江蘇省徐州市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)

2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若直線的斜率為k，在y軸上的截距為b，則()．A.， B.，C.， D.，2.中國是世界上最古老的文明中心之一，中國古代對世界上最重要的貢獻之一就是發(fā)明了瓷器，中國陶瓷是世界上獨一無二的.它的發(fā)展過程蘊藏著十分豐富的科學(xué)和藝術(shù)，陶瓷形狀各式各樣，從不同角度詮釋了數(shù)學(xué)中幾何的形式之美.現(xiàn)有一橢圓形明代瓷盤，經(jīng)測量得到圖中數(shù)據(jù)，則該橢圓瓷盤的焦距為()A. B. C. D.43.若圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心位于第三象限，那么直線x＋ay＋b＝0一定不經(jīng)過()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知從點發(fā)出的一束光線，經(jīng)x軸反射后，反射光線恰好平分圓：的圓周，則反射光線所在的直線方程為()A. B.C D.5.設(shè)，為實數(shù)，若直線與圓相交，則點與圓的位置關(guān)系是()A.在圓上 B.在圓外 C.在圓內(nèi) D.不能確定6.某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線(如圖①所示)，發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點處(如圖②所示)．已知接收天線的口徑(直徑)為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線的焦點到頂點的距離為()A.1.35m B.2.05m C.2.7m D.5.4m7.已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為A. B. C. D.8.如圖，已知雙曲線的左右焦點分別為、，，是雙曲線右支上的一點，，直線與軸交于點，的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率是()A. B.C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．9.已知圓：，直線：．圓上恰有個點到直線的距離為，則的值為()A. B. C. D.10.將一個橢圓繞其對稱中心旋轉(zhuǎn)，若所得橢圓的兩頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點，則稱該橢圓為“對偶橢圓”下列橢圓的方程中，是“對偶橢圓”的方程的是()A. B.C. D.11.如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐金筐寶鈿團花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，巧奪天工，是唐代金銀細作的典范．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的右支與直線，，圍成的曲邊四邊形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為，下底外直徑為，雙曲線與坐標軸交于，，則()A.雙曲線的方程為B雙曲線與雙曲線共漸近線C.存在一點，使過該點任意直線與雙曲線有兩個交點D.存在無數(shù)個點，使它與，兩點的連線的斜率之積為312.已知拋物線的焦點為，、是拋物線上兩動點，是平面內(nèi)一定點，下列說法正確的有()A.拋物線準線方程為B.若，則線段中點到軸距離為C.的周長的最小為D.以線段為直徑的圓與準線相切第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.畫法幾何創(chuàng)始人蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長半軸?短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，則該橢圓的離心率為___________.14.若三點，，共線，則______．15.已知AB為圓O：的直徑，點P為橢圓上一動點，則的最小值為______．16.已知雙曲線的右焦點為，虛軸的上端點為，點，為上兩點，點為弦的中點，且，記雙曲線的離心率為，則______．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知雙曲線的焦點坐標為，，實軸長為4，(1)求雙曲線標準方程；(2)若雙曲線上存在一點使得，求的面積．18.已知直線恒過定點.(Ⅰ)若直線經(jīng)過點且與直線垂直，求直線的方程；(Ⅱ)若直線經(jīng)過點且坐標原點到直線的距離等于3，求直線的方程.19.已知圓E經(jīng)過點，，從下列3個條件選取一個：①過點；②圓E恒被直線平分；③與軸相切．(1)求圓E的方程；(2)過點的直線l與圓E相交于A、B兩點，求AB中點M的軌跡方程．20.已知橢圓經(jīng)過點和.(1)求橢圓的方程；(2)經(jīng)過點的直線與相交于，兩點(不經(jīng)過點)，設(shè)直線，的斜率分別為，，試問是否為定值？若是，求出該定值；否則，請說明理由.21.如圖所示，第九屆亞洲機器人錦標賽VEX中國選拔賽永州賽區(qū)中，主辦方設(shè)計了一個矩形坐標場地ABCD(包含邊界和內(nèi)部，A為坐標原點)，AD長為10米，在AB邊上距離A點4米的F處放置一只電子狗，在距離A點2米的E處放置一個機器人，機器人行走速度為v，電子狗行走速度為，若電子狗和機器人在場地內(nèi)沿直線方向同時到達場地內(nèi)某點M，那么電子狗將被機器人捕獲，點M叫成功點.