線性代數(shù)課件

矩陣§1矩陣的定義定義1

給出m

n個數(shù),排成m行n列的矩形數(shù)表此數(shù)表叫做m行n列矩陣,簡稱m

n矩陣。記為亦記為A=(aij)mn,或A=(aij)或A=Amn如果矩陣A的元素aij全為實(復(fù))數(shù),就稱A為實(復(fù))數(shù)矩陣。只有一行的矩陣A=(a1a2...an)叫做行矩陣,行矩陣也記作A=(a1,a2,...,an)。只有一列的矩陣叫做列矩陣。兩個矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)也相等,就稱它們是同型矩陣。元素都是零的矩陣稱為零矩陣,記作O。方陣叫做n階單位陣,簡記作En

。特點:從左上角到右下角的直線(主對角線)上的元素都是1,其他元素都是0。如變量y1,y2,...,yn可由變量x1,x2,...,xn線性表示,即稱由變量x1,x2,...,xn到變量y1,y2,...,ym的變換為線性變換。它的系數(shù)構(gòu)成一矩陣(aij)m

n(稱為系數(shù)矩陣)是確定的。例線性變換對應(yīng)n階矩陣這個方陣的特點:不在對角線上的元素全為0,這種方陣稱為對角陣,當(dāng)

1=

2=...=

n=

時,A稱為數(shù)量矩陣?！?矩陣的運算一.矩陣的加法定義2

設(shè)有兩個m

n矩陣A=(aij),B=(bij),那么A與B的和記為A+B,規(guī)定為注意:只有當(dāng)兩個矩陣同型時,才能進(jìn)行加法運算。加法滿足運算規(guī)律:(1)A+B=B+A;(交換律)(2)(A+B)+C=A+(B+C).(結(jié)合律)二.數(shù)與矩陣相乘定義3

數(shù)

與矩陣A的乘積記做

A,規(guī)定為數(shù)乘矩陣滿足運算規(guī)律:設(shè)矩陣A=(aij),記-A=(-1)A=(-1aij)=(-aij),-A稱為A的負(fù)矩陣,顯然有

A+(-A)=O.其中O為各元素均為0的同型矩陣,由此規(guī)定A-B=A+(-B).三.矩陣與矩陣相乘定義4

設(shè)A=(aij)m

s,B=(bij)sn那么規(guī)定矩陣A與B的乘積是C=(cij)m

n,其中并把此乘積記作C=AB。行矩陣與列矩陣相乘注意：只有當(dāng)?shù)谝痪仃嚕ㄗ缶仃嚕┑牧袛?shù)與第二矩陣（右矩陣）的行數(shù)相等時，兩個矩陣才能相乘。例求：AB和BA。解：表明矩陣乘法不滿足交換律。矩陣的乘法滿足運算律：對于單位矩陣，有一般稱為方陣的n次冪。規(guī)定；四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義5

把矩陣A的行換成同序數(shù)的列,得到的新矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作A'。滿足運算律：有所以設(shè)A為n階方陣,若A'=A,即

aij=aji

(i,j=1,2,…,n),那么,A稱為對稱矩陣;若A'=-A,即

aij=-aji

(i,j=1,2,…,n),那么,A稱為反對稱矩陣。對稱矩陣的特點是:

它的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等。反對稱矩陣的特點是:

以主對角線為對稱軸的對應(yīng)元素絕對值相等,符號相反,且主對角線上各元素均為0。五、方陣的行列式

定義6

由n階方陣A的元素構(gòu)成的行列式(各元素位置不變),稱為方陣A的行列式,記作|A|或detA

。設(shè)A,B為n階方陣,

為實數(shù),則有下列等式成立

若A為方陣,行列式的各元素的代數(shù)余子式Aij亦可構(gòu)成如下方陣

稱為A的伴隨矩陣。

定義7

矩陣的初等行變換是指:1.交換兩行的位置；2.把某一行乘以一個非零常數(shù);3.把某一行的倍數(shù)加到另一行?！?矩陣的逆

定義8

設(shè)A為n階方陣,若

A=0,則稱A為奇異矩陣;否則,A為非奇異矩陣。定義9

對于n階方陣A,如果有一個n階方陣B,滿足AB=BA=E,則稱方陣A可逆,且把方陣B稱為A的逆矩陣。

如果A是可逆的,則A的逆矩陣唯一。設(shè)B,C都是A的逆矩陣,則一定有

B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.A的逆矩陣記作A-1,即若AB=BA=E,則B=A-1

