2023-2024學(xué)年山西省陽泉市高一年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題

2023-2024學(xué)年山西省陽泉市高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）

（1）溫度、速度、位移、功都是向量

（2）零向量沒有方向

（3）向量的模一定是正數(shù)

（4）直角坐標(biāo)平面上的X軸C軸都是向量

A.0B.1C.2D.3

【正確答案】A

【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷正誤即可.

【詳解】（1）錯(cuò)誤，只有速度，位移是向量；溫度和功沒有方向，不是向量：

（2）錯(cuò)誤，零向量有方向，它的方向是任意的；

（3）錯(cuò)誤，零向量的模為0,向量的模不一定為正數(shù)；

（4）錯(cuò)誤，直角坐標(biāo)平面上的X軸、y軸只有方向，但沒有長(zhǎng)度，故它們不是向量.

故選：A.

2.已知兩個(gè)單位向量α,A的夾角是120,則,-司=（）

A.1B.√2C.2D.√3

【正確答案】D

【分析】根據(jù)向量模的運(yùn)算法則運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量α,b的夾角是120,

所以卜一@二小一母=?∣a-2a?b+b~=,2-2χlχlχ（一g）=G.

故選：D

3.設(shè)Z]=3+2i,z?=1+加（其中i為虛數(shù)單位），若z—為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)加二（）

2C2「3n3

A.—B.—C.—D.—

3322

【正確答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則，結(jié)合純虛數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】z∣z2=(3+2i)(l+∕ττi)=3+3zni+2i-2∕Ji=3-2∕π+(3∕n+2)i,

因?yàn)閦%為純虛數(shù),

3—2m—O3

所以有=>"z=一

3m+2≠Q(mào)2

故選：D

4.下列說法正確的是()

A.直四棱柱是長(zhǎng)方體

B.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱

C.正方體被一個(gè)平面截去一個(gè)角之后可以得到一個(gè)簡(jiǎn)單組合體

D.臺(tái)體是由一個(gè)平面截錐體所得的截面與底面之間的部分

【正確答案】C

【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征可以一一判斷各選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)直四棱柱的底面不是矩形時(shí)，直四棱柱不是長(zhǎng)方體，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,不符合棱柱的結(jié)構(gòu)特征，如下面是一個(gè)正三棱柱，上面是一個(gè)以正三棱柱上底面為底面的斜

三棱柱，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,正方體被一個(gè)平面截去一個(gè)角之后可以得到一個(gè)簡(jiǎn)單組合體，C正確；

對(duì)于D,不符合臺(tái)體的結(jié)構(gòu)特征，截面應(yīng)該跟底面平行，D錯(cuò)誤.

故選：C

5.在中，。為BC的中點(diǎn)，后8=34￡,4尸=2尸(7,瓦?與4￡)交于點(diǎn)6,47=；14。，則4=()

【正確答案】B

3

【分析】由已知可得AO=24E+4A尸，根據(jù)E,G,F共線可設(shè)〃AE+(1-")4F=AG,〃eR,結(jié)合

已知及平面向量的基本定理列方程組求參數(shù)值.

13

【詳解】由題設(shè)，AD=-(AB+AC)=2AE+^AF,又〃4E+(1-〃)"=AG,〃6R且AG=/IA。，

4

μ=-1λλ=—

311

所以〃4E+(1-MAF=22AE+T4尸，即3,，解得〈二.

4?-u=-λO

4〃=—

I11

故選：B.

6.“升”和“斗”是舊時(shí)量糧食的器具，如圖所示為“升”，是一個(gè)無蓋的正四棱臺(tái)，據(jù)記載：它上口15

厘米，下口12.5厘米，高10厘米，可容米1公斤.該“升”的容積約是()(約定：“上口”指上底邊

長(zhǎng)；“下口”指下底邊長(zhǎng).)

A.1895.8cm3B.1894.8cm3C.1895.9cm3D.1894.9cm3

【正確答案】A

【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的體積公式求解即可.

【詳解】器具是一個(gè)無蓋的正四棱臺(tái)，它上口15厘米，下口12.5厘米，高10厘米，

其體積為.V=；(S+S'+屈7)x∕z=g(152+12.5?+15x12.5)x10=1895.8cn√

故選：A.

7.已知向量α,b,C滿足G=(3,0),ft=(0,4),c=λa+(?-λ)b[λ∈R),則同的最小值為()

5c12-36n48

A.-B.—C.—D.—

6555

【正確答案】B

【分析】首先求向量C的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)運(yùn)算求模，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最小值.