(1)求在這個矩形場地內(nèi)成功點M的軌跡方程；(2)P為矩形場地AD邊上的一動點，若存在兩個成功點到直線FP的距離為，且直線FP與點M的軌跡沒有公共點，求P點橫坐標的取值范圍.22.如圖，已知點為拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于兩點，點在拋物線上，使得的重心在軸上，直線交軸于點，且在點右側(cè).記的面積為.(1)求的值及拋物線的準線方程；(2)求最小值及此時點的坐標.2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若直線的斜率為k，在y軸上的截距為b，則()．A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線的斜截式方程的定義，結(jié)合直線方程，即可求解.【詳解】由直線，根據(jù)直線的斜截式方程的概念，可得直線的斜率為，在y軸上的截距為.故選：B.2.中國是世界上最古老的文明中心之一，中國古代對世界上最重要的貢獻之一就是發(fā)明了瓷器，中國陶瓷是世界上獨一無二的.它的發(fā)展過程蘊藏著十分豐富的科學(xué)和藝術(shù)，陶瓷形狀各式各樣，從不同角度詮釋了數(shù)學(xué)中幾何的形式之美.現(xiàn)有一橢圓形明代瓷盤，經(jīng)測量得到圖中數(shù)據(jù)，則該橢圓瓷盤的焦距為()A. B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】由圖形可得橢圓的值，由求得的值即可得到答案.【詳解】因為橢圓的，所以，因為，所以，則.故選：C【點睛】本題考查橢圓的焦距，考查對橢圓方程的理解，屬于基礎(chǔ)題，求解時注意求的是焦距，而不是半焦距.3.若圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心位于第三象限，那么直線x＋ay＋b＝0一定不經(jīng)過()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【詳解】圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心為(a，)，則a<0，b>0.直線y＝－，其斜率k＝>0，在y軸上的截距為－>0，所以直線不經(jīng)過第四象限，故選D．考點：圓與直線.4.已知從點發(fā)出的一束光線，經(jīng)x軸反射后，反射光線恰好平分圓：的圓周，則反射光線所在的直線方程為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)反射性質(zhì)，結(jié)合圓的性質(zhì)、直線斜率公式進行求解即可.【詳解】設(shè)點的坐標為，圓的圓心坐標為，設(shè)是x軸上一點，因為反射光線恰好平分圓的圓周，所以反射光線經(jīng)過點，由反射的性質(zhì)可知：，于是，所以反射光線所在的直線方程為：，故選：A5.設(shè)，為實數(shù)，若直線與圓相交，則點與圓的位置關(guān)系是()A.在圓上 B.在圓外 C.在圓內(nèi) D.不能確定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求得滿足的關(guān)系式，結(jié)合點與圓位置關(guān)系的判斷方法，判斷即可.【詳解】根據(jù)題意，即，故點在圓外.故選：B.6.某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線(如圖①所示)，發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點處(如圖②所示)．已知接收天線的口徑(直徑)為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線的焦點到頂點的距離為()A.1.35m B.2.05m C.2.7m D.5.4m【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意先建立恰當?shù)淖鴺讼?，可設(shè)出拋物線方程，利用已知條件得出點在拋物線上，代入方程求得p值，進而求得焦點到頂點的距離.【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標系xOy，使接收天線的頂點(即拋物線的頂點)與原點O重合，焦點F在x軸上．設(shè)拋物線的標準方程為，由已知條件可得，點在拋物線上，所以，解得，因此，該拋物線的焦點到頂點的距離為1.35m，故選：A.7.已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析：先根據(jù)條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關(guān)系，即得離心率.詳解：因為為等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率為得，，由正弦定理得,所以，故選D.點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.8.如圖，已知雙曲線的左右焦點分別為、，，是雙曲線右支上的一點，，直線與軸交于點，的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓半徑與邊長的關(guān)系求出雙曲線實半軸長a，再利用離心率公式計算作答.【詳解】依題意，，的內(nèi)切圓半徑，由直角三角形內(nèi)切圓性質(zhì)知：，由雙曲線對稱性知，，于得，即，又雙曲線半焦距c=2，所以雙曲線的離心率.故選：D【點睛】結(jié)論點睛：二直角邊長為a，b，斜邊長為c的直角三角形內(nèi)切圓半徑.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．9.已知圓：，直線：．