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文檔簡介
2022-2023學(xué)年江西省重點高中高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷
一、單選題(本大題共8小題,共40.0分。在每小題列出的選項中,選出符合題目的一項)
1.已知(1-i)z=2,其中i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
2.已知角ɑ的終邊經(jīng)過點P(l,m)(m<0),則下列各式一定為正的是()
A.sιnaB.tanaC.cosaD.-t-ana
3.在AABC中,已知角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=l,b=yΓz,C=45°,則
邊C等于()
A.1B.yJ~2C.√-3D.2
4.設(shè)擊,杳是兩個不共線的向量,若向量記=-各+/^2(16用與向量五=杳-&共線,
k∕
?l
AOBC1D2
若COS
(θ-√32
5425
BCD
A.-9-9-3-9-
6.從長度分別為1,2,3,4,5的5根細(xì)木棒中選擇三根圍成一個三角形,則最大內(nèi)角()
A.可能是銳角B.一定是直角C.可能大于咨D.一定小于生
?O
7.已知平面向量S=(1,4),K=(-2,1),則下列說法正確的是()
A.若;I=0,則I方+石I=2
B.若五//e,則A=-2
C.若W與石的夾角為鈍角,貝IJA<2
D.若;1=一1,則弓在石上的投影向量為一IE
8.己知函數(shù)/(x)=√^Zs?ι2x-cos2x,若函數(shù)/(x+α)的圖像關(guān)于y軸對稱,則Ial的最小值
為()
A.?B.IC.ID.?
6?oIZ
二、多選題(本大題共4小題,共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)
9.下列四個式子中,計算正確的是()
A.CoSG+1)=S出1B.Sin(Tr+2)=-sin2
-tan85o-tan25or~^r?√-2
C.—~?-~-r?=y∏3D.sin640cosl90-COS64°Sinl9°=—
l+tan85tan252
10.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法,其中正確的是()
A.復(fù)數(shù)Z=a+bi(a,b∈R)是實數(shù)的充要條件是b=0
B.復(fù)數(shù)Z=α+bi(a,b∈R)是純虛數(shù)的充要條件是b≠0
C.若Zi,Z2互為共規(guī)復(fù)數(shù),則Z]Z2是實數(shù)
D.若zi,Z2互為共轉(zhuǎn)復(fù)數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)它們所對應(yīng)的點關(guān)于y軸對稱
11.將函數(shù)/Q)=sin(2x-今的圖象向左平移>0)個單位長度后,所得圖象關(guān)于原點對
稱,則伊的值可以是()
A.?B.IC.yD.工
12.在銳角AABC中,內(nèi)角4,B,C的對邊分別為α,b,c,(sinA+sinB)2=(2sinB+
SinQsinC,且SizM>浮,則下列結(jié)論正確的是()
A.c—a=acosCB.a>cC.c>aD.C>
三、填空題(本大題共4小題,共20.0分)
13.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足zi+l=z,貝匹=.
14.己知函數(shù)y=2si∏3x(3>0)在區(qū)間[冶幣上的最大值為2,則實數(shù)3的取值范圍為
15.正五角星是一個有趣的圖形,如圖,順次連接正五角星各頂點,可得到X∕↑?
一個正五邊形,正五角星各邊又圍成一個小的正五邊形,則大五邊形與小五??√
邊形的邊長之比為.VXV
(參考數(shù)據(jù):Sinl8°=",b
16.已知I耐∣=6,I癥|=3,若對Vt6R,恒有I耐T小I≥I荏且點M滿足麗=
∣OE+∣O?,N為04的中點,貝力而I=.
四、解答題(本大題共6小題,共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
17.(本小題10.0分)
已知虛數(shù)Z滿足IZl=√-5?
(1)求證:Z+子在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線y=X上;
(2)若Z是方程2/+4x+k=O(fceR)的一個根,求Zc與z.
18.(本小題12.0分)
已知同=2,?b?=4,且刈+I∣=2√^3.
(1)求方與方的夾角;
(2)若(2蒼一石)10+kB),求實數(shù)k的值.
19.(本小題12.0分)
1-SirIal-cos2a+sin2a
(1)已知一5<α<0,化簡:------rt
-l+r-s.ιnal+cos2α+siτι2α'
(2)已知Sin號也=亨,tan∣=∣,a,βe(O,π),求α+與的值.
20.(本小題12.0分)
己知△4BC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為α,b,c,向量沅=(b-2c,a),亢=(COS4cosB),
且記1n.
