專題13空間直線平面的垂直（知識梳理精講）

專題13空間直線、平面的垂直知識點(diǎn)一線線垂直例1．（1）、（2022下·江蘇南京·高一江蘇省江浦高級中學(xué)校聯(lián)考期末）下列說法中正確的是（

）A．以直角梯形的一條腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫圓臺B．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱C．若一個平面內(nèi)有無數(shù)個點(diǎn)到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行D．過直線外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與該直線垂直【答案】D【分析】根據(jù)圓臺的定義可判斷A;根據(jù)棱柱的定義可判斷B；根據(jù)平面的位置關(guān)系可判斷C;根據(jù)線線垂直的含義可判斷D.【詳解】由圓臺定義知，以直角梯形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺，故A錯誤；由棱柱定義可知，棱柱是有兩個面平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體，故B錯誤；若一個平面內(nèi)有無數(shù)個點(diǎn)到另一個平面的距離相等，那么這兩個平面有可能相交，也可能平行，故C錯誤；在空間中，由于過直線外一點(diǎn)存在一個平面與該直線垂直，在該平面內(nèi)過這個點(diǎn)的所有直線都和這條直線垂直，故過直線外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與該直線垂直，故D正確，故選：D（2）、（2019·高一課時練習(xí)）已知直線平面，直線，則（

）A． B．C．異面 D．相交而不垂直【答案】A【分析】根據(jù)線面垂直的定義得解.【詳解】由線面垂直的定義，若直線與平面垂直，則直線垂直與該平面內(nèi)的任意一條直線，因此故選:A【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的定義，屬于基礎(chǔ)題.（3）、（2022下·廣東江門·高一江門市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，長方體中，，，那么異面直線與所成角的余弦值是．【答案】【分析】設(shè)，由題意可求出，，又因?yàn)?，所以即為異面直線與所成的角（或補(bǔ)角），再利用余弦定理求解即可．【詳解】如圖：設(shè)，，，又，，因?yàn)殚L方體中，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，即為異面直線與所成的角（或補(bǔ)角），在△中，，，，，故答案為：.（4）、（2010下·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)，，，分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線與不是共面直線的圖是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征以及兩直線位置關(guān)系的判定方法，說明選項A和B中，選項C中與異面，選項D中與相交，即可得正確選項.得正確選項.【詳解】對于A：根據(jù)正方體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及中位線的性質(zhì)可知：，故，共面；故選項A不符合題意；對于B：根據(jù)正方體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及中位線的性質(zhì)可知：，故共面；故選項B不符合題意；對于C：根據(jù)正方體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知：面，面，面，，所以是異面直線，則直線與不是共面直線，選項C符合題意對于D：根據(jù)正方體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及中位線的性質(zhì)可知：，且，所以相交，故共面；故選項D不符合題意，故選：C.1．（2021·高一課時練習(xí)）設(shè)a，b，c是三條直線，且c⊥a，c⊥b，則a和b（

）A．平行 B．相交 C．異面 D．以上都有可能【答案】D【詳解】如下圖，若，則和相交；若，則和異面；若，則和平行；所以空間中垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交或異面．故選：D.2．（2019·高一課時練習(xí)）若表示直線，表示平面，下列結(jié)論中正確的是.①；②；③；④.【答案】①④【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可判斷①④；根據(jù)線線、線面位置關(guān)系，可判斷②③，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】①中，因?yàn)?，根?jù)線面垂直的性質(zhì)，即可得到，所以①正確；②中，因?yàn)椋曰?，故②錯誤；③中，因?yàn)?，所以或或與相交，故③錯誤；④中，因?yàn)?，根?jù)線面垂直的性質(zhì)定理，即可得到，故④正確；故答案為①④【點(diǎn)睛】本題主要考查線線、線面位置關(guān)系相關(guān)命題的判定，熟記空間中線線、線面位置關(guān)系，以及線面垂直的性質(zhì)定理即可，屬于?？碱}型.3．（2022·高一課前預(yù)習(xí)）如圖，在四棱錐中，，底面是平行四邊形，則與所成的角是．【答案】【分析】根據(jù)題意得，所以與所成的角即為與所成的角或其補(bǔ)角，再根據(jù)條件分析求解即可.【詳解】因?yàn)榈酌媸瞧叫兴倪呅?，所以，所以與所成的角即為與所成的角或其補(bǔ)角，又，所以與所成的角為，即與所成的角為.故答案為：.4．（2020下·高一課時練習(xí)）如圖是一個正方體的平面展開圖，在原正方體中，給出下列四個結(jié)論：①與所在直線垂直；