。定理1

設(shè)A是n階方陣,A是非奇異矩陣的充分必要條件為A是可逆的.證

先證必要性。設(shè)A為非奇異矩陣,設(shè)A的伴隨矩陣為A*,則有

說明A是可逆的。證充分性。由于A是可逆的,即有A

-1,使A

-1A=E

說明A是非奇異矩陣。設(shè)A,B均為同階可逆方陣,數(shù)

0,

下列運算法成立：

例

求方陣

的逆矩陣。解

因為

所以A-1存在,先求A的伴隨矩陣A*

A11=3,A12=-3,A13=1,A21=-6,A22=10,A23=-4,

A31=2,A32=-4,A33=2§4矩陣的分塊

定義將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣,每個小矩陣稱為A的子塊,以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣。

列舉三種分塊形式：分塊矩陣的運算法則:(1)矩陣A與B為同型矩陣,采用同樣的分塊法,有

(2)A為m

l矩陣,B為l

n矩陣,將A,B分成

其中Ai1,Ai2…,Ait的列數(shù)分別等于B1j,B2j,…,Bij的行數(shù),則有

例求AB.解

A,B分塊成

(3)設(shè)則(4)設(shè)方陣A的分塊矩陣為

除主對角線上的子塊不為零子塊外,其余子塊都為零矩陣,且Ai(i=1,2,…,m)為方陣,則A稱為分塊對角矩陣(或準(zhǔn)對角矩陣).準(zhǔn)對角矩陣的行列式為

若有與A同階的準(zhǔn)對角矩陣

其中Ai與Bi(i=1,2,…,m)亦為同階矩陣,則有

若A可逆,則有

求A-1.例設(shè)解

向量組與矩陣的秩§1n維向量

定義1

n個數(shù)組成的有序數(shù)組（a1,a2,…,an）稱為一個n維向量，簡稱向量。

用小寫的粗黑體字母來表示向量。行向量列向量數(shù)a1,a2,…,an稱為這個向量的分量。ai稱為這個向量的第i個分量或坐標(biāo)。分量都是實數(shù)的向量稱為實向量；分量是復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量。

n維行向量可以看成1×n矩陣，n維列向量也?？闯蒼×1矩陣。

設(shè)k和l為兩個任意的常數(shù)，為任意的n維向量，其中定義2

如果和對應(yīng)的分量都相等，即ai=bi，i=1,2,…,n就稱這兩個向量相等，記為。

定義3

向量（a1+b1,a2+b2,…,an+bn）稱為與的和，記為。稱向量（ka1,ka2,…,kan）為與k的數(shù)量乘積，簡稱數(shù)乘，記為。

定義4

分量全為零的向量（0，0，…，0）稱為零向量，記為0。與-1的數(shù)乘（-1）=（-a1,-a2,…,-an）稱為的負(fù)向量，記為。向量的減法定義為向量的加法與數(shù)乘具有下列性質(zhì)：滿足（1）—（8）的運算稱為線性運算?！?線性相關(guān)與線性無關(guān)

矩陣與向量的關(guān)系：通常把維數(shù)相同的一組向量簡稱為一個向量組，n維行向量組可以排列成一個s×n分塊矩陣

其中為由A的第i行形成的子塊，稱為A的行向量組。

n維列向量組可以排成一個n×s矩陣

其中為由B的第j行形成的子塊，稱為B的列向量組。

定義5

向量組稱為線性相關(guān)的，如果有不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks，使反之，如果只有在k1=k2=…=ks=0時上式才成立，就稱線性無關(guān)。當(dāng)是行向量組時，它們線性相關(guān)就是指有非零的1×s矩陣（k1,k2,…,ks）使當(dāng)為列向量時，它們線性相關(guān)就是指有非零的s×1矩陣，使例判斷向量組的線性相關(guān)性。解對任意的常數(shù)k1,k2,…,kn都有所以當(dāng)且僅當(dāng)k1=k2=…=kn=0

因此線性無關(guān)。例設(shè)向量組線性無關(guān)，，，，試證向量組也線性無關(guān)。證對任意的常數(shù)都有設(shè)有k1,k2,k3,使由線性無關(guān)，故有由于滿足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0所以線性無關(guān)。定理1

