高一數(shù)學(xué)新教材同步教學(xué)講義 三角恒等變換（原卷版）

三角恒等變換

【題型歸納目錄】

題型一：兩角和與差的正(余)弦公式

題型二：兩角和與差的正切公式

題型三：二倍角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用

題型四：給角求值

題型五：給值求值

題型六：給值求角

題型七：利用半角公式化簡(jiǎn)求值問題

題型八：三角恒等式的證明

題型九：輔助角公式的應(yīng)用

題型十：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合

題型十一：利用兩角和與差的余弦進(jìn)行證明

題型十二：三角恒等變換在實(shí)際問題中的應(yīng)用

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一：兩角和的余弦函數(shù)

兩角和的余弦公式：

cos(ɑ÷∕7)=cosacosβ-sinasinβCgfi)

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

(1)公式中的a、夕都是任意角；

(2)和差角的余弦公式不能按分配律展開，即COS(a±∕7)≠cosc±cos∕?；

(3)公式使用時(shí)不僅要會(huì)正用，還要能夠逆用，在很多時(shí)候，逆用更能簡(jiǎn)捷地處理問題.

(4)記憶：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號(hào)與等號(hào)左邊角的連接符號(hào)相反.

知識(shí)點(diǎn)二：兩角和與差的正弦函數(shù)

兩角和正弦函數(shù)

sin(a+/?)=sinacosβ+cosasinβSD

在公式S,1+m中用-夕代替就得到：

兩角差的正弦函數(shù)

sin(a-β)=sin?cosβ-cosasinβSg一⑶

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

(1)公式中的a、〃都是任意角；

(2)與和差角的余弦公式一樣，公式對(duì)分配律不成立，即sin(a±/?)≠sin￠z±sin/?；

(3)和差公式是誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和差公式的特例.如

Sin(2萬一α)=sin2;TCoSa-cos24Sina=OXCoSa-IXSina=-Sina

當(dāng)α或尸中有一個(gè)角是l的整數(shù)倍時(shí)，通常使用誘導(dǎo)公式較為方便;

(4)使用公式時(shí)，不僅要會(huì)正用，還要能夠逆用公式，如化簡(jiǎn)sin(α+/)CoS尸-cos(α+6)Sin/時(shí),

不要將sin(α+⑶和cos(α+p)展開，而應(yīng)采用整體思想，進(jìn)行如下變形：

sin(α+夕)cos/一cos(α+/?)sinβ=sin[(a+尸)一夕]=Sina

這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體原則.

(5)記憶時(shí)要與兩角和與差的余弦公式區(qū)別開來，兩角和與差的余弦公式的等號(hào)右端的兩部分為同

名三角函數(shù)積，連接符號(hào)與等號(hào)左邊角的連接符號(hào)相反；兩角和與差的正弦公式的等號(hào)右端的兩部分為異

名三角函數(shù)積，連接符號(hào)與等號(hào)左邊角的連接符號(hào)相同.

知識(shí)點(diǎn)三：兩角和與差的正切函數(shù)

tantz+tan/?

tan(α+￡)=τ

l-tanatanβ

zmtana-tanβ

tan(α-/?)=...................-T1

1+tanatanβ^-β)

知識(shí)點(diǎn)詮釋:

(1)公式成立的條件是：α≠?+kπ,β≠~÷+/7≠?+?或α-∕≠1+Aτr,其中攵∈Z;

(2)公式的變形：tana+tany0=tan(a÷/7)(1-tanatan∕?)

tana-t3nβ=tan(σ-/7)(1+tanatanβ)

(3)兩角和與差的正切公式不僅可以正用，也可以逆用、變形用，逆用和變形用都是化簡(jiǎn)三角恒等式

的重要手段，如1@.+1@“=1@11(2+力)(1-1@11e1加夕)就可以解決諸如(￡11125。+13020。+131125。131120。的

求值問題.所以在處理問題時(shí)要注意觀察式子的特點(diǎn)，巧妙運(yùn)用公式或其變形，使變換過程簡(jiǎn)單明了.

(4)公式對(duì)分配律不成立，即tan(o±∕)≠tana±tan∕.

知識(shí)點(diǎn)四：理解并運(yùn)用和角公式、差角公式需注意的幾個(gè)問題

1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式之間的內(nèi)在聯(lián)系

S(x+B

以-S代Sa-β

?Ca-B

Cα+B

相除I

相除

▼

以-S代S

Ta+。-------------------ATa-B

(I)掌握好表中公式的內(nèi)在聯(lián)系及其推導(dǎo)線索，能幫助學(xué)生理解和記憶公式，是學(xué)好本部分的關(guān)鍵.

