九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教學(xué) 三角函數(shù)的應(yīng)用

1.5三角函數(shù)的應(yīng)用1．通過生活中的實(shí)際問題體會(huì)銳角三角函數(shù)在解決問題過程中的作用；(重點(diǎn))2．能夠建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入為倡導(dǎo)“低碳生活”，人們常選擇自行車作為代步工具，圖①所示的是一輛自行車的實(shí)物圖．圖②是這輛自行車的部分幾何示意圖，其中車架檔AC與CD的長分別為45cm和60cm，且它們互相垂直，座桿CE的長為20cm.點(diǎn)A、C、E在同一條直線上，且∠CAB＝75°.你能求出車架檔AD的長嗎？二、合作探究探究點(diǎn)：三角函數(shù)的應(yīng)用【類型一】利用方向角解決問題某船以每小時(shí)36海里的速度向正東方向航行，在點(diǎn)A測得某島C在北偏東60°方向上，航行半小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)B，測得該島在北偏東30°方向上，已知該島周圍16海里內(nèi)有暗礁．(1)試說明點(diǎn)B是否在暗礁區(qū)域外；(2)若繼續(xù)向東航行有無觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說明理由．解析：(1)求點(diǎn)B是否在暗礁區(qū)域內(nèi)，其實(shí)就是求CB的距離是否大于16，如果大于則不在暗礁區(qū)域內(nèi)，反之則在．可通過構(gòu)造直角三角形來求CB的長，作CD⊥AB于D點(diǎn)，CD是Rt△ACD和Rt△CBD的公共直角邊，可先求出CD的長，再求出CB的長；(2)本題實(shí)際上是問C到AB的距離即CD是否大于16，如果大于則無觸礁危險(xiǎn)，反之則有，CD的值在第(1)問已經(jīng)求出，只要進(jìn)行比較即可．解：(1)作CD⊥AB于D點(diǎn)，設(shè)BC＝x，在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，∴BD＝eq\f(1,2)x，CD＝eq\f(\r(3),2)x.在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(\f(\r(3),2)x,18＋\f(1,2)x)＝eq\f(\r(3),3).∴x＝18.∵18>16，∴點(diǎn)B是在暗礁區(qū)域外；(2)∵CD＝eq\f(\r(3),2)x＝9eq\r(3)，9eq\r(3)＜16，∴若繼續(xù)向東航行船有觸礁的危險(xiǎn)．方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到這個(gè)直角三角形中解決．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第4題【類型二】利用仰角和俯角解決問題某中學(xué)九年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)“直角三角形的邊角關(guān)系”時(shí)，組織開展測量物體高度的實(shí)踐活動(dòng)．在活動(dòng)中，某小組為了測量校園內(nèi)①號(hào)樓AB的高度(如圖)，站在②號(hào)樓的C處，測得①號(hào)樓頂部A處的仰角α＝30°，底部B處的俯角β＝45°.已知兩幢樓的水平距離BD為18米，求①號(hào)樓AB的高度(結(jié)果保留根號(hào))．解析：根據(jù)在Rt△BCE中，tan∠BCE＝eq\f(BE,CE)，求出BE的值，再根據(jù)在Rt△ACE中，tan∠ACE＝eq\f(AE,CE)，求出AE的值，最后根據(jù)AB＝AE＋BE，即可求出答案．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，CE⊥AB，∴四邊形CDBE是矩形，∴CE＝BD＝18米．在Rt△BEC中，∵∠ECB＝45°，∴EB＝CE＝18米．在Rt△AEC中，∵tan∠ACE＝eq\f(AE,CE)，∴AE＝CE·tan∠ACE＝18×tan30°＝6eq\r(3)(米)，∴AB＝AE＋EB＝18＋6eq\r(3)(米)．所以，①號(hào)樓AB的高為(18＋6eq\r(3))米．方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合仰角、俯角構(gòu)造直角三角形，然后再解直角三角形．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第1題【類型三】求河的寬度根據(jù)網(wǎng)上消息，益陽市為了改善市區(qū)交通狀況，計(jì)劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．如圖，新大橋的兩端位于A、B兩點(diǎn)，小張為了測量A、B之間的河寬，在垂直于新大橋AB的直線型道路l上測得如下數(shù)據(jù)：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的長(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)．解析：設(shè)AD＝xm，則AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB＝4x，依此得到關(guān)于x的方程，進(jìn)一步即可求解．解：設(shè)AD＝xm，則AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝eq\f(AB,AC)，∴AB＝AC·tan∠BCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝eq\f(AB,AD)，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋82)＝4x，解得x＝eq\f(410,3).∴AB＝4x＝4×eq\f(410,3)≈546.7m.所以，AB的長約為546.7m.方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計(jì)算出所要求的物體的高度或?qū)挾龋兪接?xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第5題【類型四】仰角、俯角和坡度的綜合應(yīng)用如圖，小麗假期在娛樂場游玩時(shí)，想要利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測量某個(gè)娛樂場地所在山坡AE的長度．她先在山腳下點(diǎn)E處測得山頂A的仰角是30°，然后，她沿著坡度是i＝1∶1(即tan∠CED＝1)的斜坡步行15分鐘抵達(dá)C處，此時(shí)，測得A點(diǎn)的俯角是15°.已知小麗的步行速度是18米/分，圖中點(diǎn)A、B、E、D、C在同一平面內(nèi)，且點(diǎn)D、E、B在同一水平直線上．求出娛樂場地所在山坡AE的長度(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，結(jié)果精確到0.1米)．解析：作輔助線EF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)速度乘以時(shí)間得出CE的長度，通過坡度得到∠ECF＝30°，通過平角減去其他角從而得到∠AEF＝45°，即可求出AE的長度．解：作EF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)題意，得CE＝18×15＝270(米)．∵tan∠CED＝1，∴∠CED＝∠DCE＝45°.∵∠ECF＝90°－45°－15°＝30°，∴EF＝eq\f(1,2)CE＝135米．∵∠CEF＝60°，∠AEB＝30°，∴∠AEF＝180°－45°－60°－30°＝45°，∴AE＝eq\r(2)EF＝135eq\r(2)≈190.4(米)．所以，娛樂場地所在山坡AE的長度約為190.4米．方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是能借助仰角、俯角和坡度構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．三、板書設(shè)計(jì)三角函數(shù)的應(yīng)用1．方向角的概念2．三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用本節(jié)課盡可能站在學(xué)生的角度上思考問題，設(shè)計(jì)好教學(xué)的每一個(gè)細(xì)節(jié)，上課前多揣摩．讓學(xué)生更多地參與到課