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文檔簡介
小升初數(shù)學知識點總結(小考復習精編專項講義)六年級數(shù)學小升初復習系列:(數(shù)與式知識點梳理大全)第一章:數(shù)的認識(一)整數(shù)一、概念:整數(shù)1.整數(shù)的意義:整數(shù)主要包括自然數(shù)和負整數(shù)。2.自然數(shù):用來表示物體數(shù)量的0,1,2,13、19、25……叫做自然數(shù)。特別要注意的:0也是自然數(shù),很多同學都會忽略這點。3.計數(shù)單位:個(一)、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億、十億……都是計數(shù)單位。十進制計數(shù)法:每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率是10。4.數(shù)位:計數(shù)單位按照一定的順序從右到左(從小到大)排列起來,所處的位置就叫做數(shù)位。例如:356013、5、6、0、1這樣的每個數(shù)都對應了一個數(shù)位。二、數(shù)的整除:1.整除:整數(shù)x除以整數(shù)y(y≠0),除得的商是整數(shù)(沒有余數(shù)),那么x就能被y整除。2.如果數(shù)x能被數(shù)y(b≠0)整除,同時,x就叫做y的倍數(shù);y就叫做x的因數(shù)。倍數(shù)和因數(shù)是相互存在的,必須兩個一起說才有存在的意義。例如:45能被5或9整除,所以45是5或9的倍數(shù),5或9是45的因數(shù)。3.一個數(shù)分解出來的因數(shù)的個數(shù)是有限的,這個數(shù)最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)是它本身。例如:8的因數(shù)有1、2、4、8,其中最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)是其本身8。4.一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的,其中最小的倍數(shù)是它本身,沒有最大的倍數(shù)。例如:5的倍數(shù)有:5、10、15、20、25……其中最小的倍數(shù)是5,沒有最大的倍數(shù)。5.整除的特殊類型:(1)個位上的數(shù)是0、2、4、6、8的數(shù),屬于偶數(shù),都能被2整除。例如:2、80、14,36類似此類數(shù)都能被2整除。(2)個位上的數(shù)是0或5的數(shù),都能被5整除,例如:5、35、70、125類似此類數(shù)都能被5整除。(3)一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)的和能被3整除時,這個數(shù)就能被3整除,例如:18、48、126、522類似此類數(shù)都能被3整除。(4)一個數(shù)的末兩位數(shù)能被4整除,這個數(shù)就能被4整除。例如:116、540、1428類似此類數(shù)都能被4整除。(5)一個數(shù)的各位數(shù)字之和能被6整除,且是偶數(shù)時,這個數(shù)就能被6整除。例如:156、2808、1302類似此類數(shù)都能被6整除。三、奇數(shù)與偶數(shù):(1)能被2整除的數(shù)就叫做偶數(shù)。特別的:0也是偶數(shù)。(2)整數(shù)除了偶數(shù)外,還有奇數(shù)。因此,不能被2整除的數(shù)就叫做奇數(shù)。因此:自然數(shù)按能否被2整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。(3)奇數(shù)與偶數(shù)的運算關系:奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)-奇數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)-偶數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)(二)質(zhì)數(shù)與合數(shù)1、質(zhì)數(shù):一個數(shù)如果分解后,只有1和它本身兩個因數(shù),那么這樣的數(shù)就叫做質(zhì)數(shù)。例如:30以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。注意:(1)質(zhì)數(shù)又稱素數(shù),在自然數(shù)內(nèi)有無限個。一個大于1的自然數(shù),除了1和它本身外,不能被其他自然數(shù)整除。(2)最簡分數(shù):當分數(shù)的分子和分母互質(zhì)時(只有公因數(shù)1),即為最簡分數(shù)。2、合數(shù):一個數(shù),如果除了1和它本身之外,還有別的因數(shù),那么這樣的數(shù)就叫做合數(shù)。例如:4、6、8、9、12、24、100都是合數(shù)。3、特別的:1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。自然數(shù)除了0和1外,不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。4、分解質(zhì)因數(shù):把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式分解出來,就叫做分解質(zhì)因數(shù)。注意:每個合數(shù)都能寫成若干個質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中的每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù),并且叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。例如:12=2×2×3,2和3就叫做12的質(zhì)因數(shù)。(三)公因數(shù)和公倍數(shù)一、公因數(shù):如果幾個數(shù)公有相同的若干個因數(shù),那么這些因數(shù)就叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)。