(2)誘導(dǎo)公式是兩角和、差的三角函數(shù)公式的特殊情況.中若有為]的整數(shù)倍的角時(shí)，使用

誘導(dǎo)公式更靈活、簡(jiǎn)便，不需要再用兩角和、差公式展開.

2、重視角的變換

三角變換是三角函數(shù)的靈魂與核心，在三角變換中，角的變換是最基本的變換，在歷年的高考試題中

多次出現(xiàn)，必須引起足夠的重視.常見的角的變換有：

a=[a+β}-β；a=β-^β-a)；a=(2a-β^)-{a-β)；α=g[(α+P)-(6一ɑ)]等，常見的三角變

換有：切化弦、I=Sin2α+cos?α等.

知識(shí)點(diǎn)五：二倍角的正弦、余弦、正切公式

1、二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2a=2sina?cosa(S2a)

22

cos2a=cosa-sina(C2a)

=2cos2a-l

=1-2sin2a

2tana

tan2a=(&)

1-tan2a

知識(shí)點(diǎn)詮釋:

(1)公式成立的條件是：在公式S",G.中'角α可以為任意角’但公式石.中'只有當(dāng)αH3+氏江及

αw(+?^(ZWZ)時(shí)才成立；

(2)倍角公式不僅限于2α是。的二倍形式，其它如4。是勿的二倍、4是4的二倍、3。是細(xì)的

242

二倍等等都是適用的.要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用好二倍角公式，這是靈活運(yùn)

CCCLCL

用公式的關(guān)鍵.如：sina=2sin-cos-sin—=2sin-cos^(tt∈Z)

22zr

2、和角公式、倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系

在兩角和的三角函數(shù)公式S”,，Ce7；“中，當(dāng)α=y?時(shí)，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式，它們

的內(nèi)在聯(lián)系如下:

Sa-B

以-S代S

Ca-B

相相除

以-S代S

---------------->TLB

知識(shí)點(diǎn)六：二倍角公式的逆用及變形

1、公式的逆用

2sin々cose=sin2。；SinaeOSa=LSin2。.

2

Cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a=cos2a?

2tanαC

--------?—=tan2cr.

I-tan`a

2、公式的變形

1±sin2a=(sina±cosa)2；

21+cos2cr.2l-cos2a

降暴公式:cosa=------------,sma=-------------

22

升暴公式:1+cos2ɑ=2COS2α,l-cos2α=2sin2a

知識(shí)點(diǎn)三:兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類基本題型

求值題、化簡(jiǎn)題、證明題

1、對(duì)公式會(huì)“正著用”，“逆著用”，也會(huì)運(yùn)用代數(shù)變換中的常用方法：因式分解、配方、湊項(xiàng)、添項(xiàng)、

換元等;

2、掌握“角的演變”規(guī)律，尋求所求結(jié)論中的角與已知條件中的角的關(guān)系，如

a=(a-β)+β,2a=(a+β)+(a-仍等等,把握式子的變形方向，準(zhǔn)確運(yùn)用公式，也要抓住角之間的

規(guī)律(如互余、互補(bǔ)、和倍關(guān)系等等)；

3、將公式和其它知識(shí)銜接起來使用，尤其注意第一章與第三章的緊密銜接.

知識(shí)點(diǎn)七:升(降)幕縮(擴(kuò))角公式

升幕公式:1+cos20r=2cos2a,I-cos2α=2sin2a

、I+cos2α.I-cos2a

降嘉公式:cos^a=-----2-------,SIrra---------------

22

知識(shí)點(diǎn)詮釋:

利用二倍角公式的等價(jià)變形：1-cosα=2sh√q,l+cosa=2c(√q進(jìn)行“升、降幕”變換，即由左邊

22

的“一次式''化成右邊的“二次式”為“升基''變換，逆用上述公式即為“降基”變換.

