2023-2024學(xué)年安徽省高二年級(jí)下冊(cè)開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（A卷）（含解析）

2023-2024學(xué)年安徽省高二下冊(cè)開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題(A卷)

一、單選題

1.已知Z，石為空間向量，且口用=(,則儂,-3%()

兀一兀一3兀一

A.-B.—C.—D.兀

424

【正確答案】C

【分析】求出cos(￡?的表達(dá)式及值，即可求出cos儂,-36)的值，進(jìn)而得到他,-3分的值.

【詳解】由題意，

.?.向量夾角儂,一3分=亨，

故選：C.

2.已知點(diǎn)4(。,7),8(-1,6)在直線/：y=-3x+l上，則直線ax+如+1=0的斜率為()

A.vB.一-C.2D.-2

22

【正確答案】A

【分析】將48兩點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程解出。力即可求解.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)7),8(7,6)在直線/：尸-3x+l上，

所以將Z（〃,7）,8（—1⑼帶入/：y=-3x+l,

7=-3。+1a=-2

得6=（-3）x（-i）+r解得

b=4

所以直線-2x+4y+l=0,即的斜率為

故選：A

3.已知兩圓f+/=10和(*_仔+&這)2=20相交于人,B兩點(diǎn),則|48|=()

A.2亞B.4Mc.VioD.2A/10

【正確答案】D

【分析】先求出兩圓的公共弦方程，再利用公共弦過(guò)圓心可求解弦長(zhǎng).

【詳解】因?yàn)閮蓤A的方程為―+夕2=10和（x-l）2+（y-3）2=20,所以兩圓的公共弦方程為

x+3y=0,又因?yàn)樵撓疫^(guò)圓一+「=10的圓心，故證.

故選：D.

r22

4.已知橢圓C:二+與v=1（〃>人>0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距成等比數(shù)列，則。的離心率等

a~b

于（）

AV5—1V5—1pV5+1y/5+1

A?--------tR5?--------lx?--------nL/?--------

4242

【正確答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即等比數(shù)列概念即可得出。也c的關(guān)系式，解方程即可得離心

率.

【詳解】由題意可得，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2”、短軸長(zhǎng)方、焦距2c成等比數(shù)列，

所以（2好=2ax2c,BPb2=ac=a2-c2

We2+e-1=0>解得e=~1或6=舊~~-（舍）

22

故選：B

5.已知等比數(shù)列｛4｝的公比g>-l,且％與%的等差中項(xiàng)為5,?2=-4,則旬23=（）

【正確答案】A

【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的概念和等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得出必

2

【詳解】由題知4+%=2x5,BPa,+atq=10,X<72=a[q=-4,

q=8

%=2

解得1或

夕=一2'

n-l

因?yàn)間>-i,所以?！?8

2023-1z])2019

“2023=圖

故選：A

6.如圖，已知等腰直角三角形/8C的斜邊8C的中點(diǎn)為。，且8c=4,點(diǎn)P為平面N8C外

一點(diǎn)，且尸8=PC=2jI，PA=2,則異面直線尸。與45所成的角的余弦值為（）

【正確答案】D

【分析】取ZC中點(diǎn)。，連接0。，PD,則/P。。即為所求角，再利用余弦定理求解即可.

【詳解】如圖取4c中點(diǎn)Q,連接00,PD,

因?yàn)?。?c中點(diǎn)，所有OO〃8C,則/尸。。即為所求角,

因?yàn)?c=4,PB=PC=2近，所以尸0=2,

又因?yàn)镹8C是等腰直角三角形，所以<B=/C=20，0D=后，

在APAC中由余弦定理可得cosAPAC='產(chǎn)+=也,

2APAC4

所以在PAD中由余弦定理可得PD=VAP2+AD2-2APAD-cosZPAC=2，

PO2+DO2-PD2^y/2

所以cos/POQ=

2PODO--V

故選：D

7.拋物線C：/=2px（p>0）的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)。，焦點(diǎn)為F，直線/過(guò)點(diǎn)。且與拋物線C交

于A,3兩點(diǎn)，若忸日=2|/尸|,則直線18的斜率為（）

B.土與C.土逑D.土也

344

【正確答案】A

【分析】設(shè)出直線/B的方程，并將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得出兩根之

積和兩根之和，由幾何關(guān)系可知A為8。的中點(diǎn)，即可求解出直線的斜率.

