新高考數(shù)學圓錐曲線62種題型第七節(jié) 拋物線方程與性質(zhì)（原卷版）

第七節(jié)拋物線方程與性質(zhì)知識框架知識點歸納1.拋物線的定義(1)平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.定點F叫作拋物線的焦點，定直線l叫作拋物線的準線.(2)其數(shù)學表達式：{M||MF|＝d}(d為點M到準線l的距離).2.拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)圖形標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離性質(zhì)頂點O(0，0)對稱軸y＝0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準線方程x＝eq\f(p,2)范圍x≤0，y∈R開口方向向左[常用結論]1.通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于2p，通徑是過焦點最短的弦.2.拋物線y2＝2px(p>0)上一點P(x0，y0)到焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也稱為拋物線的焦半徑.題型歸類題型一拋物線的定義和標準方程例1(1)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，M，N是拋物線上兩個不同的點.若|MF|＋|NF|＝5，則線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為________.(2)(2022·全國乙卷)設F為拋物線C：y2＝4x的焦點，點A在C上，點B(3，0)，若|AF|＝|BF|，則|AB|＝________.(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標原點，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準線方程為________.感悟提升求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.題型二拋物線的幾何性質(zhì)及應用角度1焦半徑和焦點弦例2(1)已知點F為拋物線C：y2＝4x的焦點，過點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝teq\o(FB,\s\up6(→))(t＞1)，|AB|＝eq\f(16,3)，則t＝________.(2)過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的長為8，則p＝________.角度2與拋物線有關的最值問題例3(1)若在拋物線y2＝－4x上存在一點P，使其到焦點F的距離與到A(－2，1)的距離之和最小，則該點的坐標為________.(2)已知拋物線x2＝4y上有一條長為6的動弦AB，則AB的中點到x軸的最短距離為________.感悟提升與拋物線有關的最值問題的兩個轉化策略轉化策略一：將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決.轉化策略二：將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決.題型三拋物線的綜合問題例4已知拋物線C：y2＝3x的焦點為F，斜率為eq\f(3,2)的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直線l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|.感悟提升1.有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式.2.涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求”、“整體代入”等解法.提醒涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解.題型四拋物線中的二級結論拋物線焦點弦的有關性質(zhì)是高中數(shù)學的重要部分，了解和掌握相關結論，在解題時可迅速打開思路，拋物線焦點弦的常見結論如下：設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，則|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)；(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB為直徑的圓與準線相切；(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；(6)過焦點弦的端點的切線互相垂直且交點在準線上；(7)通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p.例1過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于()A.4 B.eq\f(9,2)C.5 D.6例2(2023·福州聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，過F且傾斜角為eq\f(π,3)的直線交C于A，B兩點，線段AB中點的縱坐標為eq\r(3)，則|AB|＝()A.eq\f(8,3) B.4C.8 D.24訓練(1)設F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32) D.eq\f(9,4)(2)(2023·廣州模擬)已知拋物線C1：y2＝4x，圓C2：(x－2)2＋y2＝2，直線l：y＝k(x－1)與C1交于A，B兩點，與C2交于M，N兩點，若|AB|＝8，則|MN|＝________________.課時訓練一、單選題1．已知拋物線C：的焦點為F，點在拋物線C上，則（

）A．4 B． C．8 D．2．已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，是拋物線上的點，且軸，若以為直徑的圓截直線所得的弦長為2，則A．2 B． C．4 D．3．設斜率為1的直線過拋物線的焦點，且和軸交于點，若（為坐標原點）的面積為2，則（

）．A．4 B．8 C． D．4．直線：與拋物線：交于不同兩點、，是的焦點，若，則的面積為（

）A． B． C． D．5．已知拋物線：的焦點為，點為上一點，若，則的準線方程為（

）A． B． C． D．6．已知拋物線，過其焦點的直線與拋物線分別交于、兩點(點在第一象限)，且則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．二、多選題7．已知拋物線的焦點為、準線為，過點的直線與拋物線交于兩點，，點在上的射影為，則（

）A．若，則B．以為直徑的圓與準線相切C．為定值D．過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線至多有條8．（多選）已知拋物線：的焦點為，準線為，過點的直線與拋物線交于點，，點，在上的射影為，，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．以為直徑的圓與準線相切C．若，則 D．三、填空題9．拋物線的焦點到準線的距離為______.10．已知拋物線：的焦點為，過且垂直于軸的直線與交于?兩點，則以線段為直徑的圓被軸所截得的弦長為___________.11．已知拋物線的焦點為F，圓為拋物線上一點，且，過M作圓F的兩條切線，切點分別為A，B，則的取值范圍為____________．12．已知拋物線與點，過的焦點，且斜率為的直線與交于A，B兩點，若，則___________．四、解答題13．已知拋物線上的一點M的縱坐標為1，求點M到焦點的距離.14．如圖，已知定點軸于點，是線段上任意一點，軸于點，于點，相交于點P，求P點的軌跡方程.15．已知拋物線的方程為x2