天津市濱海新區(qū)高三三模數(shù)學(xué)試題

2023年濱海新區(qū)普通高考模擬檢測卷

數(shù)學(xué)

本試卷分第I卷(選擇題)和第H卷(非選擇題)兩部分.共150分.考試時間120分鐘.第

I卷1至3頁，第II卷3至7頁.

答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號填寫在答題卡上.答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在

答題卡上，答在試卷上的無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.祝各位考生考試

順利！

第I卷

注意事項：

1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干

凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.

2.本卷共9小題，每小題5分，共45分.

參考公式：

,V=-πRi

球的表面積、體積公式：S=MX,3,R為球的半徑.

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

L若Z={x∣x≥4},8={X∣2Λ>8},則但Z)c8=()

A.(3,4)B,[3,4]C,(3,+∞)D.[4,+∞)

【答案】A

【解析】

【分析】求出備/并化簡集合B,利用集合的補集和交集運算即可得出答案.

【詳解】由已知得44={X∣X<4},8={x∣x>3},所以(4z)∏8={x∣3<x<4},從而A正確；

故選：A

2.已知明6是實數(shù)，則“同>網(wǎng)”是“/，，的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】由充分條件和必要條件的定義求解即可.

【詳解】由/>由可得：同>網(wǎng),

22

對同>同≥O兩邊同時平方可得a>b>所以14>Ml=>/>/,

所以14〉網(wǎng)”是“/>/”的充要條件.

故選：C.

【答案】D

【解析】

【分析】取特值排除即可.

【詳解】因為/(l)=l>O,故A、C錯誤;

-?1

又因為/(O)=e2=?。?=/(1),故B錯誤;

故選：D.

4.為了解學(xué)生每天的體育活動時間，某市教育部門對全市高中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，隨機抽取IOOO名學(xué)生每天進(jìn)

行體育運動的時間，按照時長(單位：分鐘)分成6組：第一組［30,40),第二組［40,50),第三組［50,60),

第四組［60,70),第五組［70,80),第六組［80,90］.對統(tǒng)計數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則

下列結(jié)論不正確的是()

t糖率/祖距

7∏iff?t

o3040506070?090時間/分鐘

A.頻率分布直方圖中的α=0.015

B.估計IoOO名學(xué)生每天體育活動不少于一個小時的學(xué)生人數(shù)為400

C.估計IOOO名學(xué)生每天體育活動時間的眾數(shù)是55

D.估計IOOO名學(xué)生每天體育活動時間的第25百分位數(shù)為45.5

【答案】D

【解析】

【分析】由頻率之和為1可判斷A；求出學(xué)生每天體育活動不少于一個小時的概率即可估計IOoO名學(xué)生每

天體育活動不少于一個小時的學(xué)生人數(shù)可判斷B；由眾數(shù)的定義可判斷C；有百分位數(shù)的定義可判斷D.

【詳解】由頻率之和為1得：IOX(0.01+0.02+0.03+2α+0.01)=l,解得α=0.015,故A正確；

學(xué)生每天體育活動不少于一個小時的概率為：(0.015+0.015+0.01)x10=0.4,

則估計1000名學(xué)生每天體育活動不少于一個小時的學(xué)生人數(shù)為0.4x1000=400,故B正確；

由頻率分布直方圖可估計1000名學(xué)生每天體育活動時間的眾數(shù)是55,故C正確；

由IOXO.01=0.1<0.25,10×0.01+10×0.02≈0.3>0.25,

故第25百分位數(shù)位于［40,50)內(nèi)，

則第25百分位數(shù)為40+)一黑XlO=47.5.

0.3-0.1

可以估計該市高中學(xué)生每天體育活動時間的第25百分位數(shù)約為，故D不正確.

故選：D.

5.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0,+e)上單調(diào)遞減，若α=∕(log2θ?2),Z)=∕(202),

c=∕(0.2°?3)則α,b,C大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<a<c

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)塞，對數(shù)的運算法則進(jìn)行比較大小，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

【詳解】Iog20.2=Iog2?=-log,5,

因為/(，)是定義在R上的偶函數(shù)，

所以α=/(Iog20.2)=/(-Iog25)=∕0og25),

因為Iog25>log24=2，ι=2°<2°2<2∣=2，0<O,203<O,20=b

且/(x)在(O,+s)上單調(diào)遞減，

所以/(log?5)<∕(2O-2)<∕(O,203),

即α<6Vc.