【詳解】由條件可知￠=(344-42),

222

則同=1j9Λ+(4-4Λ)=√25Λ-32Λ+16

25(T『+S當(dāng)喈時(shí)，%甘

故選：B

8.如圖所示，設(shè)OX,Oy是平面內(nèi)相交成。(e≠5j角的兩條數(shù)軸，分別是與χ,y軸正方向同向的

單位向量，稱此平面坐標(biāo)系XOy為夕斜坐標(biāo)系.若QM=Xq+)%,則把有序數(shù)對(duì)(χ,y)叫做向量。例的

斜坐標(biāo)，記為OM=(X?).在夕=：的斜坐標(biāo)系中，若向量α=[],與J,b=(K,τ),則下列結(jié)論正確

的是()

A.∣ɑ∣=l

B.a-Lb

(λn、

C.ci—b=—2λ∕3,----F1

I2J

D.向量&與C=[曰可作為該平面的一個(gè)基底

【正確答案】C

【分析】對(duì)于A,根據(jù)W=JS=JgG+*4展開求解即可；對(duì)于B項(xiàng)，驗(yàn)證

ab=氐+*與?(Gq-ej是否為零；對(duì)于C,根據(jù)題意寫出α=；勺+,e2,6=√?-e?然后根

據(jù)向量的減法運(yùn)算即可；對(duì)于D項(xiàng)，看向量”與C是否共線進(jìn)行判斷.

【詳解】由題意得：a=g%+曰q,b=>∕3el-e2,

對(duì)于A項(xiàng)，a=—e.+e、

2,2->

第=V7=Jgq+*e2=J}e∣2+'e22+*q?e2=Jl+^cos；=Jl+半H1,故A不正確;

對(duì)于B項(xiàng)，

,(1√3]lfτ?√32f3?}√32√3兀K夜八

"?'=[∕G+3q-e2)=3q+?^~2je''e^__=^+COS4__=0，故B項(xiàng)

不正確；

I/?

+e

對(duì)于C項(xiàng)，a-h=-el~2

(

由題意得：α-?=l1?-√3,^-+J,故C正確；

對(duì)于D項(xiàng)，向量。=與C=14l，C=Ca，所以兩個(gè)向量共線，不可作為該平面的一個(gè)

基底，故D不正確.

故選：C

二、多選題

9.如圖所示，C。是線段AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則下列關(guān)系式正確的是()

I________I________I________I

ACDB

A.AB=3ACB.DA=-2CD

C.AC+BO=OD.BC=AD

【正確答案】ABC

【分析】根據(jù)共線向量、相等向量、相反向量的定義逐一判斷斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得出正確選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)镃,。是線段AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以朋=3∣AC∣,且AB與AC同向，

所以AB=3AC,故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B：因?yàn)镃D是線段AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以阿=2卜4，且D4與Co反向，

所以D4=-2CO,故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C：因?yàn)镃。是線段A8上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以IACl=IB4，且AC與8。反向，

所以AC=-BO，所以AC+8Z)=0,故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D：因?yàn)镃。是線段AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以,Cl=IA4，且8C與AO反向，

所以8C=-AD，故選項(xiàng)D不正確;

故選：ABC.

10.已知復(fù)數(shù)Z滿足（l+i）z=∣l+i∣2（其中i為虛數(shù)單位），則（）

A.Z的實(shí)部為近

B.Z的虛部為i

C.復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

D.Z的共軌復(fù)數(shù)為1+i

【正確答案】CD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模及代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及幾何意義判斷即可.

【詳解】因?yàn)?l+i)z=∣l+i∣2,所以(ι+i)z=(√i77Fj=2,則z=2=0;W=IT,

所以Z的實(shí)部為1,虛部為T,z=ι+i,故A、B錯(cuò)誤，D正確;

又復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1,-1）位于第四象限，故C正確；

故選：CD

11.如圖所示，一個(gè)平面圖形AfiC/）的直觀圖為A'3'C'。'，其中O'A'=O'C'=LOE=OD'=2,則下

列說法中正確的是（）

A.該平面圖形是一個(gè)平行四邊形但不是正方形

B.該平面圖形的面積是8

C.該平面圖形繞著直線AC旋轉(zhuǎn)半周形成的幾何體的體積是野

D.以該平面圖形為底，高為3的直棱柱的體對(duì)角線長(zhǎng)為內(nèi)

【正確答案】BC

【分析】對(duì)于AB選項(xiàng)，由直觀圖得出平面圖形，即可判定；對(duì)于CD根據(jù)幾何體的體積公式和對(duì)角

線計(jì)算即可.