【詳解】設(shè)直線方程為》=叼-5，

x=my-E

將，2聯(lián)立得-2pmy+p2=0,

y2=2px

設(shè)8(”)，即1+」=2r

IM%=p-

過(guò)點(diǎn)48分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足為M,N,

又因?yàn)殁钍瑋=2|/日,所以|7VB|=2|M4|,即\BD\=2\AD\,

2

必=~Pm

所以A為8。的中點(diǎn)，即2%=必，所以得；

m

y2=-P

則，毋=1,解得加=±逑，

94

所以直線月8的斜率為工=±逑，

m3

8.某高科技企業(yè)為一科技項(xiàng)目注入啟動(dòng)資金1000萬(wàn)元作為項(xiàng)目資金，已知每年可獲利20%,

但由于競(jìng)爭(zhēng)激烈，每年年底需要從利潤(rùn)中取出100萬(wàn)元資金進(jìn)行科研、技術(shù)改造與廣告投入,

方能保持原有的利潤(rùn)增長(zhǎng)率，設(shè)經(jīng)過(guò)"年后，該項(xiàng)目資金達(dá)到或超過(guò)翻一番(即為原來(lái)的2

倍)的目標(biāo)，則〃的最小值為lg2=0.31g3=0.5()

A.4B.5C.6D.7

【正確答案】B

【分析】由已知分析出遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得出勺-500=600^),然后

解指數(shù)不等式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題意設(shè)經(jīng)過(guò)〃年后，該項(xiàng)目資金為?！叭f(wàn)元，

則q=1000(1+20%)-100=1100,

且?！?1=4(1+20%)-100='|。"-10°，

得。向-500=,(4-500)，

得a“-500=(q-500)x(g)=600^,

所以令500+600x(：)>2000,

,5

得〃-3嗚屋地=叱-產(chǎn)跖

72.6lg2+lg3-(lgl0-lg2)

_1-2口/

21g2+lg3-l'

所以至少要經(jīng)過(guò)5年，項(xiàng)目資金才可以達(dá)到或超過(guò)翻一番的目標(biāo).

故選：B

二、多選題

22

9.已知曲線C:^^~+上一=l(,〃>9或相<4),則()

m-94-?w

A.曲線。可表示橢圓

B.曲線C為雙曲線

C."?=0,則曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(土風(fēng),0)

2

D.w=0,則曲線C的漸近線方程為了=±§苫

【正確答案】BD

【分析】利用橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)求解即可.

w-9>0

【詳解】若C表示橢圓，則4-〃?>0,此時(shí)加無(wú)解，選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

一9w4一加

因?yàn)闄C(jī)>9或〃?<4,則（m-9）（4-機(jī)）<0,所以曲線C為雙曲線，選項(xiàng)B正確;

22z

當(dāng)加=0時(shí)，曲線0：?-旅=1表示焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,土耳），漸近

2

線方程為y=±：x,選項(xiàng)C錯(cuò)誤D正確；

故選：BD

10.已知等差數(shù)列｛對(duì)｝的前n項(xiàng)和為S“，公差為d,5IO=1OO,S2O=400，則下列說(shuō)法正確的是

()

A.d=2B.an=2n-\

「「1111

C.SR=S)+SD.—?------1----1------>11---------

3〃2〃“w邑S“〃+l

【正確答案】ABD

【分析】先將等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式代入百。=100,Sg=400中，求出公差、首項(xiàng)，進(jìn)而求得

11111

?！阿?，從而判斷選項(xiàng)A,B,C的正誤;根據(jù)^=—>=——77進(jìn)行放縮，利用裂項(xiàng)相消

3〃n177I11n〃+1

即可判斷選項(xiàng)D的正誤.

【詳解】解:因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列，且5IO=1OO,52O=400,

3=100

S10=10《+

%=1

所以2；加，解得

d=2'

5=20。]+---------d=400

202

所以4=2〃-1,故選項(xiàng)A,B正確;

〃(《+%),.2

因?yàn)镾〃=

2-'

所以&,+S”=4/+〃2=5/w9/r=S3,，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

,11111

因?yàn)镾”所以丁=一T>(4\=--------

Snnn[n+l)nn+1

111111

所以彳+不+…+不=齊+至+…十=

111

>-------1--------F…4------7------r

1x22x3+

111111,1

=1——+——+?,?+—=]--------

223nn+\〃+1'

故選項(xiàng)D正確.

