海南省華僑中學(xué)2021-2022學(xué)年高一年級上冊期末考試數(shù)學(xué)試題

海南僑中2024屆高一(上)期末考試

數(shù)學(xué)科試題

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

1.已知集合用={123,4,5},Af={x|x2-x<6),則McN=()

A.{1,2}B.[1,3]C.{1,2,3}D.{4,5}

2.sin(-570°)=()

A.7B.--C.—u.-----

2222

3.“角夕為第二象限角”是“sin。tane<0”的()

A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不

必要條件

4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間(--0)上單調(diào)遞增的是()

A./(x)=-co&xB./(x)=sinxC./'(%)=tanrD./(x)=x3-x-1

5.函數(shù)/(x)=x+—7,xe[2,5]的最小值是()

x—1

23

A.5B.—C.2-N/3D.26+1

6.《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實(shí)生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在

擲鐵餅過程中具有表現(xiàn)力的瞬間(如圖).現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉

滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為gm,肩寬約為gm,“弓”所在圓的半徑約為：m,

484

則擲鐵餅者雙手之間的距離約為(參考數(shù)據(jù)：近=1.414,6=1.732)()

A.1.012mB.1.768mC.2.043mD.2.945m

7.已知〃=02一"，6=InV2fc=sinl,貝(j()

A.a<h<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

試卷第1頁，共4頁

8.已知函數(shù)/（x）是定義在R在上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，/.（x）=lgx,則函數(shù)

g（x）=/（x）-sinx的零點(diǎn)個數(shù)為（）個

A.2B.3C.6D.7

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

9.已知函數(shù)y=/（x）的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對應(yīng)值表：

X123456

y-6.13615.552-3.9210.88-52.488-232.064

則函數(shù)V=/（x）在下列哪些區(qū)間上一定存在零點(diǎn)（）

A.(1,2)B.(2,3)C.（3,5）D.（5,6）

10.已知cosa=q,且。為第二象限角,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A/、5「.12-12

A.cos(^-a)=—B.sina=—C.tana=~

v71313

(

D.tanIoc-\—|=-----

I2）12

11.已知函數(shù)〃x）=3sin（2x+?）,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.〃力的最小正周期是4萬B.函數(shù)y=|/（x）|是周期函數(shù)

C.函數(shù)尸小-系）是偶函數(shù)D./閨〈.既）

12.已知函數(shù)〃x）=ln（2*+1）-ln（2、-l）,則（）

A./（力的定義域?yàn)椋?,+8）

B.4X）的值域?yàn)椋ā?+8）

C./（x）為減函數(shù)

D.“X）為奇函數(shù)

三、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分

e,x40

13.若〃x）=1,則//--=___________：

lnx+—,x>0L\27J

14.已知點(diǎn)尸（1,2）在角a的終邊上，貝ljsina=；

15.寫出一個同時滿足以下條件的函數(shù)；①是周期函數(shù)：②最大值為3,

最小值為-1：③在［0,1］上單調(diào)

試卷第2頁，共4頁

16.新冠疫情防控常態(tài)化，核酸檢測應(yīng)檢盡檢!核酸檢測分析是用熒光定量尸CR法，通

過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號，對在PCR擴(kuò)增進(jìn)程中成指數(shù)級增加的靶標(biāo)。色實(shí)時檢測，在

PCR擴(kuò)增的指數(shù)時期，熒光信號強(qiáng)度達(dá)到閾值時，DNA的數(shù)量X,與擴(kuò)增次數(shù)n滿足：

lgX.=〃lg(l+p)+lgX。，其中p為擴(kuò)增效率，X。為。M4的初始數(shù)量.已知某被測標(biāo)本

DNA擴(kuò)增8次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?00倍，那么該標(biāo)本的擴(kuò)增效率p約為；

該被測標(biāo)本。擴(kuò)增13次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼谋?(參考數(shù)據(jù)：10°.=]334,

1002=1.585,1O025?1.778，1O03?1.995.)

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演

算步驟.

1，111

17.(1)計(jì)算：0.064'+16*+0.252

(2)若10"=2,1(F=25，求2〃+機(jī)的值.

18.在單位圓中，已知第二象限角0的終邊與單位圓的交點(diǎn)為尸(%,%),若為=g.

⑴求sina、cosa、tana的值；

⑵分別求sin(37t—a)、cos(。一與)、tan(—77r+a)的值.

19.己知函數(shù)/(x)=e2'+/.

⑴當(dāng)a=l,/(x)為奇函數(shù)時，求人的值；

(2)如果/(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，請寫出一組符合條件的a,b值；

(3)若。>0,b>0,且/(x)的最小值為2,求2a+6的最小值.

20.已知函數(shù)/(x)=l-2sinx.

