九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義（人教版）：第20課 垂徑定理（學(xué)生版）

第20課垂徑定理課程標(biāo)準(zhǔn)（1）理解圓的對(duì)稱性；（2）掌握垂徑定理及其推論；（3）學(xué)會(huì)運(yùn)用垂徑定理及其推論解決有關(guān)的計(jì)算、證明和作圖問題．知識(shí)點(diǎn)01垂徑定理1．垂徑定理

垂直于弦的直徑這條弦，并且平分弦所對(duì)的.

2．推論

平分弦(不是直徑)的直徑，并且平分弦所對(duì)的.【注意】

(1)垂徑定理是由兩個(gè)條件推出兩個(gè)結(jié)論，即(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.知識(shí)點(diǎn)02垂徑定理的拓展根據(jù)圓的對(duì)稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：平分弦(該弦不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；弦的經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧..【注意】

在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.(注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑)考法01應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算與證明【典例1】如圖表示一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果輸水管的半徑為，水面寬為，則水的最大深度為（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練】筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1．筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2．已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長為6米，⊙O半徑長為4米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（）A．（4﹣）米 B．2米 C．3米 D．（4+）米【典例2】如圖，在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)．(1)求證：AC＝BD；(2)連接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的長．【即學(xué)即練】如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥AB于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)C．若⊙O的半徑為10，OM：MC＝3：2，求AB的長．考法02垂徑定理的綜合應(yīng)用【典例3】如圖，小麗蕩秋千，秋千鏈子的長為，秋千向兩邊擺動(dòng)的角度相同，擺動(dòng)的水平距離為3米，秋千擺至最高位置時(shí)與最低位置時(shí)的高度之差（即）為0.5米．則秋千鏈子的長為（

）A．2米 B．2.5米 C．1.5米 D．米【即學(xué)即練】工程上常用鋼珠來測(cè)量零件上小孔的寬口，如果鋼珠的直徑為10mm，鋼珠上項(xiàng)端離零件上表面的距離為8mm，如圖，則這個(gè)零件小孔的寬口AB等于（

）mm．A．4 B．6 C．7 D．8【典例4】如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．(1)求所在圓的半徑r的長；(2)當(dāng)洪水上升到跨度只有30米時(shí)，要采取緊急措施．若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時(shí)，是否要采取緊急措施？并說明理由．【即學(xué)即練】如圖，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，13為半徑作⊙O，分別與∠EPF兩邊相交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D，連結(jié)OA，此時(shí)有OA∥PE．（1）求證:AP=AO；（2）若弦AB=24，求OP的長．題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．如圖，⊙O的半徑為4，弦心距OC＝2，則弦AB的長為（

）A．3 B． C．6 D．2．如圖，為的直徑，為的弦，為優(yōu)弧的中點(diǎn)，，垂足為，，，則的半徑為（

）A． B． C． D．3．小明想知道一塊扇形鐵片中的的拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）是多少？但他沒有任何測(cè)量工具，聰明的小明觀察發(fā)現(xiàn)身旁的墻壁是由的正方形瓷磚密鋪而成（接縫忽略不計(jì)）．他將扇形按如圖方式擺放，點(diǎn)恰好與正方形瓷磚的頂點(diǎn)重合，根據(jù)以上操作，的拱高約是（

）A． B． C． D．4．如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．AE＝BE B．OE＝DE C． D．5．下列語句中不正確的有（

）

①長度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直徑平分弦；③圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸；④平分弦的直線也必平分弦所對(duì)的兩條??；⑤半圓是圓中最長的弧；⑥不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓.A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)6．如圖是一個(gè)圓柱形輸水管橫截面的示意圖，陰影部分為有水部分，如果水面AB的寬為8cm，水面最深的地方高度為2cm，則該輸水管的半徑為（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm7．如圖，在⊙O中，弦AB⊥OC于E點(diǎn)，C在圓上，AB＝8，CE＝2，則⊙O的半徑AO＝___________．8．如圖，⊙O的直徑AB的長是20，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)E，CD=16，則CE=____，BE=_____．9．如圖，AB是⊙O的弦，C、D為直線AB上兩點(diǎn)，OC＝OD，求證：AC＝BD．10．如圖所示，已知為⊙的直徑，是弦，且于點(diǎn)，連接AC、OC、BC．（1）求證：；（2）若，，求⊙的直徑．題組B能力提升練1．一個(gè)圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB＝16m，半徑OA＝10m，則高度CD的長為（）A．2m B．4m C．6m D．8m2．如圖，的半徑為，，經(jīng)過點(diǎn)的的最短弦的長為（

）A．4 B．6 C．8 D．103．已知：如圖，在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)圓中，大圓的弦AB和小圓交于點(diǎn)C，D，大圓的半徑是13，，，則OC的長是（

）A． B． C． D．84．如圖所示，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點(diǎn)E，則下列結(jié)論中不成立的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DEC．OE=BE D．5．“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸長一尺，問徑如何？”這段話的意思是：如圖，現(xiàn)有圓形木材，埋在墻壁里，不知木材大小，用鋸子將它鋸下來，深度CD為1寸，鋸長AB為1尺（10寸），問圓材直徑幾寸？則該問題中圓的直徑為（

）A．22寸 B．24寸 C．26寸 D．28寸6．工程上常用鋼珠來測(cè)量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm，測(cè)得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個(gè)小圓孔的寬口的長度為（

）A．8mm B．6mm C．10mm D．0.9mm7．如圖，M是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，已知過點(diǎn)M的⊙O最長的弦為20cm，最短的弦長為16cm，則OM=_______cm．8．如圖，點(diǎn)O是半圓的圓心，D是以AB為直徑的半圓上的一點(diǎn)，以O(shè)D為對(duì)角線作正方形OCDE，經(jīng)過C，E的直線分別與半圓弧交于F，G．已知CE=6，則FG的長為______．9．如圖是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如圖EM經(jīng)過圓心交⊙O于點(diǎn)E，EM⊥CD，并且CD＝4cm，EM＝6cm，求⊙O的半徑．10．如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C、D為圓O上的點(diǎn)，滿足：，AD交OC于點(diǎn)E．已知OE＝3，EC＝2（1）求弦AD的長；（2）請(qǐng)過點(diǎn)C作AB的平行線交弦AD于點(diǎn)F，求線段EF的長．題組C培優(yōu)拔尖練1．小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應(yīng)該是（）A．第一塊 B．第二塊 C．第三塊 D．第四塊2．如圖，的弦垂直于，為垂足，，，且，則圓心到的距離是（

）A．2 B． C． D．3．如圖，矩形ABCD是由邊長為1的五個(gè)小正方形拼成，O是第2個(gè)小正方形的中心，將矩形ABCD繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得矩形，現(xiàn)用一個(gè)最小的圓覆蓋這個(gè)圖形，則這個(gè)圓的半徑是（

）A． B． C． D．4．已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點(diǎn)P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝（

）A． B．4 C． D．55．如圖，AC是的直徑，弦于E，連接BC，過點(diǎn)O作于F，若，，則OE的長為（

）A．3 B．4 C． D．56．如圖，等腰梯形ABCD內(nèi)接于半圓D，且AB＝1，BC＝2，則OA＝（）A． B． C． D．7．如圖，在⊙O內(nèi)有折線ABCO，點(diǎn)A、B在圓上，點(diǎn)C在⊙O內(nèi)，其中AB=9，OC=3，∠B=∠C=60°，則BC的長為_____.8．如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，，AB=8，M是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，CM+DM的最小值是___