2021年加乘原理綜合應(yīng)用題庫(kù)版

加乘原理綜合運(yùn)用加乘原理綜合運(yùn)用知識(shí)框架圖7計(jì)數(shù)綜合7-3加乘原理綜合運(yùn)用7-3-1簡(jiǎn)樸加乘原理綜合運(yùn)用7-3-2加乘原理與數(shù)字問題7-3-3加乘原理與圖論教學(xué)目的教學(xué)目的1.復(fù)習(xí)乘法原理和加法原理；2.培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用加法原理和乘法原理能力．3.讓學(xué)生懂得并運(yùn)用加法、乘法原理來解決問題，掌握常用計(jì)數(shù)辦法，會(huì)使用這些辦法解決問題．在分類討論中結(jié)合分步分析，在分步分析中結(jié)合分類討論；教師應(yīng)當(dāng)明確并強(qiáng)調(diào)哪些是分類，哪些是分步．并理解與加、乘原理有關(guān)常用題型：數(shù)論類問題、染色問題、圖形組合．知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)一、加乘原理概念生活中常有這樣狀況：在做一件事時(shí)，有幾類不同辦法，在詳細(xì)做時(shí)候，只要采用其中某一類中一種辦法就可以完畢，并且這幾類辦法是互不影響．那么考慮完畢這件事所有也許做法，就要用到加法原理來解決．尚有這樣一種狀況：就是在做一件事時(shí)，要分幾步才干完畢，而在完畢每一步時(shí)，又有幾種不同辦法．要懂得完畢這件事情共有多少種辦法，就要用到乘法原理來解決．二、加乘原理應(yīng)用應(yīng)用加法原理和乘法原理時(shí)要注意下面幾點(diǎn)：⑴加法原理是把完畢一件事辦法提成幾類，每一類中任何一種辦法都能完畢任務(wù)，因此完畢任務(wù)不同辦法數(shù)等于各類辦法數(shù)之和．⑵乘法原理是把一件事分幾步完畢，這幾步缺一不可，因此完畢任務(wù)不同辦法數(shù)等于各步辦法數(shù)乘積．⑶在諸多題目中，加法原理和乘法原理都不是單獨(dú)浮現(xiàn)，這就需要咱們可以純熟運(yùn)用好這兩大原理，綜合分析，對(duì)的作出分類和分步．加法原理運(yùn)用范疇：完畢一件事辦法提成幾類，每一類中任何一種辦法都能完畢任務(wù)，這樣問題可以使用加法原理解決．咱們可以簡(jiǎn)記為：“加法分類，類類獨(dú)立”．乘法原理運(yùn)用范疇：這件事要分幾種彼此互不影響?yīng)毩h(huán)節(jié)來完畢，這幾步是完畢這件任務(wù)缺一不可，這樣問題可以使用乘法原理解決．咱們可以簡(jiǎn)記為：“乘法分步，步步有關(guān)”．例題精講例題精講模塊一、簡(jiǎn)樸加乘原理綜合應(yīng)用商店里有2種巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有2種水果糖：蘋果味、梨味、橙味．小明想買某些糖送給她小朋友．⑴如果小明只買一種糖，她有幾種選法？⑵如果小明想買水果糖、巧克力糖各種，她有幾種選法？（2級(jí)）⑴小明只買一種糖，完畢這件事一步即可完畢，有兩類辦法：第一類是從種巧克力糖中選一種⑵小明完畢這件事要分兩步，每步分別有種、種辦法，因而有種辦法．從北京到廣州可以選取直達(dá)飛機(jī)和火車，也可以選取半途在上?；蛘呶錆h作停留，已知北京到上海、武漢和上海、武漢到廣州除了有飛機(jī)和火車兩種交通方式外尚有汽車．問，從北京到廣州一共有多少種交通方式供選?。浚?級(jí)）從北京轉(zhuǎn)道上海到廣州一共有種辦法，從北京轉(zhuǎn)道武漢到廣州一共也有種辦法供選取，從北京直接去廣州有2種辦法，因此一共有種辦法．從學(xué)而思學(xué)校到王明家有3條路可走，從王明家到張教師家有2條路可走，從學(xué)而思學(xué)校到張教師家有3條路可走，那么從學(xué)而思學(xué)校到張教師家共有多少種走法？（2級(jí)）依照乘法原理，通過王明家到張教師家走法一共有種辦法，從學(xué)而思學(xué)校直接去張教師家一共有3條路可走，依照加法原理，一共有種走法．如下圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丙地有4條路，從甲地到丁地有3條路可走，從丁地到丙地也有3條路，請(qǐng)問從甲地到丙地共有多少種不同走法？（2級(jí)）從甲地到丙地有兩種辦法：第一類，從甲地通過乙地到丙地，依照乘法原理，走法一共有種辦法，；第二類，從甲地通過丁地到丙地，一共有種辦法．依照加法原理，一共有種走法．王教師從重慶到南京，她可以乘飛機(jī)、汽車直接到達(dá)，也可以先到武漢，再由武漢到南京．她從重慶到武漢可乘船，也可乘火車；又從武漢到南京可以乘船、火車或者飛機(jī)，如圖．那么王教師從重慶到南京有多少種不同走法呢？（2級(jí)）從重慶到南京走法有兩類：第一類從重慶通過武漢去南京，依照乘法原理，有(種)走法；第二類不通過武漢，有2種走法．依照加法原理，從重慶到南京一共有種不同走法．如下圖，八面體有12條棱，6個(gè)頂點(diǎn)．一只螞蟻從頂點(diǎn)出發(fā)，沿棱爬行，規(guī)定正好通過每一種頂點(diǎn)一次．問共有多少種不同走法？（6級(jí)）走完6個(gè)頂點(diǎn)，有5個(gè)環(huán)節(jié)，可分為兩大類：①第二次走點(diǎn)：就是意味著從點(diǎn)出發(fā)，咱們要先走，，，中間一點(diǎn)，再通過點(diǎn)，但之后只能走，點(diǎn)，最后選取背面兩點(diǎn)．有種(從到話，是不能到)；②第二次不走：有種(同理，不能到)；共計(jì)：種．如果從3本不同語(yǔ)文書、4本不同數(shù)學(xué)書、5本不同外語(yǔ)書中選用2本不同窗科書閱讀，那么共有多少種不同選??？（4級(jí)）由于強(qiáng)調(diào)2本書來自不同窗科，因此共有三種狀況：來自語(yǔ)文、數(shù)學(xué)：3×4=12；來自語(yǔ)文、外語(yǔ)：3×5=15；來自數(shù)學(xué)、外語(yǔ)：4×5=20；因此共有12＋15＋20=47．某條鐵路線上，涉及起點(diǎn)和終點(diǎn)在內(nèi)本來共有7個(gè)車站，當(dāng)前新增了3個(gè)車站，鐵路上兩站之間來回車票不同樣，那么，這樣需要增長(zhǎng)多少種不同車票？（6級(jí)）1、新站為起點(diǎn)，舊站為終點(diǎn)有3×7=21張，2、舊站為起點(diǎn)，新站為終點(diǎn)有7×3=21張，3、起點(diǎn)、終點(diǎn)均為新站有3×2=6張，以上共有21＋21＋6=48張