二、最大公因數(shù):1、幾個公因數(shù)當中,最大的那一個,就叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。2、若較小數(shù)是較大數(shù)的因數(shù),那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。例如:9的因數(shù)有1、3、9;12的因數(shù)有1、2、3、4、6、12。其中,1、3是9和12的公因數(shù);3就是它們的最大公因數(shù)。特別的:公因數(shù)只有1的兩個數(shù),叫做互質(zhì)數(shù),簡稱“互質(zhì)”。換句話說,如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù),那么它們的最大公因數(shù)就是1。成互質(zhì)關系的兩個數(shù),有下列幾種情況:1、任何自然數(shù)和1互質(zhì)。2、不同的兩個質(zhì)數(shù)互質(zhì)。3、相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)。4、當合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的整數(shù)倍時,它們也互為質(zhì)數(shù)。5、0與任何質(zhì)數(shù)不能存在互質(zhì)關系。例如:4和7互質(zhì);16和11互質(zhì);25和13互質(zhì)。6、當兩個合數(shù)的公因數(shù)只是1時,這兩個合數(shù)也會互質(zhì)。三、公倍數(shù):如果幾個數(shù)公有相同的倍數(shù),那么這些倍數(shù)叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)。四、最小公倍數(shù):1、幾個公倍數(shù)中存在最小的一個,且這個公倍數(shù)就叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。例如:4的倍數(shù)有4、8、12、16、20、24……3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18、21、24……其中12、24……就是4和3的公倍數(shù);而12是它們的最小公倍數(shù)。2、較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù),那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。3、如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù),那么這兩個數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。例如:4和5是互質(zhì)數(shù),那么它們的最小公倍數(shù)就是:4×5=204、幾個數(shù)的公因數(shù)的個數(shù)是有限的;而它們的公倍數(shù)的個數(shù)卻是無限的。(四)小數(shù)一、小數(shù)1、小數(shù)的意義:(1)把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份、10000份……,得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾、萬分之幾……都可用小數(shù)來表示。例如:(2)反過來,一位小數(shù)表示十分之幾,兩位小數(shù)表示百分之幾,三位小數(shù)表示千分之幾、四位小數(shù)表示萬分之幾……等。例如:(3)一個小數(shù)通常由整數(shù)部分、小數(shù)點和小數(shù)部分組成。整個數(shù)中的小圓點叫做小數(shù)點;小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分;小數(shù)點右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。例如:(4)在小數(shù)里,每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都10。因此,整數(shù)部分的最低單位是“一(也叫個)”,其相鄰兩個數(shù)之間的進率是10;小數(shù)部分的最高分數(shù)單位是“十分之一”,其相鄰兩個數(shù)之間的進率也是10。2、小數(shù)的讀寫:(1)含有整數(shù)部分和小數(shù)部分的小數(shù)讀法:先讀整數(shù)數(shù)位,再讀小數(shù)點,最后讀小數(shù)數(shù)位。小數(shù)部分:非零數(shù)字前的0都要讀,而末尾的0則不讀。整數(shù)部分:之前整數(shù)讀法一樣,每級末尾不管有幾個0都不讀,其他數(shù)位上有一個0或連續(xù)幾個0,都只讀一個0。例如:23.02030讀作:二十三點零二零三300102.005100讀作:三十萬零一百零二點零零五一(2)含有整數(shù)部分和小數(shù)部分的小數(shù)寫法:寫數(shù)要按照從左到右、從高位數(shù)寫到低位數(shù)的方法。要按照“億、萬、個、十分……”的數(shù)級單位來讀寫。例如:五百零三萬零二十七點零三零零一六寫作:5030027.030016二、小數(shù)的分類1、純小數(shù):整數(shù)部分是零的小數(shù),叫做純小數(shù)。例如:0.152、0.0237都是純小數(shù)。2、帶小數(shù):整數(shù)部分不是零的小數(shù),叫做帶小數(shù)。例如:2.185、15.0960都是帶小數(shù)。3、有限小數(shù):小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù),叫做有限小數(shù)。例如:21.71、28.03、10.083都是有限小數(shù)。4、無限小數(shù):小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù),叫做無限小數(shù)。例如:4.3031……;3.1415926……注意:無限小數(shù)與有限小數(shù)無法簡單的以定義來確定大小,必須結合具體小數(shù)的大小。