⑴用“五點(diǎn)法”做出函數(shù)/(x)在xe[0,2句上的簡圖；

2457r

(2)若方程/(x)=a在xe上有兩個實(shí)根，求”的取值范圍.

3O

21.食品安全問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一

定的危害，為了給消費(fèi)者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、

乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚

種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入。與投入

。(單位：萬元)滿足尸=80+4疝，。=；。+120.設(shè)甲大棚的投入為x(單位：萬元)，

每年兩個大棚的總收入為火x)(單位：萬元).

試卷第3頁，共4頁

(1)求義50)的值;

(2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收入｛x)最大？

22.已知函數(shù)/(x)=log式

(1)求函數(shù)/W的定義域；

(2)設(shè)g(x)=〃x)+a,若函數(shù)g(x)在(1,2)上有且僅有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

m

(3)設(shè)〃(X)=/(X)+K，是否存在正實(shí)數(shù)"7,使得函數(shù)y=〃(x)在［1,2］內(nèi)的最大值

為4?若存在，求出加的值；若不存在，請說明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案

1.C

【分析】解不等式化簡集合N,再利用交集的運(yùn)算可求解.

【詳解】集合％=卜卜2_》46}=卜岷一3)1+250}=計(jì)24x43}

又集合M={123,4,5},所以McN={l,2,3}

故選：C

2.A

【分析】利用誘導(dǎo)公式即可求得.

【詳解】由題意可得sin(-570°)=sin(-570°+720")=sinl5(r=sin(18(r-3(r)=sin30°=；.

故選：A

3.B

【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】當(dāng)角。為第二象限角時，sin?>0,tane<0,所以sin。tan。<0,故充分；

當(dāng)sindtanOcO時，sin9<O,tan。>0或sin。>0,tan?<0,所以。在第二象限或在第三象限,

故不必要；

故選：B

4.D

【分析】利用/(x)=-coax是偶函數(shù)判定選項(xiàng)A錯誤：利用〃-2兀)=/(-兀)=0判定選項(xiàng)B

錯誤；利用/(x)=tanx的定義域判定選項(xiàng)C錯誤；利用奇偶性的定義證明/(x)是奇函數(shù)，

再通過基本函數(shù)的單調(diào)性判定/(x)的單調(diào)性，進(jìn)而判定選項(xiàng)D正確.

【詳解】對于A：/(x)=-cosx是偶函數(shù)，

即選項(xiàng)A錯誤；

對于B：/(x)=sinx是奇函數(shù)，但/(-2兀)=/(-兀)=0,

所以/(x)=sinx在區(qū)間(v,0)上不單調(diào)遞增，

即選項(xiàng)B錯誤；

對于C：/(x)=tanx是奇函數(shù)，

答案第1頁，共11頁

但/(x)=tanx的定義域?yàn)?-■|+版,尹時，keZ,

即選項(xiàng)C錯誤；

對于D：因?yàn)閄/xwR,-xeR,

有/(-x)=(-x)3-(-X)-1=-，-』)=-f(x),

即/(x)是奇函數(shù)；

因?yàn)楸?/在區(qū)間(v,0)上單調(diào)遞增，

%=-x—=匚在區(qū)間(F,0)上單調(diào)遞增，

X

所以/(X)=X3-XT在區(qū)間(-應(yīng)0)上單調(diào)遞增，

即選項(xiàng)D正確.

故選：D.

5.D

【分析】利用基本不等式可求得/(X)的最小值.

【詳解】/(X)=XH———=(X—1)d——-~~F1>21)—~~1-1=2-^+1.

X1X****1VX~~1

當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)》=6+1時，等號成立，

故函數(shù)“X)的最小值為26+1.

故選：D.

6.B

【分析】由題意分析得到這段弓形所在的弧長，結(jié)合弧長公式求出其所對的圓心角，雙手之

間的距離，求得其弦長，即可求解.

【詳解】如圖所示，由題意知“弓''所在的弧斜的長/=E+f+W=苧，其所對圓心角

4488

57

^_8__￡

=萬一5'

4

則兩手之間的距離|/8|=2|/必=2xjxsin1.768仙).

故選：B.

答案第2頁，共11頁

B

7.B

【分析】中間值比大小.

［詳解］a=02^>0.2°=116=ln&<ln6=g,c=sinl>sin.=；且。=sinl<1,所以

b<c<a

故選：B

8.D

【分析】作出函數(shù)_V=lgx(x>0)，和卜=5出才。>0)圖象，可知當(dāng)x>0時，g(x)=/(*)-sinx

的零點(diǎn)個數(shù)為3個；再根據(jù)奇函數(shù)的對稱性，可知當(dāng)x<0時，g(x)也有3個零點(diǎn)，再根據(jù)

g(0)=0,由此可計(jì)算出函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個數(shù).