．某件工作需要鉗工2人和電工2人共同完畢．既有鉗工3人、電工3人，另有1人鉗工、電工都會(huì)．從7人中挑選4人完畢這項(xiàng)工作，共有多少種辦法？（6級(jí)）分兩類狀況討論：⑴都會(huì)這1人被挑選中，則有：①如果這人做鉗工話，則再按乘法原理，先選一名鉗工有3種辦法，再選2名電工也有3種辦法；因此有種辦法；②同樣，這人做電工，也有9種辦法．⑵都會(huì)這一人沒有被挑選，則從3名鉗工中選2人，有3種辦法；從3名電工中選2人，也有3種辦法，一共有種辦法．因此，依照加法原理，一共有種辦法．某信號(hào)兵用紅，黃，藍(lán)，綠四周旗中三面從上到下掛在旗桿上三個(gè)位置表達(dá)信號(hào)．每次可掛一面，二面或三面，并且不同順序，不同位置表達(dá)不同信號(hào)．一共可以表達(dá)出多少種不同信號(hào)？（6級(jí)）由于每次可掛一面、二面或三面旗子，咱們可以依照旗桿上旗子面數(shù)分三類考慮：第一類，可以從四種顏色中任選一種，有4種表達(dá)法；第二類，要分兩步完畢：第一步，第一面旗子可以從四種顏色中選一種，有4種選法；第二步，第二面旗子可從剩余三種中選一種，有3種選法．依照乘法原理，共有種表達(dá)法；第三類，要分三步完畢：第一步，第一面旗子可以從四種顏色中選一種，有4種選法；第二步，第二面旗子可從剩余三種中選一種，有3種選法；第三步，第三面旗子可從剩余兩種顏色中選一種，有2種選法．依照乘法原理，共有種表達(dá)法．依照加法原理，一共可以表達(dá)出種不同信號(hào)．五面五種顏色小旗，任意取出一面、兩面或三面排成一行表達(dá)各種信號(hào)，問：共可以表達(dá)多少種不同信號(hào)？（6級(jí)）分3種狀況：⑴取出一面，有5種信號(hào)；⑵取出兩面：可以表達(dá)種信號(hào)；⑶取出三面：可以表達(dá)：種信號(hào)；由加法原理，一共可以表達(dá)：種信號(hào)．五種顏色不同信號(hào)旗，各有5面，任意取出三面排成一行，表達(dá)一種信號(hào)，問：共可以表達(dá)多少種不同信號(hào)？（6級(jí)）辦法一：取出3面旗子，可以是一種顏色、兩種顏色、三種顏色，應(yīng)按此進(jìn)行分類⑴一種顏色：5種也許；⑵兩種顏色：⑶三種顏色：因此，一共可以表達(dá)種不同信號(hào)辦法二：每一種位置均有5種顏色可選，因此共有種．（6級(jí)）(一)取出3面旗子，可以是一種顏色、兩種顏色、三種顏色，應(yīng)按此進(jìn)行分類第一類，一種顏色：都是藍(lán)色或者都是白色，2種也許；第二類，兩種顏色：第三類，三種顏色：因此，依照加法原理，一共可以表達(dá)種不同信號(hào)．(二)白棋打頭信號(hào)，后兩面旗有種狀況．因此白棋不打頭信號(hào)有種．(清華附中考題)小紅和小明舉辦象棋比賽，按比賽規(guī)定，誰(shuí)先勝頭兩局誰(shuí)贏，如果沒有勝頭兩局，誰(shuí)先勝三局誰(shuí)贏．共有種也許狀況．（6級(jí)）小紅和小明如果有誰(shuí)勝了頭兩局，則勝者贏，此時(shí)共2種狀況；如果沒有人勝頭兩局，即頭兩局中兩人各勝一局，則至少再進(jìn)行兩局、最多再進(jìn)行三局，必有一人勝三局，如果只需再進(jìn)行兩局，則這兩局勝者為同一人，對(duì)此共有種狀況；如果還需進(jìn)行三局，則后三局中有一人勝兩局，另一人只勝一局，且這一局不能為最后一局，只能為第三局或第四局，此時(shí)共有種狀況，因此共有種狀況．（“數(shù)學(xué)解題能力展示”中年級(jí)復(fù)賽試題）過年了，媽媽買了7件不同禮物，要送給親朋朋友5個(gè)孩子每人一件．其中姐姐兒子小強(qiáng)想從智力拼圖和遙控汽車中選一種，朋友女兒小玉想從學(xué)習(xí)機(jī)和遙控汽車中選一件．那么，媽媽送出這5件禮物共有種辦法．（6級(jí)）若將遙控汽車給小強(qiáng)，則學(xué)習(xí)機(jī)要給小玉，此時(shí)此外3個(gè)孩子在剩余5件禮物中任選3件，有種辦法；若將遙控車給小玉，則智力拼圖要給小強(qiáng)，此時(shí)也有60種辦法；若遙控車既不給小強(qiáng)、也不給小玉，則智力拼圖要給小強(qiáng)，學(xué)習(xí)機(jī)要給小玉，此時(shí)依然有60種辦法．因此共有種辦法．有3所學(xué)校共訂300份中華人民共和國(guó)少年報(bào)，每所學(xué)校訂了至少98份，至多102份．問：一共有多少種不同訂法？（6級(jí)）可以分三種狀況來考慮：⑴3所學(xué)校訂報(bào)紙數(shù)量互不相似，有98，100，102；99，100，101兩種組合，每種組各有種不同排列，此時(shí)有種訂法．⑵3所學(xué)校訂報(bào)紙數(shù)量有2所相似，有98，101，101；99，99，102兩種組合，每種組各有3種不同排列，此時(shí)有種訂法．⑶3所學(xué)校訂報(bào)紙數(shù)量都相似，只有100，100，100一種訂法．由加法原理，不同訂法一共有種．玩具廠生產(chǎn)一種玩具棒，共節(jié)，用紅、黃、藍(lán)三種顏色給每節(jié)涂色．這家廠共可生產(chǎn)________種顏色不同玩具棒．（8級(jí)）可以發(fā)現(xiàn)只有游戲棒顏色關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱時(shí)才沒有被重復(fù)計(jì)算，關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱游戲棒有(種)．故玩具棒最多有種不同顏色．奧蘇旺大陸上居民使用文字非常獨(dú)特，她們文字每個(gè)單詞都由個(gè)字母、、、、構(gòu)成，并且所有單詞均有著如下規(guī)律，⑴字母不打頭，⑵單詞中每個(gè)字母后邊必然著字母，⑶和不會(huì)出當(dāng)前同一種字母之中，那么由四個(gè)字母構(gòu)成單詞一共有多少種？（8級(jí)）分為三種：第一種：有兩個(gè)狀況只有1種第二種，有一種狀況，又分3類第一類，在第一種位置，則在第二個(gè)位置，后邊排列有種，減去、同步浮現(xiàn)兩種，總共有14種，第二類，在第二個(gè)位置，則在第三個(gè)位置，總共有種.第三類，在第三個(gè)位置，則在第四個(gè)位置，總共有種.第三種，沒有狀況:分別計(jì)算沒有狀況:種.沒有狀況：種.沒有、狀況：種.由容斥原理得到一共有種.因此，依照加法原理，一共有種．從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加接力賽，求滿足下列條件參賽方案各有多少種：⑴甲不能跑第一棒和第四棒；⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒（6級(jí)）⑴先擬定第一棒和第四棒，第一棒是除甲以外任何人，有5種選取，第四棒有4種選取，剩余四人中隨意選取2個(gè)人跑第二、第三棒，有種，由乘法原理，共有：種參賽方案⑵先不考慮甲乙特殊規(guī)定，從6名隊(duì)員中隨意選取4人參賽，有種選取.考慮若甲跑第一棒，別的5人隨意選取3人參賽，相應(yīng)種選取，考慮若乙跑第二棒，也相應(yīng)種選取，但是從360種中減去兩個(gè)60種時(shí)候，重復(fù)減了一次甲跑第一棒且乙跑第二棒狀況，這種狀況下，相應(yīng)于第一棒第二棒已擬定只需從剩余4人選取2人參賽種方案，因此，一共有種不同參賽方案．模塊二、加乘原理與數(shù)字問題由數(shù)字1，2，3可以構(gòu)成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字?jǐn)?shù)？（4級(jí)）由于有1，2，3共3個(gè)數(shù)字，因而構(gòu)成數(shù)有3類：構(gòu)成一位數(shù)；構(gòu)成二位數(shù)；構(gòu)成三位數(shù)．它們和就是問題所求．⑴構(gòu)成一位數(shù)：有3個(gè)；⑵構(gòu)成二位數(shù)：由于數(shù)字可以重復(fù)使用，構(gòu)成二位數(shù)分兩步完畢；第一步排十位數(shù)，有3種辦法；第二步排個(gè)位數(shù)也有3種辦法，因而由乘法原理，有個(gè)；⑶構(gòu)成三位數(shù)：與構(gòu)成二位數(shù)道理相似，有個(gè)三位數(shù)；因此，依照加法原理，一共可構(gòu)成個(gè)數(shù)． 