5、無限小數(shù)又分為無限不循環(huán)小數(shù)和循環(huán)小數(shù)(1)無限不循環(huán)小數(shù):一個數(shù)的小數(shù)部分,數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限個,這樣的小數(shù)就叫做無限不循環(huán)小數(shù)。例如:Π,2.1231591268728……(2)循環(huán)小數(shù):一個數(shù)的小數(shù)部分,有一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷重復出現(xiàn),這個數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。例如:3.205205205……一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分,依次不斷重復出現(xiàn)的數(shù)字部分叫做這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。例如3.205205205……里面的“205”就是循環(huán)節(jié)。(a)純循環(huán)小數(shù):循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的,叫做純循環(huán)小數(shù)。例如:6.11111……;(b)混循環(huán)小數(shù):循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的,叫做混循環(huán)小數(shù)。例如:7.031525252……;(3)為了簡便,寫循環(huán)小數(shù)時小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個循環(huán)節(jié),并在這個循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點一個圓點即可。特別的:如果循環(huán)節(jié)只有一個數(shù)字,那么就只在它的上面點一個點即可。(五)分數(shù)一、分數(shù)的概念1、分數(shù)的意義把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或者幾份的數(shù)就叫做分數(shù)。在分數(shù)里,中間的橫線“—”叫做分數(shù)線,也叫分號;分數(shù)線下面的數(shù),叫做分母,表示把單位“1”平均分成多少份;分數(shù)線上面的數(shù)叫做分子,表示有這樣的分數(shù)單位多少份。2、分數(shù)單位把單位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的數(shù),叫做分數(shù)單位。例如:59的分數(shù)單位就是193、分數(shù)的分類(1)真分數(shù):分子比分母小的分數(shù)叫做真分數(shù);真分數(shù)小于1。例如:這些就是真分數(shù)。(2)假分數(shù):分子比分母大或者分子和分母相等的分數(shù),叫做假分數(shù)。假分數(shù)大于或等于1。例如:85,1111,(3)帶分數(shù):假分數(shù)可以寫成整數(shù)與真分數(shù)合成的數(shù),通常叫做帶分數(shù)。例如:這些就是帶分數(shù)。4、分數(shù)的讀法讀分數(shù)時,先讀分母再讀“分之”然后讀分子,分子和分母按照整數(shù)的讀法來讀。例如:8155、分數(shù)的寫法寫分數(shù)時,先寫分數(shù)線,再寫分母,最后寫分子,按照整數(shù)的寫法來寫。例如:六分之五,寫作:5二、分數(shù)的約分和通分1、約分:把一個分數(shù)化簡成同它大小相等但分子、分母都縮小的分數(shù),叫做約分。換句話說,分子、分母是互質(zhì)數(shù)的分數(shù),叫做最簡分數(shù)。例如:這就是分數(shù)的約分。分數(shù)的約分,要先找出分子與分母的最大公因數(shù),然后分子與分母同時除以這個最大公因數(shù),從而進行約分。2、通分:把各個異分母分數(shù)分別化成和原來分數(shù)相等,且分母都變得相同的同分母分數(shù),就叫做通分。例如:就是通成同分母分數(shù)的通分。分數(shù)的通分,主要先算出各分母的最小公倍數(shù),然后每個分數(shù)的分母都變成該“最小公倍數(shù)”。同時,分子也跟著擴大與分母擴大相同的倍數(shù),從而進行通分。三、倒數(shù)1、將一個分數(shù)的分子和分母交換位置后,就變成了原分數(shù)的倒數(shù);并且,互為倒數(shù)的兩個數(shù)之積為1。2、整數(shù)的倒數(shù)是分數(shù);真分數(shù)的倒數(shù)是假分數(shù);假(帶)分數(shù)的倒數(shù)是真分數(shù)。3、乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù),倒數(shù)不是單獨存在的,不能說某個數(shù)是倒數(shù),要說明誰和誰互為倒數(shù)。4、0沒有倒數(shù)。(六)百分數(shù)和正負數(shù)一、百分數(shù)1、百分數(shù):表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分數(shù),也叫做百分率或百分比。2、百分號:百分數(shù)通常用數(shù)后面加“%”來表示。百分號是表示百分數(shù)的專有符號。例如:30%、25.6%、89.3%這些都是百分數(shù)。3、小數(shù)、分數(shù)和百分數(shù)的相互換算:(1)小數(shù)化成百分數(shù):只要把小數(shù)點向右移動兩位,同時在數(shù)的后面添上百分號“%”即可。例如:2.36=23.6%;0.037=3.7%(2)百分數(shù)化成小數(shù):把百分數(shù)化成小數(shù),只要先把百分號“%”去掉,同時把小數(shù)點向左移動兩位。例如:25.6%=0.256;86%=0.86(3)分數(shù)化成百分數(shù):通常要先把分數(shù)化成小數(shù)(商有余數(shù),除不盡時,通常保留三位小數(shù)),再把小數(shù)化成百分數(shù)。