故選：A.

6.已知。〉1,b>l,a=/,則lgα+3IogZ,Io的最小值為()

A.4B.6C.8D.IO

【答案】B

【解析】

【分析】由換底公式和基本不等式即可求解.

【詳解】由b>l知Iogz)Io>0,

結(jié)合α=/,以及換底公式可知，

Iga+31Ogz)IO

=Iga+3Iogft10

_嘀b'

+31ogft10

?ogjɑ

3

=—-+??ogjθ

IIogJO

≥2W―og-b—Io?31og∕0=6,

3

當(dāng)且僅當(dāng)，-—=31ogA10,

iog6ιθ

即IOgblO=I時等號成立,

即6=10時等號成立,

故lgα+31og∕,10的最小值為6,

故選：B.

22

7.已知雙曲線C：?-?-=l（a>0,fe>0）,拋物線E：/=4X的焦點為E,準(zhǔn)線為/,拋物線E與雙曲

ab

線C的一條漸近線的交點為尸，且尸在第一象限，過P作/的垂線，垂足為Q,若直線QF的傾斜角為120。，

則雙曲線。的離心率為（）

VB.—C.—D.2

332

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合拋物線的定義求出點尸的坐標(biāo)，進(jìn)而求出2即可求解作答.

a

【詳解】拋物線E：∕=4χ的焦點為尸（1,0）,準(zhǔn)線為/：x=-l,令/交X于點T,即有∣R7∣=2,

由尸。_U,直線0E的傾斜角為120"，得NPQF=NQFT=60°,則∣0∕7∣=2IRTl=4,|0乃=20,

又IPEHPQl，則4PQE為正三角形，IpQl=4,因此點p（3,2JJ）,

雙曲線C：W-E=I(α>O,b>O)過點P的漸近線為y=2χ,于是2jj=3?2,解得2=多,

Crb-aClayJ3

2

所以雙曲線C的離心率e=J"+”=h=、/1+（馬2=昱

aVa2\√33

故選：B

8.某同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面為BcD是邊長為2的正方

形，AEAB,AFBC,AGCD,AHDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平面488垂直，則該

包裝盒的容積為（）

C.10√3D.20

【答案】A

【解析】

【分析】補全圖形為長方體求解即可.

2222

BA2=y∣BF-A2F=√2-l=√3,

所以則該包裝盒的容積為：

r

ABCD-A1B1C1D1A-AiEH，

=2×2×Λ∕3-4；x(；xlxl]x6,

=4√3--√3,

3

=W6

3

故選：A.

9.記函數(shù)/(χ)=-^?(sin2s:+CoS2or)(G>0)的最小正周期為T.若兀，且y=∕(x)的圖象

TT

的一條對稱軸為X=—,關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：

①2<G<4；

③/(X)在θ,?上單調(diào)遞增;

④為了得到g(x)=cos。X的圖象，只要把/(x)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,

TT

再向左平移工個單位長度.

以上四個說法中，正確的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】先化簡/(x),由W<T<兀求出1<0<2可判斷①；由y=∕(x)的圖象的一條對稱軸為X=R

求出/(χ),求/停)的值可判斷②；令一殳+2E≤3X+4≤^+2E,求出/(X)的單調(diào)增區(qū)間可判斷③：

由三角函數(shù)的平移變換可判斷④.

【詳解】因為f(x)=乎(Sin2tυx+cos2(υx)=?-應(yīng)Sin(2(yx+F)=Sin(2&x+,

?I1

由一<7<兀可得：一<—<Ji=>—<一<1,解得：1</<2,故①不正確；

222692co

y=∕(χ)的圖象的一條對稱軸為X=I,

TlπTt3

所以2G?—I—=—π2Aτι,%∈Z,解得：co——I-12Λ,A∈Z,

12422

3.(肩

因為1<G<2,所以G=—,所以/(x)=Sin3x+-,

2V4√

=Sin[T+^]=0'故②正確；

令一乙+2Aτι≤3x+4<工+2E,解得：一四++

24243123

TrTrJT

令左=0,-j≤x≤=,所以/(x)在0,—上單調(diào)遞增，③正確；

(?JT

把/(x)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，可得N=Sin]X+z

π

再向左平移一個單位長度,

6

故④正確

故選：C.