由數(shù)字0，1，3，9可以構(gòu)成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字自然數(shù)？（6級(jí)）滿足條件數(shù)可以分為4類：一位、二位、三位、四位數(shù)．第一類，構(gòu)成0和一位數(shù)，有4個(gè)（0不是一位數(shù)，最小一位數(shù)是1）；第二類，構(gòu)成二位數(shù)，有個(gè)；第三類，構(gòu)成三位數(shù)，有個(gè);第四類，構(gòu)成四位數(shù)，有個(gè)．由加法原理，一共可以構(gòu)成個(gè)數(shù)．用數(shù)字0，1，2，3，4可以構(gòu)成多少個(gè)不大于1000自然數(shù)？（6級(jí)）不大于1000自然數(shù)有三類．第一類是0和一位數(shù)，有5個(gè)；第二類是兩位數(shù)，有個(gè)；第三類是三位數(shù)，有個(gè)，共有個(gè)．用數(shù)碼0，1，2，3，4，可以構(gòu)成多少個(gè)不大于1000沒有重復(fù)數(shù)字自然數(shù)？（6級(jí)）分為三類，一位數(shù)時(shí)，0和一位數(shù)共有5個(gè)；二位數(shù)時(shí)，為個(gè)，三位數(shù)時(shí)，為：個(gè)，由加法原理，一共可以構(gòu)成個(gè)不大于1000沒有重復(fù)數(shù)字自然數(shù)．用0～9這十個(gè)數(shù)字可構(gòu)成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字四位數(shù)．（6級(jí)）無重復(fù)數(shù)字四位數(shù)千位、百位、十位、個(gè)位限制條件：千位上不能排0，或說千位上只能排1～9這九個(gè)數(shù)字中一種.并且其她位置上數(shù)碼都不相似，下面分別簡(jiǎn)介三種解法.（辦法一）分兩步完畢：第一步：從1～9這九個(gè)數(shù)中任選一種占據(jù)千位，有9種辦法；第二步：從余下9個(gè)數(shù)（涉及數(shù)字0）中任選3個(gè)占據(jù)百位、十位、個(gè)位，百位有9種.十位有8種，個(gè)位有7種辦法；由乘法原理，共有滿足條件四位數(shù)9×9×8×7=4536個(gè)．（辦法二）構(gòu)成四位數(shù)分為兩類：第一類：不含0四位數(shù)有9×8×7×6=3024個(gè)；第二類：含0四位數(shù)構(gòu)成分為兩步：第一步讓0占一種位有3種占法，（讓0占位只能在百、十、個(gè)位上，因此有3種）第二步讓別的9個(gè)數(shù)占位有9×8×7種占法.因此含0四位數(shù)有3×9×8×7=1512個(gè)．由加法原理，共有滿足條件四位數(shù)3024+1512=4536個(gè)．用0，1，2，3四個(gè)數(shù)碼可以構(gòu)成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字四位偶數(shù)？（6級(jí)）分為兩類：個(gè)位數(shù)字為0有個(gè)，個(gè)位數(shù)字為2有個(gè)，由加法原理，一共有：個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字四位偶數(shù)．在到2999這1000個(gè)自然數(shù)中，有多少個(gè)千位、百位、十位、個(gè)位數(shù)字中恰有兩個(gè)相似數(shù)？（6級(jí)）若相似數(shù)是2，則另一種2可以出當(dāng)前個(gè)、十、百位中任一種位置上，剩余兩個(gè)位置分別有9個(gè)和8個(gè)數(shù)可選，有3×9×8=216（個(gè)）；若相似數(shù)是1，有3×8＝24（個(gè)）；同理，相似數(shù)是0，3，4，5，6，7，8，9時(shí)，各有24個(gè)，因此，符合題意數(shù)共有216＋9×24=432（個(gè)）．在1000至1999這些自然數(shù)中個(gè)位數(shù)不不大于百位數(shù)有多少個(gè)?（6級(jí)）(辦法一)解決計(jì)數(shù)問題慣用分類討論辦法．設(shè)在1000至1999這些自然數(shù)中滿足條件數(shù)為(其中)；(1)當(dāng)時(shí)，可取1～9中任一種數(shù)字，可取0～9中任一種數(shù)字，于是一共有個(gè)．(2)當(dāng)時(shí)，可取2～9中任一種數(shù)字，仍可取0～9中任一種數(shù)字，于是一共有個(gè)．(3)類似地，當(dāng)依次取2，3，4，5，6，7，8時(shí)分別有70，60，50，40，30，20，10個(gè)符合條件自然數(shù)．因此，符合條件自然數(shù)有個(gè)．(辦法二)1000至1999這1000個(gè)自然數(shù)中，每10個(gè)中有一種個(gè)位數(shù)等于百位數(shù)，共有100個(gè)；剩余數(shù)中，依照對(duì)稱性，個(gè)位數(shù)不不大于百位數(shù)和百位數(shù)不不大于個(gè)位數(shù)同樣多，因此總數(shù)為個(gè).某人忘掉了自己密碼數(shù)字，只記得是由四個(gè)非0數(shù)碼構(gòu)成，且四個(gè)數(shù)碼之和是9．為保證打開保險(xiǎn)柜至少要試多少次？（6級(jí)）四個(gè)非0數(shù)碼之和等于9組合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六種．第一種中，只要考慮6位置即可，6可以隨意選取四個(gè)位置，別的位置方1，共有4種選?。诙N中，先考慮放2，有4種選取，再考慮5位置，有3種選取，剩余位置放1，共有4×3=12種選取，同理，第三、第四、第五種均有12種選取，最后一種與第一種相似，3位置有四種選取，別的位置放2，共有4種選取.由加法原理，一共可以構(gòu)成4+12+12+12+12+4=56個(gè)不同四位數(shù)，即為保證打開保險(xiǎn)柜至少要試56次．從1到100所有自然數(shù)中，不具有數(shù)字4自然數(shù)有多少個(gè)?（6級(jí)）從1到100所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)．一位數(shù)中，不含4有8個(gè)，它們是1、2、3、5、6、7、8、9；兩位數(shù)中，不含4可以這樣考慮：十位上，不含4有l(wèi)、2、3、5、6、7、8、9這八種狀況．個(gè)位上，不含4有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種狀況，要擬定一種兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個(gè)位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時(shí)共有個(gè)數(shù)不含4．三位數(shù)只有100．因此一共有個(gè)不含4自然數(shù)．從1到500所有自然數(shù)中，不具有數(shù)字4自然數(shù)有多少個(gè)?（6級(jí)）從1到500所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)．一位數(shù)中，不含4有8個(gè)，它們是1、2、3、5、6、7、8、9；兩位數(shù)中，不含4可以這樣考慮：十位上，不含4有l(wèi)、2、3、5、6、7、8、9這八種狀況．