故選:ABD

11.己知正四棱柱ABCD-A^D,的底面邊長(zhǎng)為2,=4,點(diǎn)E在棱8?上，點(diǎn)F在棱

上，則以下說(shuō)法正確的是（）

A.若尸為中點(diǎn)，存在點(diǎn)E,CFA.BE

B.若￡為8￡中點(diǎn)，存在點(diǎn)尸，G尸〃平面/CE

C.若E,尸分別為B￡,的中點(diǎn)，則E尸與平面eq，。所成的角的余弦值為述

3

D.若E,產(chǎn)分別為4G，的中點(diǎn)，則EF到平面/BG的距離為苧

【正確答案】BCD

【分析】利用空間向量進(jìn)行判斷，垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問(wèn)題，線面平行結(jié)合判定定理來(lái)驗(yàn)證,

線面角通過(guò)法向量來(lái)求解，線面距轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距求解.

【詳解】如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，〉，z軸，建立空間直角坐

則4（2,0,0）,4（2,0,4）,8（2,2,0）,C（0,2,0）6（0,2,4）.

對(duì)于A,F為中點(diǎn)，尸（2,0,2）,設(shè)Em2,4）,0<a<2,

則而=（2,-2,2）,而=（4-2,0,4）,若CFLBE,則存.而=0,解得”一2（舍），所以A

不正確.

對(duì)于B,E為B￡中點(diǎn),由正四棱柱的性質(zhì)可得//4C，/Cu平面/CE,4GU平面

ACE,所以平面/CE,即當(dāng)產(chǎn)在4處時(shí)，滿足題意，所以B正確.

對(duì)于C,E,F分別為4G，44,的中點(diǎn),￡（1,2,4）,F（2,0,2）,￡F=（1,-2,-2）,

易知平面CG。。的一個(gè)法向量為“=(1,0,0)，設(shè)E尸與平面CCQQ所成的角為0,

n-EF?)歷

所以sin?="L=w，所以cos9=&,所以C正確.

n^EF33

對(duì)于D,由上面可知方=(1,-2,-2),懣=(0,1,0),元;=(-2,2,4),￡￡=(-1,0,4);

設(shè)平面/8G的一個(gè)法向量為正=(x,y,z),

m-AB=0fy=0.一,、

則一‘°"八，令z=l，可得加=2,0,1；

m-AC.=0[-2x+2y+4z=0

因?yàn)辂愂?0，平面48G，所以EFP平面48G，

所以E尸到平面/8G的距離即為點(diǎn)E到平面N8G的距離，

\BE-m\2J5

點(diǎn)E到平面/8G的距離“=匚閂」=今一,所以D正確.

H5

故選：BCD.

12.已知數(shù)列｛《J,他,｝,滿足fq=2”+i-2(“wN*),=log2(a2?tl),則以下結(jié)論正確

j=i

的是()

A.數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列

B.數(shù)列mJ為等差數(shù)列

C.用x“集合詞”,V機(jī)4a“+1,〃?€N*｝中元素個(gè)數(shù)，則x"=2"'-2〃

D.把數(shù)列｛“"｝,｛"｝中的所有項(xiàng)由小到大排列組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列的第2023項(xiàng)

為4025

【正確答案】ACD

【分析】確定q=2","=2〃+1,則%=22向，4必=4,A正確；%=2田+1,B錯(cuò)誤；

Cn

x?=2n+'-2n,C正確；根據(jù)2"<4025<2?確定新數(shù)列的第2023項(xiàng)為如2=4025,D正確,

得到答案.

【詳解】〃“=￡4-￡q=2"”-2-2"+2=2",n>2,當(dāng)q=2Z-2=2,滿足通項(xiàng)公式，

/=1/=1

2n+1

故a,=2",從而得々=log2(a2n+1)=log,2=2/7+1,

對(duì)選項(xiàng)A：令c“=%=22"i,得§包=4,正確；

Cn

對(duì)選項(xiàng)B：令4,=%=2x2"+l=2"“+l,九-d“=2"+2_2"M=2"M,數(shù)列｛%｝不為等差數(shù)

列，錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)C：怎=2的一2〃-1+1=2向-2〃，正確；

對(duì)選項(xiàng)D：2"<4025<212,組成的新數(shù)列含有數(shù)列｛4｝的項(xiàng)為2,22，2%…，21%2”共

11項(xiàng)，所以新數(shù)列含有數(shù)列｛4｝的項(xiàng)為A,&，…Hon，故所求新數(shù)列的第2023項(xiàng)為

怎n=4025,正確.