向量組（s≥2）線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個向量能由其他向量線性表出。證設(shè)中有一個向量能由其他向量線性表出，所以線性相關(guān)。如果線性相關(guān)，就有不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks，使設(shè)k1≠0,那么即能由線性表出。例如，向量組是線性相關(guān)的，因為定理2

設(shè)向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則能由向量組線性表出，且表示式是唯一的。證由于線性相關(guān)，就有不全為零的數(shù)k1,k2,…,kt,k，使由線性無關(guān)有k≠0。即可由線性表出。設(shè)為兩個表達(dá)式。且線性無關(guān)得到l1=h1,l2=h2,…，lt=ht

因此表示式是唯一的。定義7

如果向量組中每個向量都可以由線性表出，就稱向量組可由線性表出，如果兩個向量組互相可以線性表出，就稱它們等價。每一個向量組都可以經(jīng)它自身線性表出。同時，如果向量組可以經(jīng)向量組線性表出，向量組可以經(jīng)向量組線性表出，那么向量組可以經(jīng)向量組線性表出。向量組中每一個向量都可以經(jīng)向量組線性表出。因而，向量組可以經(jīng)向量組線性表出。如果有向量組的等價具有下述性質(zhì)：(1)反身性：向量組與它自己等價；(2)對稱性:如果向量組與等價，那么也與等價。(3)傳遞性:如果向量組與等價，而向量組又與等價,那么與等價?！?線性相關(guān)性的判別定理定理3

有一個部分組線性相關(guān)的向量組線性相關(guān)。設(shè)這個部分組為。則有不全為零的數(shù)k1,k2,…,kr，使證設(shè)向量組有一個部分組線性相關(guān)。因此也線性相關(guān)。推論

含有零向量的向量組必線性相關(guān)。定理4

設(shè)p1,p2,…,pn為1，2，…，n的一個排列，和為兩向量組，其中即是對各分量的順序進(jìn)行重排后得到的向量組，則這兩個向量組有相同的線性相關(guān)性。證對任意的常數(shù)k1,k2,…,ks，上兩式只是各分量的排列順序不同，因此當(dāng)且僅當(dāng)所以和有相同的線性相關(guān)性。(2)如果線性無關(guān)，那么也線性無關(guān)。定理5在r維向量組的各向量添上n-r個分量變成n維向量組。(1)如果線性相關(guān)，那么也線性相關(guān)。證對列向量來證明定理。利用(1)式,用反證法容易證明(2)式也成立。因此,也線性相關(guān),即(1)式成立。如果線性相關(guān),就有一個非零的s1矩陣X,使引理1

如果n階方陣A的行列式等于零,那么A的行(列)向量組線性相關(guān)。定理6

n維向量組線性無關(guān)的充要條件是矩陣的行列式不為零(A可逆)。此時,矩陣A的n個列向量也線性無關(guān)。定理7

n+1個n維向量組必線性相關(guān)。推論當(dāng)m>n時,m個n維向量組線性相關(guān)。定理8

如果向量組可由線性表出且s>t，那么線性相關(guān)。推論1

如果向量組，可由向量組線性表出，且線性無關(guān)，那么。推論2

兩個線性無關(guān)的等價的向量組必含有相同個數(shù)的向量?！?向量組的秩與矩陣的秩定義8

一向量組的一個部分組稱為一個極大線性無關(guān)組，如果這個部分組本身是線性無關(guān)的，并且從這向量組中向這部分組任意添一個向量（如果還有的話），所得的部分組都線性相關(guān)。例在向量組中，為它的一個極大線性無關(guān)組。首先，由與的分量不成比例，線性無關(guān)。再添入以后，由可知所得部分組線性相關(guān)，不難驗證也為一個極大線性無關(guān)組。定義8‘

一向量組的一個部分組稱為一個極大線性無關(guān)組，如果這個部分組本身是線性無關(guān)的，并且這向量組中任意向量都可由這部分組線性表出。向量組的極大線性無關(guān)組具有的性質(zhì)：性質(zhì)1

一向量組的極大線性無關(guān)組與向量組本身等價。性質(zhì)2

一向量組的任意兩個極大線性無關(guān)組都等價。性質(zhì)3

一向量組的極大線性無關(guān)組都含有相同個數(shù)的向量。定義9

向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩。如果向量組能由向量組線性表出，那么的極大線性無關(guān)組可由的極大線性無關(guān)組線性表出。因此的秩不超過的秩。定理9