個(gè)位上，不含4有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種狀況，要擬定一種兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個(gè)位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時(shí)共有8×9=72個(gè)數(shù)不含4．三位數(shù)中，不大于500并且不含數(shù)字4可以這樣考慮：百位上，不含4有1、2、3、這三種狀況．十位上，不含4有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種狀況，個(gè)位上，不含4也有九種狀況．要擬定一種三位數(shù)，可以先取百位數(shù)，再取十位數(shù)，最后取個(gè)位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時(shí)共有個(gè)三位數(shù)．由于500也是一種不含4三位數(shù)．因此，1～500中，不含4三位數(shù)共有個(gè)．因此一共有個(gè)不含4自然數(shù)．從1到300所有自然數(shù)中，不具有數(shù)字2自然數(shù)有多少個(gè)?（6級(jí)）從1到300所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)．一位數(shù)中，不含2有8個(gè)，它們是1、3、4、5、6、7、8、9；兩位數(shù)中，不含2可以這樣考慮：十位上，不含2有1、3、4、5、6、7、8、9這八種狀況．個(gè)位上，不含2有0、1、3、4、5、6、7、8、9這九種狀況，要擬定一種兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個(gè)位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時(shí)共有個(gè)數(shù)不含2；三位數(shù)中，除去300外，百位數(shù)只有1一種取法，十位與個(gè)位均有0，1，3，4，5，6，7，8，9九種取法，依照乘法原理，不含數(shù)字2三位數(shù)有：個(gè)，還要加上300；依照加法原理，從1到300所有自然數(shù)中，不具有數(shù)字2自然數(shù)一共有個(gè)．由數(shù)字0、2、8（既可全用也可不全用）構(gòu)成非零自然數(shù)，按照從小到大排列，排在第個(gè)．【第二屆兩岸四地“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精英邀請(qǐng)賽】（8級(jí)）比小位數(shù)有和，比小位數(shù)有（種），比小位數(shù)有（種），比小位數(shù)有（種），因此排在第（個(gè)）．從分別寫有2、4、6、8四張卡片中任取兩張，做兩個(gè)一位數(shù)乘法.如果其中6可以當(dāng)作9，那么共有多少種不同乘積？（6級(jí)）取2有8、12、16、18四種，取4增長(zhǎng)24、32、36三種，取6增長(zhǎng)48、72兩種，一共有9種自然數(shù)8336，8545，8782有某些共同特性，每個(gè)數(shù)都是以8開頭四位數(shù)，且每個(gè)數(shù)中正好有兩個(gè)數(shù)字相似．這樣數(shù)共有多少個(gè)？（6級(jí)）兩個(gè)相似數(shù)字是8時(shí)，另一種8有3個(gè)位置可選，別的兩個(gè)位置有種填法，有個(gè)數(shù)；兩個(gè)相似數(shù)字不是8時(shí)，相似數(shù)字有9種選法，不同數(shù)字有8種選法，并有3個(gè)位置可放，有個(gè)數(shù)．由加法原理，共有個(gè)數(shù)．在1000到1999這1000個(gè)自然數(shù)中，有多少個(gè)千位、百位、十位、個(gè)位數(shù)字中恰有兩個(gè)相似數(shù)？（6級(jí)）若相似數(shù)是1，則另一種1可以出當(dāng)前個(gè)、十、百位中任一種位置上，剩余兩個(gè)位置分別有9個(gè)和8個(gè)數(shù)可選，有個(gè)；若相似數(shù)是2，有3×8＝24個(gè)；同理，相似數(shù)是0，3，4，5，6，7，8，9時(shí)，各有24個(gè)，因此，符合題意數(shù)共有個(gè)如果一種三位數(shù)滿足，，那么把這個(gè)三位數(shù)稱為“凹數(shù)”，求所有“凹數(shù)”個(gè)數(shù)．（8級(jí)）當(dāng)為時(shí)，、可覺得1～9中任何一種，此時(shí)有種；當(dāng)為時(shí)，、可覺得2～9中任何一種，此時(shí)有種；……；當(dāng)為時(shí)，有種；因此共有(個(gè))．用數(shù)字1，2構(gòu)成一種八位數(shù)，其中至少持續(xù)四位都是1有多少個(gè)？（6級(jí)）將4個(gè)1當(dāng)作一種整體，別的4個(gè)數(shù)有5種狀況：4個(gè)2、3個(gè)2、2個(gè)2、1個(gè)2和沒有2；①4個(gè)2時(shí)，4個(gè)1可以有5種插法；②3個(gè)2時(shí)，3個(gè)2和1個(gè)1共有4種排法，每一種排法有4種插法，共有種；③2個(gè)2時(shí)，2個(gè)2和2個(gè)1共有6種排法，每一種排法有3種插法，共有種；④1個(gè)2時(shí)，1個(gè)2和3個(gè)1共有4種排法，每一種排法有2種插法，共有種；⑤沒有2時(shí)，只有1種；因此，總共有：個(gè)．答：至少持續(xù)四位都是1有48個(gè)．七位數(shù)各位數(shù)字之和為60，這樣七位數(shù)一共有多少個(gè)？（6級(jí)）七位數(shù)數(shù)字之和最多可覺得．．七位數(shù)也許數(shù)字組合為：①9，9，9，9，9，9，6．第一種狀況只需要擬定6位置即可．因此有6種狀況．②9，9，9，9，9，8，7．第二種狀況只需要擬定8和7位置，數(shù)字即擬定．8有7個(gè)位置，7有6個(gè)位置．因此第二種狀況可以構(gòu)成7位數(shù)有個(gè)．③9，9，9，9，8，8，8，第三種狀況，3個(gè)8位置擬定即7位數(shù)也擬定．三個(gè)8位置放置共有種．三個(gè)相似8放置會(huì)產(chǎn)生種重復(fù)放置方式．因此3個(gè)8和4個(gè)9構(gòu)成不同七位數(shù)共有種．因此數(shù)字和為60七位數(shù)共有．從自然數(shù)1~40中任意選用兩個(gè)數(shù)，使得所選用兩個(gè)數(shù)和能被4整除，有多少種取法？（6級(jí)）2個(gè)數(shù)和能被4整除，可以依照被4除余數(shù)分為兩類：第一類：余數(shù)分別為0，0．1~40中能被4整除數(shù)共有（個(gè)），10個(gè)中選2個(gè)，有（種）取法；第二類：余數(shù)分別為1，3．1~40中被4除余1，余3數(shù)也分別均有10個(gè)，有（種）取法；第三類：余數(shù)分別為2，2．同第一類，有45種取法．依照加法原理，共有（種）取法．（6級(jí)）將1～100按照除以3余數(shù)分為3類：第一類，余數(shù)為1有1，4，7，…100，一共有34個(gè)；第二類，余數(shù)為2一共有33個(gè)；第三類，可以被3整除一共有33個(gè)．