例如:(4)百分數(shù)化成分數(shù):先把百分數(shù)的百分號去掉,改寫成小數(shù);再化成分數(shù),能約分的要約成最簡分數(shù)。例如:4、出勤率和缺勤率出勤率與缺勤率:是指出(缺)勤的人數(shù)占總人數(shù)的百分之幾。計算方法為:二、數(shù)的意義1、整數(shù)像…-5、-2、-1、0、1、4、6…這樣的數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù);整數(shù)個數(shù)是無限個;沒有最小的整數(shù),也沒有最大的整數(shù)。2、正整數(shù)和負整數(shù)像5、8、10、16…這樣的數(shù)叫做正整數(shù);像…-7、-6、-3…這樣的數(shù)叫做負整數(shù);最小的正整數(shù)是1,沒有最大的正整數(shù);最大的負整數(shù)是-1,沒有最小的負整數(shù)。3、自然數(shù)最小的自然數(shù)數(shù)是0,沒有最大的自然數(shù);自然數(shù)都是整數(shù)。但整數(shù)不一定都是自然數(shù)。三、正數(shù)和負數(shù)1、正數(shù)像+8、120、920、1.28…這些大于0“+”讀作“正”…,“+”后面加什么數(shù)(幾)就讀“正幾”。例如:+59讀作:正五十九在數(shù)的前面加“+”,但是正數(shù)的“+”號可以省略不寫。2、負數(shù)像-12、-20、-π、-1318、-3.266…這些小于“-”讀作負…,“-”后面加幾就讀“負幾”。例如:-28讀作:負二十八在數(shù)的前面加“-”,“-”不可以省略。例如:負三分之一,寫作:-13、特別的,0既不是正數(shù)也不是負數(shù)。第二章:數(shù)和數(shù)的運算(一)數(shù)的讀法和寫法一、整數(shù)的讀法和寫法1、整數(shù)的讀法:從高位到低位,一級一級地讀。讀億級、萬級時,先按照個級的讀法去讀,再在后面加一個“億”或“萬”字。每一級末尾的0都不讀,其它數(shù)位連續(xù)有幾個0也都只讀一個零。例如:3050102300讀作:三十億五千零一十萬二千三百2、整數(shù)的寫法:一級一級地從高位到低位寫,哪一個數(shù)位上一個單位也沒有,就在那個數(shù)位上寫0。例如:五億零三十二萬零七百零二,寫作:500320702整數(shù)部分:億級、萬級、個級小數(shù)部分:十分位、百分位、千分位、萬分位……二、小數(shù)的讀法和寫法1、小數(shù)的讀法:讀小數(shù)的時候,整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法,小數(shù)點讀作“點”;小數(shù)部分按照從左向右的順序直接讀出每一個數(shù)字。例如:52302.308讀作:五萬二千三百零二點三零八2、小數(shù)的寫法:寫小數(shù)的時候,整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫,小數(shù)點寫在個位右下角,小數(shù)部分按順序寫出每一個數(shù)位上的數(shù)字。例如:一千零九十三點零零八二,寫作:1093.0082三、分數(shù)的讀法和寫法1、分數(shù)的讀法:讀分數(shù)時,先讀分母,再讀“分之”,最后讀分子。同時,分子和分母按照整數(shù)的讀法來讀。例如:59112,2、分數(shù)的寫法:先寫分數(shù)線,再寫分母,最后寫分子,按照整數(shù)的寫法來寫。例如:三千二百三十七分之六百八十五,寫作:685四、百分數(shù)的讀法和寫法1、百分數(shù)的讀法:讀百分數(shù)時,先讀“百分之”,再讀百分號前面的數(shù);讀數(shù)時數(shù)位要按照整數(shù)和小數(shù)的讀法規(guī)則來讀。例如:25.89%讀作:百分之二十五點八九2、百分數(shù)的寫法:百分數(shù)通常不寫成分數(shù)形式,如果是分數(shù)要先化為小數(shù),然后再向右移動小數(shù)點兩位,后面加上百分號“%”來表示百分數(shù)。例如:百分之三百一十六點一三七寫作:316.137%五、數(shù)的改寫一個較大的多位數(shù),為了方便讀寫,有時會改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù)來表示。還可以根據(jù)需要,省略這個數(shù)某一位后面的數(shù),寫成近似數(shù)。改寫的方法技巧:多位數(shù)改寫為“萬”、“億”…(1)直接改寫:改寫為“萬”,小數(shù)點向左移4位,后面加萬;改寫為“億”,小數(shù)點左移8位,后面加億。(2)近似改寫:先四舍五入省略掉“萬”或“億”后面的尾數(shù),再在后面加“萬”或“億”。1、準確數(shù):為了計數(shù)的簡便,可以把一個較大的數(shù)改寫成以萬或億為單位的數(shù)。改寫后的數(shù)是原數(shù)的準確數(shù)。例如:1637300000改寫成以“萬”做單位的數(shù):163730萬;改寫成以“億”做單位的數(shù):16.373億。2、近似數(shù):根據(jù)實際需要,可以把一個較大的數(shù),省略某一位后面的尾數(shù),用一個近似數(shù)來表示。例如:2708390015省略“億”后面的尾數(shù)是27億。3、四舍五入法:(1)要省略的數(shù),如果尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4或者比4小的數(shù),就把尾數(shù)去掉;(2)如果尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5或者比5大,把尾數(shù)舍去,并向它的前一位進1。例如:2335900省略萬后面的尾數(shù)約是234萬。(二)數(shù)的比較大小與互化一、數(shù)的比較大小1、整數(shù)比較大小:比較整數(shù)的大小,位數(shù)多的那個數(shù)就大;如果位數(shù)相同,就看最高位上的數(shù)的大小,最高位上的數(shù)大的,該數(shù)就大;最高位上的數(shù)相同,就看下一位,直到能比較出哪一位上的數(shù)大的,那個數(shù)就大。2、比較小數(shù)的大?。合瓤匆容^的數(shù)的整數(shù)部分,整數(shù)部分大的那個數(shù)就大;整數(shù)部分相同的,就看小數(shù)部分。