八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講義（人教版）：三角形全等的九大基本模型（學(xué)生版）

專(zhuān)題12.4三角形全等的九大基本模型模型一：平移模型【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線(xiàn)l平行移動(dòng)，所得到△DEF與△ABC稱(chēng)為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見(jiàn)的平移型全等三角線(xiàn).【常見(jiàn)模型】例1．（2022·浙江杭州市·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線(xiàn)上，AB//DE，AB=DE，∠A=∠D．（1）求證：；（2）若BF=11，EC=5，求BE的長(zhǎng)．變式1.（2021?富順縣校級(jí)月考）如圖1，A，B，C，D在同一直線(xiàn)上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求證：△AFC≌△DEB．如果將BD沿著AD邊的方向平行移動(dòng)，如圖2，3時(shí)，其余條件不變，結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．模型二：軸對(duì)稱(chēng)模型【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線(xiàn)折疊后，直線(xiàn)兩邊的部分能夠完全重合，這兩個(gè)三角形稱(chēng)之為軸對(duì)稱(chēng)型全等三角形，此類(lèi)圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.【常見(jiàn)模型】例2．（2021·河南南陽(yáng)市·八年級(jí)期末）如圖，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC與EF交于點(diǎn)O，（1）求證：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度數(shù)．變式2.（2021·安徽·八年級(jí)期末）如圖，AB＝AC，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求證：AM＝AN．模型三：旋轉(zhuǎn)模型【模型解讀】將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個(gè)三角形能夠完全重合，則稱(chēng)這兩個(gè)三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識(shí)別旋轉(zhuǎn)型三角形時(shí)，涉及對(duì)頂角相等、等角加（減）公共角的條件.【常見(jiàn)模型】例3．（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·八年級(jí)期末）如圖，，求證：（1）；（2）．變式3.（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）當(dāng)點(diǎn)D在A(yíng)C上時(shí)，如圖①，線(xiàn)段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想；（2）將圖①中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖②，線(xiàn)段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．型四：一線(xiàn)三等角模型【模型解讀】基本圖形如下：此類(lèi)圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.【常見(jiàn)模型】例4．（2022?覃塘區(qū)期中）已知：D，A，E三點(diǎn)都在直線(xiàn)m上，在直線(xiàn)m的同一側(cè)作△ABC，使AB＝AC，連接BD，CE．（1）如圖①，若∠BAC＝90°，BD⊥m，CE⊥m，求證：△ABD≌△ACE；（2）如圖②，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，請(qǐng)判斷BD，CE，DE三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．4.（2021?香坊區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，CD＝AB，點(diǎn)E在邊AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．（1）如圖1，求證：BD＝CE；（2）如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線(xiàn)的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中所有與∠ADE相等的角（∠ADE除外）．模型五：三垂直全等模型【模型解讀】模型主體為兩個(gè)直角三角形，且兩條斜邊互相垂直。【常見(jiàn)模型】例5．（2020·江西贛州市·八年級(jí)期末）已知：，，，．（1）試猜想線(xiàn)段與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）若將沿方向平移至圖2情形，其余條件不變，結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）若將沿方向平移至圖3情形，其余條件不變，結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．變式5.（2021·廣東省龍嶺初級(jí)中學(xué)初二期中）如圖，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC．（1）∠D和∠ECB相等嗎？若相等，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）△ADC≌△BCE嗎？若全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）能否找到與AB+AD相等的線(xiàn)段，并說(shuō)明理由。模型六：手拉手模型【模型分析】將兩個(gè)三角形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。【模型圖示】公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”。對(duì)應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得?！境Ｒ?jiàn)模型】（等腰）（等邊）（等腰直角）例6．（2021·甘肅慶陽(yáng)市·八年級(jí)期末）在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)時(shí)、教學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形．