取出兩個(gè)不同數(shù)其和是3倍數(shù)只有兩種狀況：第一種，從第一、二類中各取一種數(shù)，有種取法；第二種，從第三類中取兩個(gè)數(shù)，有種取法．依照加法原理，不同取法共有：種．在1~10這10個(gè)自然數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同數(shù)，使它們和是3倍數(shù)，共有多少種不同取法？（6級(jí)）兩個(gè)數(shù)和是3倍數(shù)有兩種狀況，或者兩個(gè)數(shù)都是3倍數(shù)，或有1個(gè)除以3余1，另一種除以3余2．1～10中能被3整除有3個(gè)數(shù)，取兩個(gè)有3種取法；除以3余1有4個(gè)數(shù)，除以3余2有3個(gè)數(shù)，各取1個(gè)有種取法．依照加法原理，共有取法：種．（6級(jí)）三個(gè)不同數(shù)和為3倍數(shù)有四種狀況：三個(gè)數(shù)同余1，三個(gè)數(shù)同余2，三個(gè)數(shù)都被3整除，余1余2余0數(shù)各有1個(gè)，四類狀況分別有4種、1種、1種、種，因此一共有種．（6級(jí)）兩個(gè)數(shù)和為3倍數(shù)狀況有兩種：兩個(gè)被3整除數(shù)和是3倍數(shù)，一種被3除余1數(shù)和一種被3除余2數(shù)相加也能被3整除.這71個(gè)數(shù)中被3整除，被3除余1，被3除余2數(shù)分別有23、24、24個(gè)，選用兩個(gè)數(shù)只要是符合之前所說兩種狀況就可以了，選用兩個(gè)被3整除數(shù)辦法有種，從被3除余1和被3除余2數(shù)中各取1個(gè)辦法共有種，因此一共有種選用辦法．（6級(jí)）兩個(gè)數(shù)和被3除余1狀況有兩種：兩個(gè)被3除余2數(shù)相加，和一種被3整除數(shù)和一種被3除余1數(shù)相加，因此選用辦法有種．同樣也可以求出被3除余2選用辦法有種.1到60這60個(gè)自然數(shù)中，選用兩個(gè)數(shù)，使它們乘積是被5除余2偶數(shù)，問，一共有多少種選法？（6級(jí)）兩個(gè)數(shù)乘積被5除余2有兩類狀況，一類是兩個(gè)數(shù)被5除分別余1和2，另一類是兩個(gè)數(shù)被5除分別余3和4，只要兩個(gè)乘數(shù)中有一種是偶數(shù)就能使乘積也為偶數(shù).1到60這60個(gè)自然數(shù)中，被5除余1、2、3、4偶數(shù)各有6個(gè)，被5除余1、2、3、4奇數(shù)也各有6個(gè)，因此符合條件選用方式一共有種．一種自然數(shù)，如果它順著看和倒過來看都是同樣，那么稱這個(gè)數(shù)為“回文數(shù)”．例如1331，7，202都是回文數(shù)，而220則不是回文數(shù)．問：從一位到六位回文數(shù)一共有多少個(gè)?其中第1996個(gè)數(shù)是多少?（6級(jí)）咱們將回文數(shù)分為一位、二位、三位、…、六位來逐組計(jì)算．所有一位數(shù)均是“回文數(shù)”，即有9個(gè)；在二位數(shù)中，必要為形式，即有9個(gè)(由于首位不能為0，下同)；在三位數(shù)中，必要為(、可相似，在本題中，不同字母代表數(shù)可以相似)形式，即有9×10=90個(gè)；在四位數(shù)中，必要為形式，即有9×10個(gè)；在五位數(shù)中，必要為形式，即有9×10×10=900個(gè)；在六位數(shù)中，必要為形式，即有9×10×10=900個(gè)．因此共有9+9+90+90+900+900=1998個(gè)，最大為999999，另一方面為998899，再次為997799．而第1996個(gè)數(shù)為倒數(shù)第3個(gè)數(shù)，即為997799．因此，從一位到六位回文數(shù)一共有1998個(gè)，其中第1996個(gè)數(shù)是997799．如圖，將1，2，3，4，5分別填入圖中格子中，規(guī)定填在黑格里數(shù)比它旁邊兩個(gè)數(shù)都大．共有種不同填法．【走進(jìn)美妙數(shù)學(xué)花園少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽】（6級(jí)）由于規(guī)定“填在黑格里數(shù)比它旁邊兩個(gè)數(shù)都大”，因此填入黑格中數(shù)不可以太小，否則就不滿足條件．通過枚舉法可知填入黑格里數(shù)只有兩類：第一類，填在黑格里數(shù)是5和4；第二類，填在黑格里數(shù)是5和3．接下來就依照這兩類進(jìn)行計(jì)數(shù)：第一類，填在黑格里數(shù)是5和4時(shí)，分為如下幾步：第一步，第一種黑格可從5和4中任選一種，有2種選法；第二步，第二個(gè)黑格可從5和4中剩余一種數(shù)選取，只有1種選法；第三步，第一種白格可從1，2，3中任意選一種，有3種選法．第四步，第二個(gè)白格從1，2，3剩余兩個(gè)數(shù)中任選一種，有2種選法；第五步，最后一種白格只有1種選法．依照乘法原理，一共有種．第二類，填在黑格里數(shù)是5和3時(shí)，黑格中有兩種填法，此時(shí)白格也有兩種填法，依照乘法原理，不同填法有種．因此，依照加法原理，不同填法共有種．在如圖所示1×5格子中填入1，2，3，4，5，6，7，8中五個(gè)數(shù)，規(guī)定填入數(shù)各不相似，并且填在黑格里數(shù)比它旁邊兩個(gè)數(shù)都大．共有種不同填法．（6級(jí)）如果取出來五個(gè)數(shù)是1、2、3、4、5，則共有不同填法16種．從8個(gè)數(shù)中選出5個(gè)數(shù)，共有8×7×6÷(3×2×1)=56中選法，因此共16×56=896種．從1～12中選出7個(gè)自然數(shù)，規(guī)定選出數(shù)中不存在某個(gè)自然數(shù)是另一種自然數(shù)2倍，那么一共有種選法．（6級(jí)）由于規(guī)定選出數(shù)中不存在某個(gè)自然數(shù)是另一種自然數(shù)2倍，可以先依照2倍關(guān)系將1～12進(jìn)行如下分組：(1，2，4，8)；(3，4，12)；(5，10)；(7)；(9)；(11)．由于第一組最多可選出2個(gè)數(shù)，第二組最多可選出2個(gè)數(shù)，別的四組最多各可選出1個(gè)數(shù)，因此最多可選出8個(gè)數(shù)．當(dāng)前規(guī)定選出7個(gè)數(shù)，因此正好有一組選出數(shù)比它最多可選出數(shù)少一種．⑴如果是第一組少一種，也就是說第一組選1個(gè)，第二組選2個(gè)，別的四組各選1個(gè)，此時(shí)有種選法；⑵如果是第二組少一種，也就是說第一組選2個(gè)，別的五組各選一種，此時(shí)第一組有3種選法，依照乘法原理，有種選法；⑶如果是第三組少一種，也就是說第一組選2個(gè)，第二組選2個(gè)，第三組不選，別的三組各選1個(gè)，有種選法；⑷如果是第四、五、六組中某一組少一種，由于這三組地位相似，因此各有種選法．依照加法原理，共有種不同選法．從到這個(gè)自然數(shù)中有個(gè)數(shù)各位數(shù)字之和能被4整除．（6級(jí)）由于在一種數(shù)前面寫上幾種0不影響這個(gè)數(shù)各位數(shù)字之和，因此可以將到中一位數(shù)和兩位數(shù)前面補(bǔ)上兩個(gè)或一種0，使之成為一種三位數(shù)．