從十分位看起,十分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大;十分位上的數(shù)也相同的,百分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大,直到能比較出哪一位上的數(shù)大的,那個數(shù)就大。3、比較分數(shù)的大?。海?)同分母的分數(shù)比較大小,分子大的分數(shù)比較大;(2)分子相同的數(shù),分母小的分數(shù)就大;(3)而分母和分子都不相同的分數(shù),要先通分,然后再比較兩個數(shù)的大小。二、數(shù)的互化1、小數(shù)化成分數(shù):原來的小數(shù),整數(shù)部分先不看,只看有幾位小數(shù),就在1的后面寫幾個零作為轉換后的分數(shù)的分母。同時,把原來整個小數(shù)的小數(shù)點去掉,作為分子,然后簡稱是否為最簡分數(shù),能約分的一定要約分。例如:2、分數(shù)化成小數(shù):分子直接除以分母,結果就是小數(shù)了,能除盡的就化成有限小數(shù);有的不能除盡,商有余數(shù)的,不能化成有限小數(shù)的,一般都是保留三位小數(shù)。例如:3、一個最簡分數(shù)判斷是否為有限小數(shù)的方法技巧:最簡分數(shù)的分母,分解質(zhì)因數(shù)后,如果除了2和5以外,不含有其他的質(zhì)因數(shù),這個分數(shù)就能化成有限小數(shù);如果分母中含有2和5以外的質(zhì)因數(shù),這個分數(shù)就不能化成有限小數(shù)。例如:(有限小數(shù))因為20=2×2×5(無限小數(shù))因為12=2×2×34、帶分數(shù)化為假分數(shù)
將帶分數(shù)前面的系數(shù)乘以分母,然后加上原來的分子,即成為新的分子,分母不變。此時就變成了一個分子大于分母的假分數(shù)。
例如:5、假分數(shù)化為帶分數(shù)假分數(shù)化為帶分數(shù)是帶分數(shù)化為假分數(shù)的逆運算,只需要將假分數(shù)的分子除以分母,商為系數(shù),余數(shù)為帶分數(shù)的分子即可。例如:(因為19÷7=2……5)(三)求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)一、短除法把一個合數(shù)分解成質(zhì)因數(shù),通常采用短除法。那什么是短除法呢?先用能整除這個合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除它,一直除到商是質(zhì)數(shù)為止,再把除數(shù)和商寫成連乘的形式,這種方法就是短除法。例如:所以,36分解質(zhì)因數(shù)是:36=2×2×3×3二、求幾個數(shù)的最大公因數(shù)求幾個數(shù)的最大公因數(shù)的方法:先找出這幾個數(shù)的公因數(shù),然后用這些公因數(shù)逐個去除這幾個數(shù),一直除到各個數(shù)所得的商只有公因數(shù)1時停止;然后,把所有的除數(shù)連乘起來,求出積,這個所得的積就是這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。例如:求18和24的最大公因數(shù)所以,18和24的最大公因數(shù)是:2×3=6三、求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法:先用全部數(shù)的公因數(shù)去除這幾個數(shù);或者其中某幾個數(shù)的公因數(shù)去除,一直除到各數(shù)互質(zhì)為止;然后,把所有的除數(shù)和商連乘起來,求出積,這個所得的積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。例如:求12、15和20的最小公倍數(shù)所以,12、15和20的最小公倍數(shù)是:2×2×3×5×1×1×1=60四、互質(zhì)關系的數(shù)公因數(shù)只有1的兩個數(shù),叫做互質(zhì)數(shù),簡稱“互質(zhì)”;互質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)最大公因數(shù)是1。成為互質(zhì)關系的兩個數(shù),有下列幾種情況:(1)1和任何自然數(shù)互質(zhì)。例如:1和9互質(zhì),最大公因數(shù)是1。(2)相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)。例如:4和5互質(zhì),最大公因數(shù)是1。(3)不同的兩個質(zhì)數(shù)互質(zhì)。例如:3和11互質(zhì),最大公因數(shù)是1。(4)當合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時,這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)也互質(zhì)。例如:9和13互質(zhì);27和7互質(zhì),最大公因數(shù)是1(5)兩個合數(shù)的公因數(shù)只有1時,這兩個合數(shù)也互質(zhì)。例如:12和25互質(zhì),最大公因數(shù)是1。(四)通分和約分一、分數(shù)的基本性質(zhì)分數(shù)的分子和分母同時都乘以或者除以相同的數(shù)(零除外),分數(shù)的大小保持不變。二、分數(shù)的約分1、約分:用分子和分母的公因數(shù)(1除外)持續(xù)去除分子、分母;一般要除到得出最簡分數(shù)為止,也就是約到不能約分為止。此時,最簡分數(shù)的分子與分母是互質(zhì)數(shù)。注意:公因數(shù)只有1的兩個數(shù),叫做互質(zhì)數(shù),簡稱“互質(zhì)”;互質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)最大公因數(shù)是1。2、約分的意義:把一個分數(shù)化成和它相等,但分子和分母都比原來分數(shù)小的分數(shù),就叫做約分。3、約分的方法:(1)逐步約分法。用分子和分母的公因數(shù)(1除外)去除,一直除到分數(shù)的分子和分母只有公因數(shù)1為止。(2)一次約分法。先找出原分數(shù)的分子和分母的最大公因數(shù),然后用這個最大公因數(shù)(1除外)去除分子、分母,得出最簡分母。