八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講義（人教版）：二次根式的乘除（學(xué)生版）

第02課二次根式的乘除目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)掌握二次根式的乘除法則和化簡(jiǎn)二次根式的常用方法，熟練進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算.了解最簡(jiǎn)二次根式的概念，能運(yùn)用二次根式的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01二次根式的乘法法則（1）計(jì)算法則：（）即：二次根式相乘，把相乘，根指數(shù)；（2）進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算時(shí)，一定不能忽略其被開(kāi)方數(shù)a，b均為這一條件。（3）推廣=1\*GB3①（a≥0，b≥0，c≥0）；=2\*GB3②；=3\*GB3③和在二次根式的乘法中任然可應(yīng)用。(3)若二次根式相乘的結(jié)果能寫(xiě)成的形式，則應(yīng)化簡(jiǎn)，如.知識(shí)點(diǎn)02二次根式乘法法則的逆用（1）計(jì)算法則：（a≥0，b≥0）即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的利用這個(gè)性質(zhì)可以把二次根式，在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算時(shí)，先將被開(kāi)方數(shù)進(jìn)行因式分解或，然后再將能的因式或因數(shù)開(kāi)方后移到根號(hào)外。注：（1）公式中的a，b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但必須滿足a≥0，b≥0，實(shí)際上，公式中的a，b是限制公式右邊的，對(duì)公式的左邊，只要ab≥0即可，如EQ\r(,（-4）×（-9）)≠EQ\r(,-4)．EQ\r(,-9)。（2）在本章中如果沒(méi)有特別說(shuō)明，所有的字母都表示正數(shù)。推廣：EQ\r(,abcd)=（a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）知識(shí)點(diǎn)03二次根式的除法法則計(jì)算公式：（a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把相除，根指數(shù)不變。注：（1）a必須是非負(fù)數(shù)，b必須是正數(shù)，式子才成立。若a，b都是負(fù)數(shù)，雖然eq\f(a,b)＞0，EQ\r(,eq\f(a,b))有意義，但EQ\r(,a)，EQ\r(,b)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)意義；若b=0，則eq\f(a,b)無(wú)意義。（2）如果被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先將其化成假分?jǐn)?shù)，如EQ\r(,4eq\f(1,4))必須先化成EQ\r(,eq\f(17,4))，以免出現(xiàn)EQ\r(,4eq\f(1,4))=EQ\r(,4)×EQ\r(,eq\f(1,4))這樣的錯(cuò)誤。（3）在二次根式的計(jì)算中，最后結(jié)果應(yīng)不含的因數(shù)或因式，同時(shí)分母中不含。知識(shí)點(diǎn)04二次根式除法法則的逆用（1）（a≥0，b＞0）即商的算術(shù)平方根等于被除式的除以除式的。注：公式中的a，b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但必須滿足a≥0，b＞0。公式中的a，b是限制公式右邊的，對(duì)公式的左邊，只要eq\f(a,b)≥0即可。例如計(jì)算，不能寫(xiě)為，而應(yīng)寫(xiě)為。利用這個(gè)公式，同樣可以達(dá)到化簡(jiǎn)二次根式的目的，在化簡(jiǎn)被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)（或分式）的二次根式時(shí)，先將其化為eq\f(EQ\r(,a),EQ\r(,b))（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性質(zhì)，分子和分母同乘上一個(gè)適當(dāng)?shù)囊蚴?，化去分母中的根?hào)即可。當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)先把它化成。常見(jiàn)的二次根式化簡(jiǎn)：①；②③知識(shí)點(diǎn)05最簡(jiǎn)二次根式的概念概念：滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式。（1）被開(kāi)方數(shù)不含；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含的因數(shù)或因式。注意，對(duì)于最簡(jiǎn)二次根式的概念我們可作如下解釋：（1）被開(kāi)方數(shù)中不含分母，因此被開(kāi)方數(shù)或；（2）被開(kāi)方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)或因式的指數(shù)都是?；?jiǎn)二次根式的一般方法方法舉例將被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式進(jìn)行開(kāi)方EQ\r(,8)=，EQ\r(,x3y4)=化去根號(hào)下的分母若被開(kāi)方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化成EQ\r(,1eq\f(1,3))=或EQ\r(,1eq\f(1,3))=若被開(kāi)方數(shù)中含有小數(shù)，應(yīng)先將小數(shù)化成EQ\r(,0.9)=或EQ\r(,0.9)=被開(kāi)方數(shù)是多項(xiàng)式的要先進(jìn)行因式分解EQ\r(,X5+2x3y2+xy4)=拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根號(hào)的方法來(lái)進(jìn)行，這種化去分母中根號(hào)的變形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的有理化因式（兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式），化去分母中的根號(hào)。分母有理化因式不唯一，但以運(yùn)算最簡(jiǎn)便為宜。常用的有理化因式有：EQ\r(,a)與EQ\r(,a)；EQ\r(,a+b)與EQ\r(,a+b)；EQ\r(,a-b)與EQ\r(,a-b)；EQ\r(,a)+EQ\r(,b)與；aEQ\r(,b)+cEQ\r(,d)與等。能力拓展能力拓展考法01二次根式乘除法法則成立的條件【典例1】等式＝成立的條件是()A．x＞0 B．x＜1 C．0≤x＜1 D．x≥0且x≠1【即學(xué)即練】等式成立的條件是_____．【即學(xué)即練】如果代數(shù)式，那么m的取值范圍是_____________【典例2】下列計(jì)算正確的是()A． B．C． D．【即學(xué)即練】下列結(jié)論中，對(duì)于實(shí)數(shù)、，成立的個(gè)數(shù)有（）①；