第∏卷

注意事項：L用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.

2.本卷共11小題，共105分.

二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分.

10.已知復(fù)數(shù)Z滿足z(l+2i)=∣4-3i∣(其中i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)Z的虛部為.

【答案】-2

【解析】

【分析】由模長公式及復(fù)數(shù)的四則運算得出復(fù)數(shù)z,進(jìn)而即得.

【詳解】因為|4一3i∣=5,

所以z(l+2i)=5,

55(1-2i)5(1—2i)

貝IJZ=____________=______________________________=__________________—I___71

l+2i-(l+2i)(l-2i)^5

所以復(fù)數(shù)Z的虛部為-2.

故答案為：-2.

IL(X―工］的展開式中X項的系數(shù)是

【答案】-35

【解析】

【分析】先求出二項展開式的通項，令X的指數(shù)為工，求出參數(shù)的值，再代入通項即可得解.

【詳解】(X-L)的展開式的通項7;句=C*-l)*∕-2*中，令7—24=1,得左=3,即得(x—L)的展開

式中X項的系數(shù)為C%(-l)3=-35?

故答案為：-35.

12.已知圓G：(x-4)2+(y-3)2=16與圓。2：x2+y2-2x+2y-9=0,若兩圓相交于48兩點,則

MM=一

【答案】2√7

【解析】

【分析】根據(jù)兩圓相交時公共弦所在直線方程的求法和弦長公式求解.

【詳解】圓G的方程為(X—4)2+3—3)2=16,即f+j?—8x—6y+9=0①,

又圓G:χ-+N~—2x+2y-9=0②，

②一①可得兩圓公共弦所在的直線方程為6x+8^-18=0,

/、∣24+24-18∣

圓G的圓心(4,3)到直線的距離d=一互=3'

所以∣∕3∣=2jl6-9=2j7.

故答案為：2√7.

13.紅、黃、藍(lán)被稱為三原色，選取任意幾種顏色調(diào)配，可以調(diào)配出其他顏色.已知同一種顏色混合顏色不

變，等量的紅色加黃色調(diào)配出橙色；等量的紅色加藍(lán)色調(diào)配出紫色；等量的黃色加藍(lán)色調(diào)配出綠色.現(xiàn)有

等量的紅、黃、藍(lán)彩色顏料各兩瓶，甲從六瓶中任取兩瓶顏料進(jìn)行等量調(diào)配，則甲調(diào)配出綠色的概率為

；在甲調(diào)配出綠色的情況下，乙再從余下四瓶中任取兩瓶顏料，進(jìn)行等量調(diào)配，則乙調(diào)配出紫色

的概率為.

41

【答案】①.一(2).-

153

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式和條件概率，即可求出所求概率.

【詳解】設(shè)4="甲調(diào)配出綠色"，B="乙調(diào)配出紫色”，

因為等量的黃色加藍(lán)色調(diào)配出綠色，且等量的紅、黃色、藍(lán)彩色顏料各兩瓶共6瓶，

ClC4

所以P(Z)=32

15

因為甲調(diào)配出綠色時已經(jīng)用掉1瓶黃色顏料和1瓶藍(lán)色顏料,

則顏料剩余紅色2瓶，黃色1瓶，藍(lán)色1瓶共4瓶，

C1C11

因為等量的紅色加藍(lán)色調(diào)配出紫色，所以尸(B)=-L=W

?

H

_4

故答案為：二,3-

1—.

14.在平面四邊形48CQ中，48=2√J,AD=G,向量方在向量彳萬上的投影向量為萬4。，則

___1____

ZBAD=；若BC=§點E為線段8。上的動點，則怎?次的最小值為.

TT

【答案】①.一②.—6

6

【解析】

【分析】作出向量懣在向量N萬上的投影向量，在直角三角形中求出/H40；以點A為坐標(biāo)原點，AD

為X軸建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求出無.存的最小值.