故選：ACD

三、填空題

13.已知2]均為空間單位向量，且它們的夾角為60。，則卜+2力卜.

【正確答案】不

【分析】根據(jù)條件可求出75,然后根據(jù)忖+2*,伍+2,進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)閱?wèn)=|同=1,?@=60。，

所以a?5=WWcos(a,4=],B+2耳=/(￡+2或=^a+4a-b+41y=71+2+447,

故V7

四、雙空題

14.已知點(diǎn)A,8在曲線y=x2+2x圖像上，且A,B兩點(diǎn)連線的斜率為2,請(qǐng)寫出滿足條

件的一組點(diǎn)A,B.

【正確答案】(T-1)(1,3)

【分析】根據(jù)A,8在曲線上，設(shè)出點(diǎn)A,8的坐標(biāo)，由A,8兩點(diǎn)連線的斜率得出A,B

的坐標(biāo)關(guān)系，即可得到滿足條件的一組點(diǎn).

【詳解】由題意，

在y=f+2x中，點(diǎn)A,8在曲線上，

設(shè)Z(X1,x：+2xj,S(x2,Xj+2X2),

A,8兩點(diǎn)連線的斜率為2,

..x；+2%-(x；+2x)

■?kAB=-----------------=毛+Jf+2=2，

x2—x,

解得：x2+%j=0,

.?.當(dāng)士=一1時(shí)，/(—1,-1),8(1,3).

故5(1,3).

五、填空題

15.已知矩形N8CD在平面a的同一側(cè)，頂點(diǎn)A在平面上，AB=4,BC=2近，且48,BC

與平面a所成的角的大小分別為30。,45。,則矩形“8。與平面a所成角的正切值為.

【正確答案】拒

【分析】如圖，過(guò)8，。分別做平面a的垂線，垂足分別為E,F,連接ZE,AF,通過(guò)

幾何關(guān)系可得到尸=/尸=2,AE=2y/3,EF=8。="'，過(guò)A作/滿足〃/EF,過(guò)E

做EP垂直/于點(diǎn)P,連接8尸，則/8PE即為所求，通過(guò)等面積法計(jì)算出產(chǎn)￡=口叵即可求

3

解

【詳解】如圖，過(guò)B,。分別做平面a的垂線，垂足分別為E,F,連接4E,AF,

由￡>"JLa,BELa,AE,AFua,所以。Z7,AF,BE1AE,

因?yàn)?c與平面。所成的角的大小分別為30。,45。,且BC//4O,BC=AD,

所以N8/1E=3O。，ADAF=45°,得BE=DF=4F=2,AE=2百,

因?yàn)?。?a,BE1a,所以DF〃BE,

又BE=DF=2,所以四邊形。尸E8是平行四邊形，

所以BD//EF,因?yàn)?￡><za,E尸ua,所以8O〃a,所以EF=BD=亞,

過(guò)A作/滿足〃/E尸，則/即為矩形與平面夕的交線，

過(guò)后做后？垂直/于點(diǎn)P,連接8P,則/8PE即為所求，

在AAEF中，cosNFAE=

2x2x26-3

由cos2NFAE+sin2NF4E=l,0<NFAE<n可得sinZFAE=—,

3

所以S"尸=1x2x2jJsinSIE=,解得產(chǎn)石=氈

223

所以矩形ABCD與平面a所成角的正切值為tanNBPE=空=瓦

AAPI/

故答案為.G

16.已知函數(shù)/(x)=x?+x,數(shù)列｛《,｝的首項(xiàng)6=：,點(diǎn)(a“,a“+J在函數(shù)y=/(x)圖象上,

O

若機(jī)<X-----7<加+1,則整數(shù)加=

【正確答案】7

111202311

【分析】將點(diǎn)代入函數(shù)得到。向=。：+%,變換得到一”=-------,X-?=8——，

%+1a?a”+i+1a.

根據(jù)°<——<1得到答案.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)(。,,。用)在函數(shù)y=/(x)圖像上，所有。用=端+勺,

%=：，故%>。恒成立；

O

aa=a>,

n^\~nn77故“"+1>"〃+77，“2004>：+20°3X^>1，0<

64o4(sM

所以7<8-----<8,所以"z=7.

六、解答題

17.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛qj中，。0=36,出+%=60.

⑴求死；

⑵若"=143安，數(shù)列,二-1的前〃項(xiàng)和為5,，求證.§,<1

2口也+1J

【正確答案】（1）%=2X3"T

（2）證明見解析

【分析】（1）設(shè)｛環(huán)｝的公比為4,由"求解；

由（1）得4=Iog3當(dāng)=〃，再利用裂項(xiàng)相消法求解.

