九年級數(shù)學(xué)下冊教學(xué)：相似三角形的性質(zhì)

新知一覽圖形的相似相似三角形相似相似三角形的性質(zhì)位似位似圖形的概念及畫法平面直角坐標(biāo)系中的位似相似三角形應(yīng)用舉例相似三角形的判定27.2相似三角形27.2.2相似三角形的性質(zhì)第二十七章相似復(fù)習(xí)引入1.相似三角形的判定方法有哪些？?定義：對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似.?平行于三角形一邊的直線與另外兩邊相交，所構(gòu)成的

三角形與原三角形相似.?三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.?兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.?兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.?一組直角邊和斜邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.2.三角形除了三個(gè)角，三條邊外，還有哪些要素?如果兩個(gè)三角形相似，那么，對應(yīng)的這些要素有什么關(guān)系呢？高中線角平分線周長面積

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為

k，它們的對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線的比各是多少？相似三角形對應(yīng)線段的比ABCA'B'C'合作探究∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B

=∠B'．解：如圖，分別作出△ABC和△A'B'C'

的高AD和A'D'．

則∠ADB=∠A'D'B'=90°．

∴△ABD∽△A'B'D'．A'B'C'D'∴

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為

k，求它們對應(yīng)邊

BC和

B′C′上的高之比．CABD

仿照求高的比的過程，當(dāng)△ABC∽△A′B′C′，相似比為

k時(shí)，求它們對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比.試一試：類似地，還可以證明相似三角形的對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線的比也等于相似比.相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比.一般地，我們有：相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比.歸納：解：∵△ABC∽△DEF，

DEFH例

1

已知△ABC∽△DEF，BG、EH分別是△ABC和△DEF的角平分線，BC=6，EF=4，BG=4.8.

求EH.∴(相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比).∴，解得

EH=3.2.AGBC典例精析1.如果兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)高的比為2:3，那么對應(yīng)角平分線的比是

，對應(yīng)邊上的中線的比是

______.2.

已知△ABC∽△A'B'C'，相似比為3:4，若BC邊上

的高AD=12cm，則B'C'邊上的高A'D'＝______.2:32:316cm練一練

相似三角形的周長比也等于相似比嗎？為什么？想一想：如果△ABC∽△A'B'C'，相似比為k，那么因此

AB=kA'B'，BC=kB'C'，CA=kC'A'.從而歸納：相似三角形周長的比等于相似比.相似三角形面積的比

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為

k，那么它們的面積比是多少？合作探究ABCA'B'C'由前面的結(jié)論，我們有D'DABCA'B'C'分別作

BC，B′C′

邊上的高

AD和

A′D′.故相似三角形的面積的比等于相似比的平方．歸納：1.已知兩個(gè)三角形相似，請完成下列表格：相似比2…k周長比…面積比10000…試一試：24100100kk22.把一個(gè)三角形變成和它相似的三角形：(1)如果邊長擴(kuò)大為原來的5倍，那么面積擴(kuò)大為原來的______倍；(2)如果面積擴(kuò)大為原來的100倍，那么邊長擴(kuò)大為原來的______倍.25103.兩個(gè)相似三角形的一對對應(yīng)邊分別是35cm、14cm.(1)若它們的周長差為60cm，這兩個(gè)三角形的周長

分別是______________；(2)若它們的面積之和是58cm2，這兩個(gè)三角形的面積分別是______________.100cm、40cm50cm2、8cm2解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，又∵∠D=∠A，ABCDEF∴例

2

如圖，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的邊BC上的高為6，面積為，求△DEF的邊EF上的高和面積.∴△DEF∽△ABC，相似比為1∶2.∵△ABC的邊BC上的高為6，面積為，∴△DEF的邊EF上的高為×6=3，面積為ABCDEF

如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為2∶7，較大三角形一邊上的高為7，那么較小三角形對應(yīng)邊上的高為_____.

練一練例

3

如圖，D，E分別是

AC，AB上的點(diǎn)，已知△ABC的面積為

100cm2，且

，求四邊形

BCDE的面積.

∴△ADE∽△ABC.∵它們的相似比為

3:5，∴面積比為

9:25.BCADE解：∵∠BAC=∠DAE，且

，

又∵△ABC的面積為

100

cm2，∴△ADE的面積為

36cm2.∴四邊形

BCDE的面積為

100－36=64(cm2).BCADE

如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB.當(dāng)D點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí)，求S四邊形BFED:S△ABC的值.ABCDFE練一練解：∵DE∥BC，D為AB中點(diǎn)，∴△ADE∽△ABC．

∴即相似比為1:2，面積比為1:4.又∵EF∥AB，ABCDFE∴△EFC∽△ABC，相似比為∴面積比為1:4.設(shè)S△ABC

=4，則S△ADE

=1，S△EFC

=1，S四邊形BFED=S△ABC－S△ADE－S△EFC=4－1－1=2，∴S四邊形BFED:S△ABC=2:4=1.判斷對錯(cuò)：(1)一個(gè)三角形的各邊長擴(kuò)大為原來的5倍，這個(gè)三角形的周長也擴(kuò)大為原來的5倍．()(2)一個(gè)四邊形的各邊長擴(kuò)大為原來的9倍，這個(gè)四邊形的面積也擴(kuò)大為原來的9倍．()√×3.

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段把三角形截成的一個(gè)小三角形與原三角形的周長比等于______，面積比等于_____.1:21:42.

在

△ABC和

△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，AP，DQ是中線，若

AP=2，則

DQ

的值為()A．2B．4C．1D.C4.兩個(gè)相似三角形對應(yīng)的中線長分別是

6cm和

18cm，若較大三角形的周長是

42cm，面積是

12cm2，則較小三角形的周長____cm，面積為

cm2.____145.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面積分別為4和9，求△ABC的面積.ABCDFE解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴AE:EC=2:3．則AE:AC=2:5，∴S△ADE:S△ABC=4:25．∴S△ABC=25．∴△ADE∽△EFC．又∵S△ADE:S△EFC=4:9，∴△ADE∽△ABC，∠ADE=∠EFC，∠A=∠CEF．6.如圖，△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，S△ADE＝2S△DCE，求S△ADE∶S△ABC．ABCDE【分析】由題意可得△ADE∽△ABC，要求它們的面積比，可先求出其相似比．觀察得到△ADE與△DCE同高，易得

AE與

CE

的比，進(jìn)而求解．解：過點(diǎn)D作AC的