2024版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)三十八

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(三十八)A組全考點(diǎn)鞏固練1．在三棱錐A-BCD中，平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1，n2.若〈n1，n2〉＝π3，則二面角A-BD-C的大小為(A．π3 B．C．π3或2π3 D．2．如圖，點(diǎn)A，B，C分別在空間直角坐標(biāo)系Oxyz的三條坐標(biāo)軸上，OC＝(0，0，2)，平面ABC的法向量為n＝(2，1，2)，設(shè)二面角C-AB-O的大小為θ，則cosθ等于()A．43 B．C．23 D．－3．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，且AE＝13AB，則DC1與平面D1EC所成角的正弦值為(A．33535 BC．33 D．4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A．12 B．C．33 D．5．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，二面角B-AA1-C1的大小為60°，點(diǎn)B到平面ACC1A1的距離為3，點(diǎn)C到平面ABB1A1的距離為23，則直線(xiàn)BC1A．7 B．6C．5 D．26．(多選題)設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，P是棱VA上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))．記直線(xiàn)PB與直線(xiàn)AC所成的角為α，直線(xiàn)PB與平面ABC所成的角為β，二面角P-AC-B的平面角為γ，則α，β，γ大小關(guān)系正確的是()A．α＞β B．α＝βC．γ＞β D．γ≥β7．如圖，在正方形ABCD中，EF∥AB．若沿EF將正方形折成一個(gè)二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶2，則AF與CE所成角的余弦值為_(kāi)_______．→8．正四棱錐P-ABCD，底面四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA＝5，其內(nèi)切球?yàn)榍騁，平面α過(guò)AD與棱PB，PC分別交于點(diǎn)M，N，且與平面ABCD所成二面角為30°，則平面α截球G所得的圖形的面積為_(kāi)_______．9．(2022·泰安一模)如圖，在五面體ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，且AC＝BC＝2ED＝2，DC＝DB＝3.(1)求證：平面ABE⊥平面ABC；(2)求二面角A-BE-C的余弦值．B組新高考培優(yōu)練10．(2022·浙江卷)如圖，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F-DC-B的平面角為60°.設(shè)M，N分別為AE，BC的中點(diǎn)．(1)求證：FN⊥AD；(2)求直線(xiàn)BM與平面ADE所成角的正弦值.11．如圖，四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB＝DE＝1，AD＝PA＝2，點(diǎn)F在棱PA上．(1)求證：BF∥平面CDE；(2)求二面角C-PE-A的余弦值；(3)若點(diǎn)F到平面PCE的距離為13，求線(xiàn)段AF12．如圖，已知△ABC是以AC為底邊的等腰三角形，將△ABC繞AB轉(zhuǎn)動(dòng)到△PAB位置，使得平面PAB⊥平面ABC，連接PC，E，F(xiàn)分別是PA，CA的中點(diǎn)．(1)證明：EF⊥AB；(2)在①S△ABC＝33，②點(diǎn)P到平面ABC的距離為3，③直線(xiàn)PB與平面ABC所成的角為60°這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知條件，求二面角E-BF-A的余弦值．13．請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線(xiàn)上，并作答．①AB⊥BC，②FC與平面ABCD所成的角為π6，③∠ABC＝π如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，PD的中點(diǎn)為F.(1)在線(xiàn)面AB上是否存在一點(diǎn)G，使得AF∥平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并給以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若________，求二面角F-AC-D的余弦值．課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(三十八)A組全考點(diǎn)鞏固練1．C解析：因?yàn)槎娼堑姆秶荹0，π]，且〈n1，n2〉＝π3，所以二面角A-BD-C的大小為π3或2π32．C解析：由題意可知，平面ABO的一個(gè)法向量為OC＝(0,0,2)，由圖可知，二面角C-AB-O為銳角，由空間向量的結(jié)論可知，cosθ＝OC·nOCn＝3．