【詳解】過點8作瀏/垂直ZD于點M,則向量N法為向量存在向量N萬上的投影向量，

由題意知點M為線段AD的中點，所以卜g∣N0∣=6，

所以CoSNB/O=W"='=巫，又/歷1。為銳角，故/8/。=工.

AB2√326

以點A為坐標(biāo)原點，亞為X軸建系如圖，則4(0,0),0(6,0),β(3,√3).

因為方心=；N萬，所以C(5,G).

因為點E為線段8。上的動點，所以設(shè)詼=4而=2(—3,6),幾€[0,1]故點頤6—34,岳).

CE?Σ^=(6-3Λ,√3Λ)?(l-3Λ,√3∕l-√3)=(6-3Λ)(l-3Λ)+√3A?(√3A-√3)

=1222-24Λ+6./t∈[0,l].

當(dāng)2=1時，CE?AE取到最小值一6.

，若函數(shù)g(x)=∕(x)-αx-l在R上恰有三個不同的零點，則。

的取值范圍是.

【答案】(—8,—4)U[1,2)

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，利用分段函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合題意

將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

X2+4x,x≤0

【詳解】當(dāng)α=O時，/(x)=h，

---F1,X>0

因為g(χ)=/(X)-G-I恰有三個不同的零點，

函數(shù)g(x)=?(?)-l在R上恰有三個不同的零點,即/(X)=1有三個解,

而』+1=1無解，故ɑoθ.

X

當(dāng)α>0時，函數(shù)g(x)=∕(x)-Ur-l在R上恰有三個不同的零點，

即/(x)=G:+1,即y=∕(x)與y=αx+l的圖象有三個交點，如下圖，

當(dāng)x>0時，/(χ)='+α+l與y=αx+l必有1個交點，

所以當(dāng)x<0時?，/(x)=χ2+4x+α有2個交點，

即/+4χ+α-αχ-l=0,即令MX)=X?+("α)x+α-I=O在(-oo,0]內(nèi)有兩個實數(shù)解，

當(dāng)α<0時.，函數(shù)g(x)=∕(x)-6-1在R上恰有三個不同的零點,

即/(x)=αx+l,即y=∕'(x)與y=αχ+l的圖象有三個交點，如下圖,

當(dāng)X<O時，/(切=犬+4工+。必有1個交點，

當(dāng)x>0時，/(x)='+a+l與y=&x+l有2個交點，

所以—Fα+l=4x+l,即ax?—“X—]=0在(0,+∞)上有2根,

X

令MX)=<XV2-OX-I

Δ>O

故<左(0)=—1<On<√-+44>0,解得：α<-4.

-a1

I2a2

綜上所述：。的取值范圍是(F,-4)U[1,2).

故答案為：(-∞,-4)U[l,2).

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查函數(shù)方程的應(yīng)用，結(jié)合分段函數(shù)的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點個數(shù)問題,

數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強，有一定的難度.

三、解答題(本大題5小題，共75分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟)

16.在ANBC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,b=2幣,c=2,β=y.

(I)求α的值；

(2)求SinA的值;

(3)求Sin(B-2Z)的值.

【答案】(1)?=6

力?/3√ΣT

（2）sιnJ=-------

14

⑶一也

14

【解析】

【分析】（1）由余弦定理計算可得；

（2）由正弦定理計算可得；

（3）由余弦定理求出cos4,即可求出cos2Z、sin2∕,再由兩角差的正弦公式計算可得.

【小問1詳解】

由余弦定理知，h2=a2+c1-2accosB，

所以28=α~+4-2QX2X,,即Q?—2a-24=0，

解得α=6或—4(舍負(fù))，所以Q=6?

【小問2詳解】

由正弦定理知，＞^=一2一，

sinAsinB

62√7

所以sin/?/?,

T

訴兇..3Λ∕ΣT

所以SlnN=--------

14

【小問3詳解】

上人升+用右,b2+c2-a128+4-36√7

由余弦定理知，cosA=------------------J=——=-------，

2bc2×2√7×214

??3萬

所以COS2Z=2COS-/-1=--?sin2∕=2sin/CoSN=--------，

1414

所以Sin(6-24)=Sin8cos2A-cosBsmlA

17.如圖，在四棱錐P—力BCD中，底面/8CD是邊長為4的正方形，APAD是等邊三角形,CD，平面

PAD,E,F,G,。分別是PC,PD,BC,的中點.