知識(shí)點(diǎn)八：輔助角公式

1、形如asinx+bcosx的三角函數(shù)式的變形：

jI0TVcib

αsιnx+OCOSX=VQ~+/?-,sinx+.cosx

l√?2+?2√α2÷?2

QSinX+?cosx=y]a2+b2（sinXCoSφ+cosxsinφ）=?∣a2+?2Sin（X+⑼

,h_h

（其中9角所在象限由α,b的符號(hào)確定，0角的值由tan°=—確定，或由sine=/和

Q?∣a2÷?2

COS0=-J="共同確定.）

2、輔助角公式在解題中的應(yīng)用

通過應(yīng)用公式asinx+bcosx=?Ja2+b2sin（x+φ）（或asinx+bcosx=?∣a2+?2cos（σ-φ））,將形如

αsinx+bcos%（α,。不同時(shí)為零）收縮為一個(gè)三角函數(shù)Ja?+從Sin（X+。）（或jɑ?+匕2CoS（α—夕））.這種

恒等變形實(shí)質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和變形為一個(gè)三角函數(shù)，這樣做有利于函數(shù)

式的化簡(jiǎn)、求值等.

知識(shí)點(diǎn)九：半角公式（以下公式只要求會(huì)推導(dǎo)，不要求記憶）

以上三個(gè)公式分別稱作半角正弦、余弦、正切公式，它們是用無理式表示的.

aSinaaI-CoSa

tan—=-----------,tan—=-----------

2l+cosa2Sina

以上兩個(gè)公式稱作半角正切的有理式表示?

知識(shí)點(diǎn)十：積化和差公式

sinacosβ-~^[sin(α—y?)+sin(α+y?)]

cosasin^=-[sin(α+￡)-sin(ɑ-￡)]

cosacosβ=：lcos(α-77)+cos(α+β)?

SinaSin∕?=—[cos(α-/?)-cos(a÷/?)]

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

規(guī)律h公式右邊中括號(hào)前的系數(shù)都有;.

規(guī)律2：中括號(hào)中前后兩項(xiàng)的角分別為α+/?和α-/7.

規(guī)律3：每個(gè)式子的右邊分別是這兩個(gè)角的同名函數(shù).

知識(shí)點(diǎn)十一：和差化積公式

C.x+yx-y

SIn龍+siny=2sιn------cos------

22

sin%-sinV=2COS?Λ-?sin-~?-

22

Cx+VX-V

cosX+cosy=2cos---cos—丁

C.x+y.x-y

cosx-cosy=-zs?n------sin------

22

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

規(guī)律1：在所有的公式中，右邊積的系數(shù)中都有2.

規(guī)律2：在所有的公式中，左邊都是角A與3的弦函數(shù)相加減，右邊都是婦0與上0的弦函數(shù)相

22

乘.

規(guī)律3：在第三個(gè)公式中，左邊是兩個(gè)余弦相加，右邊是兩個(gè)余弦相乘，于是得出“扣（CaS）加扣等于

倆扣”；而第四個(gè)公式中，左邊是兩個(gè)余弦相減，右邊沒有余弦相乘，于是得出“扣減扣等于沒扣”.

規(guī)律4：兩角正弦相加減時(shí)，得到的都是正弦、余弦相乘.

注意

1、公式中的“和差”與“積”，都是指三角函數(shù)間的關(guān)系，并不是指角的關(guān)系.

2、只有系數(shù)絕對(duì)值相同的同名三角函數(shù)的和與差，才能直接應(yīng)用公式化成積的形式.如Sina+cos分

就不能直接化積，應(yīng)先化成同名三角函數(shù)后，再用公式化成積的形式.

3、三角函數(shù)的和差化積，常因采用的途徑不同，而導(dǎo)致結(jié)果在形式上有所差異，但只要沒有運(yùn)算錯(cuò)誤，

其結(jié)果實(shí)質(zhì)上是一樣的.

4、為了能把三角函數(shù)的和差化成積的形式，有時(shí)需要把某些特殊數(shù)值當(dāng)作三角函數(shù)值，如

1兀c./兀α?.（兀ɑ?

——cosa=Cos——cosa=-2sιn—+—sin-------.

23（62J（62J

5、三角函數(shù)式和差化積的結(jié)果應(yīng)是幾個(gè)三角函數(shù)式的最簡(jiǎn)形式.