(1)求角4
(2)若AABC的周長為3,3,且AABC外接圓的半徑為1,判斷△4BC的形狀,并求△ABC的
面積.
21.(本小題12.0分)
如圖,某運(yùn)動員從4市出發(fā)沿海岸一條筆直的公路以每小時15kτn的速度向東進(jìn)行長跑練,長
跑開始時,在A市南偏東方向距4市75kτn的B處有一艘小艇,小艇與海岸距離45kτn,若小艇
與運(yùn)動員同時出發(fā),要追上這位運(yùn)動員.
(1)小艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運(yùn)動員?
(2)求小艇以最小速度行駛時的行駛方向與AB的夾角.
22.(本小題12.0分)
已知函數(shù)/(cosx)=1—cos2x—2cosx.
(1)求函數(shù)/(x)的解析式;
(2)若關(guān)于%的方程/(s譏x)+2(SLΠX+CoSX)=2α(α∈R)在(看兀)內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根打,
X2?求證:%ι+X2<y?
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:T(I-i)z=2,
,22(l+i).,.
1-1(l-ι)(l+i)
二復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(1,1)位于第一象限.
故選:A.
根據(jù)已知條件,結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法原則和復(fù)數(shù)的幾何含義,即可求解.
本題考查了復(fù)數(shù)的幾何含義,以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算,需要學(xué)生熟練掌握公式,屬于基礎(chǔ)
題.
2.【答案】C
【解析】解:因為角α終邊經(jīng)過點P(l,m)(m<0),所以α在第四象限,
所以Sina<°,cosa>0,tana<0,黑<0,故C正確.
故選:C.
依題意可得α在第四象限,根據(jù)各象限三角函數(shù)值的正負(fù)情況判斷即可.
本題主要考查了三角函數(shù)定義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
3.【答案】A
【解析】解:由余弦定理得,c=√a2+b2-2abcosC=Jl+2-2×1×/7×?=1-
故選:A.
由已知結(jié)合余弦定理即可直接求解.
本題主要考查了余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
4.【答案】C
【解析】解:由共線向量定理可知存在實數(shù)九使沅=λn,即—&+ke2=λ(e2-e1)=λe2-Ae1,
又備與各是不共線向量,所以12;一乙解得{::;?
故選:C.
由題意,利用兩個向量共線的性質(zhì),共線向量定理,計算求得A的值.
本題主要考查兩個向量共線的性質(zhì),共線向量定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
5.【答案】A
【解析】解:因為cos(。一》=?,
所以COSG-9)=¥,
所以sin26>=CoSe-20)=COS[2?-0)]=2cos2ζ-O)-I=2x∣—I=J
故選:A.
根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式可求出結(jié)果.
本題主要考查了誘導(dǎo)公式及二倍角公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
6.【答案】D
【解析】解:從長度分別為1,2,3,4,5的5根細(xì)木棒中選擇三根有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),
(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10種取法,
其中能夠圍成三角形的有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)三種,
若三邊為2,3,4,設(shè)最大角為0,
則CoSg=2凌■2=故9eg,登
若三邊為2,4,5,設(shè)最大角為。,
則c。So=袈3=-?>-∣,此時8e(消);
若三邊為3,4,5,故最大角為直角,
綜上所述,。選項正確,
故選:D.
首先列出所有能夠圍成三角形的三邊組合,再分類討論利用余弦定理計算即可.
本題考查了三角形三邊關(guān)系,余弦定理判斷最大角,屬于基礎(chǔ)題.
7.【答案】D
【解析】解:平面向量蒼=(1,4),b=(-2,1),
對于4,當(dāng),=O時,a+b=(-1,1)?因此I五+B∣=J(-1產(chǎn)+#=√^N,A錯誤;
對于B,a∕∕b,則有-24=1,解得4=一右8錯誤;
對于C,五與方的夾角為鈍角,
則方不<O且3與3不共線,
當(dāng)五不<0時,l×(-2)+λ×l<0,解得A<2,
由B選項知,當(dāng);I片一T時,W與方不共線,因此4<2且;I片一:,C錯誤;
對于D,當(dāng)4=—1時,a-b=-3>而Ibl=J(-21+/=
因此為在方上的投影向量為藍(lán)?V=—:方,。正確.
?b?∣?∣5
故選:D.
由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷4;由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷B;由向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷C;
計算出五不,商|,再計算五在至上的投影向量可判斷D.