(1)求證：尸01平面Z8CZ);

(2)求平面EFG與平面/8C。的夾角的大?。?/p>

TT

(3)線段以上是否存在點使得直線G"與平面EFG所成角為一，若存在，求線段PM的長；若不

6

存在，說明理由.

【答案】(1)證明見解析

⑵-

3

(3)不存在，理由見解析

【解析】

【分析】(1)先證PO_LN。、POLCD,即可由線線垂直證線面垂直；

(2)以。點為原點分別以0/、0G、0尸所在直線為X軸J軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面EbG、

平面ABCD的法向量，即可由法向量的夾角得出兩平面的夾角；

(3)設(shè)為》=4為，Xe[0,l],求出而，可得COSm=卜os(兩,碗)，整理得2萬一3；1+2=0,由A<0,

方程無解，即可得不存在這樣的點A/

【小問1詳解】

證明：因為是正三角形，。是4)的中點，所以POL40.

又因為COL平面尸ZO,PoU平面PNO,所以PO_LCZ).

AD∏CD=D,AD,Cz)U平面Z8CZ),所以尸Ol面Z8CD.

【小問2詳解】

如圖，以。點為原點分別以04、OG、OP所在直線為X軸J軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

Z

則0(0,0,0),4(2,0,0),8(2,4,0),C(-2,4,0),。(一2,0,0),G(0,4,0),p(θ,0,2百)，E(T,2,v?,

F(-1,0,√3),而=(0,—2,0),用=(1,2,_@

設(shè)平面EFG的法向量為加=（X,y,z>

EF?比=O-2y=0

所以《,即

EGm=Ox+Iy-應(yīng)Z-O

令z=l,則〃?=(0,0,。，

又平面488的法向量7=（0,0,1），

TT

所以平面EFG與平面NBCQ所成角為

【小問3詳解】

TT

假設(shè)線段Rl上存在點使得直線GM與平面EbG所成角為一，則直線GM與平面E/G法向量前所成

6

的夾角為

設(shè)隨=謂i，2e[0,l],PM=Λ(2,0,-2√3),Λ∕(2Λ,0,2√3-2√3λ),

UUlU/f-\

所以GW=(24-4,2√J(l-4))

所以COSy=∣COS(GM,"T=

2√4Λ2-6Λ+7，

整理得222一3；1+2=0，Δ<0,方程無解，所以，不存在這樣的點M.

18.已知橢圓C：0+∕=l(α>b>O)的離心率為字，左，右焦點分別為大，F(xiàn)2,過點片的直線與橢

圓相交于點A,B,且△瑪ZB的周長為8.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)橢圓C的左，右頂點分別為4，4,上頂點為。，若過4且斜率為左的直線/與橢圓C在第一象限

相交于點。，與直線4。相交于點P,與了軸相交于點M,且滿足∣P42HMQ∣=5∣Q42∣?∣"P∣,求直線/

的方程.

丫2

【答案】(1)—+/?l

(2)y=-2(x-2)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，由條件可得。，再由離心率可求得J從而求得6,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)根據(jù)題意，設(shè)出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可表示出。的坐標(biāo)，再由直線4。的

方程表示出點P的坐標(biāo)，再由等量關(guān)系，即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

由題設(shè)得44=8,所以α=2,

又離心率為電，解得c=G，b=l,

2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+/=1.

4-

【小問2詳解】

因為4(2,0),所以設(shè)直線/的方程為y=k(χ-2),且后<—；，

y=Λ(x-2)

聯(lián)立Y2.整理可得：(4左2+1)》2一16左2χ+i6左2一4=0,

,,C1642Sk2-2

則πx+2——；—故Xp

o2Ak2+↑4r+1

則為)擊’8左2-2—4k、

=MXO-2=,所以。

^k2+?,4k2+^

y=Λ(x-2)

又直線4。的方程y=gχ+ι,聯(lián)立<4左+24k)

1,整理可得：P2k-l,2k-?},

y=—x+1

2

4k8P-2

鼠=則』且滿足左<小

所以13=5,2,

?QΛ↑?MP?yQ-4k

2k-l4Λ2+1

則直線/的方程為y=-2(x-2).