【典型例題】

題型一：兩角和與差的正（余）弦公式

例L（2022?浙江省杭州第九中學(xué)高一期末）cos105°=（）

Ay∕2-y∣3R?∣2+?/?p>/2—?/en瓜-6

4444

,34

例2.(2022?江西九江?高一期末)已知Sina+sin∕=?∣,COSa+cos∕=g,則cos(α-/7)=()

例3.（2022?山東臨沂?高一期末）Sin70。Sin40。-Sin50。COSII0。=（）

A.?B.--c

22?τD?-T

變式1.（2022?新疆?柯坪湖州國(guó)慶中學(xué)高一期末）sin15°=（）

Al+>∕2Rλ∕β-V2C屈+6D6+■

A.-----------t>.----------------

24--4---4~

變式2?（2022?四川成都?高一期末）sin75°cosl50-cos750sinl5'的值為（）

A.?B.BC.顯D,1

222

變式3.（2022?山東濰坊?高一期末）下列各式化簡(jiǎn)結(jié)果為T的是（）

A.1-2COS275oB.sinl5ocosl5o

C.sin14ocos16o+sin76ocos74oD.tan20o+tan25o+tan200tan25o

【方法技巧與總結(jié)】

已知α,￡的某種三角函數(shù)值，求α±6的正弦，先要根據(jù)平方關(guān)系求出口、夕的另一種三角函數(shù)值.求

解過程中要注意先根據(jù)角的范圍判斷所求三角函數(shù)值的符號(hào)，然后再將求得的函數(shù)值和已知函數(shù)值代入和

角或差角的三角函數(shù)公式中求值.

題型二：兩角和與差的正切公式

o

例4.（2022?甘肅蘭州?高一期末）1?+Qtan1口S=（）

1-tan15°

A.立B.1C.√3D.1一走

33

例5.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）在AABC中,tanA÷tanB÷tanC=??/?,tan2B=tanAtanC,則角5=

（）

A.30oB.45oC.60oD.75o

例6.（2022?吉林?東北師大附中高一階段練習(xí)）tanlθ+tan50+?/?tanlθtan50的值為（）

A.且B.√3C.1D.-√3

3

變式4?（2022?四川成都?高一期末（文））tan450-tan150-—tan45otan15o=（）

3

A.√3B.√3-2C.-也D.叵

33

變式5.（2022?四川成都?高一期末）tanl5°=()

A.2-百B.y∕3-2C.-2-√3D.2+√3

【方法技巧與總結(jié)】

公式tan（α+4）=tan°+tan'的變形tana+tany0=tan（σ+/）（1一tanαtan尸）應(yīng)予以靈活運(yùn)用.

1-tanσtany?

題型三：二倍角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用

例7.（2022?河南?安陽37中高一期末）已知Sina+cos。=；,則sin2α=（）

8118

-C

A.9-B.-2-2-D.9-

例8.（2022?河北保定?高一階段練習(xí)）若Sina=-g,則COS4。=（）

3

D.

4

例9.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）若tan。=立，貝IJCoS2。=（

)

2

?

D.

3

變式6.（2022?浙江?高一期中）若tanθ=3,則竺如空變=（）

Sine-CoSe

變式7.（2022?江西省豐城中學(xué)高一期中）若Sinl^→α）=g,

則COS2a+cosa-()

31C31C4r7

A.—B.——C.——D.一

323298

變式8.（2022?廣東佛山?高一期末）若tan9=g貝IJtan26=（）

2C2C4C4

A.-B."C.一D.-

5353

【方法技巧與總結(jié)】

應(yīng)用二倍角公式化簡(jiǎn)（求值）的策略：化簡(jiǎn)求值關(guān)注四個(gè)方向：分別從“角”“函數(shù)名”“幕”“形”著手分

析，消除差異.

題型四：給角求值

例10.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）sin20o+sin40o+sin6（r-sin80o的值為（）

A.0B.?C.—D.立

222

2sin2001_(

例11.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：)

sinl0otan10°^

A.-√2B.√2C.-√3D.√3

2氐in700-石Sinl0°

例12.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?高一期末）計(jì)算：=()

CoslO0

A.1B.2C.3D.4

2cos10oCCC/、

變式9.（2022?江蘇?南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)高一期中）-------------tan20°=()

sin70o

A.1B.√2C.√3D.2

2sin20o+sin40o

變式10.（2022?河南南陽?高一階段練習(xí)）)

2sin220o-l

A.-√2B.-2C.-√3D.-1

變式IL（2022?四川成都?高一期中（理））sin50+sin55°=()

A.sin60oB.sin65°C.sin70oD.sin75o

（?江蘇省沙溪高級(jí)中學(xué)高一期中）

變式12.20222SM50820=()

sin20

A.-1B.1C.-√3D.√3

Sin200-2cos10°

變式13.（2。22?江蘇?昆山經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)高級(jí)中學(xué)高一期中）--20^（）

A.-1B.-√3C.1D.√3

【方法技巧與總結(jié)】

在利用公式解含有非特殊角的三角函數(shù)式的求值問題時(shí)，要先把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差（或同

一個(gè)非特殊角與特殊角的差），利用公式直接化簡(jiǎn)求值，在轉(zhuǎn)化過程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造出兩

角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式，正確地順用公式或逆用公式求值.