本題考查向量數(shù)量積的基本運(yùn)算,向量共線定理的應(yīng)用,投影向量的概念,屬中檔題.
8.【答案】C
【解析】解:/(x)=2(?sinlx—?cos2x)=2sin(2x—
則/(%+ɑ)=2sin[2(x+ɑ)-^]=2sin(2x+2Q-看),
???/(x+a)的圖像關(guān)于y軸對稱,
,2α—g5+∕c7τ,k£Z,則α=J+”,Z∈Z,
當(dāng)k=-l時,|可取得最小值也
故選:C.
用輔助角公式化簡函數(shù)解析式,再由函數(shù)f(x+α)的圖像關(guān)于y軸對稱求出ɑ的值,最后判斷Ial的
最小值.
本題主要考查了輔助角公式,正弦函數(shù)的對稱性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
9.【答案】BCD
【解析】解:對于4cosG+l)=-sinl,故A錯誤;
對于3:sin(ττ+2)=-sin2,故B正確;
對于C:=tan(85。-25。)=tαn60°=√^3,故C正確;
l+tαn85tan25kJ
對于。:Sin64。COSl9。-COS64。Sinl9。=sin(64。-19。)=Sin45。=?,故O正確.
故選:BCD.
利用誘導(dǎo)公式判斷4、B,利用差角公式判斷C、D.
本題主要考查了和差角公式及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
10.【答案】AC
【解析[解:對于選項人復(fù)數(shù)2=&+69/6/?)是實數(shù)的充要條件是/)=0,所以選項4正確;
對于選項B:復(fù)數(shù)z=ɑ+bi(ɑ,beR)是純虛數(shù)的充要條件是ɑ=O且b≠O,所以選項B錯誤;
對于選項C:若Z],Z2互為共軌復(fù)數(shù),不妨設(shè)Zl=a+bi(aER,b&R),則z?=a-bi,所以z/2=
(α+hi)(α-bi)=a2+b2e.R,所以選項C正確;
對于選項/):若Zi,Z2互為共枕復(fù)數(shù),不妨設(shè)Zi=α+bi(αeR,b∈R),則Z2=α-bi,則它們在
復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點分別為(α,b)和(a,-b),關(guān)于X軸對稱,所以選項。錯誤,
故選:AC.
利用實數(shù)和純虛數(shù)的概念即可判定選項A正確,選項8錯誤,再利用共甑復(fù)數(shù)的定義即可判定選
項C正確,選項。錯誤.
本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念以及共朝復(fù)數(shù)的定義,是基礎(chǔ)題.
11.【答案】AD
【解析】解:將函數(shù)/(x)=sin(2x-弓)的圖象向左平移9個單位長度后得到y(tǒng)=sin(2x+2@—領(lǐng)勺
圖象,
該圖象關(guān)于原點對稱,所以2。Y=keZ,
即9=費(fèi)+芻kez,所以8的值可以是工,
故選:AD.
根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換求出變換后的解析式,再根據(jù)所得圖象關(guān)于原點對稱,即可求出答
案.
本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.
12.【答案】ACD
【解析】解:由正弦邊角關(guān)系知:(Q+b^2=(2b+c)c,則小+2ab+62=2bc+c2,
所以M+62一¢2=2b(C-Q),而COSC=吐也二>0,則C-Q=QCosC,A正確;
2ab
由上知:寸>0,即C>α,B錯誤,C正確:
Cr
SinC2si∏χcos^C√-3
由C—a=acosC矢口:SinC—sinA=sinAcosC貝ItJS譏4=--------τ=------?→=tan->
91+cosC2cos27^23
又0<C<^故0<]<%貝哈<苧<[,即為<c<aD正確.
224624?2
故選:ACD.
利用正弦邊角關(guān)系可得。2+力2—¢2=2b(c-α),結(jié)合余弦定理及銳角三角形知c-α=acosC.
籍>0,判斷4、B、C正誤;再由正弦邊角關(guān)系,倍角公式判斷O正誤.
本題考查正余弦定理,三角函數(shù)性質(zhì),屬于中檔題.
13.【答案】?-?i
【解析】解:???zi+1=z,
則Z=口=H=(IT)(I+(=2+2K
故W=A吳
故答案為:?—?i.
根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可求得Z=i÷ii,進(jìn)而可求共軌復(fù)數(shù)以及模長.
本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
14.【答案】[2,+8)
【解析】解:3>0,當(dāng)X∈[-≡,≡L有"∈[-?,?].函數(shù)y=2sinωx(ω>0)在區(qū)間[一級]上
的最大值為2,
則有等得3≥2,所以實數(shù)3的取值范圍為[2,+8).