4、分子和分母只有公因數(shù)1的分數(shù)叫做最簡分數(shù)(分子和分母是互質(zhì)數(shù)的分數(shù)叫做最簡分數(shù))。完全約分后的分數(shù)就是最簡分數(shù)。三、分數(shù)的通分1、通分:根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì),把幾個異分母分數(shù)化成與原來分數(shù)的值相等的同分母分數(shù)的過程,叫做通分。2、通分的方法:先求出原來幾個分數(shù)的分母的最小公倍數(shù);然后,每個分數(shù)的分母都需要變成該“最小公倍數(shù)”;同時,分子也跟著分母擴大相同的倍數(shù),從而達到通分的目的。3、通分的依據(jù):分數(shù)的分子、分母同時乘以或除以一個不為零的數(shù),分數(shù)的大小保持不變。4、通分的要點是確定幾個異分母分數(shù)的“最簡公分母”。其方法如下:(1)采用短除法,求出這些分母的最小公倍數(shù);(2)該“最小公倍數(shù)”即是這些異分母分數(shù)的最簡公分母;(3)根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì),把原來分數(shù)化為以該“最簡公分母”為分母的分數(shù)。(五)小數(shù)與分數(shù)的性質(zhì)一、商不變的規(guī)律:1、在除法里,被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或者同時縮小相同的倍數(shù),商不變。例如:18÷6=3被除數(shù)和除數(shù)同時縮小3倍后是:6÷2=3被除數(shù)和除數(shù)同時擴大2倍后是:36÷12=32、在除法里,被除數(shù)和除數(shù)同時乘以或者除以相同的一個數(shù)(零除外),商保持不變。例如:75÷15=5被除數(shù)和除數(shù)同時除以5后是:(75÷5)÷(15÷5)=15÷3=5被除數(shù)和除數(shù)同時乘以3后是:(75×3)÷(15×3)=225÷45=5二、小數(shù)的性質(zhì):1、在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零,小數(shù)的大小保持不變。例如:3.2600末尾去掉0后是:3.2615.81末尾添加0后是:15.810小數(shù)的大小都會保持不變。2、小數(shù)點位置的移動引起小數(shù)大小的變化:(1)小數(shù)點向右移動一位,原來的數(shù)就會擴大10倍;小數(shù)點向右移動兩位,原來的數(shù)就會擴大100倍;小數(shù)點向右移動三位,原來的數(shù)就擴大1000倍……以此類推,就是小數(shù)點向右移動會引起小數(shù)的擴大。例如:13.52小數(shù)點向右移動一位,原來的數(shù)擴大10倍后是:135.2(2)小數(shù)點向左移動一位,原來的數(shù)就會縮小10倍;小數(shù)點向左移動兩位,原來的數(shù)就會縮小100倍;小數(shù)點向左移動三位,原來的數(shù)就會縮小1000倍……以此類推,就是小數(shù)點向右移動會引起小數(shù)的擴大。例如:175.3小數(shù)點向左移動兩位,原來的數(shù)縮小100倍后是:1.753(3)小數(shù)點向左移或者向右移動位數(shù)時,不夠數(shù)位的,要用“0”來補足位。例如:6.51小數(shù)點向右移動三位,原來的數(shù)擴大1000倍后是:6510三、分數(shù)的基本性質(zhì)1、分數(shù)的分子和分母同時乘以或者除以相同的一個數(shù)(零除外),分數(shù)的大小保持不變。分數(shù)的約分和通分就是分數(shù)的基本性質(zhì)的體現(xiàn)。例如:2、分數(shù)與除法的關系(1)式子表達關系:。(2)0不能作為除數(shù),因此,分數(shù)的分母不可以為零。(3)被除數(shù)就相當于分子,除數(shù)就相當于分母。(六)四則運算一、四則混合運算的意義:1、加法:把兩個(或者幾個)數(shù)合并成一個數(shù)的運算叫做加法。加法是將加數(shù)與加數(shù)合并起來的運算,求出的得數(shù)是幾個數(shù)合并的結果。方法:相同數(shù)位要對齊,從低位加起,滿十就向高位進一。例如:183+108=2912、減法:已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù),去求另一個加數(shù)的運算叫做減法。減法是加法的逆運算。方法:相同數(shù)位要對齊,從低位減起,不夠減就向高位借一。例如:83-57=26在減法中,已知的兩個加數(shù)的和叫做被減數(shù),其中一個加數(shù)叫做減數(shù),求出的得數(shù),也即是另一個加數(shù)叫做差。幾個數(shù)連續(xù)相減的減法也是以此類推。例如:223-20-65=1383、乘法:一個數(shù)乘以整數(shù),是求這幾個相同加數(shù)的和的簡便運算,或者可以理解為:是求這個數(shù)的幾倍的結果。例如:12+12+12=12×3=364、除法:已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù),求另一個因數(shù)的運算叫做除法。除法是乘法的逆運算。方法:在除法中,已知的兩個因數(shù)的積叫做被除數(shù),其中一個因數(shù)叫做除數(shù),求出的得數(shù),也即是另一個因數(shù)就叫商。例如:63÷9=75、加、減、乘、除四種運算統(tǒng)稱四則運算。四則運算分為二級:加、減法為同一級運算,也叫做第一級運算;乘、除法為同一級運算,也叫做第二級運算。二、運算的順序:1、在一個算式里,如果沒有括號,且只含有同一級運算,要從左到右依次計算;如果含有兩級運算,需要先算第二級運算(乘、除法先算),然后再算第一級運算(加、減法后算)。2、在有括號的算式里,要先算括號里的,再算括號外的。但是,括號里與括號外也同樣要遵循四則運算順序。3、四則運算的順序的簡單記憶法:(1)運算等級第一級:加減法第二級:乘除法(2)運算順序先乘除,后加減;左到右,依次算;有括號,優(yōu)選算。(七)小數(shù)的運算一、小數(shù)的加法1、小數(shù)加法的意義小數(shù)加法,即是將兩個小數(shù)合并成一個數(shù)的運算,其運算結果可以是小數(shù),或者整數(shù)。