通過(guò)資料查詢(xún)，他們得知這種模型稱(chēng)為“手拉手模型”興趣小組進(jìn)行了如下操究：（1）如圖1、兩個(gè)等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，連接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰長(zhǎng)看作小手，大等腰三角形的腰長(zhǎng)看作大手，兩個(gè)等腰三角形有公共頂點(diǎn)，類(lèi)似大手拉著小手，這個(gè)就是“手拉手模型”，在這個(gè)模型中，和△ADB全等的三角形是，此線(xiàn)BD和CE的數(shù)量關(guān)系是（2）如圖2、兩個(gè)等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，兩線(xiàn)交于點(diǎn)P，請(qǐng)判斷線(xiàn)段BD和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由：（3）如圖3，已知△ABC、請(qǐng)完成作圖：以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE（等邊三角形三條邊相等，三個(gè)角都等于60°），連接BE，CD，兩線(xiàn)交于點(diǎn)P，并直接寫(xiě)出線(xiàn)段BE和CD的數(shù)量關(guān)系及∠PBC+∠PCB的度數(shù)、變式6.（2022·江西上饒市·南屏中學(xué)八年級(jí)月考）如圖,AB=CB,BD=BE,∠ABC=∠DBE=a.（1）當(dāng)a=60°,如圖①則，∠DPE的度數(shù)______________（2）若△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖②所示，求∠DPE（用a表示）模型七：半角全等模型【模型分析】過(guò)等腰三角形頂點(diǎn)兩條射線(xiàn)，使兩條射線(xiàn)的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱(chēng)為半角模型?！境Ｒ?jiàn)模型】常見(jiàn)的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過(guò)全等的性質(zhì)得到線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論.例7．（2021·河南新鄉(xiāng)市·八年級(jí)期中）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）于E，F(xiàn)．（1）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時(shí)（如圖1），求證：△ABE≌△CBF．（2）當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時(shí)，如圖2，猜想線(xiàn)段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（3）當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3這種情況下，猜想線(xiàn)段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．變式7.（2021·南昌市心遠(yuǎn)中學(xué)八年級(jí)期中）在圖1、圖2，圖3中．點(diǎn)E、F分別是四邊形邊上的點(diǎn)；下面請(qǐng)你根據(jù)相應(yīng)的條件解決問(wèn)題．特例探索：（1）在圖1中，四邊形為正方形（正方形四邊相等，四個(gè)內(nèi)角均為直角），，延長(zhǎng)至G，使．則__________．在圖2中，，，，，，；則__________．

歸納證明：（2）在圖3中，，．且，請(qǐng)你觀(guān)察（1）中的結(jié)果，猜想圖3中線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式．實(shí)際應(yīng)用:（3）圖4是某公路筑建工程平面示意圖，指揮中心設(shè)在O處，A處、B處分別是甲、乙兩公路起點(diǎn)，它們分別在指揮中心的北偏東和南偏東的方向上．且A、B兩處分別與指揮中心O的距離相等：其中甲公路是從A處開(kāi)始沿正東方向筑建，乙公路是從B處開(kāi)始沿北偏東40方向筑建：甲、乙兩公路的路基筑建速度分別是每天150米、180米，當(dāng)兩公路同時(shí)開(kāi)工后的第五天收工時(shí)，分別筑建到C、D處，經(jīng)測(cè)量．試求C與D兩處之間的距離．模型八：倍長(zhǎng)中線(xiàn)模型【模型解讀】中線(xiàn)是三角形中的重要線(xiàn)段之一，在利用中線(xiàn)解決幾何問(wèn)題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線(xiàn)法”添加輔助線(xiàn)．所謂倍長(zhǎng)中線(xiàn)法，就是將三角形的中線(xiàn)延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法．【常見(jiàn)模型】例8．（2021·河南新鄉(xiāng)學(xué)院附屬中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC邊上的中線(xiàn)，AD的取值范圍是（）A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4變式8.（2021·湖北八年級(jí)期末）在通過(guò)構(gòu)造全等三角形解決的問(wèn)題中，有一種典型的方法是倍延中線(xiàn)．（1）如圖1，是的中線(xiàn)，求的取值范圍．我們可以延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，易證，所以．接下來(lái)，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線(xiàn)的取值范圍是；（2）如圖2，是的中線(xiàn)，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)且，求證：；（3）如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，且，試猜想線(xiàn)段之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．模型九：截長(zhǎng)補(bǔ)短法【模型分析】截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法適用于求證線(xiàn)段的和差倍分關(guān)系。截長(zhǎng)：指在長(zhǎng)線(xiàn)段中截取一段等于已知線(xiàn)段；補(bǔ)短：指將短線(xiàn)段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于已知線(xiàn)段。該類(lèi)題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線(xiàn)等關(guān)鍵詞句，可以采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來(lái)完成證明過(guò)程，截長(zhǎng)補(bǔ)短法（往往需證2次全等）?！灸Ｐ蛨D示】（1）截長(zhǎng)：在較長(zhǎng)線(xiàn)段上截取一段等于某一短線(xiàn)段，再證剩下的那一段等于另一短線(xiàn)段。例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在A(yíng)D上取一點(diǎn)F，使得AF=BE，證DF=DC；=2\*GB3②在A(yíng)D上取一點(diǎn)F，使DF=DC，證AF=BE（2）補(bǔ)短：將短線(xiàn)段延長(zhǎng)，證與長(zhǎng)線(xiàn)段相等例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①延長(zhǎng)DC至點(diǎn)M處，使CM=BE，證DM=AD；=2\*GB3②延長(zhǎng)DC至點(diǎn)M處，使DM=AD，證CM=BE例9．