【詳解】（1）解：設(shè)｛q｝的公比為4,

則有］

解得q=2,q=3,

所以%=2x32

（2）由（1）得）=k）g3等=》,

。1111

所以s?=r^+T-i+—（=1-----，

1x22x3+n+1

因?yàn)?T>0,所以1---<1,

〃+1〃+1

所以5al.

18.已知直線/過(guò)點(diǎn)尸（-1,2）,且/與軸分別交于點(diǎn)48,O4B為等腰直角三角形.

⑴求/的方程；

（2）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸，求過(guò)。，A,0三點(diǎn)的圓的一般方程.

【正確答案】（1）工-》+3=0或x+y—l=O

（2）x2+y2+3x-y=0

【分析】(1)設(shè)直線方程為y-2=Mx+l),分別解出48兩點(diǎn)坐標(biāo)(x,o)和(0/),利用N=3

解出人的值即可；

(2)設(shè)圓的一般方程為犬+/+6+/+尸=0(D2+￡2-4F>0),將點(diǎn)代入解方法組即可.

【詳解】(1)因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)尸(-1,2),所以設(shè)直線為y-2=k(x+l),k#0,

令y=0,得x=所以

令x=0,得…+2,所以8(0,A+2),

又因?yàn)?48為等腰直角三角形，所以|(訓(xùn)=|。即，

得-/+卜+2|,

解女=±1或％=-2,

當(dāng)人=-2時(shí)直線過(guò)原點(diǎn)，不滿足題意，

故直線/的方程為y-2=(x+1)或y-2=-(x+l),

即x-y+3=0或x+y-l=0.

(2)由題意可知直線/的方程為x-y+3=0,即/-3,0),

設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),

將0(0,0),4(-3,0),P(O,2)代入

'尸=0伊=3

得<9-3。+尸=0,解得<E=-1,

l+4-D+2E+E=0尸=0

所以所求圓的方程為/+/+3x-夕=0.

)2

19.已知A,B是橢圓C：}=l(a>b>0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)叩倉(cāng)何在橢圓C

上，且直線OP經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/經(jīng)過(guò)C的右焦點(diǎn)尸與C交于M,N兩點(diǎn)，且NMBN=],求直線/的方程.

【正確答案】⑴江+廣=1

164

(2)x+6y-2仃=0或3x-5島-6X/5=0

【分析】（1）由直線過(guò)中點(diǎn)得3=亳=；,再將點(diǎn)「修庭,0）代入橢圓方程得到方程組,

解出即可;

（2）首先排除斜率為0的情況，從而設(shè)/：x=my+26,聯(lián)立橢圓得到韋達(dá)定理式，根據(jù)

麗?麗=0得到關(guān)于必，必的等式，代入韋達(dá)定理式，解出，*即可.

【詳解】（1）因?yàn)椤埃ā?0）,8（0力），所以48的中點(diǎn)為6,￡|,

直線經(jīng)OP過(guò)線段NB的中點(diǎn)，所以？=±==L,

a2V22

又因?yàn)辄c(diǎn)網(wǎng)2近,匈在橢圓C上，故提+a=1,

故可得々2=16,從=4,

所以二十仁=1

164

（2）若直線/的斜率為0時(shí)，可得歷（-4,0）,N（4,0）,易得麗,礪x0,故不滿足題意;

若直線/的斜率不為0時(shí)，設(shè)/：x=my+2拒，

x=zwy+2^3

聯(lián)立/V

---1----i

164

消去x得（4+,叫_/+46叼-4=0,

W（X|，M）,"（乙,力）,

i-4y/3m-4

貝m>S+%=E,必當(dāng)=心

TT

因?yàn)?A/8N=—,

2

所以兩?麗=0，即（占,必-2＞（%,%-2）=0,

得%多+（必-2）（%-2）=0,即（即］+20）（叩2+26）+仇-2）仇-2）=0

得例2+1）必力+（2揚(yáng)i-2）仇+y2Hl6=0,

得3，"2-2jL〃-15=0,

所以機(jī)=-5萬(wàn)或"?=之且

3

所以直線/：x+島-2百=0或3x-Sy-6>/5=0.

方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（為,%）,（￡，%）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或V）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算△:

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為%+9、x,x,（或必+力、乂%）的形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

20.如圖，在三棱柱中，N5C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AA'=l,AB=也，

平面/88NJ.平面/8C,E為線段的中點(diǎn).