圓上恰有個點到直線的距離為，則的值為()A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由圓上恰有個點到直線的距離為可確定圓心到直線距離為，由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由圓方程知：圓心，半徑；圓上恰有個點到直線的距離為，圓心到直線的距離，即，解得：或.故選：BC.10.將一個橢圓繞其對稱中心旋轉(zhuǎn)，若所得橢圓的兩頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點，則稱該橢圓為“對偶橢圓”下列橢圓的方程中，是“對偶橢圓”的方程的是()A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)對偶橢圓的定義求出，再根據(jù)關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】由題意，根據(jù)對偶橢圓定義，在橢圓標準方程中，，則，，，，，是對偶橢圓；B，，，不滿足，不是對偶橢圓；C，，，滿足，是對偶橢圓；D，，，不滿足，不是對偶橢圓．故選：AC11.如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐金筐寶鈿團花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，巧奪天工，是唐代金銀細作的典范．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的右支與直線，，圍成的曲邊四邊形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為，下底外直徑為，雙曲線與坐標軸交于，，則()A.雙曲線的方程為B.雙曲線與雙曲線共漸近線C.存在一點，使過該點的任意直線與雙曲線有兩個交點D.存在無數(shù)個點，使它與，兩點的連線的斜率之積為3【答案】ABD【解析】【分析】由題意可得，代入雙曲線方程可求出，從而可求出雙曲線方程，然后逐個分析判斷【詳解】由題意可得，所以，即，解得，所以雙曲線方程為，所以A正確，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，所以B正確，由雙曲線的性質(zhì)可知，過平面內(nèi)的任意一點的直線與雙曲線的漸近線平行時，只與雙曲線有一個交點，所以不存在一點，使過該點的任意直線與雙曲線C有兩個交點，所以C錯誤，由題意得，設(shè)為雙曲線上任意一點，則，，所以，所以雙曲線C上存在無數(shù)個點，使它與兩點的連線的斜率之積為3，所以D正確，故選：ABD12.已知拋物線的焦點為，、是拋物線上兩動點，是平面內(nèi)一定點，下列說法正確的有()A.拋物線準線方程為B.若，則線段中點到軸距離為C.的周長的最小為D.以線段為直徑的圓與準線相切【答案】BC【解析】【分析】求出拋物線的準線方程，可判斷A選項的正誤；求出線段中點的縱坐標，可判斷B選項的正誤；利用拋物線的定義可判斷C選項的正誤；利用點、沒有任何限制可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，拋物線的準線方程為，焦點，故A錯；對于B選項，設(shè)點、，由拋物線的定義可得，可得，所以，線段中點到軸的距離為，故B對；對于C選項，設(shè)在準線上投影為，，，當、、三點共線時取最小值，所以的周長的最小值為，故C對；對于D選項，因為點、沒有任何限制條件，可以是拋物線上任意兩點，所以以線段為直徑的圓與準線不一定相切，故D錯.故選：BC.【點睛】方法點睛：拋物線定義的兩種應(yīng)用：(1)實現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化，根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線的定義可實現(xiàn)點點距與點線距的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題；(2)解決最值問題，在拋物線中求解與焦點有關(guān)的兩點間距離和的最小值，往往用拋物線的定義進行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題.第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.畫法幾何創(chuàng)始人蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長半軸?短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，則該橢圓的離心率為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)蒙日圓半徑的平方等于長半軸?短半軸的平方和，求出，進而可得答案.【詳解】因為蒙日圓半徑的平方等于橢圓的長半軸?短半軸的平方和，而的蒙日圓半徑的平方為10，故有，故，故答案為：.14若三點，，共線，則______．【答案】3【解析】【分析】利用的斜率相等，列出方程求解.【詳解】由，，三點共線，可得，，解得，故答案為：315.已知AB為圓O：的直徑，點P為橢圓上一動點，則的最小值為______．【答案】2【解析】【分析】方法一：通過對稱性取特殊位置，設(shè)出P的坐標，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解最小值即可．方法二：利用向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為向量的和與差的平方，通過圓的特殊性，轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】解：方法一：依據(jù)對稱性，不妨設(shè)直徑AB在x軸上，x，，，．