【詳解】如圖所示將直觀圖還原為平面圖形，由題意可得，AC=A=BD,故該平面圖形為正方形.即A

錯(cuò)誤；面積S=gx4x4=8,即B正確;

將平面圖形繞直線AC旋轉(zhuǎn)半周得幾何體為兩個(gè)圓錐，底面半徑均為2,

故體積y=2χ1χ7tx22χ2=3τr,即C正確；

33

以該平面圖形為底，高為3的直棱柱其實(shí)為長(zhǎng)方體，體對(duì)角線長(zhǎng)為28+8+3?=5,即D錯(cuò)誤.

故選：BC

12.已知對(duì)任意角M4均有等式sin2α+sin2∕7=2sin(α+/7)cos(α-.設(shè),ABC的內(nèi)角A8,C滿足

sin2A+sin(A-β+C)=sin(C-A-B)+^,面積S滿足2≤S≤3.記",b,c分別為角A8,C的對(duì)邊，則

下列式子中一定成立的是()

A.SinASinBsinC=-B.2√2≤-^-≤2√3

8SinA

C.16√2≤α?c≤24√3D.?c(?+c)>16>∕2

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和及和差化積可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)面積公式可判斷選項(xiàng)B、C的正誤；根

據(jù)三角形邊的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)D的正誤.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)題意，由sin2A+sin(4-8+O=Sin(C—A—8)+/可得:

sin2A+sin(π-2B)-sin(2C-π)=?,即sin2A+sin28+sin2C=-,

22

故2sinACOSA+2Sin(B+C)cos(B-C)=g,即2sinAcosA+2sinACOS(B-C)=g

所以2sinA[-cos(B+C)+cos(B-C)]=?

故SinAsinBsinC=-,

8

故A正確.

對(duì)于B,又由正弦定理'=上=」=2R,得α=2RsinA力=2RSinB,

sinAsinBsinC

三角形的面積公式S=gc浴SinC=2R2SinNsinBsinC,可得R?=4S,又2≤S≤3

因此2√Σ≤R≤2√J,BR4√2≤^-<4√3,故B錯(cuò)誤.

SinA

對(duì)于C,S=—α?sinC=――,有abc=R',從而16Λ∕Σ≤“僅?≤24百，故C正確.

24A

對(duì)于D,根據(jù)三角形三邊長(zhǎng)的關(guān)系，有bc(Z?+c)>bc?α?16五,故D正確.

故選：ACD.

三、填空題

13.向量”=(2,1)在向量b=(1,0)上的投影向量C=.

【正確答案】(2,0)(或抄)

【分析】利用投影向量的定義進(jìn)行求解.

【詳解】因?yàn)棣?(2,1),b=(l,0),

a?b

所以向量α=(2,l)在向量6=(l,0)上的投影向量的模長(zhǎng)為w=2,

所以投影向量c=(2,0)或防.

故(2,0)(或》).

14.已知在復(fù)平面內(nèi)，向量54對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是3+2i,CA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-2+4i,則向量CB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是

【正確答案】-5+2Z∕2i-5

【分析】根據(jù)向量的減法計(jì)算和復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系即可求解.

【詳解】CB=C4+AB=C4-BA=(-2+4i)-(3+2i)=-5+2i.

故答案為.-5+2i

15.已知一ABC中，角AB,C所對(duì)的邊分別為α,6,c,αsin8=√?cosA,α=3,那么ABC面積的取值范

圍是.

【正確答案】(°，怨］

【分析】利用正弦定理將邊化角，即可求出A,再由余弦定理及基本不等式求出秘的取值范圍，最

后由面積公式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?sinB=J初COS4,由正弦定理可得SinASinB=GSinBCoSA

8∈(0,兀)，.?.sinB≠O,

.,.sinA=>/3cosA?.,.tanΛ=?/?,

又A∈(θ,7c),.*.A=—,

由余弦定理得az=b2+C2-2bc?cosA,EP9=?2+c2-fec,

所以從+c2=9+bc≥2人c,所以0<hc≤9,當(dāng)且僅當(dāng)人=c?=3時(shí)取等號(hào),

LSinA=烏c?5”莊

所以

SABC=24I,4g

16.如圖所示，一塊邊長(zhǎng)為IOCm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下來，然后將

余下的四個(gè)全等的等腰三角形組成一個(gè)正四棱錐、若正四棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面邊長(zhǎng)為

x（單位：cm）,且x∈[6,8],則該球的半徑R（單位：Cm）的取值范圍是.

