高一數(shù)學《異面直線》教學設計

異面直線

教材分析

異面直線是立體幾何中十分重要的概念.研究空間點、直線和平面之間的各種位置關系必

須從異面直線開始.

教材首先通過實例讓學生弄懂“共面”、"異面”的區(qū)別，正確理解“異面”的含義，進而介紹

異面直線所成角及異面直線間的距離，這樣處理完全符合學生的認知規(guī)律.處理好這節(jié)內(nèi)容，

可以比較容易地引導學生實現(xiàn)由平面宜觀到空間想象的過渡.

教學重點是異面直線的概念，求異面直線所成的角和異面直線間的距離是這節(jié)的難點.

教學目標

1.理解異面直線的概念，了解空間中的直線的三種位置關系.

2.理解異面直線所成的角、異面直線間的距離的意義，體會空間問題平面化的基本數(shù)學思

想方法.

3.通過異面直線的學習，使學生逐步養(yǎng)成在空間考慮問題的習慣，培養(yǎng)學生的空間想象能

力.

任務分析

空間中的兩條直線的位置關系，是在平面中兩條直線位置關系及平面的基本性質基礎上提

出來的.學生對此已有一定的感性認識，但是此認識是膚淺的.同時，學生空間想象能力還較

薄弱.因此，這節(jié)內(nèi)容課應從簡單、直觀的圖形開始介紹.“直觀”是這節(jié)內(nèi)容的宗旨.多給學

生思考的時間和空間，以有助于空間想象能力的形成.異面直線所成的角的意義及求法，充分

體現(xiàn)了化歸的數(shù)學思想.要讓學生通過基本問題的解決，進一步體會異面直線所成的角、異面

直線間的距離的意義及其基本求法.

教學設計

?、問題情境（1）

1.同一平面內(nèi)的兩條直線有幾種位置關系？空間中的兩條直線呢？觀察教室內(nèi)的日光燈

管所在直線與黑板的左右兩側所在直線的位置或觀察天安門廣場上旗桿所在直線與長安街所在

直線的位置.

2.如圖15-1,長方體ABCD—AIBIGDI中，線段A【B所在直線與線段CQ所在直線的位

置關系如何？

A

AB

15-1

二、建立模型（1）

1.首先引導學生觀察實例或幾何模型，進而發(fā)現(xiàn)，空間兩直線除平行或相交外，還有一種

位置關系：存在兩條直線既不平行又不相交，即不能共面的兩直線，并在此基礎匕總結出異面

直線的定義.

2.在學生討論歸納異面直線定義的基礎上，教師概括：我們把不同在任何一個平面內(nèi)的兩

條直線叫作異面直線.

強調(diào)：（1）所謂異面，即不共面，所以它們既不平行，也不相交.

（2）“不共面”，指不在任何一個平面內(nèi)，關鍵是，任何”二字.

3.先讓學生總結空間中兩條直線的位置關系，然后教師明晰.

（1）共面與異面.共面分為平行和相交.

（2）有無公共點.有且僅有一個公共點-----相交直線，無公共點平行直

線和異面直線.

4.異面直線的畫法.

先讓學生體會下列圖形，并讓其指出哪些更為直觀.

顯然,圖15-2或圖15-3較好.

因此，當表示異面直線時，以平面襯托可以顯示得更清楚.

三、問題情境（2）

刻畫兩條平行直線位置通常用距離，兩條相交直線通常用角度，那么，如何刻畫兩條異面

直線的相對位置呢？容易想象要用角和距離，如何定義異面直線的角和距離呢？下面探究一個

具體的問題：

如圖，在正方體ABCD—A|B|C|D|中,

圖15-5

1.我們知道AB與A|B是共面的，它們成的角是45。，那么異面直線AB與DC所成的角

定義為多少度的角比較合理呢？

2.回憶我們已學過的“距離”概念，發(fā)現(xiàn)“距離”具有“最小性”，現(xiàn)在直線AB和DC上各取

一點，這兩點必然存在距離，試問在這所有可能的距離中，是否存在兩點，這兩點間距離最短？

進一步思考：如何定義異面直線AB和DC間的距離？

四、建立模型（2）

在學生充分討論、探究的基礎上，抽象概括出異面直線所成的角和異面直線間的距離的概

念.

1.異面直線a與b所成的角

已知兩條異面直線a,b.經(jīng)過空間任一點0,作直線a，〃a,b'//b,我們把a，與9所成的銳

角（或直角），叫作異面直線a與b所成的角.

強調(diào)：（1）“空間角”是通過"平面角'’來定義的.

（2）“空間角”的大小，與空間點O的選取無關，依據(jù)是“等角定理”.為簡便，點O常取

在兩條異面直線中的一條上.

（3）異面直線所成角的范圍是0?！赐?0。.

（4）異面直線垂直的意義.今后所說的兩直線垂直，可能是相交直線，也可能是異面直線.

2.對于問題2,學生討論，可以發(fā)現(xiàn)：線段BC是在異面直線AB和DC上各任取一點，

且兩點間的距離為異面直線AB和DC間的最小值.此時.，我們就說BC的長度就是AB和DC

的距離.

引導學生觀察、分析線段BC與AB,DC之間的關系，得出公垂線段定義：和兩條異面直

線都垂直且相交的線段.

強調(diào)：（1）“垂直”與"相交”同時成立.

（2）公垂線段的長度定義為異面直線間的距離.

五、解釋應用

［例題］

1.如圖，點D是AABC所在平面外一點，求證直線AB與直線CD是異面直線.

圖】5-6

注：主要考查異面直線的定義，這里可考慮用反證法證明.要讓學生體會用反證法的緣由.

2,已知：如圖，已知正方體ABCD—ABCTT

W15-7

（1）哪些棱所在直線與直線BA，是異面直線？

（2）直線BA，和CC，的夾角是多少？

(3)哪些棱所在直線與直線AA，垂直？

(4)直線BB，與DC間距離是多少？注:主要是理解、鞏固有關異面直線的?些基本概念.解

題格式要規(guī)范，合理.

［練習］

1.如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么，另一條直線是否也與這條直線垂

直？

2.垂宜于同?條直線的兩條宜線是否平行？

3.與兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關系是怎樣的？

4.已知：如圖，在長方體ABCD—ABCD，中，AB=2>/^,AD=2?,AA，=2.

(1)BC和AC，所成角是多少度？

(2)AA，和BC所成角是多少度？

(3)AA，和BC所成的角和距離是多少？

(4)AB與BC所成的角是多少？

(5)AC與BD所成的角是多少？

四、拓展延伸

1.判斷異面直線除了定義之外，還有如下依據(jù)：過平面內(nèi)一點和平面外一點的直線與平面

內(nèi)不過該點的直線是異面直線.請給以證明.

2.設點P是直線1外的一定點，過P與I成30。角的異面直線有條.(無數(shù))

3.已知異面直線a與b成50。角，P為空間任一點，則過點P且與a,b所成的角都是30。

的直線有條.(2)

若a與b所成的角是60。，65。和70。呢？

教學反思

這篇案例設計基本符合新課程的理念.案例首先通過直觀的圖形引出定義，這樣有利于學

生的接受.然后探索了異面直線所成角與異面直線間距離的概念.探索過程有利于激發(fā)了學生

的學習熱情，體驗科學思維