題型五：給值求值

22

V2(cos0-sinθ]f-

—~7-------r—L=√3sin2<9

例13,（2022?陜西?榆林市第十中學(xué)高一期末）若,則sin26=()

CoS+6

?-4b?Ic?id?4

例14.（2022?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一期中（理））若瑞翁=3,則黑器*=（）

例15.（2022?廣西?模擬預(yù)測(cè)（文））已知Sine—α）=g,則cos（2a+1）=（）

11拽

---C4√5

A.9B.9-9D.9

（、cos2x

變式14.（2022?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一階段練習(xí)（理））已知cos[x+?）=-3,則COS（X一生）的值

是（）

A.--B.IC.-也D.理

3333

變式15.（2022?浙江?余姚市實(shí)驗(yàn)高中高一開學(xué)考試）已知函數(shù)f（x）=2SinqX-JxeR.設(shè)

a、BW0?,∕βα+yU?^,∕(3^+2Λ?)=∣,則cos(a+⑶的值為()

56C16"63C33

Aa.—B.—C.—D.—

65656565

變式16.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))己知α一夕=年，且COSa+cos/?=；,則cos(α+∕7)的值為()

7711

-C-

A.9-B.9-9-D.9-

已知COSje+9]=尚＞0＜夕＜￡＞貝IJCoSe等于()

變式17?（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）

\67133

?12-5百?5百+125+12√3C5+5√3

C.LJ?---------------

13262613

6-；卜OS(TrT

變式18.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知√∑sin-0)=Cos2(9-sin2,且SineW0,則

tanf^+~）值為（）

I6

B.B

A.√3C.2-√3D.2+√3

3

/、JΣL兀π

變式19.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知cos(2α-/7)=-,sm(α-24)=彳，且

0＜∕7＜?^,則COS(C+/?)=()

A.1B.0C.-1DT

21

變式20.（2022?甘肅?卓尼縣柳林中學(xué)高一期末）tan(α+￡)=—,tan(α-/?)=~,則tan2α=()

54

A.13

B.-C.D.?

6132218

變式21.（2022?遼寧撫順?高一期末）若tan(α+800)=4sin4200,則7tan（a+20。）的值為（)

D.B

A.6B.2√3C.

7

(2022?四川?成都七中高一期末)已知α,"e[θ,g],cos(α+4)=R,sin/=

變式22.貝Ucosα=

()

635656C63

A.-----Bo.-----C.D.—

65656565

已知cos(α一看)+Sina=^^?,則COS(方?+α)的值是

變式23.（2022?廣東汕尾?高一期末）()

A.-1C42√3D.空

B.一C.

555

變式24.（2022?北京?中關(guān)村中學(xué)高一階段練習(xí)）若3sinα-sin/=JnLa+/?=p則COSa=（）

A,巫3√10√10

Dr.---------r-----

101010DT

（2022?山東濟(jì)寧?高一期中）已知Sin（T-α）=-∣?,COS（；+PJ=得，且。'（子

變式25.

則cos(α+0=()

16R5633C63

A.-----D.——

65656565

卜;，則cos（

變式26.（2022?福建省廈門集美中學(xué)高三階段練習(xí)）已知SinIa-5Γ2α)的值等于（）

A.逑B.一速C.--

D.-

9999

（2022?重慶巴蜀中學(xué)高一期中）已知sin（（-?^eos]?+。），則tan

變式27.I%)=()

B.√3C.且D.-此

A.-1

33

3COS(α+/7)=-',則

變式28.（2022?江蘇?揚(yáng)州中學(xué)高一階段練習(xí)）已知。、夕為銳角,且Sin尸=：,

Sina的值為（）

63B.史C.-竺D,竺

Aa.—

65656565

（2022?廣東?順德一中高一期中）己知sin（0）+Sina==怨~,則Sin(7π）的值是（）

變式29.r+v

A.一”-B.也C.」

D.-

5555

（2022?江蘇?常州市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知α為銳角，且sin（α+工］=sin（a-。,則

變式30.

tan。=()

A.√3B.2+√3C.√6D.VG+>/?

【方法技巧與總結(jié)】

給值求值的解題策略

(1)已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角

的關(guān)系，適當(dāng)?shù)夭鸾桥c湊角.