【分析】作出正四棱錐，正四棱錐的外接球的球心在正四棱錐的高線上，根據(jù)勾股定理表示外接球的

半徑R與X的關(guān)系，再求出R的取值范圍.

【詳解】由題意，作出正四棱錐，如圖所示，記F為BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF,

可知BC=xcm,EF=5cm,四邊形ABa）為正方形.

記。為正方形ABCO的中心，連結(jié)OF,OE,OB,則OEL平面A8C。，

（9F=∣cm,OB=與XCm,OE=^EF2-OF1≈J25-—cm.

E

22222

在直角?0∣08中，O1O=(OE-/?)=R-OB,即1,25-?-"=R-乎X,xe[6,8]

^t=J25-，問3,4],則(r—R)2=50-2∕+R2,

整理得2R=,τ,因?yàn)閥=}τ在區(qū)間[3,4]上單調(diào)遞減，

,17504117CC41Γ1741"

所rrκ以χ≤-----1<—πBnP—≤27?≤—,oR∈—.

2t3f23L46」

「1741-

故答案為.—,T

46

四、解答題

17.已知復(fù)數(shù)馬=。+2i,N2=1->O,i為虛數(shù)單位).

(1)若α=l,求二-；

Z2

⑵若Z2是關(guān)于X的實(shí)系數(shù)方程￡+m+5=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求上口|.

13

【正確答案】⑴]

(2)2√iθ

【分析】(1)利用復(fù)數(shù)的除法進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)方法一，把z,=l-αi直接代入方程，求得。，再進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算.

方法二，由1-歷是關(guān)于X的實(shí)系數(shù)方程x2+e+5=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，得1+5是此方程的另一個(gè)復(fù)數(shù)

根，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求得。，再進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算.

【詳解】(1)若α=l,貝IJZl=I+2i,Z2=IT,

UGMZll+2i(l+2i)(l+i)-l+3i13.

z2l-?(I-I)(I+1)222

(2)方法1：由題得(1一4i)2+m(l-αi)+5=6-々2+加一(加+2)出=0,

6-a2+τn=O,[m=-2,

所以/小A又。>0,故可解得C，即Z2=l-2i.

("2+2)α=0,(a=2.

則憶Z2∣=∣(2+2i)(l-2i)H6-2i∣=2√iδ.

方法2：因?yàn)閘-αi是關(guān)于X的實(shí)系數(shù)方程χ2+,nr+5=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，

所以1+H是方程V+,nr+5=0的另一個(gè)復(fù)數(shù)根，則。-插)(1+疝)=5,

即l+°2=5,又α>(),故可得。=2..

則IZH=I(2+2i)(l-2i)∣=∣6-2i∣=2√10.

18.已知平面直角坐標(biāo)系中，向量α=(l,-2),b=(-2,6).

⑴若C〃0α+6),且同=3,求向量C的坐標(biāo)；

(2)若。與4+友,的夾角為,求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

請(qǐng)?jiān)谌缦聝蓚€(gè)條件中任選一個(gè)，將問題補(bǔ)充完整，并求解(如果兩個(gè)條件都選則按第1個(gè)的答題情況

給分)：①銳角；②鈍角.

【正確答案】(D(0,3)或(0,—3)

⑵答案見解析

【分析】(I)設(shè)出向量C的坐標(biāo)，利用向量平行和模長(zhǎng)建立方程組，求解方程組可得答案；

(2)先表示出。與“+助的坐標(biāo)，選擇夾角為銳角可以利用數(shù)量積大于零求解，選擇夾角為鈍角可

以利用數(shù)量積小于零求解.

【詳解】(1)設(shè)C=(X,y),由題意得2α+b=(0,2).

.c”(2α+%),.?.2?x=0?y,解得X=0.

,■∣c∣=3,:.^x2+y2=Iyl=3,解得V=±3,

???向量C的坐標(biāo)為(0,3)或(0,-3).

(2)a+λb=(?-2λ,-2+6λ).

當(dāng)α與〃+%共線時(shí)，lx(-2+6X)=(I—2∕l)χ(-2),解得2=0.

若選①銳角，則。?(〃+勸)=lx(l-2∕l)+(-2)x(-2+6∕l)>0,

解得2<二；

??.”與α+勸的夾角為銳角時(shí)，實(shí)數(shù)/1的取值范圍為(-O)U(O,力

若選②鈍角，貝∣Ja?(α+勸)=lx(l-2∕l)+(-2)x(-2+6X)<0,

解得4>??,

14

.?.α與〃+勸的夾角為鈍角時(shí)，實(shí)數(shù)2的取值范圍是島+e).