19.設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，｛〃｝是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列.且％=4=1,ai+b1=7,2a1-bi=2,w∈N*

⑴求｛%｝,｛〃｝的通項公式；

⑵記Z,為也｝的前〃項和，求證:Tn?τn+2<τ^i

(%+1),歷,"為奇數(shù)

(3)若C,,=7__點——K，〃為偶數(shù)'求數(shù)列｛c,,｝的前2〃項和$2”.

n

【答案】(1)4=2〃-1,bn=2-'

2?n

(2)證明見解析(3)5,,=(2π-3)?2fl+'--—+

24—13

【解析】

【分析】(1)由已知條件列出方程組，求解出d,q,根據(jù)等比和等差數(shù)列的通項公式求解即可;

(2)利用等比數(shù)列前〃項和公式求出北，求出北-7；+2-=-2"<0,得證；

(3)利用錯位相減法和裂項相消法分奇偶項兩組求和即可.

【小問1詳解】

解：由已知可得用+仇=al+2d+biq=l+2d+q=7①，

2F2

2a2—∕>3=2(al+t∕)-?l^=2(l+iZ)-?=2(2),

聯(lián)立①②，得q2+q_6=(q+3)(q_2)=0,解得g=—3或q=2,

因為｛￡｝是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，所以4=2,代入①式可得d=2,

所以％=1+2(〃—1)=2〃-1,"=2"T;

【小問2詳解】

1-2π^l-2

—~~-=T-I,

1-2

+2

??.小=2J,Tn+2=T-lf

則Tn-&2"2=(2"T(2"+2_1卜(2"M-1)2

22"+2-T-2"+2+1-22"+2+2×2n+l-1=-2fl<O，

所以人&2<7>

【小問3詳解】

_M-I

(al,+l1電=2n?2?為奇數(shù)

3b“3X2"T1

T，〃為偶數(shù)

2

S2“=C]++C3+C4H?^C2nq+C2n,

令4=G+C3+C5+…+C2n-3+C2,,-1

=2×1+6×2'+10×22+???+(4M-6)?2,,^2+(4M-2)?2,,^IΦ,

則24=2*21+6*22+10乂23+-.+(4〃-6}2"、(4〃-2}2@,

0〃+1?

]!-(2H-1??2"

①-②，得一4=2+23+24+25+???+2"T-(2"-l)?2"+∣=2+2

.?.4,=-2+8-2,'+2+(2/7-1)-2"M=(2∕7-3)?2W1+6,

令Brl=c2+c4+c6+???+c2n

Illlll11

---------------+-------------+-------+,?,+------------------------

2'-?2i--23-?-25--25--27-?-22π^,--22n4--

22222222

1_______1____2___2_

2∣―122W+I—?34〃”一1，

一2一2

????n

???=Λ+^=(2π-3)?2-'+6+----=(2H-3)?2H÷>----.

J4Γ—1R-1+J

20.已知定義域均為R的兩個函數(shù)g(x)=e=MX)=(X—

⑴若函數(shù)∕?(x)=g(x"(x),且/(x)在X=—1處的切線與X軸平行，求“的值;

(2)若函數(shù)〃Z(X)=g('l),討論函數(shù)m(x)的單調(diào)性和極值；

(3)設(shè)4，6是兩個不相等的正數(shù)，且α+ln6=6+lnα,證明：a+h+[n(ab)>2.

【答案】(1)α=±l;

(2)加(X)在(-8,0),(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增,〃?(力的極小值為1，無極大值;

(3)證明見詳解.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，確定單調(diào)性進(jìn)而可得極值：

(3)根據(jù)同構(gòu)和函數(shù)的單調(diào)性以及二次求導(dǎo)即可求解.

【小問1詳解】

因為/(x)=g(x)%(x)，所以/(x)=ejt(x-α)2,

所以/'(x)=e'(x-a)2+e'(2x-24)=e'(x2-lax+2x+a2-2a)，

又/(x)在x=-l處的切線與X軸平行，

所以∕,(-l)=0,

所以eT(l+24-2+42-24)=0,

所以1+2?！?+/-24=0,

即/一1=O，

所以4=±1；

【小問2詳解】

因為加(x)