(2)由于和、差角與單角是相對(duì)的，因此解題過程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換.常見

角的變換有：

①α=(α-[)+尸；②a=③2α=(α+∕)+(α-p)；?2p={a+β)-{a-βt).

題型六：給值求角

例16.(2022?北京市第五中學(xué)高一階段練習(xí))若一?J<α<I且tana,tan尸是方程

2222

/+3GX+4=0的兩個(gè)根，則α+-=()

2π—兀人

A.?OCπ,i4π2π

BC.;或工D.彳或一二

3?^T3333

tan(α-∕)=g,tan/?=—；,則2。一/7=

例17.(2022?江蘇?金沙中學(xué)高一期末)已知α,y0∈(θ,π),

()

5πC兀C兀C3兀

A.—B.一C.——D.——

4444

?cosa=y,sin(a+∕7)=?η^?,O<a<y,0<β<~~，則角夕的值

例18.(2022?陜西?西安中學(xué)高一期中)

為()

πC不C1

A.一B.—C.-D.—

31264

變式31.(2022?全國(guó)?高一專題練習(xí))設(shè)%夕ejθ,X],sinα=@,sin∕7=亞，則α+夕的大小是()

[2)5IO

3C3八3一1

A.―一πB.-πC.-KD.一乃或一乃

44444

CoSa=-題，若sin(2α+/?)=:sin/?,則

變式32.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知α,β∈(O,?),

102

a+β=()

,2π_5π-5萬Cπ

A.—B.—C.—D.—

3642

變式33.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知ɑ,夕均為銳角，且Sina=坐，cos”叵,則α-/7的值為

5"10

()

πC兀C.史D3π

A.-B.—D?-

444

變式34.（2022?江蘇常州?高一期末）已知0<α<90，且sinl8(l+sin2tz)=2∞sl29cos2a,則α=

()

A.9B.18C.27°D.36°

變式35.（2022?全國(guó)?高一）若sin2α=苴?，sin（∕?-C）=邊口,且αe；,兀，β∈π?^~π,則。+/的

5v,10L4」L2J

值是（）

A5乃_lπ_5π.、lπC54卜94

A.——B.C.-Sc-D.—或一

4T4444

【方法技巧與總結(jié)】

解決三角函數(shù)給值求角問題的方法步驟

（1）給值求角問題的步驟.

①求所求角的某個(gè)三角函數(shù)值.

②確定所求角的范圍（范圍討論得過大或過小，會(huì)使求出的角不合題意或漏解），根據(jù)范圍找出角.

（2）選取函數(shù)的原則.

①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù).

②已知正余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)，若角的范圍是（0,5],選正弦或余弦函數(shù)均可；若角的范

圍是（0,左），選余弦較好；若角的范圍是[選正弦較好.

題型七：利用半角公式化簡(jiǎn)求值問題

例19.（2022?全國(guó)?局一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：（2/嗎一.

JI-COSa

a.a

?cos—Fsin一

例20.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))若SinU?+α)=',α是第三象限角，則一|——?

?cossin—

22

例21.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn):

l+sina+I-Sinaπ<α<瑪;

Jl+COSa-JI-COSa>1+cosα+>1一CoSa2J'

cos∣--or∣-tan^(l+cosa)(C、

⑵I2J2、)(0<6z<π).

JI-COSa

變式36.(2022?安徽?東至縣第二中學(xué)高一期末)已知αe(θ,5)sin(%-α)=巫.

(1)求cos3的值；

(2)若￡?0,乃)，Sinla-§)=|,求cos^jg的值.

【方法技巧與總結(jié)】

1、化簡(jiǎn)問題中的“三變”

(1)變角：三角變換時(shí)通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系，通過拆、湊等手段消除角之間的差異,

合理選擇聯(lián)系它們的公式.

(2)變名：觀察三角函數(shù)種類的差異，盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱，如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切.

(3)變式：觀察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異，選擇適當(dāng)?shù)淖冃瓮緩?，如升幕、降暴、配方、開方等.

2、利用半角公式求值的思路

(1)看角：看已知角與待求角的2倍關(guān)系.

(2)明范圍：求出相應(yīng)半角的范圍為定符號(hào)作準(zhǔn)備.

(3)選公式：涉及半角公式的正、余弦值時(shí)，常利用計(jì)算.

提醒：已知COSC的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意確定其符號(hào).

題型八：三角恒等式的證明

例22.(2022,全國(guó)?∣?-^課時(shí)練習(xí))已知