【詳解】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)夕=lgx(x>0),和^=5而、(丫>0)圖象，如下圖所示:

又因?yàn)楹瘮?shù)〃可和卜=$皿》均是定義在R在上的奇函數(shù)，

所以g(x)=/(x)-sinx是定義在R在上的奇函數(shù)，

根據(jù)奇函數(shù)的對稱性，可知當(dāng)x<0時，g(x)=/(x)-sinx的零點(diǎn)個數(shù)也為3個,

答案第3頁，共11頁

又g（O）=/（O）-sinO=O,所以x=0也是零點(diǎn);

綜上，函數(shù)g（x）=/（x）-sinx的零點(diǎn)個數(shù)一共有7個.

故選:D.

9.ABC

【分析】利用函數(shù)的表格的函數(shù)值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)夕=/（》）的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，

又/⑴?/（2）＜0,所以函數(shù)在（1,2）之間一定存在零點(diǎn)，故A正確；

/（2）-/（3）＜0,所以函數(shù)在（2,3）之間一定存在零點(diǎn)，故B正確；

/（3）?/（4）＜0,/（4卜/（5）＜0,所以函數(shù)在（3,4）,（4,5）之間一定有零點(diǎn)，所以在區(qū)間（3,5）之

間一定有零點(diǎn)，故C正確；

/（5）-/（6）＞0,所以函數(shù)在（5,6）之間不一定有零點(diǎn)，故D不正確；

故選：ABC.

10.AB

【分析】利用誘導(dǎo)公式求解A選項(xiàng)，利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系求解B選項(xiàng)，再利用同角

三角形函數(shù)的商數(shù)關(guān)系求解C選項(xiàng)，利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系求解D選項(xiàng).

【詳解】A選項(xiàng)，由誘導(dǎo)公式得：cos（7i-a）=-cosa，A正確；

B選項(xiàng)，因?yàn)閟in2a+cos2a=l,且a為第二象限角，sina＞0,所以sina=Jl-cos2a=||,

B正確；

C選項(xiàng)，tana=巴吧=-"，C錯誤；

cosa5

71

2cosa得，D錯誤.

-sincr

故選：AB

11.BC

【分析】利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項(xiàng)；利用函數(shù)周期性的定義可判斷B選項(xiàng);

利用正弦型函數(shù)的奇偶性可判斷C選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，函數(shù)〃x）=3sin[2x+q）的最小正周期為7=券="，A錯；

答案第4頁，共11頁

對于B選項(xiàng),

故函數(shù)y=|/（x）|是周期函數(shù)，B對;

=-cos2x,

對于C選項(xiàng)，fI8JLI8J4」I2)

上單調(diào)遞減,

故選：BC.

12.ABC

【分析】利用對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域，列不等式組可判斷A；由對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域可

判斷B；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C；根據(jù)奇偶性定義可判斷D.

2v+l>0,

【詳解】由解得x>0,A正確.

2x-l>0,

/(x)=ln|M=ln[l+W"因?yàn)?所以扉1+白口0,B正確.

2-1\2—172—1\2-17

因?yàn)楹瘮?shù)y=l+號在(0,+8)上單調(diào)遞減，

函數(shù)>=111/在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以/（X）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，c正確.

/（x）的定義域?yàn)椋?,+8）,不關(guān)于原點(diǎn)對稱，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，D錯誤.

故選：ABC

13.1

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，從里到外計(jì)算即可得解.

【詳解】/（-；）=e3=e；,所以/=lneUl-=UU1.

故答案為：1

14.正指4格

55

【分析】根據(jù)三角函數(shù)得定義即可的解.

答案第5頁，共11頁

【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)尸(1,2)在角a的終邊上，

所以sina=4==述.

J1+45

故答案為：亭.

15./(x)=2cosx+I(答案不唯一)

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造滿足題意的函數(shù)，由此即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可知，/(x)=2cosx+l,

因?yàn)?(x)=2cosx+l的周期為2萬，滿足條件①；

又cosxe[-l,l],所以2cosx+le[-l,3],滿足條件②；

由于函數(shù)了=8$》在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，所以/(x)=2cosx+l區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，故

滿足條件③.

故答案為:/(x)=2cosx+l.

16.0.7781788

【分析】①對數(shù)運(yùn)算，由某被測標(biāo)本OM4擴(kuò)增8次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?00倍，可以求出

P；

②由〃=13,可以求數(shù)量是原來的多少倍.

【詳解】vlgX"=nlg(l+p)+lg4，4=100J0

???lg(l+P)=?lg?=:

p=10^-1?0.778

v1

lgq=13xlg(l+0.778)=3-

44

Y31

3=10'>X1000X1.778=1778

兒

故答案為：①0.778；②1778.