向量組的任意線性無關(guān)的部分組都可擴(kuò)充為一個極大線性無關(guān)組。推論秩為r的向量組中任意含r個向量的線性無關(guān)的部分組都是極大線性無關(guān)組。定義10

矩陣的行秩是指它的行向量組的秩，矩陣的列秩是指它的列向量組的秩。定義11

在一個s

n矩陣A中任意選定k行和k列，位于這些選定的行和列的交點上的k2個元素按原來的次序所組成的k

k級矩陣的行列式，稱為A的一個k級子式。引理2

設(shè)，n維向量組線性無關(guān)的充要條件是矩陣中存在一個不為零的r級子式。定理10

矩陣的行秩等于列秩。由此,A'的列秩(A的行秩r1)

A'的行秩(A的列秩r2),即有。證設(shè)矩陣A的行秩為r1,A的列秩為r2。那么,A中有r1個行向量線性無關(guān),由引理2,A中有一個r1級子式D不為零,那么A中子式D所在的r1個列向量也線性無關(guān);因而,。統(tǒng)稱矩陣的行秩和列秩為矩陣的秩,矩陣A的秩一般記為R(A)。規(guī)定零矩陣的秩為0。定理11

矩陣A的秩為r的充要條件是它有一個不為零的r階子式而所有r+1階子式全為零,這時,這個非零的r級子式所在的行和列就分別為A的行向量組和列向量組的極大線性無關(guān)組。§5矩陣的初等變換

矩陣的初等行變換都是可逆的,且其逆變換也是同類的初等行變換。定義12

下面的三種變換稱為矩陣的初等行變換:(1)對換矩陣兩行的位置

[對換第i行和第j行的位置記為r(i,j)].(2)矩陣的某行所有元素同乘以一個非零常數(shù)

[第i行乘以k記為r(i(k)](3)把矩陣一行所有元素的k倍加到另一行對應(yīng)的元素上去[第i行的k倍加到第j行上去記為r(j+i(k))]定理12

如果矩陣A經(jīng)過有限次初等行變換變?yōu)锽,則A的行向量組與B的行向量組等價,而A的任意k個列向量與B中對應(yīng)的k個列向量有相同的線性關(guān)系。例求下列向量組的一個極大線性無關(guān)組與秩。解作所以為一個極大無關(guān)組，且秩等于3。定義13

如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換化成B，就稱矩陣A與B等價。矩陣的等價關(guān)系具有下列性質(zhì)：(1)反身性：A與A等價。(2)對稱性：如果A與B等價，那么B與A等價。(3)傳遞性：如果A與B等價，B與C等價，那么A與C等價。定理13

如果矩陣A與B等價，那么R(A)＝R(B)。定理14

每個矩陣都有等價標(biāo)準(zhǔn)形，矩陣A與B等價，當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的等價標(biāo)準(zhǔn)形。推論兩個同型矩陣等價的充分必要條件是它們的秩相等?！?初等變換與求矩陣的逆定義14

由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。初等矩陣都是方陣，互換E的第i行與第j行（或者互換E的第i列與第j列）的位置，得,(j)1101111011OLMOMLO=iEMMLL用常數(shù)k乘E的第i行（或i列），得把E的第j行的k倍加到第i行（或第i列的k倍加到第j列）得這三類矩陣就是全部的初等矩陣，有E(i,j)-1＝E(i,j)E(i(k))-1=E(i(1/k)),E(i+j(k))-1=E(i+j(-k))

定理15

對一個s×n矩陣A作一初等行變換就相當(dāng)于在A的左邊乘上相應(yīng)的s×s初等矩陣；對A作一初等列變換就相當(dāng)于在A的右邊乘上相應(yīng)的n×n初等矩陣。推論1