2、小數(shù)加法的法則小數(shù)加法的法則與整數(shù)加法的法則基本一致,相同的數(shù)位要對齊。但是,小數(shù)中有小數(shù)點,要優(yōu)先考慮小數(shù)點對齊;然后,相同的位數(shù)就能對齊。小數(shù)加法步驟:(1)把各個加數(shù)的小數(shù)點上、下對齊;(2)按照加法的法則進行計算,從右邊最末一位加起,一旦滿十進一;(3)計算結果(得數(shù))的小數(shù)點要與加數(shù)的小數(shù)點上下對齊。二、小數(shù)的減法1、小數(shù)減法的意義小數(shù)減法,即是已知兩個小數(shù)的和與其中的一個小數(shù),求另一個小數(shù)的運算,是小數(shù)加法的逆運算。2、小數(shù)減法的法則:小數(shù)點先對齊,相同位數(shù)也要對齊。小數(shù)減法步驟:(1)把被減數(shù)和減數(shù)的小數(shù)點上、下對齊;(2)按照減法的法則進行計算,從右邊最末一位數(shù)減起;遇到數(shù)不夠減時,要從其左邊的數(shù)位借一當十;(3)計算的結果(得數(shù))的小數(shù)點要與被減數(shù)、減數(shù)的小數(shù)點上下對齊。三、小數(shù)的乘法1、小數(shù)乘法的意義小數(shù)乘法和整數(shù)乘法的一樣,即是求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算形式;也即是將幾個相同加數(shù)簡寫成乘法的運算。2、小數(shù)乘法法則:(1)把相乘的各個小數(shù)都看做整數(shù),按照整數(shù)的乘法法則進行計算,先求出整數(shù)乘法的積;(2)再看各個相乘的小數(shù)一共有幾位小數(shù),便從積的右邊算起,數(shù)出幾位數(shù),點上小數(shù)點。(3)如果乘法的得數(shù),即積為小數(shù),其末尾出現(xiàn)0時,可把小數(shù)末尾的0去掉。四、小數(shù)的除法1、小數(shù)除法與整數(shù)除法的意義相同,即是已知兩個小數(shù)的積與其中一個小數(shù),求另一個因數(shù)(小數(shù))的運算,是乘法的逆運算。2、小數(shù)除法的法則小數(shù)除法與整數(shù)除法的法則基本一致:(1)當除數(shù)是整數(shù)時,可按照整數(shù)除法的法則直接進行計算;商的小數(shù)點與被除數(shù)的小數(shù)點對齊即可。如果商有余數(shù),就按照整數(shù)除法的計算方式即可。(2)當除數(shù)是小數(shù)時,根據(jù)“被除數(shù)和除數(shù)同時乘相同的數(shù)商不變”的基本性質(zhì),先把除數(shù)的小數(shù)點去掉,使它變成整數(shù)。此時,梳理清楚除法擴大了幾倍,被除數(shù)的小數(shù)點也向右移動相同的位數(shù),隨著除數(shù)擴大幾倍。如果被除數(shù)位數(shù)不夠的,要進行添0補足,再按照整數(shù)的除法法則進行計算即可。五、小數(shù)四則運算的順序:1、在一個小數(shù)四則運算算式里,如果沒有括號,且只含有同一級運算,從左到右依次計算;如果含有兩級運算,需先算第二級運算(小數(shù)乘、除法先算);然后算第一級運算(小數(shù)加、減法)。2、在有括號的小數(shù)算式里,要先算括號里的乘除、加減;后算括號外的乘除、加減法。(八)分數(shù)的運算一、分數(shù)的加法1、分數(shù)加法的意義分數(shù)加法,即是將兩個分數(shù)合并成一個數(shù)的運算,其運算結果可以約分的要進行約分,得數(shù)可以是分數(shù),也可以是整數(shù)。2、小數(shù)加法的法則(1)同分母分數(shù)相加,分母不變,分子進行相加即可。得數(shù)作分子,分母不變。得數(shù)可以約分時,要進行約分。(2)異分母分數(shù)相加,首先要通分;然后,按照同分母分數(shù)相加的方法進行分子相加計算,分母不變。同樣,得數(shù)可以約分時,要進行約分。(3)帶分數(shù)相加,可以先把帶分數(shù)化為假分數(shù),然后再按照分數(shù)加法法則進行計算。二、分數(shù)的減法1、分數(shù)減法的意義分數(shù)減法,即是已知兩個分數(shù)的和與其中的一個分數(shù),求另一個分數(shù)的運算,是分數(shù)加法的逆運算。2、分數(shù)減法的法則:(1)同分母分數(shù)相減,分母不變,分子進行相減即可。得數(shù)作分子,分母不變。得數(shù)可以約分時,要進行約分。但當分子相減為0時,整個分數(shù)的值為0,也就是運算結果為0。(2)異分母分數(shù)相減,首先要通分;然后,按照同分母分數(shù)相減的方法進行分子相減計算,分母不變。同樣,得數(shù)可以約分時,要進行約分。同樣,分子相減為0時,整個分數(shù)的值為0。(3)帶分數(shù)相減,可以先把帶分數(shù)化為假分數(shù),然后再按照分數(shù)減法法則進行計算。注意:當帶分數(shù)相減采取“整數(shù)部分減整數(shù)部分,分數(shù)部分減分數(shù)部分”的方法時。如果被減數(shù)的分數(shù)部分小于減數(shù)的分數(shù)部分,就要從被減數(shù)的整數(shù)部分里拿出1或者更多的其他數(shù)字,化成假分數(shù),與原來被減數(shù)的分數(shù)部分合在一起,從而湊成分數(shù)(被減數(shù))夠相減。三、分數(shù)的乘法1、分數(shù)乘法的意義分數(shù)乘法,主要是分子乘以分子,分母乘以分分母即可。得數(shù)能約分的要進行約分。注意:0乘以分數(shù),結果還是得0。四、分數(shù)的除法1、分數(shù)除法,最重要的是將除號變成乘號,除號后的數(shù)變成倒數(shù),然后按照分數(shù)乘法的法則進行計算即可。2、倒數(shù):一個分數(shù)的倒數(shù),就是將分數(shù)的分子與分母進行調(diào)換位置。注意:(1)0沒有倒數(shù);(2)真分數(shù)的倒數(shù)是假分數(shù);(3)不等于1的假分數(shù)的倒數(shù)是真分數(shù);(4)帶分數(shù)的倒數(shù)也是真分數(shù)。五、分數(shù)四則運算的順序:1、在分數(shù)四則運算的算式里,如果沒有括號,且只含同一級運算的,從左到右依次計算;如果含有兩級運算的,需要先算第二級運算(分數(shù)乘除法先計算);然后算第一級運算(分數(shù)加減法)。