CQ與”所成的較小角,

?u∕?PBA^ΔDBC

,NFAB=NDCB

?；NHGA=/BGC

ZAHC=ZABC=GOO

故答案為：1,60；

A

(2)解：如圖，延長CD交48,AP分別于點M,CL則NANC為直線CD與AP所成的較

小角，

BC

,O

:AB=ACfZBAC=909

：.NABC=45。.