故答案為:[2,+8).
先根據(jù)X的范圍求出3X的取值范圍,進(jìn)而根據(jù)函數(shù)/Q)在區(qū)間[-輔]上的最大值求出3的范圍.
本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性和最值,屬基礎(chǔ)題.
15.【答案】岑?
【解析】解:設(shè)大正五邊形的邊長為α,小正五邊形的邊長為b,
由正五邊形的每個內(nèi)角相等,且為(5-2):180。=108。,
可得NFEA=180°-108°=72°,4DEF=108°-72°=36°,
乙DGE=72°,4EDG=72°,
則AEDG為等腰三角形,且DE=GE=EF+FG,
可得EF=EG-FG=a—b,
由NDFE=Io8。,乙DEF=乙EDF,可得EF=DF=a-b,
EFDE
?E?DEFφ,
SinzFDFSinzfFD,
即為a—b_a
sin36°―SinlOS0
a-b_sin360_sin36o_1__11_C-I
2
口PaSiTllO8°sin7202cos36°2(1—2sin18°)2[l-2x(苧)2]2
可得S=3-尸,肥=3+5
故答案為:手
求得正五邊形的內(nèi)角,運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理和正弦定理,結(jié)合二倍角公式,化簡整理,可得
所求值.
本題考查正五邊形的性質(zhì),以及三角形的正弦定理,考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力,屬于中檔題.
16.【答案】C
[解析]解:因為T灰I=J刃2_2£一.反+12屁2=
J?OA?2-2tOA-OE+t2?OE?2
=√36-2tOA-OE+9t2'
?AE?=?OE-OA?=JOA-2OA-OE+OE2=J?OA?2-2OAOE+?OE?2
=√36-2O??OF+9'
因為對VteR,恒有I市一t屁I≥I而
所以J36-2t0X?δ^+9t2≥√36-2^?而+9對VteR恒成立,
即(一2t+2)瓦??蘇+9/一9≥0對Vt∈R恒成立,
^9t2-2tOA-OE+20A-OE-9≥0對Vt∈R恒成立,
所以/=(-2O2?OF)2-4×9(2Λ4?OF-9)≤0.
即(就?而一9)2≤0,所以耐.赤=9,
又麗=麗一兩=465_4灰+:麗)=:,萌
ΛΛ??O?
所以I而I=后函一IOFI=J(那一|兩2=J±OA2-^OA-OE+Of2=
J?∣OΛ∣2-∣OΛ?OE+1∣OE∣2=√^.
故答案為:√3.
根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到J36-2tE?^+9t2≥√36-2以赤+9對VteR恒成立,即可
得到弼一21瓦??U^+2瓦5?癥-9≥0對VteR恒成立,根據(jù)4≤0求出示?布,再根據(jù)而=
?-,而及數(shù)量積的運(yùn)算計算可得.
O?
本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算,屬于中檔題.
17.【答案】證明:(1)設(shè)Z=Q+bi(α,b∈R,bHO),由憶|=仁,則Z2=5,
所以Z+y=z+zi=α+6i+(α-bi)i=(α÷6)÷(α+b)i,
所以z+費(fèi)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(α+b,α+fo),在直線y=X上.
(2)解:同(1)設(shè)復(fù)數(shù)Z=α+bi(α,b∈RbW0),因為Z是方程2/+4%+k=0(k∈R)的一個根,
所以2(α+bi)2+4(α+hi)+fc=0,即2小-262÷4α÷k÷(4ab+4b)i=0,
所以2小—2b2+4α+fc=0且4αb+4b=0,得Q=-1,
因為小÷ZJ2=5,所以b=+2,
把Q=-1,b=±2代入2M-2b2+4Q+/c=0得:k=10,
所以Zc=10,z=—1+2i.
【解析】(1)由題設(shè)可得z+費(fèi)=Z+",應(yīng)用代數(shù)運(yùn)算化簡并確定點坐標(biāo),即可證結(jié)論;
(2)將復(fù)數(shù)Z=α+從代入方程求參數(shù)即可
本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
18.【答案】解:(1)因為I五∣=2,∣b∣=4,且I五+b∣=2√-3,
所以I4+方『=a2+2a-b+b∣2=4+2×2×4×cos<ɑ,e>+16=12>
解得COS<a,b>=-?,
又<區(qū)另>∈[0o,180o]>
則五與了的夾角為120。;
(2)由⑴可知,α?h=2×4×(-∣)=-4,
因為(2H—E)1(a+kb),
所以(2日一石)?m+k3)=2五2+(2k-1評不一々片=0,
即2X22-4(2∕c-1)-16k=0,解得k=?