②；

③；

④．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)考法02最簡(jiǎn)二次根式【典例3】下列式子中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【即學(xué)即練】下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是A． B． C． D．【即學(xué)即練】下列各式屬于最簡(jiǎn)二次根式的有（）A． B． C． D．【即學(xué)即練】根式中，最簡(jiǎn)二次根式有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【典例4】若最簡(jiǎn)二次根式與的被開(kāi)方數(shù)相同,則a的值為()A．- B． C．1 D．-1【典例5】若，則的值用、可以表示為（）A． B． C． D．考法03二次根式的化簡(jiǎn)【典例6】把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：(1)______；(2)______；(3)______；(4)______；(5)______；(6)______；(7)______；(8)______．【即學(xué)即練】把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：=__；=__；=__．【即學(xué)即練】化簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果為()A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a【即學(xué)即練】若a、b、c均為實(shí)數(shù),且a、b、c均不為0化簡(jiǎn)___________【即學(xué)即練】已知實(shí)數(shù)，則a的倒數(shù)為_(kāi)_______．【典例7】已知：是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)為()A．2 B．3 C．4 D．5【即學(xué)即練】已知n是一個(gè)正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值是_______．【即學(xué)即練】已知是正整數(shù)，則正整數(shù)的最小值是_______________________．考法03二次根式的乘法混合運(yùn)算【典例8】計(jì)算的結(jié)果正確的是（）．A．1 B． C．5 D．9【即學(xué)即練】計(jì)算2×÷3的結(jié)果是（）A． B． C． D．【即學(xué)即練】計(jì)算：÷【即學(xué)即練】計(jì)算所得的結(jié)果是______________．【典例9】計(jì)算：(－)2(5＋2)＝____．【即學(xué)即練】計(jì)算：=__________【典例9】計(jì)算:【即學(xué)即練】計(jì)算：【即學(xué)即練】計(jì)算：考法04利用二次根式的性質(zhì)把根號(hào)外的非負(fù)因數(shù)（式）移到根號(hào)內(nèi)【典例10】把根號(hào)外面的因式移到根號(hào)內(nèi)得(

)A． B． C． D．-1【即學(xué)即練】將式子﹣（m﹣n）化為最簡(jiǎn)二次根式_____．【即學(xué)即練】把根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，其結(jié)果是（）A． B．﹣ C． D．﹣【即學(xué)即練】已知：a=，b=，則a與b的關(guān)系是（）A．相等 B．互為相反數(shù) C．互為倒數(shù) D．平方相等考法05二次根式的大小比較【典例11】二次根式的大小比較：________．【即學(xué)即練】比較二次根式的大小：__________(填“<”、“=”、“>”).【即學(xué)即練】比較大?。篲_____3（填“＞”、“＜”或“＝”）．【即學(xué)即練】估算比較大小：_______；______．【即學(xué)即練】若[]表示實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，例如：[]=3，則[]=___．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．下列計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．2．有下列各式①；②；③；④；⑤；⑥．其中最簡(jiǎn)二次根式有（）A．1 B．2 C．3 D．43．下列各式計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．4．已知是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)為（）.A．2 B．3 C．4 D．55．計(jì)算，結(jié)果為（）A． B． C． D．6．計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．7．如果，則x（）A． B． C． D．x取任意數(shù)8．·等于()A．a(chǎn) B．12a2b C．a(chǎn)2 D．2a題組B能力提升練1．在二次根式，，，中，是最簡(jiǎn)二次根式的是_____．2．計(jì)算下列各式，使得結(jié)果的分母中不含有二次根式：(1)_______(2)_________(3)__________(4)__________3．計(jì)算