②與所在直線平行；③與所在直線成60°角；

④與所在直線異面.其中正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①③ C．③④ D．②④【答案】C【解析】根據(jù)正方體平面展開圖，畫出原正方體，標(biāo)出各頂點(diǎn)，找平行線判斷異面直線所成角，逐一判斷，即可求解.【詳解】畫出原正方體如圖所示，連接，，由圖可知①②錯誤；，所以為等邊三角形，所以③與所在直線成60°角是正確的；顯然④與所在直線異面是正確的.綜上，③④正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.知識點(diǎn)二線面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線l與平面α內(nèi)的任意直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a?α,b?α))?l⊥α性質(zhì)定理兩直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b例2、（2023上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，是的中點(diǎn)，且.(1)求證：平面；(2)若，求證：平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理求證；（2）根據(jù)線線垂直，利用線面垂直定理證明.【詳解】（1）因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以.在中，，由已知，所以，所以.又平面，所以平面.（2）因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以.由(1)知.又因?yàn)槠矫妫云矫?例3、（2023上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面．已知，分別為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)F在線段AC上，且滿足平面，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明，，即可證明平面；（2）通過構(gòu)造面面平行，從而推出線線平行，再利用三角形相似求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以①，又為等腰三角形，且D為PB中點(diǎn)，所以②，又平面PBC，平面PBC，，結(jié)合①②，故平面，即得證.（2）取BE中點(diǎn)為M，連接，作圖如下：在中，因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，所以，又PE平面PEF，DM平面PEF，所以平面，由已知得：平面，且，平面，平面，所以平面平面；又平面平面，平面平面，所以，則，；因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】（1）第一問考查由線線垂直，證明線面垂直，難點(diǎn)是找出線線垂直；（2）本題考查由面面平行，推出線線平行，從而由三角形相似，推出線段的比值，本題中的做法值得借鑒.例4、（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，正四棱柱中，M為的中點(diǎn)，，.(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)4【分析】（1）根據(jù)正四棱柱的幾何性質(zhì)確定線段長度，結(jié)合勾股定理可得，，再根據(jù)線面垂直判定定理即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)三棱錐的等體積轉(zhuǎn)化，結(jié)合體積公式求解即可.【詳解】（1）如圖，連接.正四棱柱中，M為的中點(diǎn)，，，，，，又，.，.同理可得.，平面，平面，平面.（2）由（1）知，，且平面..三棱錐的體積為4.例5、（2016上·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學(xué)?？计谥校┮阎比庵鶟M足，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：平面.(3)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）連接，，只需證明即可，由中位線定理結(jié)合線面平行的判定定理即可得證.（2）只需證明，即可，由等腰直角三角形性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)以及判定定理即可得證.（3）利用轉(zhuǎn)換法，只需求點(diǎn)到平面的距離和三角形的面積，由（2）的結(jié)論、點(diǎn)為的中點(diǎn)以及解直角三角形知識即可求解.【詳解】（1）如圖，連接，，四邊形為矩形，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，，又平面，且平面，平面.（2）直三棱柱滿足，，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，且面，面，所以，，又面，平面.（3）由圖可知，，，，又三棱柱為直三棱柱，且，.，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.由（2）可知平面.所以點(diǎn)到平面的距離為，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為，.例6、（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖1，已知是邊長為4的正三角形，D，E分別為線段AB，AC的中點(diǎn)，連接BE，將沿DE翻折成四棱錐，使得點(diǎn)在底面BCED上的射影在線段BE上，如圖2．(1)求證：；(2)求四棱錐的表面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知證明，，利用線面垂直的判定定理證明平面PBE，從而證明；（2）求出四棱錐各個面的面積即可求解．