19.一條河南北兩岸平行.如圖所示，河面寬度d=lkm,一艘游船從南岸碼頭A點(diǎn)出發(fā)航行到北岸.

游船在靜水中的航行速度是耳，水流速度匕的大小為M∣=4km∕h.設(shè)匕和彩的夾角為

e(0<e<180),北岸上的點(diǎn)4在點(diǎn)A的正北方向.

⑴若游船沿A4,到達(dá)北岸H點(diǎn)所需時(shí)間為6min,求町的大小和COSe的值;

⑵當(dāng)e=60，M=10km/h時(shí)，游船航行到北岸的實(shí)際航程是多少？

【正確答案】(l)2√^km∕h,叵

29

z√√13,

(20)---km

【分析】(1)設(shè)游船的實(shí)際速度為I。Ikm∕h,由速度合成的丫=匕+叫，根據(jù)M『=|V∣2+M『求得結(jié)果

即可；

(2)設(shè)到達(dá)北岸8點(diǎn)所用時(shí)間為∕h,根據(jù)4f=∣w∣2=∕(%+vj計(jì)算AB長(zhǎng)度，得出結(jié)果.

【詳解】Q)設(shè)游船的實(shí)際速度為Mkm∕h.

由4A=lkm,6min=0.1h,得M=IOkm/h,同=4km∕h.

如圖所示速度合成示意圖，由MT=M2+M=102+42=116,得M=2后km/h,

a彩2√29

cosσ=-----=-----------.

V,29

所以匕的大小為2√^km∕h,cos。的值為-考L

(2)當(dāng)e=60,∣w∣=10km∕h時(shí);設(shè)到達(dá)北岸B點(diǎn)所用時(shí)間為fh,作出向量加法示意圖如圖所示，由

向量數(shù)量積運(yùn)算得:

2222222

AB=∣fv∣=r(vl+v2)=r(10+4+2×10×4×cos60)=156r..?.AB=2√39f.

在Rt/XAAC中，z∣v∣cos30zh

l≡=??

所以A3=J=x2屈=域L

5√35

故游船的實(shí)際航程為獨(dú)?km.

5

20._ASC中，AB=2,AC=I,BD=ABC,A∈(0,l).

⑴若NBAC=I20。，A=∣,求AQ的長(zhǎng)度；

(2)若AO為角平分線，且4)=1,求ABC的面積.

【正確答案】(I)AQ=3

2

⑵半

O

【分析】Q)從向量角度，以ABAC為基底，表示出A。，再用向量法計(jì)算Ao的模長(zhǎng)，即AZ)的長(zhǎng)

度;

(2)用正弦定理的面積公式分別A表示出一,ΛABD,二AS面積，列出等式計(jì)算即可求出A

的正弦值，繼而求出面積.

【詳解】(1)YBDCBC,2=∣,：.AD=^(AB+AC),

又：在_ABC中，AB=2,AC=I,ZBΛC=120°,

(AZ))2=J(AB+AC)?=+(ACy+2AB?AC?COSΛ)=,

ΛAD-=-,即.AO=迫

42

(2)在_ABC中，SΔABC=?ie?sinA=sinA,

?AlA3A

又?0ABC=SAABD÷SAACD=~?*AD?S?-+-??AD?S?y=-Si∏y,

.??sinA=%n4,?cos-=-.A√7

sin—=——，

222424

.?M=%"=，且*

22248

??.."?sinA=Llx2χM=也.

△ABC2288

21.一A3C中，AB=3,AC=4,A=60,O,E分別在邊A8,AC上，S,AD=2DB,AE=EC.

(1)求CO與8E所成銳角的余弦值;

⑵在線段。E上是否存在一點(diǎn)M,使AΛ∕若存在，求F的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

DE7

【正確答案】(1)巨

7

4

⑵存在，-

【分析】(1)建立平面直角坐標(biāo)系，借助兩個(gè)向量BE,。C的夾角公式求解.

(2)設(shè)。M=ZIOE,利用AM?BE=Q,解方程即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)如圖以A為原點(diǎn)，A8所在的直線為X軸建立平面直角坐標(biāo)系.

則依題意以3,0),C(2,2√3),f(l,√3),0(2,0).

所以8七二卜2,G),OC=(0,26),DE=(T⑹.

0+島26√ΣT

則CoS(監(jiān)OC)=BEDC

?BE??DC?√7×2√3