矩陣A與B等價的充分必要條件是有初等方陣P1，P2，…，Ps，Q1，…，Qt使

A＝P1P2…PsBQ1…Qt

推論2

n×n矩陣A可逆的充分必要條件它能表成一些初等矩陣的乘積。推論3

兩個s×n矩陣A、B等價的充分必要條件為存在可逆的s×s矩陣P與可逆的n×n矩陣Q使

A=PBQ推論4

可逆矩陣總可以經(jīng)過一系列初等行變換化成單位矩陣。例設(shè)求A-1。解對(A|E)作初等行變換§7向量空間定義15

設(shè)V為n維向量的集合，如果V非空且對于向量加法及數(shù)乘運算封閉，即對任意的和常數(shù)k都有就稱集合V為一個向量空間。例

n維向量的全體Rn構(gòu)成一個向量空間。3維向量可以用有向線段來表示，所以R3也可以看作以坐標(biāo)原點為起點的有向線段的全體。例

n維零向量所形成的集合{0}構(gòu)成一個向量空間。定義16

如果V1和V2都是向量空間且,就稱V1是V2的子空間。(2)V中任意向量都可以經(jīng)線性表出，那么，向量組就稱為V的一個基，r稱為V的維數(shù)，并稱V為一個r維向量空間。定義17

設(shè)V為一個向量空間。如果V中的向量組滿足(1)線性無關(guān)；如果向量空間V沒有基，就說V的維數(shù)為0，0維向量空間只含一個零向量。如果把向量空間V看作向量組，那么V的基就是它的極大線性無關(guān)組，V的維數(shù)就是它的秩。當(dāng)V由n維向量組成時，它的維數(shù)不會超過n。例設(shè)驗證是R3的一個基并將用這個基線性表示出來。解由知線性無關(guān)，因此是R3的一個基。如果P1，P2，…，Pl為初等矩陣，使

P1P2…PlA=E,則A-1=P1P2…Pl

因此只需對矩陣(A|B)作初等行變換，當(dāng)把A變?yōu)镋時，B就變成了A-1B。所以線性方程組

§1消元法定理1

初等變換把一個線性方程組變?yōu)橐粋€與它同解的線性方程組。定義1

線性方程組的系數(shù)所組成的矩陣叫做線性方程組的系數(shù)矩陣,把系數(shù)及常數(shù)所組成的矩陣叫做增廣矩陣。設(shè)線性方程組系數(shù)矩陣是增廣矩陣是對一個方程組實行消元法求解,即對方程組實行了初等變換,相當(dāng)于對它的增廣矩陣實行了一個相應(yīng)的初等變換。而化簡線性方程組相當(dāng)于用行初等變換化簡它的增廣矩陣。例解線性方程組解增廣矩陣是交換矩陣第一行與第二行,再把第一行分別乘以(-1/2)和(-2)加到第二行和第三行,再把第二行乘以(-2)得在B1中將第二行乘以2加到第三行得相應(yīng)的方程組變?yōu)槿切?階梯形)方程組:回代得x3=-2,x2=3,x1=4§2線性方程組有解判別定理定理2

設(shè)A是一個m行n列矩陣通過矩陣的行初等變換能把A化為以下形式由定理2,我們可以把線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等變換化為:與之相應(yīng)的線性方程組為其解與原方程組相同。(1)若dr+1,dr+2,…,dm中有一個不為0,方程組無解,那么原方程組也無解(2)若dr+1,dr+2,…,dm全為0,則方程組有解,那么原方程組也有解.定理3(線性方程組有解的判別定理)線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩r。(1)當(dāng)r等于方程組所含未知量個數(shù)n時,

方程組有唯一的解;(2)當(dāng)r<n時,方程組有無窮多解。線性方程組無解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的秩與增廣矩陣B的秩不相等。在方程組有無窮多解的情況下,方程組有n-r個自由未知量,其解為其中xr+1,xr+2,…,xn是自由未知量,若給一組數(shù)l1,l2,…,ln-r就得到方程組的一組解例研究線性方程組解寫出增廣矩陣對B進(jìn)行初等行變化可化為系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩不相等,所以方程組無解?！?線性方程組解的結(jié)構(gòu)定義2

若一個線性方程組的常數(shù)項都等于0,那么這個線性方程組叫做齊次線性方程組.定理4

一個齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是:它的系數(shù)矩陣的秩r小于它的未知量的個數(shù)n.(1)線性無關(guān);(2)方程組的任意一個解向量都能由線性表出.則稱為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系

.定理5

齊次線性方程組若有非零解，則它一定有基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)等于n-r，其中r是系數(shù)矩陣的秩。推論（齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理）齊次線性方程組若有非零解，，則它的通解就是基礎(chǔ)解系的線性組合。定義3