當(dāng)前相稱于規(guī)定001到999中各位數(shù)字之和能被4整除數(shù)個(gè)數(shù)．一種數(shù)除以4余數(shù)也許為0，1，2，3，0～9中除以4余0數(shù)有3個(gè)，除以4余1也有3個(gè)，除以4余2和3各有2個(gè)．三個(gè)數(shù)和要能被4整除，必要規(guī)定它們除以4余數(shù)和能被4整除，余數(shù)狀況有如下5種：；；；；．⑴如果是，即3個(gè)數(shù)除以4余數(shù)都是0，則每位上均有3種選取，共有種也許，但是注意到其中也包括了000這個(gè)數(shù)，應(yīng)予排除，因此此時(shí)共有個(gè)；⑵如果是，即3個(gè)數(shù)除以4余數(shù)分別為0，1，3，而在3個(gè)位置上排列有種，因此此時(shí)有個(gè)；⑶如果是，即3個(gè)數(shù)除以4余數(shù)分別為0，2，2，在3個(gè)位置上排列有種，因此此時(shí)有個(gè)；⑷如果是，即3個(gè)數(shù)除以4余數(shù)分別為1，1，2，在3個(gè)位置上排列有種，因此此時(shí)有個(gè)；⑸如果是，即3個(gè)數(shù)除以4余數(shù)分別為2，3，3，在3個(gè)位置上排列有種，此時(shí)有個(gè)．依照加法原理，共有．【鞏固】從10到4999這4990個(gè)自然數(shù)中，其數(shù)字和能被4整除數(shù)有多少個(gè)？（6級(jí)）分段計(jì)算：在1000～4999這4000個(gè)數(shù)中，數(shù)字和被4除余0、1、2、3各有1000個(gè)；在200～999這800個(gè)數(shù)中，數(shù)字和被4除余0、1、2、3各有200個(gè)；在20～99、120～199這160個(gè)數(shù)中，數(shù)字和被4除余0、1、2、3各有40個(gè)；此外，10～19、100～119種分別有2個(gè)和4個(gè)被4整除，因此，共有個(gè)．【鞏固】從1到3998這3998個(gè)自然數(shù)中，又多少個(gè)數(shù)各位數(shù)字之和能被4整除？（6級(jí)）從0到999共有1000個(gè)數(shù)，它們除以4余數(shù)為0，1，2，3，這樣，這1000個(gè)數(shù)每一種加上千位上相應(yīng)0，1，2，3，都能被4整除，因此答案為1000個(gè)．有兩個(gè)不完全同樣正方體，每個(gè)正方體六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6．將兩個(gè)正方體放到桌面上，向上一面數(shù)字之和為偶數(shù)有多少種情形？（6級(jí)）要使兩個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)，只要這兩個(gè)數(shù)字奇偶性相似，即這兩個(gè)數(shù)字要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，因此，要分兩大類來考慮．第一類，兩個(gè)數(shù)字同為奇數(shù)．由于放兩個(gè)正方體可以為是一種一種地放．放第一種正方體時(shí)，浮現(xiàn)奇數(shù)有三種也許，即1，3，5；放第二個(gè)正方體，浮現(xiàn)奇數(shù)也有三種也許，由乘法原理，這時(shí)共有種不同情形．第二類，兩個(gè)數(shù)字同為偶數(shù)，類似第一類討論辦法，也有種不同情形．最后再由加法原理即可求解．兩個(gè)正方體向上一面數(shù)字之和為偶數(shù)共有種不同情形．有兩個(gè)不完全同樣正方體，每個(gè)正方體六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6．將兩個(gè)正方體放到桌面上，向上一面數(shù)字之和為奇數(shù)有多少種情形？（6級(jí)）要使兩個(gè)數(shù)字之和為奇數(shù)，只要這兩個(gè)數(shù)字奇偶性不同，即這兩個(gè)數(shù)字一種為奇數(shù)，另一種為偶數(shù)，由于放兩個(gè)正方體可以為是一種一種地放．放第一種正方體時(shí)，浮現(xiàn)奇數(shù)有三種也許，即．有兩個(gè)骰子，每個(gè)骰子六個(gè)面分別有1、2、3、4、5、6個(gè)點(diǎn)．隨意擲這兩個(gè)骰子，向上一面點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)情形有多少種？（6級(jí)）辦法一：要使兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，只要這兩個(gè)點(diǎn)數(shù)奇偶性相似，可以分為兩步：第一步第一種骰子隨意擲有6種也許點(diǎn)數(shù)；第二步當(dāng)?shù)谝环N骰子點(diǎn)數(shù)擬定了后來，第二個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)只能是與第一種骰子點(diǎn)數(shù)相似奇偶性3種也許點(diǎn)數(shù)．依照乘法原理，向上一面點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)情形有（種）．辦法二：要使兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，只要這兩個(gè)點(diǎn)數(shù)奇偶性相似，因此，可以分為兩類：第一類：兩個(gè)數(shù)字同為奇數(shù)．有（種）不同情形．第二類：兩個(gè)數(shù)字同為偶數(shù)．類似第一類，也有（種）不同情形．依照加法原理，向上一面點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)情形共有（種）．辦法三：隨意擲兩個(gè)骰子，總共有（種）不同情形．由于兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)與偶數(shù)也許性是同樣，因此，點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)情形有（種）．有三個(gè)骰子，每個(gè)骰子六個(gè)面分別有1、2、3、4、5、6個(gè)點(diǎn)．隨意擲這三個(gè)骰子，向上一面點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)情形有多少種？（6級(jí)）辦法一：要使三個(gè)點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，有兩種狀況，三個(gè)點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù)，或者一種點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)此外兩個(gè)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)．可以分為三步：第一步，第一種骰子隨意擲有6種也許點(diǎn)數(shù)；第二步，當(dāng)?shù)谝环N骰子點(diǎn)數(shù)擬定了后來，第二個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)還是奇數(shù)偶數(shù)均有也許所有也有6種也許點(diǎn)數(shù)；第三步，當(dāng)前兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)即奇偶性都擬定了之后第三個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)奇偶性就擬定了因此只有3種也許點(diǎn)數(shù)．