（2021·廣西玉林市·八年級(jí)期末）在中，，點(diǎn)D、E分別在、上，連接、和；并且有，．（1）求的度數(shù)；（2）求證：．變式9.（2022·四川南充·八年級(jí)期末）（1）閱讀理解：?jiǎn)栴}：如圖1，在四邊形中，對(duì)角線(xiàn)平分，．求證：．思考：“角平分線(xiàn)+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過(guò)“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問(wèn)題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題；方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線(xiàn)并完成證明．（2）問(wèn)題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，探究線(xiàn)段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；課后訓(xùn)練：1.（2022·河南新鄉(xiāng)學(xué)院附屬中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC邊上的中線(xiàn)，AD的取值范圍是（）A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜42.（2021·湖北八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線(xiàn)CD交AB于點(diǎn)D，已知AC=16，BC=9，則BD的長(zhǎng)為（）A．6 B．7 C．8 D．93．（2021·浙江溫州市·八年級(jí)期末）如圖，，，要說(shuō)明，需添加的條件不能是（）A． B． C． D．4．（2022·武漢市六中位育中學(xué)八年級(jí)）如圖，已知，，且，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．5．（2020·浙江杭州市·八年級(jí)期末）如圖，已知，若要使得，則添加的一個(gè)條件不能是（）A．B．C．AB=DCD．AC=DB6．（2021·四川七年級(jí)期末）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE，作EF⊥AE，若點(diǎn)F在BD的垂直平分線(xiàn)上，∠BAC＝α，則∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）7.（2022·山東周村初三一模）如圖，中，為的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，，且，，那么的長(zhǎng)度為_(kāi)_．8.如圖，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于點(diǎn)O，求證：OB＝OC．9．（2021·廣西百色市·八年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)是的中點(diǎn)，∥，且．（1）求證：△ACD≌△CBE．（2）若，求∠B的度數(shù)．10．（2022·河南鄭州·七年級(jí)期末）在直線(xiàn)上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)，在直線(xiàn)上方有，且滿(mǎn)足．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系是____________；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，問(wèn)題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)應(yīng)用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，若，的面積是12，求與的面積之和．11．（2022·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)期末）在中，，，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且于D，于E．(1)當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①≌；②；(2)當(dāng)直線(xiàn)MN燒點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：；(3)當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．12．（2021·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖所示，中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交于點(diǎn)．（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，連接，且，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，為上一點(diǎn)，連接，若，，求的長(zhǎng)．13．（2021·綿陽(yáng)市八年級(jí)期中）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）于E、F．（1）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時(shí)（如圖1），試猜想AE，CF，EF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)將三條線(xiàn)段分別填入后面橫線(xiàn)中：＋＝．（不需證明）（2）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖2）時(shí)，上述（1）中結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖3）時(shí)，上述（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，線(xiàn)段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．14．（2022.湖北八年級(jí)期中）已知：正方形中，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）于點(diǎn)．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證．（1）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖2），線(xiàn)段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出猜想，并加以證明．（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線(xiàn)段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．15．（2021·安徽合肥市·八年級(jí)期末）如圖，在中，，平分．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，求的度數(shù)；（3）如圖3，若，求證：．16.（2022?歷下區(qū)期中）CD是經(jīng)過(guò)∠BCA定點(diǎn)C的一條直線(xiàn)，CA＝CB，E、F分別是直線(xiàn)CD上兩點(diǎn)，且