A解析：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C1(0，3，1)，D1(0，0，1)，E(1，1，0)，C(0，3，0)，所以DC1＝(0，3，1)，D1E＝(1，1，－1)，D1C＝(0，3，－1)．設(shè)平面D1EC的法向量為n＝(x，y，z)，則n·D1E=0，n·D1C=0，即x+y-z=0，3y-z=0，取y＝1，得4．B解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)棱長(zhǎng)為1，則A1(0，0，1)，E1，0，12，D(0，1，0)，所以A1D＝(0，1，－1)，A1E＝1，0，-12，設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1＝(1，y，z)，則n1·A1D=0，n1·A1E=0，即y-z=0，1-12z=0，所以y=2，z=2，5．A解析：由題意可知，∠BAC＝60°，點(diǎn)B到平面ACC1A1的距離為3，點(diǎn)C到平面ABB1A1的距離為23，所以在三角形ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝23，∠ABC＝90°，則AB1·BC1＝(BB1-BA|AB1|＝22，|BC1|＝4，cos〈AB1，BC1〉＝6．AC解析：過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)l∥AC，過(guò)點(diǎn)P作底面ABC的垂線(xiàn)PD，D為垂足，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，作DE⊥l于點(diǎn)E，連接AD，BD，PF，PE.由題意可知，二面角P-AC-B的大小與二面角P-AB-C的大小相等，結(jié)合空間角的定義知∠PBE＝α，∠PBD＝β，∠PFD＝γ，在Rt△PEB與Rt△PDB中，由PE＞PD得sinα＞sinβ，所以α＞β(α，β均為銳角)．故A正確，B錯(cuò)誤；在Rt△PDB與Rt△PDF中，由PB＞PF得sinβ＜sinγ，所以γ＞β(β，γ均為銳角)．故C正確；由于不存在PB＝PF的可能，故D錯(cuò)誤．7．45解析：因?yàn)锳E∶ED∶AD＝1∶1∶2，所以AE⊥ED，即AE，DE，EF設(shè)AB＝EF＝CD＝2，則E(0，0，0)，A(1，0，0)，F(xiàn)(0，2，0)，C(0，2，1)，所以AF＝(－1，2，0)，EC＝(0，2，1)，所以cos〈AF，EC〉＝AF·ECAFEC＝45×58．π3解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，D(2，0，0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)．因?yàn)镻A＝PD＝PB＝PC＝5，AO＝12AC＝2.所以PO＝PA2-AO2＝3，所以P(1，1，3)，O(1，1，0)，則內(nèi)切球的球心G在PO上，設(shè)G(1，1，h)，內(nèi)切球的半徑為R，S△PAD＝S△PCD＝S△PBC＝S△PAB＝12×2×52-12＝2.由等體積法可得13R(2＋2＋2＋2＋2×2)＝13×2×2×3，解得R＝33，則G1，1，33.因?yàn)槠矫姒吝^(guò)AD，設(shè)平面α的法向量為n＝(0，－1，a)，平面ABCD的法向量為m＝(0，0，1)，設(shè)平面α與平面ABCD所成二面角為30°，則cos30°＝n·mnm＝32，即aa2+1＝32，解得a＝3或a＝－3(舍去)9．(1)證明：取BC中點(diǎn)M，AB中點(diǎn)N，連接DM，MN，EN.所以MN∥AC且MN＝12AC又DE＝12AC，DE∥AC，所以DE∥MN，且DE＝MN所以四邊形MNED是平行四邊形，所以EN∥DM且EN＝DM，又AC⊥平面BCD，AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCD，因?yàn)镈C＝DB，所以DM⊥BC，又平面ABC∩平面BCD＝BC，DM?平面BCD，所以DM⊥平面ABC，所以EN⊥平面ABC，又EN?平面ABE，所以平面ABE⊥平面ABC．(2)解：由(1)知，AC⊥BC，EN∥DM且EN＝DM，EN⊥平面ABC，平面ABE⊥平面ABC，以C為原點(diǎn)，CA，CB所在直線(xiàn)為x，y軸，以過(guò)點(diǎn)C，與MD平行的直線(xiàn)為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，B(0，2，0)，N(1，1，0)，E(1，1，2)，則CB＝(0，2，0)，CN＝(1，1，0)，CE＝(1，1，2)，設(shè)平面BCE的法向量為n＝(x，y，z)，則n·CE=x+y+2z=0，n·CB=2y=0，取z＝2，則x=-2又AC＝BC，則CN⊥AB，又平面ABC∩平面ABE＝AB，CN?平面ABC，所以CN⊥平面ABE，即CN＝(1，1，0)為平面ABE的一個(gè)法向量，所以cos〈n，CN〉＝n·CNn·CN顯然二面角A-BE-C為銳角，故其余弦值為33B組新高考培優(yōu)練10．(1)證明：由于CD⊥CB，CD⊥CF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，CF?平面CDEF，CB?平面ABCD，所以∠FCB為二面角F-DC-B的平面角，則∠FCB＝60°.