依照乘法原理，向上一面點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)情形有（種）．辦法二：要使三個(gè)點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，有兩種狀況，三個(gè)點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù)，或者一種點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)此外兩個(gè)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)．因此，要分兩大類來考慮：第一類：三個(gè)點(diǎn)數(shù)同為偶數(shù)．由于擲骰子可以為是一種一種地?cái)S．每擲一種骰子浮現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)數(shù)均有3種也許．由乘法原理，此類共有（種）不同情形．第二類：一種點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)此外兩個(gè)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)．先選一種骰子作為偶數(shù)點(diǎn)數(shù)骰子有3種選法，然后類似第一類討論辦法，共有（種）不同情形．依照加法原理，三個(gè)骰子向上一面點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)情形共有（種）．3個(gè)骰子擲出點(diǎn)數(shù)和中，哪個(gè)數(shù)最有也許？（6級(jí)）對(duì)于3個(gè)骰子狀況，狀況比較復(fù)雜，點(diǎn)數(shù)和取值范疇是3到18，其中點(diǎn)數(shù)和為3到8狀況而13到18點(diǎn)數(shù)狀況種數(shù)也可以直接求出，例如點(diǎn)數(shù)為13狀況，將每個(gè)骰子數(shù)值分別記為、、，、、取值都是1到6，則問題變?yōu)榻鈹?shù)量，即解數(shù)量，這就又可以用隔板法來求了，得數(shù)還是21種，(事實(shí)上構(gòu)成數(shù)表一定是左右對(duì)稱)對(duì)于點(diǎn)數(shù)和為9、10、11、12狀況不能用隔板法來求，例如對(duì)9進(jìn)行隔板有種，但這28種中還涉及了1、1、7，1、7、1，7、1、1三種狀況，因此實(shí)際狀況只有25種，對(duì)于點(diǎn)數(shù)和為10點(diǎn)狀況用擋板法求得45種，扣除9種浮現(xiàn)超過6點(diǎn)狀況，尚有36種,詳表如圖：點(diǎn)數(shù)345678910狀況數(shù)1361015212536點(diǎn)數(shù)1817161514131211狀況數(shù)1361015212536因此3個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)和中，10和11也許性最大．有一種用12位數(shù)表達(dá)時(shí)間辦法：前兩位表達(dá)分，三四位表達(dá)時(shí)，五六位表達(dá)日，七八位表達(dá)月，后四位表達(dá)年．凡局限性數(shù)時(shí)，前面補(bǔ)0．按照這種辦法，2月20日2點(diǎn)20分可以表達(dá)為．這個(gè)數(shù)特點(diǎn)是：它是一種12位反序數(shù)，即按數(shù)位順序正著寫反著寫都是相似自然數(shù)，稱為反序數(shù)．例如171，23032等是反序數(shù)．而28與82不相似，因此28，82都不是反序數(shù)．問：從公元10到12月，共有多少個(gè)這樣時(shí)刻？（6級(jí)）反序數(shù)是關(guān)于中心對(duì)稱數(shù)．⑴日期兩個(gè)數(shù)可以是01，02，03，10，11，12中任意一種．⑵年份前兩位可以是10～12中任意數(shù)．⑶年份末兩位可以分別是0～9，0～5中任意數(shù)．⑷在公元1000～公元間符合條件數(shù)共有個(gè)．，，，月份可選01，02，03，10，11，12．符合條件時(shí)間共：(個(gè))如果電子計(jì)時(shí)器所顯示十個(gè)數(shù)字是“”這樣一串?dāng)?shù)，它表達(dá)是1月26日9時(shí)30分28秒．在這串?dāng)?shù)里，“0”浮現(xiàn)了3次，“2”浮現(xiàn)了2次，“1”、“3”、“6”、“8”、“9”各浮現(xiàn)1次，而“4”、“5”、“7”沒有浮現(xiàn)．如果在電子計(jì)時(shí)器所顯示這串?dāng)?shù)里，“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”、“7”、“8”、“9”這十個(gè)數(shù)字都只能浮現(xiàn)一次，稱它所示時(shí)刻為“十全時(shí)”，那么一共有多少個(gè)這樣“十全時(shí)”？（6級(jí)）⑴容易驗(yàn)證在1、2、10、11、12月內(nèi)沒有“十全時(shí)”．⑵3月里只有形式0321□□符合條件．其中兩個(gè)方格中可以填4或5，四條橫線上可以填6或7或8或9，于是共有個(gè)“十全時(shí)”．同理4、5月內(nèi)也分別各有48個(gè)“十全時(shí)”．⑶6月里有兩種形式：06123□□①或0621□□②符合條件．對(duì)于形式①兩個(gè)方格中可以填4或5；三條橫線上可以填7或8或9，于是共有個(gè)“十全時(shí)”．②兩個(gè)方格中可以填3或4，或5中任意兩個(gè)數(shù)，三條橫線上可以填7或8或9及3、4、5中余下某一種數(shù)．于是共有個(gè)“十全時(shí)”．因此6月里共有“十全時(shí)”個(gè)．同理7、8、9月內(nèi)也分別各有156個(gè)“十全時(shí)”．綜上所述，一共有個(gè)“十全時(shí)”．模塊三、加乘原理與圖論地圖上有A，B，C，D四個(gè)國(guó)家(如下圖)，既有紅、黃、藍(lán)三種顏色給地圖染色，使相鄰國(guó)家顏色不同，但不是每種顏色都必要要用，問有多少種染色辦法？（6級(jí)）A有3種顏色可選；當(dāng)B，C取相似顏色時(shí)，有2種顏色可選，此時(shí)D也有2種顏色可選．依照乘法原理，不同涂法有種；當(dāng)B，C取不同顏色時(shí)，B有2種顏色可選，C僅剩1種顏色可選，此時(shí)D也只有1種顏色可選(與A相似)．依照乘法原理，不同涂法有種．綜上，依照加法原理，共有種不同涂法．如果有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色給例題中地圖染色，使相鄰國(guó)家顏色不同，但不是每種顏色都必要要用，問有多少種染色辦法？（6級(jí)）第一步，一方面對(duì)A進(jìn)行染色一共有4種辦法，然后對(duì)B、C進(jìn)行染色，如果B、C取相似顏色，有三種方式，D剩余3種方式，如果B、C取不同顏色，有種辦法，D剩余2種辦法，對(duì)該圖染色辦法一共有種辦法．