【解析】⑴將I&+BI=215平方后,可得COS<方,b>=—上,進(jìn)而得解;
(2)易知心加=一4,再根據(jù)(2五一及1C+kE>可建立關(guān)于可得方程,解出即可.
本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.
19.【答案】解:(1)因為一]<α<0,則COSa>0,sina<0,1-sina>0,
所以IIsina+l-cos2a+sin2a_(1—sina)2+2sinza+2sinacosa
y∣1+sinal+cos2a+sin2al-sin2a2cos2a+2sinacosa
_?lsina?2sina(sina+cosa)1-sina,sina1
∣cosa∣÷2cosa(cosa÷sina)COSaH--c-o--s-a-=cosa
(2)因為a,06(0,兀),即有0<字<兀,而SinE等=COS孚=修
乙ΔZ?
因此0<手<Sm岑=J1-32岑=2,tan亨=篝=等.
..02tan^^-2×∣41
于^an(a+S)=H=5,
77,
tan(a+/?)—tang^-?
則tan(a+∣)=tan[(a+0)—芻=4—S/—?
l+tan(α+B)tan4l+*x;
而0<字<90<7<即有0<α+g<7T,
LLLLN
所以α+3=%
【解析】(1)根據(jù)給定條件,利用平方關(guān)系及二倍角的正余弦公式化簡作答.
(2)利用同角公式求出tan竽,利用二倍角的正切求出tan(α+夕),再利用差角的正切求解作答.
本題主要考查了同角基本關(guān)系,二倍角公式,和差角公式的應(yīng)用,屬于中檔題.
20.【答案】解:(1)因為而_L五,所以(b-2c)cosA+acosB=0,
即2ccos4=acosB+bcosA.
由正弦定理得2sinCcosA=SinAcosB+SinBcosA,
因為SmACoSB+SinBcosA=Sinol+8)=sinC,所以2sinCcos/=sinC.
因為C∈(O,τr),所以SinC≠0,所以CoSA=?
因為46(0,τr),所以4=皋
(2)設(shè)A48C外接圓的半徑為R,則R=L
由正弦定理,得α=2RsinA=√-3.
因為AABC的周長為3√^5,所以b+c=2√^豆.
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos^=(b+c)2-3bc,
即3=12—3bc,所以be=3.
則[b+c=2Λ∕~3=匕=?=Λ∕-3
所以△ABC為等邊三角形,△4BC的面積S=^bcsinA=?×3×=與?
2224
【解析】(I)由記-L元,可得2ccos4=αcosB+bcos4,后由正弦定理結(jié)合Sin(4+B)=SinC即可
得答案;
(2)由(1),AABC的周長為3門,且AZBC外接圓的半徑為1,可得b+c=2,?,
后由余弦定理可得be=3,解出b,C即可得答案.
本題主要考查三角形中的幾何計算,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.
21.【答案】解:(1)如圖所示,設(shè)劃艇以必m"的
速度從B處出發(fā),沿BC方向行駛,比后與這位運(yùn)動
員在C處相遇,
在^ABC<V,AB=75,AC=15t,BC=vt,B。為4C邊上的高,BD=45,
設(shè)NBAC-a.)則Sina=—=—>cosa=Jl-(ξ)2——(,
由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AB-ACcosa,
則后嚴(yán)=Q5t)2+752—2X75X15tX
整理得”2=等一竿+225=5625號-?+(?)2]+81=5625(,-?)2+81,
當(dāng)H親即t=瓢",*E=81,vmin=9,
即劃艇至少以9km"的速度行駛才能追上這位運(yùn)動員.
(2)當(dāng)V=9∕σn∕∕ι時,在△力BC中,AB=75,AC=15×^=93.75,FC=9×?=56.25,
由余弦定理,得COS乙4BC="此攜':尹:=0.
2ABBC
則乙ABC=90°,
故劃艇以最小速度行駛時的行駛方向與AB所成的角為90。.
【解析】(1)設(shè)劃艇以迎巾/九的速度從B處出發(fā),沿BC方向行駛,t∕ι后與這位運(yùn)動員在C處相遇.在
ΛABCdp,AB=75,AC=15t,BC=vt,BD為A
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