從而．故答案為2．方法二：，而，則答案為2．故答案為2．【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、橢圓方程的幾何性質(zhì)考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．16.已知雙曲線的右焦點為，虛軸的上端點為，點，為上兩點，點為弦的中點，且，記雙曲線的離心率為，則______．【答案】【解析】【分析】解法一，利用點差法，結(jié)合，以及，變形得到，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于的齊次方程，求解；解法二，設(shè)直線，，與雙曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示中點坐標，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于的齊次方程，求解.【詳解】解法一由題意知，，則．設(shè)，，則兩式相減，得．因為的中點為，所以，，又，所以，整理得，所以，得，得．解法二由題意知，，則．設(shè)直線的方程為，即，代入雙曲線方程，得．設(shè)，，結(jié)合為的中點，得．又，所以，整理得，所以，得，得．故答案為：【點睛】思路點睛：常見的求雙曲線離心率的方法：①根據(jù)已知條件列方程組，解出，的值，直接利用離心率公式求解即可；②根據(jù)已知條件得到一個關(guān)于，(或，)的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程來求解．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知雙曲線的焦點坐標為，，實軸長為4，(1)求雙曲線的標準方程；(2)若雙曲線上存在一點使得，求的面積．【答案】(1)；(2)1．【解析】【分析】(1)由題可知的值即可求出雙曲線的標準方程；(2)由雙曲線的定義及面積公式即可求出.【詳解】(1)設(shè)雙曲線方程為，由條件知，，∴，∴雙曲線的方程為．(2)由雙曲線的定義可知，．∵，∴，即∴，∴的面積．18.已知直線恒過定點.(Ⅰ)若直線經(jīng)過點且與直線垂直，求直線的方程；(Ⅱ)若直線經(jīng)過點且坐標原點到直線的距離等于3，求直線的方程.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或.【解析】【分析】(Ⅰ)求出定點的坐標，設(shè)要求直線的方程為，將點的坐標代入方程可求得的值，即可寫出直線的方程(Ⅱ)分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，根據(jù)點到直線的距離公式即可得到答案【詳解】直線可化為，由可得，所以點A的坐標為.(Ⅰ)設(shè)直線的方程為，將點A代入方程可得，所以直線的方程為,(Ⅱ)①當直線斜率不存在時，因為直線過點A，所以直線方程為，符合原點到直線的距離等于3.②當直線斜率不存在時，設(shè)直線方程為，即因為原點到直線的距離為3，所以，解得所以直線的方程為綜上所以直線的方程為或.【點睛】本題主要考查了直線的垂直關(guān)系的應(yīng)用及直線方程的求法，點到直線的距離公式，主要分斜率存在和不存在兩種情況討論，屬于基礎(chǔ)題．19.已知圓E經(jīng)過點，，從下列3個條件選取一個：①過點；②圓E恒被直線平分；③與軸相切．(1)求圓E的方程；(2)過點的直線l與圓E相交于A、B兩點，求AB中點M的軌跡方程．【答案】(1)(2)，【解析】【分析】(1)結(jié)合已知條件利用待定系數(shù)法或圓的幾何性質(zhì)即可求解；(2)結(jié)合已知條件，利用垂徑定理可知M的軌跡為以EP為直徑的圓落在圓E內(nèi)的一段弧，進而得到答案.【小問1詳解】若選①：不妨設(shè)圓E的方程為：，因為圓E經(jīng)過點，，，所以，故圓E的方程為：，即；若選②：由直線方程可知，，故直線恒過點，因為圓E恒被直線平分，所以圓E的圓心為，因為在圓上，故圓的半徑，從而圓E的方程為：；若選③：不妨設(shè)圓E的圓心為，半徑為，此時，故圓E的方程為：，分別將，代入上式可得，，故圓E的方程為：.【小問2詳解】因為M為AB中點，E為圓心，根據(jù)垂徑定理，得，所以點M落在以EP為直徑的圓上，且點M在圓E的內(nèi)部，即點M的軌跡為以EP為直徑的圓落在圓E內(nèi)的一段?。驗?，，所以以EP為直徑的圓的方程為：，由，所以M的軌跡方程為：，.20.已知橢圓經(jīng)過點和.(1)求橢圓的方程；(2)經(jīng)過點的直線與相交于，兩點(不經(jīng)過點)，設(shè)直線，的斜率分別為，，試問是否為定值？若是，求出該定值；否則，請說明理由.【答案】(1)(2)是定值，.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，待定系數(shù)求解即可；(2)根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，，進而得，，再將直線方程與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達定理化簡整理求解即可.【小問1詳解】解：因為橢圓經(jīng)過點和，所以，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)直線的斜率必存在，故可設(shè)方程為，，所以聯(lián)立方程得，所以，解得，所以，所以因為，，所以.所以為定值，21.如圖所示，第九屆亞洲機器人錦標賽VEX中國選拔賽永州賽區(qū)中，主辦方設(shè)計了一個矩形坐標場地ABCD(包含邊界和內(nèi)部，A為坐標原點)，AD長為10米，在AB邊上距離A點4米的F處放置一只電子狗，在距離A點2米的E處放置一個機器人，機器人行走速度為v，電子狗行走速度為，若電子狗和機器人在