設(shè)是齊次線性方程組的r個解向量,如果滿足下列條件:例解齊次線性方程組解齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為對A進(jìn)行行初等變換，得由此可以看出，r＝2<4，故有非零解.其對應(yīng)的方程組是基礎(chǔ)解系為方程組的通解為定理6

（非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理）如果非齊次線性方程組有解，那么它的一個解與其導(dǎo)出方程組的解之和是非齊次線性方程組的一個解，非齊次線性方程組的任意解都可以寫成它的一個特解與其導(dǎo)出方程組的解之和。

例

試求

的全部解。

解

對增廣矩陣進(jìn)行行初等變換

系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都是2，故有解。

對應(yīng)的齊次線性方程的基礎(chǔ)解系（去掉常數(shù)列）為

令x3＝x4＝x5＝0，得齊次線性方程組的一個特解為(30/7,-3/7,0,0,0)'

(不能忽略常數(shù)列)，于是它的全部解為

其中k1，k2，k3，為任意實數(shù)。

特征值與二次型5.1向量的內(nèi)積1.2方陣的特征值和特征向量5.3相似矩陣定理6實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)。定理8設(shè)A為實對稱矩陣，則必存在正交矩陣T，使例設(shè)求正交矩陣T，使T-1AT為對角矩陣。解顯然A'=A。故一定存在正交矩陣T，使T-1AT為對角矩陣。先求A的特征值求得一基礎(chǔ)解系為正交化，令再單位化，令求得一基礎(chǔ)解系為只有一個向量，只要單位化，得以正交單位向量組為列向量的矩陣T就是所求的正交矩陣。有§4化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型二次型寫成對稱形式定義8n元變量的二次齊次多項式稱為二次型。當(dāng)為復(fù)數(shù)時，稱為復(fù)二次型，為實數(shù)時稱為實二次型。記其中A為實對稱矩陣。說明經(jīng)可逆變換x=Cy后,二次型f的矩陣A變?yōu)閷ΨQ矩陣C'AC,且二次型的秩不變,矩陣的合同關(guān)系與相似關(guān)系一樣,都滿足反身性,對稱性,傳遞性.證因A'=A,故B'=(C'A

C)'=C'A'C=C'AC=B即B為對稱矩陣.

又因為B=C'AC,而C'與C均為可逆矩陣,故A與B等價,于是R(B)=R(A).定理9任給可逆矩陣C,令B=C'AC,如果A為對稱矩陣,則B亦為對稱矩陣,且R(B)=R(A),此時,也稱A與B合同.要使二次型f經(jīng)可逆變換x=Cy變成標(biāo)準(zhǔn)形,這就是要使也就是要使C'AC成為對角矩陣。5.5正定二次型推論對稱矩陣A正定當(dāng)且僅當(dāng)A的特征值全為正.

線性空間與線性變換6.1線性空間的定義與性質(zhì)定義1

設(shè)V是一個非空集合，R為實數(shù)域，如果對任意兩個元素∈V，總有唯一的一個元素∈V與之對應(yīng)，稱為的和，記作；對于任一個數(shù)k∈R與任一個元素∈V，總有唯一的一個元素∈V與之對應(yīng)，稱為k與的積，記為；兩種運算滿足以下八條運算規(guī)律（對任意∈V

,∈R）：V就稱為(實數(shù)域R上的)向量空間(或線性空間),V中的元素稱為(實)向量(上面的實數(shù)域R也可為一般數(shù)域).(3)在V中有一個元素0(叫做零元素)，使對任何∈V，都有；(4)

對任何∈V，都有V中的元素，使（稱為的負(fù)元素）；凡滿足上面八條元素規(guī)律的加法及數(shù)量乘法稱為線性運算；凡定義了線性運算的集合稱為向量空間（或線性空間）。向量不一定是有序數(shù)組；向量空間V對加法與數(shù)量乘法（數(shù)乘）封閉；向量空間中的運算只要求滿足八條運算規(guī)律，不一定是有序數(shù)組的加法及數(shù)乘運算。注意：例實數(shù)域R上次數(shù)不超過n的多項式的全體，記為P[x]n，即P[x]n