【詳解】（1）記點(diǎn)在底面BCED上的射影為點(diǎn)，點(diǎn)在線段BE上，連接PO，則平面BCED，又平面，因?yàn)椋郑?，平面PBE，平面PBE，平面PBE，又平面PBE，．（2）如圖所示，連接OD，平面，，，又，，故，，易知，，在中，由余弦定理得：，即，，，在中，，，所以，由正弦定理得：，得，則，又，在中，，所以，故，，，，故，所以，所以，，，，得，，，故，，由于，因此四棱錐的表面積．【點(diǎn)睛】證明線面垂直常用方法：（1）利用定義：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面互相垂直，記作；（2）利用判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；（3）利用面面垂直的性質(zhì)：兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，則這條直線與另一個平面垂直；（4）空間向量法：即證明直線的向量與平面的法向量平行，就可以說明該直線與平面垂直.例7、（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）三棱柱中，為中點(diǎn)，．(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)長度關(guān)系可知，進(jìn)而可證平面，可得，再證平面，可得，即可證平面；（2）利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而結(jié)合線面夾角的定義運(yùn)算求解.【詳解】（1）由題意可知：，且為矩形，則，可得，且均為銳角，則，即，又因?yàn)?，，平面，所以平面，由平面，則，由題意可得，，平面，所以平面，由平面，可得，且∥，則，又因?yàn)椋?，平面，所以平?（2）連接，由題意可得：，因?yàn)槠矫?，平面，可得，又因?yàn)?，，，平面，則平面，可知點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由可得：，解得，所以與平面所成角的正弦值為.知識點(diǎn)三面面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α例8、（2023上·江蘇南京·高二期末）正三棱柱的底面邊長與側(cè)棱長都是2，分別是的中點(diǎn)．(1)求三棱柱的全面積；(2)求證：∥平面；(3)求證：平面⊥平面．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）利用棱柱的表面積公式進(jìn)行求解即可；（2）利用線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（3）利用面面垂直的判定定理證明即可.【詳解】（1）因?yàn)槿庵钦庵依忾L均為2，所以底面是正三角形，側(cè)面均為正方形，故三棱柱的全面積為；（2）在正三棱柱中，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，可知，又∥，所以四邊形是平行四邊形，故∥，又平面，平面，所以∥平面．（3）連，設(shè)與相交于，則由側(cè)面為正方形，可知與互相平分．在中，，在中，，故，連，則．又，，連，則，又與相交于，，平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?、（2023上·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，，，，，．(1)求證：平面平面；(2)若為上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）借助面面垂直的判定定理即可得；（2）由題意計算可得點(diǎn)所處位置，根據(jù)線面角的定義找到線面所成角后計算即可得.【詳解】（1），，，，，平面，平面，平面，平面平面；（2）取的中點(diǎn)．連接、，由（1）知平面，平面，，如圖，過點(diǎn)作，，，，，，，，，，由勾股定理可知，，平面，平面，，為的中點(diǎn)，，又，，平面，為直線與平面所成角，由（1）知，又，，，，，則，，，，直線與平面所成角的正弦值為．例10、（2023上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，已知平面，且，為中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)證明：平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）連接交于點(diǎn)，由三角形中位線性質(zhì)可得，根據(jù)線面平行的判定可證得結(jié)論；（2）由線面垂直的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定可證得平面，由面面垂直的判定可證得結(jié)論.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，四邊形為正方形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，平面，平面，平面.（2）平面，平面，；四邊形為正方形，；，平面，平面，平面，平面平面.例11、．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，．(1)證明：平面平面；(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）通過證明平面來證得平面平面.（2）作出直線與平面所成角，解三角形求得所成角的正弦值.【詳解】（1）在中，由，得，所以，則，，又，所以，即，因?yàn)?，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，因?yàn)?，，，，所以，，即是平行四邊形，則，由（1）題可知平面，所以，直線與平面所成角為，在中，則，，所以，直線與平面所成角的正弦值為．例12、（2023上·陜西榆林·高三榆林市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.(1)證明：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）分別作的中點(diǎn)，證得，得到，再由，得到，根據(jù)線面垂直的