17.(1)10；(2)2.

答案第6頁，共11頁

【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)基運(yùn)算法則分別對每一項(xiàng)進(jìn)行化筒，然后合并求解;

（2）先利用已知條件，把機(jī)、〃表示出來，代入要求解的式子中，利用對數(shù)的運(yùn)算法則化

簡即可.

【詳解.】⑴原式=焉1+瓶7+而X=—1+8+-=10

22

(2)因?yàn)?0"=2,10"'=25，所以〃=lg2,w=lg25,

所以2〃+〃z=21g2+lg25=21g2+2lg5=2Qg2+lg5)=21g10=2

272

18.(l)sina=-,coscr=--------，tana=

34

(2)sin(37t-a)=；,3兀T，tan（-7兀+a上乎

COS6Z--

【分析】（1）先由三角函數(shù)的定義得到sina=%=；,再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系進(jìn)行求

解;

（2）利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值.

⑴

解：由三角函數(shù)定義，得sina=%,=g,

8

由sin2a+cos2a=1得cos%=l-sin2?=—,

又因?yàn)椤榈诙笙藿?，所以cosa=-2也

3

]_

sincr3V2

則tana=------=—=.

人」cosa2V24'

亍

⑵

解：由誘導(dǎo)公式，得:

sin(3n-a)=sin(…)=sina=L

'3

nt\3兀n1

則cos[a-；-=cosa+一=-sina=——,

2.3

—立

tan(-7;c+a)=tana=

19.(1);>=-1

（2）。=1,b=-l（答案不唯一，滿足/<0即可）

答案第7頁，共11頁

(3)272

【分析】(1)當(dāng)。=1時，根據(jù)奇函數(shù)的定義，可得2、+方2-、+2-、+從2'=0,化簡整理，即

可求出結(jié)果；

(2)由函數(shù)y=2*和函數(shù)y=2T在R上的單調(diào)遞性，可知帥<0,即可滿足題意，由此寫

出一組即可；

⑶令2』,(f>0),則〃x)=a2++af+；,然后再根據(jù)基本不等式和已知條件，可

得必=1,再根據(jù)基本不等式即可求出結(jié)果.

(1)

解：當(dāng)a=l時,f(x)=2x+-^=2x+b-2-x,

因?yàn)椤▁)是奇函數(shù)，所以〃r)+/(x)=O,

即2'+62-*+2-、+62=0,得(2，+2-*)(6+1)=0,可得6=-1；

(2)

解：當(dāng)。=1,6=7時，此時函數(shù)為增函數(shù).(答案不唯一，滿足/<0即可)

檢驗(yàn)：當(dāng)。=1和6=7時，y=y=g,均是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以此時

y(x)=e2*+/是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，滿足題意；

(3)

解：令2，=/">0),貝ij/(x)=a-2，+q=af+：,

所以荷號，即川+：22而，當(dāng)且僅當(dāng)小=；,即f=A時等號成立，

所以/(x)mm=2疝，

由題意，2疝=2，所以ab=l.

由2。+人2212ab=2>/2,

⑵〃［交

當(dāng)且僅當(dāng)2a=6時等號成立，由:，解得［“-2,

9T

所以(2。+6)喻=20.

答案第8頁，共11頁

20.（1）答案見解析

(2)(7,0]U[l+6,3)

【分析】（1）根據(jù)“五點(diǎn)法''作圖法，列表、描點(diǎn)、作圖，即可得到結(jié)果；

（2）將原問題轉(zhuǎn)化為'=$小》與y==在xe-"名上有兩個不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)

—inx在、一77的圖象，由數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）解：列表:

713萬

兀24

0~2T

/f{（xX)）1--111331

（2）解：若方程/（力=。在xw""上有兩個實(shí)根，

則^=sinx與y=L或在xw-空，苧上有兩個不同的交點(diǎn),

236_

2aS/r_

因?yàn)閤w不，所以sinxfj-Ll]

2乃54

作出函數(shù)》=$由不在的圖象，如下圖所示：

36

由圖象可得，—―或!W二2<1,

2222

答案第9頁，共11頁

故a的取值范圍是(T0]U[l+6,3).

21.(1)277.5；(2)投入甲大棚128萬元，乙大棚72萬元時，總收入最大.

【分析】(1)由/(50)=尸(50)+0(150)計(jì)算可得；

(2)由已知列出函數(shù)式/(x)=P(x)+0(200-x),注意定義域，然后換元/=正，化為二次

函數(shù)，由二次函數(shù)知識得最大值.

【詳解】(1)若投入甲大棚50萬元，則投入乙大棚150萬元,

所以次50)=80+4瘍而+；*150+120=277.5.