={anxn+…+a1x0+a0|an,an-1,…a1,a0∈R}對于通常的多項式加法、多項式數(shù)乘構(gòu)成R上的向量空間。例實數(shù)域R上次數(shù)n的多項式的全體，記為W，即W={anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0|an,an-1,…a1,a0∈R，且an≠0}。W對于通常的多項式加法、多項式數(shù)乘不構(gòu)成R

上的向量空間。因為0(anxn+…+a1x0+a0)=0

W，即W對數(shù)乘不封閉。例

n個有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體Sn={x=(x1,x2,…xn)|x1,x2,…xn∈R}對于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的數(shù)乘k?(x1,x2,…xn)=(0,0,…0)不構(gòu)成R上的向量空間，因為1x=0，不滿足運算規(guī)律（5）性質(zhì)１零元素是唯一的。假設(shè)01,02是線性空間V中的兩個零元素，即對任何∈V，有＋01＝，＋02＝，于是特別有

02＋01＝02，01＋02＝01故01＝01＋02＝02＋01＝02性質(zhì)２任一元素的負(fù)元素是唯一的。（的負(fù)元素記作）假設(shè)有兩個負(fù)元素與，即。于是性質(zhì)３因為所以又因為所以而定義2

R上線性空間V的一個非空子集合W如果對于V的兩種運算也構(gòu)成數(shù)域R上的線性空間，稱W為V的線性子空間（簡稱子空間）。定理1

線性空間V的非空子集W構(gòu)成V的子空間的充分必要條件是W對于V中的兩種運算封閉。性質(zhì)4

如果,那么或者。假設(shè)，那么6.2維數(shù)、基與坐標(biāo)如果在V中可以找到任意多個線性無關(guān)的向量，那么V就稱為無限維的。維數(shù)為n的線性空間稱為n維線性空間，記作Vn。定義3

在線性空間V中，如果存在n個元素滿足：(2)

V中任一元素都可由線性表示，那么，就稱為線性空間V的一個基，n稱為線性空間V的維數(shù)。(1)線性無關(guān)。這樣，Vn的元素與有序數(shù)組(x1,x2,…xn)之間存在著一種一一對應(yīng)。若知為V的一個基，則對任何，都有一組有序數(shù)x1,x2,…xn使：并且這組數(shù)是唯一的(否則線性相關(guān))。反之，任給一組有序數(shù)x1,x2,…xn，可唯一確定Vn中元素：定義4

設(shè)是線性空間Vn的一個基，對于任一元素，有且僅有一組有序數(shù)x1,x2,…xn使

x1,x2,…xn這組有序數(shù)就稱為在基下的坐標(biāo)，記作(x1,x2,…xn)。例

在線性空間P[x]3中，就是P[x]3的一個基，P[x]3的維數(shù)是4，P[x]3中的任一多項式可寫成因此f(x)在基下的坐標(biāo)為在線性空間Vn中取定一個基，則Vn中的向量與n維數(shù)組向量空間Rn中的向量(x1,x2,…xn)之間有一個一一對應(yīng)的關(guān)系，且這個對應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對應(yīng)，即設(shè),；則(1)

；(2)

?？梢哉fVn與Rn有相同的結(jié)構(gòu)，稱為Vn與Rn同構(gòu)。一般地，設(shè)V與U是R上的兩個線性空間，如果在它們的元素之間有一一對應(yīng)關(guān)系，且這個對應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對應(yīng)，那么就說線性空間V與U同構(gòu)。同構(gòu)主要是保持線性運算的對應(yīng)關(guān)系，因此，Vn中的線性運算就可轉(zhuǎn)化為Rn中的線性運算，并且Rn中凡只涉及線性運算的性質(zhì)都適用于Vn，但Rn中超出線性運算的性質(zhì)，在Vn中就不一定具備，如內(nèi)積。定理2

R上的兩個有限維線性空間同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)它們的維數(shù)相等。6.3基變換與坐標(biāo)變換不同基與不同的坐標(biāo)之間的關(guān)系設(shè)及是線性空間Vn的兩個基，且上兩式稱為基變換公式.或表示為矩陣C稱為到的過渡矩陣，C一定是可逆矩陣。定理3設(shè)Vn中的元素在基下的坐標(biāo)為（），在基下的坐標(biāo)為（），若兩個基滿足基變換公式的第二式，則有坐標(biāo)變換公式6.4線性變換定義5

設(shè)A、B是兩非空集合，如果對于A中的任一元素，按