2、如果分數(shù)算式含有括號的,要先算括號里的乘除法、依次是加減法;后算括號外的乘除法、最后是加減法。(九)簡便運算一、簡便運算的簡述:簡便運算,是一種十分特殊卻又好用的計算方法。如果能夠掌握該計算方法,將使題目的運算變得既快速又準確。在小學階段對計算題目將起到很大的輔助作用。簡便運算的本質(zhì)就是想方設法將計算結果湊得整十、整百、整千等。運用一些簡便運算定律,可以十分巧妙的將一些看似復雜的數(shù),很快的得出一個工整易算的得數(shù)。簡便運算的三種常見又十分主要的運算定律,分別是:交換律、結合律和乘法分配律。這是三種既基本又巧妙的運算方法與技巧。學習簡便運算定律的目的,就是看題目怎么簡便就怎么算!做到熟能生巧,基本的運算定律公式定要熟練過關。二、交換律:交換律,就是交換數(shù)字的位置。在計算的式子中,結合數(shù)字與數(shù)字之間的特點,找到合適的位置放在一起加減或乘除,使計算簡便,結果易得。注意:交換數(shù)字的位置時,要學會帶著符號“搬家”,也就是當一個數(shù)字要調(diào)換位置的時候,記得要將它前面的符號(比如+、-或者×、÷)也一起搬運走,切記是數(shù)字前面的符號。例如:“-12.6”、“÷5”就是符號和數(shù)字要一起搬動位置。三、結合律:結合律,經(jīng)常與交換律一起運用。經(jīng)過交換位置后,或者采取直接添括號或去括號的方法與技巧,使數(shù)字與數(shù)字計算簡便,結果易得、工整。使看似復雜的計算題目變得快速與準確。注意:添括號時:(1)“-()”,“-號”后面帶個括號,此時括號里面的數(shù)要變符號,“+”的變“-”,“-”的變“+”。但是,數(shù)字的位置卻不改變。(2)“÷()”,“÷號”后面帶個括號,此時括號里面要改變符號,原來“÷”的變“×”、“×”的變“÷”。同樣,數(shù)字的位置不改變。四、分配律:要熟練掌握乘法分配律的基本運用及其變形變形,以及拆數(shù)法、補數(shù)法、分解法等方法的使用。對題目進行詳細分析,選擇適合的方法讓計算題目更為容易計算,運算過程更加簡便。要過關的一些運算定律公式:(1)a+b+c=a+c+b(2)a+b-c=a-c+b(3)a-b-c=a-(c+b)(4)a÷b÷c=a÷c÷b(5)a×b÷c=a÷c×b(6)a÷b×c=a×c÷b(7)a÷b÷c=a÷(b×c)(8)a÷b×c=a÷(b÷c)(9)a×(b+c)=a×b+a×c(10)a×(b-c)=a×b-a×c(11)a×b+a×c=a×(b+c)(12)a×b-a×c=a×(b-c)第三章:式與方程(一)等式一、用字母表示數(shù)1.任意數(shù)或者式子都可以用字母來表示。而且,字母也可以表示符合特定條件的某一個數(shù);或者表示具有某些變化規(guī)律的數(shù)??傊?,字母具有表示數(shù)或者關系式的功能。2.用字母表示數(shù)有助于對概念定義的理解合消化,能使數(shù)與數(shù)間的關系變得簡明、扼要,具有重要的意義。3.用字母表示數(shù)時,要注意書寫格式。(1)數(shù)字與字母、字母與字母相乘,中間的乘號省略不寫;或者用“?”(點)來表示。例如:a×c=a?c;b×c=bc;(2)字母和數(shù)字相乘時,除了省略乘號外,數(shù)字也要放到字母的前面。(3)“1”與任何字母相乘時,“1”都省略不寫。例如:1×c=c4.當出現(xiàn)除式時,除式變成分數(shù)形式,通常用分數(shù)表示。5.字母間的運算結果含加、減算式子時,單位前要加“()”。6.分數(shù)是帶分數(shù)時,帶分數(shù)要化成假分數(shù)。二、字母式子的求解用字母來表示一個數(shù),那么數(shù)與數(shù)之間的運算,就變成了字母與字母之間的運算。此時,可以通過四則運算法則求解出某個字母所表示的數(shù)。這就是我們通常所謂的求解含x的方程,也即是含字母式子的求解。例如:x的2倍與6的和等于18,求解出x?解:用式子表示是2x+6=18,求出x=6。三、等式的意義1.含有等號的式子叫做等式。等式兩邊同時加上(或減去)同一個整式;或等式兩邊同時乘以或除以同一個(不為0)的整式,等式的值保持不變。2.等式的基本性質(zhì):性質(zhì)1:等式兩邊同時加上或減去同一個整式,等式仍然成立。性質(zhì)2:等式兩邊同時乘或除以同一個(不為0)的整式,等式仍然成立。性質(zhì)3:等式具有傳遞性.若a=b,b=c,c=d,…x=y(tǒng),那么a=b=c=d=…x=y(tǒng)3.等式的意義:等式的性質(zhì)是解方程的根本,解方程的基本方法就是運用等式的性質(zhì)來求解的。等式的基本性質(zhì)擴展運用后即是解方程中常用的移項、去分母等方法。(二)方程一、方程與等式的關系1、方程的概念:含有未知數(shù)的等式。兩個條件:(1)方程中必須含有未知數(shù);(2)方程是等式,但是等式不一定是方程。2、方程是表示兩個數(shù)學式之間相等關系的一種等式,在兩者之間含有“=”等號。例如:兩個數(shù)、函數(shù)間相等的關系。3、利用方程解決實際問題,可不需要按逆向思維去思考,直接列出含有未知數(shù)的等式即可。二、方程的解和解方程1、使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值,叫做方程的解。2、求方程的解的過程,就叫做解方程。解方程是一種特殊的計算過程,也是在求解某個得數(shù)。例如:x=6,是方程2x=12的解。(三)解方程一、方程是指含有未知數(shù)的等式。方程必須具備以下兩個要素:一是含有未知數(shù);二是等式。式子同時具備這兩個因素,才能稱為方程。二、解方程是求出方程中未知數(shù)的值的過程,是求方程的解的具體方法。其步驟是:(1)寫“解”字;(2)方程最終化為ax=b(a≠0)的形式;(3)方程兩邊同時除以a,求出未知數(shù)的值。第四章比和比例(一)比的意義和性質(zhì)一、比的意義:1、兩個數(shù)相除,也叫做兩個數(shù)的比。2、讀法:幾比幾,例如,11:10讀作:11比10。3、寫法:“比”字可用比號“:”代替。例如,18比23記作18:23。4、比各部分的名稱:(1)比的前項:在兩個數(shù)的比中,比號前面的數(shù)叫做比的前項。(2)比的后項:在兩個數(shù)的
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