（1）求證：CE1AB'；

（2）求CE與平面N/'C'C所成的角的正弦值.

【正確答案】（1）證明見解析

⑵巫

65

【分析】（1）作于連接CA1,由平面488'/，平面/8C,得到平面

ABC,進(jìn)而得到B'MLCM,然后求得CB'=2,根據(jù)NC=2且E為4方中點(diǎn)，利用三線合

一證明：

（2）以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MA,分別為x軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得N=（x,y,z）

是平面Z/'C'C的一個(gè)法向量，設(shè)CE與平面44'C'C所成的角為。，由sinO^cos（區(qū),"J求

解.

【詳解】（1）如圖所示：作于連接CN,

由平面ABBA1平面ABC,且平面ABB,Ac平面ABC=AB,

Wu平面488W,

得B'M1平面4BC,???CMu平面ABC,

所以8'A/_LCM,

因?yàn)?'8=1,AB=2,AB'地，由勾股定理得Z*?+58*=/4，

所以N/*8=90。，

所以B'M=?,BM=；,

22

13

在C8A/中，由余弦定理得：CM2^CB2+BM2-2CB-BM-COS60^―,

所以CM=業(yè),

2

在直角三角形C8M中，由勾股定理可得。*=小乎）+（半）=2,

又AC=2且￡為AB'中點(diǎn)，

所以CE_L力*

（2）如圖，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MA,分別為'軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

E

4

^C=(-1,73,0),AA'=；,0,白

所以詬=

設(shè)〃=(x,y,z)是平面AA'C'C的一個(gè)法向量,

ii-AC=-x+\fiy=0,

則,取y=l,得7=(6,1,-1)

萬(wàn)?AA'=—x+—z=0,

22

設(shè)CE與平面A4'C'C所成的角為

/一0.至

27195

所以sin6=kos(CE,"44

J—xy/3+1+165

所以CE與平面/4C'C所成的角的正弦值為名叵.

65

21.設(shè)邑為數(shù)列｛6｝的前"項(xiàng)和，且勺，S.，2/成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)4=嘉，設(shè)數(shù)列也｝的前”項(xiàng)和為如若噢2不二>加-2023對(duì)〃eN*恒成立，求刀,

22一乙

和正整數(shù)機(jī)的最大值.

【正確答案】(1)答案見解析

(2)2025

【分析】(1)根據(jù)&,S’,2"成等差數(shù)列得到a“+2”2=2S"，再利用通項(xiàng)和前〃項(xiàng)和的關(guān)

系，得到+a,i=4〃-2,進(jìn)而得到為+2一%=4,再分〃為奇數(shù)偶數(shù)求解;

(2)由〃=含專利用錯(cuò)位相減法得到T?,然后由log2丁=>m-2023對(duì)〃6N*恒成

2-/”

立求解.

【詳解】(1)解：由題意a“+2〃2=2S,,

令〃=1,有q=2,當(dāng)〃=2時(shí)，得。2=4,

所以〃22,時(shí)有+2(〃-=2S,i，

兩式相減得a,-a?_,+2?2-2(H-1)2=25?-2S?.,,

得a“+a,T=4"-2,

即當(dāng)“21時(shí)，a"+a“*|=4“+2,a?+2+an+l=4n+6,

所以q,+2一為=4，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),%=%+(三jx4=2?,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，禽=出+('-1>4=方，

所以%=2〃；

(2)因?yàn)椤?券=￡，

uui、iT123n1231n

所以［=5丁k…亍2'?=Y+Y+r+'"+2^^

兩式相減得;1=g+：+［…+:-合=1一1一會(huì),

LLI、If-2+〃

所以北=2-亍?

log2—!—=n-log2(n+2),

2Ta

令c“=〃-bg2(〃+2),

得

c“+i-g=〃+1Tog?("+3)-〃+皿("+2)=1-log?(霍)=log?(=log?11+

C”+l-C">°，即C.<C“+］，

要使得log2丁二〉m-2023對(duì)“eN*恒成立，

2—"

只需加-2023<c,=1-log23,即，〃<2024+log,3,

故正整數(shù)加的最大值為2025.

丫22

22.已知雙曲線C：、-二=1(°>0/>0)的左，右焦點(diǎn)分別為々(-c,0),瑪(c,0),離心

ab~

率為3,點(diǎn)M(3,8)在C上.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知直線/