又CF＝3(CD－EF)＝23，CB＝3(AB－CD)＝23，則△BCF是等邊三角形，則CB⊥FN，因?yàn)镈C⊥FC，DC⊥BC，F(xiàn)C∩BC＝C，F(xiàn)C?平面FCB，BC?平面FCB，所以DC⊥平面FCB，因?yàn)镕N?平面FCB，所以DC⊥FN，又因?yàn)镈C∩CB＝C，DC?平面ABCD，CB?平面ABCD，所以FN⊥平面ABCD，因?yàn)锳D?平面ABCD，故FN⊥AD．(2)解：由于FN⊥平面ABCD，如圖建系：于是B(0，3，0)，A(5，3，0)，F(xiàn)(0，0，3)，E(1，0，3)，D(3，－3，0)，則M3，BM＝3，-32，32，DA＝(2，23，0)，DE設(shè)平面ADE的法向量n＝(x，y，z)，則n·DA令x＝3，則y＝－1，z＝3，所以平面ADE的法向量n＝(3，－1，3)，設(shè)BM與平面ADE所成角為θ，則sinθ＝BM·nBM11．(1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以PA∥DE，又PA?平面CDE，DE?平面CDE，所以PA∥平面CDE，又四邊形ABCD是矩形，所以AB∥CD，又AB?平面CDE，CD?平面CDE，所以AB∥平面CDE，結(jié)合PA∥平面CDE，又AB，PA?平面PAB，AB∩PA＝A，所以平面PAB∥平面CDE，又點(diǎn)F在棱PA上，所以BF?平面PAB，所以BF∥平面CDE.(2)解：以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意有A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(1，2，0)，E(0，2，1)，所以PC＝(1，2，－2)，PE＝(0，2，－1)，易知平面APE的一個(gè)法向量為m＝(1，0，0)，設(shè)平面CPE的法向量n＝(x，y，z)，則n令y＝1，則z＝2，x＝2,所以n＝(2，1，2)，由圖知二面角C-PE-A的平面角θ為銳角，所以cosθ＝|cos〈n，m〉|＝n·mn所以二面角C-PE-A的余弦值為23(3)解：連接BD，設(shè)點(diǎn)F(0，0，t)，0≤t≤2，則FP＝(0，0，2－t)，又由(2)中平面CPE的法向量n＝(2，1，2)，所以F到平面PCE的距離為d＝FP·nn＝4所以t＝32，即AF＝312．(1)證明：如圖(1)，過(guò)點(diǎn)E作ED⊥AB，垂足為D，連接DF.由題意知，△PAB≌△CAB，易證△EDA≌△FDA，所以∠EDA＝∠FDA＝π2，即FD⊥AB因?yàn)镋D⊥AB，ED∩FD＝D，所以AB⊥平面EFD．又因?yàn)镋F?平面EFD，所以EF⊥AB．圖(1)(2)解：過(guò)點(diǎn)P作PO⊥AB，垂足為O，連接CO，則CO⊥AB．因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，所以PO⊥平面ABC．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，OC，OP所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立如圖(2)所示的空間直角坐標(biāo)系．圖(2)設(shè)AB＝a，∠ABC＝θ，由條件①得S△ABC＝12a2sinθ＝33，由條件②得PO＝asinθ＝3，由條件③得∠PBO＝60°，即θ＝若選條件①②，可求得a＝23，B(3，0，0)，A(33，0，0)，P(0，0，3)，C(0，3，0)．因?yàn)镋332，0，32，F(xiàn)3設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量m＝(x，y，z)，由m·BF=0，m·BE=0，得32x+又易知平面BFA的一個(gè)法向量n＝(0，0，1)，故cos〈m，n〉＝m·nmn＝所以二面角E-BF-A的余弦值為55若選①③或②③均可求得a＝23，下同．13．解：(1)在線(xiàn)段AB上存在點(diǎn)G，使得AF∥平面PCG，且G為AB的中點(diǎn)．證明如下：設(shè)PC的中點(diǎn)為H，連接FH，GH，如圖．易證四邊形AGHF為平行四邊形，則AF∥GH.又GH?平面PCG，AF?平面PGC，所以AF∥平面PGC．(2)選擇①.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD．由題意可知，AB，AD，AP兩兩垂直，故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP的方向分別為x，因?yàn)镻A＝AB＝2，所以A(0，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(xiàn)(0，1，1)，所以AF＝(0，1，1)，CF＝(－2，－1，1)．設(shè)平面FAC的法向量為u＝(x，y，z)，則u·AF=0，u·CF=0，即y+z=0，-2x-y+z=0.令y＝1，則x＝－1易知平面ACD的一個(gè)法向量為v＝(0，0，2)，設(shè)二面角F-AC-D的平面角為θ，則cosθ＝u·vuv＝33，即二面角F-AC選擇②.設(shè)BC中點(diǎn)E，連接AE，取AD的中點(diǎn)M，連接FM，CM，則FM∥PA，且FM＝1.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以FM⊥平面ABCD，F(xiàn)C與平面ABCD所成的角為∠FCM，故∠FCM＝π6在直角三角形FCM中，