如右圖，有A、B、C、D、E五個(gè)區(qū)域，現(xiàn)用五種顏色給區(qū)域染色，染色規(guī)定：每相鄰兩個(gè)區(qū)域不同色，每個(gè)區(qū)域染一色．有多少種不同染色方式？（6級(jí)）先采用分步：第一步給A染色，有5種辦法；第二步給B染色，有4種方式；第三步給C染色，有3種方式；第四步給D染色，有3種方式；第五步，給E染色，由于E不能與A、B、D同色，但可以和C同色．此時(shí)就浮現(xiàn)了問題：當(dāng)D與B同色時(shí)，E有3種顏色可染；而當(dāng)D與B異色時(shí)，E有2種顏色可染．因此必要從第四步就開始分類：第一類，D與B同色．E有3種顏色可染，共有（種）染色方式；第二類，D與B異色．D有2種顏色可染，E有2種顏色可染，共有（種）染色方式．依照加法原理，共有（種）染色方式．如右圖，有A，B，C，D四個(gè)區(qū)域，現(xiàn)用四種顏色給區(qū)域染色，規(guī)定相鄰區(qū)域顏色不同，每個(gè)區(qū)域染一色．有多少種染色辦法？（6級(jí)）A有4種顏色可選，然后分類：第一類：，取相似顏色．有3種顏色可染，此時(shí)也有3種顏色可選．依照乘法原理，不同染法有（種）；第二類：當(dāng)，取不同顏色時(shí)，有3種顏色可染，有2種顏色可染，此時(shí)也有2種顏色可染．依照乘法原理，不同染法有（種）．依照加法原理，共有(種)染色辦法．用四種顏色對(duì)右圖五個(gè)字染色，規(guī)定相鄰區(qū)域字染不同顏色，但不是每種顏色都必要要用．問：共有多少種不同染色辦法?（6級(jí)）第一步給“而”上色，有4種選?。蝗缓髮?duì)“學(xué)”染色，“學(xué)”有3種顏色可選；當(dāng)“奧”，“數(shù)”取相似顏色時(shí)，有2種顏色可選，此時(shí)“思”也有2種顏色可選，不同涂法有種；當(dāng)“奧”，“數(shù)”取不同顏色時(shí)，“奧”有2種顏色可選，“數(shù)”剩僅1種顏色可選，此時(shí)“思”也只有1種顏色可選(與“學(xué)”相似)，不同涂法有種．因此，依照加法原理，共有種不同涂法．分別用五種顏色中某一種對(duì)下圖，，，，，六個(gè)區(qū)域染色，規(guī)定相鄰區(qū)域染不同顏色，但不是每種顏色都必要要用．問：有多少種不同染法？（8級(jí)）先按，，，，順序染色，可供選取顏色依次有5，4，3，2，3種，注意與顏色搭配有(種)，其中有3種和同色，有6種和異色．最后染，當(dāng)與同色時(shí)有3種顏色可選，當(dāng)與異色時(shí)有2種顏色可選，因此共有種染法．將圖中○分別涂成紅色、黃色或綠色，規(guī)定有線段相連兩個(gè)相鄰○涂不同顏色，共有多少種不同涂法？（6級(jí)）如右上圖，當(dāng)，，，顏色擬定后，大正方形四個(gè)角上○顏色就擬定了，因此只需求，，，有多少種不同涂法．按先，再，，后順序涂色．按順序涂顏色：有3種顏色可選；當(dāng)，取不同顏色時(shí)，有2種顏色可選，僅剩1種顏色可選，此時(shí)也只有1種顏色可選(與相似)，不同涂法有(種)．因此，依照加法原理，共有種不同涂法．直線a，b上分別有5個(gè)點(diǎn)和4個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以畫出多少個(gè)三角形？（6級(jí)）畫三角形需要在一條線上找1個(gè)點(diǎn)，另一條線上找2個(gè)點(diǎn)，本題分為兩種狀況：⑴在線上找一種點(diǎn)，有5種選用法，在線上找兩個(gè)點(diǎn)，有種，依照乘法原理，一共有：個(gè)三角形；⑵在線上找一種點(diǎn)，有4種選用法，在線上找兩個(gè)點(diǎn)，有種，依照乘法原理，一共有：個(gè)三角形；依照加法原理，一共可以畫出：個(gè)三角形．直線a，b上分別有4個(gè)點(diǎn)和2個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以畫出多少個(gè)三角形？（4級(jí)）畫三角形需要在一條線上找1個(gè)點(diǎn)，另一條線上找2個(gè)點(diǎn)，本題分為兩種狀況：⑴在線上找一種點(diǎn)，有4種選用法，在線上找兩個(gè)點(diǎn)，有1種，依照乘法原理，一共有：個(gè)三角形；⑵在線上找一種點(diǎn)，有2種選用法，在線上找兩個(gè)點(diǎn)，有種，依照乘法原理，一共有：個(gè)三角形；依照加法原理，一共可以畫出：個(gè)三角形．直線a，b上分別有5個(gè)點(diǎn)和4個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以畫出多少個(gè)四邊形？（4級(jí)）畫四邊形需要在每條線上取2個(gè)點(diǎn)，在線上取2個(gè)點(diǎn)共有種，在線上取2個(gè)點(diǎn)共有種，依照乘法原理，一共可以畫出個(gè)四邊形．三條平行線上分別有2，4，3個(gè)點(diǎn)(下圖)，已知在不同直線上任意三個(gè)點(diǎn)都不共線．問：以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以畫出多少個(gè)不同三角形？（6級(jí)）(辦法一)本題分三角形三個(gè)頂點(diǎn)在兩條直線上和三條直線上兩種狀況⑴三個(gè)頂點(diǎn)在兩條直線上，一共有個(gè)⑵三個(gè)頂點(diǎn)在三條直線上，由于不同直線上任意三個(gè)點(diǎn)都不共線，因此一共有：個(gè)依照加法原理，一共可以畫出個(gè)三角形．(辦法二)個(gè)點(diǎn)任取三個(gè)點(diǎn)有種取法，其中三個(gè)點(diǎn)都在第二條直線上有種，都在第三條直線上有種，因此一共可以畫出個(gè)三角形．5條直線兩兩相交，沒有兩條直線平行，沒有任何三條直線通過同一種點(diǎn)，以這5條直線交點(diǎn)為頂點(diǎn)能構(gòu)成幾種三角形？（6級(jí)）辦法一：5條直線一共形成個(gè)點(diǎn)，對(duì)于任何一種點(diǎn)，通過它有兩條直線，每條直線上此外有3個(gè)點(diǎn)，此外尚有三個(gè)不共線點(diǎn)，以這個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)三角形就有個(gè)三角形，以10個(gè)點(diǎn)分別為定點(diǎn)三角形一共有300個(gè)三角形，但每個(gè)三角形被重復(fù)計(jì)算3次，因此一共有100個(gè)三角形．辦法二：只要三點(diǎn)不共線就能構(gòu)成三角形，因此咱們先求出10個(gè)點(diǎn)中取出3個(gè)點(diǎn)種數(shù)，再減去3點(diǎn)共線狀況．這10個(gè)點(diǎn)是由5條直線互相相交得到，在每條直線上均有4個(gè)點(diǎn)存在共線狀況，這4個(gè)點(diǎn)中任意三個(gè)都共線，因此一共有個(gè)三點(diǎn)共線狀況，除此以外再也沒有3點(diǎn)共線狀況(用反證法可證明之)，因此一共可以構(gòu)成

種狀況．（6級(jí)）第一類：三角形三個(gè)頂點(diǎn)都在圓周上，這樣三角形一共有種；第二類：三角形兩個(gè)頂點(diǎn)在圓周上，這樣三角形一共有種；第三類：三角形一種頂點(diǎn)在圓周上，這樣三角形一共有種；依照加法原理，一共可以畫