2024年春學(xué)期眉山市東坡區(qū)高一數(shù)學(xué)入學(xué)考試卷附答案解析

2024年春學(xué)期眉山市東坡區(qū)高一數(shù)學(xué)入學(xué)考試卷2024.02一、單選題1．集合的子集的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．2．已知命題,，則A．， B．，C．， D．，3．已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞增，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B． C．4 D．2或4．若關(guān)于x不等式的解集為，則關(guān)于x不等式的解集為（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過定點(diǎn)，且點(diǎn)在角的終邊上，則（

）A． B．0 C．7 D．6．已知函數(shù)，則其圖象大致是（

）A．B．C．D．7．中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)．一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時(shí)，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時(shí)扇形的圓心角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．8．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．二、多選題9．已知集合，則下列關(guān)系式表示正確的有（

）A． B． C． D．10．如圖，A，B是單位圓上的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，∠BOA＝60°，質(zhì)點(diǎn)A以1rad/s的角速度按逆時(shí)針方向在單位圓上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)B以2rad/s的角速度按順時(shí)針方向在單位圓上運(yùn)動(dòng)，則（

）A．經(jīng)過1s后，∠BOA的弧度數(shù)為＋3B．經(jīng)過s后，扇形AOB的弧長為C．經(jīng)過s后，扇形AOB的面積為D．經(jīng)過s后，A，B在單位圓上第一次相遇11．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A?B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且，則下列結(jié)論正確的為（

）

A． B． C． D．12．已知連續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當(dāng)時(shí)，，③，則以下說法中正確的是（）A．B．C．在上的最大值是10D．不等式的解集為三、填空題13．方程的解集為.14．已知函數(shù)的定義域?yàn)閯t的定義域?yàn)?5．已知關(guān)于的方程的兩根分別在區(qū)間，內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．16．已知函數(shù)，若的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題17．（1）計(jì)算：；（2）已知正數(shù)a滿足，求的值.18．設(shè)，，命題，命題(1)當(dāng)時(shí)，試判斷命題p是命題q的什么條件？(2)求的取值范圍，使命題p是命題q的必要不充分條件.19．（1）已知，，且，求的最大值；（2）已知正數(shù)，滿足，求的最小值．20．已知函數(shù)在為奇函數(shù)，且(1)求值；(2)判斷函數(shù)在的單調(diào)性，并用定義證明；(3)解關(guān)于t的不等式21．去年以來新冠肆虐，我國在黨中央的領(lǐng)導(dǎo)下迅速控制住新冠疫情，但完全消除新冠的威脅仍需要長期的努力.某醫(yī)療企業(yè)為了配合國家的防疫戰(zhàn)略，決定投入萬元再上一套生產(chǎn)設(shè)備，預(yù)計(jì)使用該設(shè)備后前年的支出成本為萬元，每年的銷售收入萬元.(1)估計(jì)該設(shè)備從第幾年開始實(shí)現(xiàn)總盈利；(2)使用若干年后對該設(shè)備處理的方案有兩種：方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以萬元的價(jià)格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以萬元的價(jià)格處理；問哪種方案較為合理？并說明理由.（注：）22．已知二次函數(shù).(1)若的解集為，解關(guān)于的不等武；(2)若不等式對恒成立，求的最大值.1．D【分析】列舉法表示集合，由集合元素個(gè)數(shù)與子集個(gè)數(shù)的關(guān)系直接求解即可．【詳解】由題設(shè)，則集合的子集個(gè)數(shù)為．故選：D．2．A【分析】根據(jù)全稱命題與特稱命題互為否定的關(guān)系，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，根據(jù)全稱命題與特稱命題的關(guān)系，可得命題,，則，，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含有一個(gè)量詞的否定，其中解答中熟記全稱命題與特稱性命題的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．B【分析】利用冪函數(shù)的定義求出m值，再由單調(diào)性驗(yàn)證即得.【詳解】因函數(shù)是冪函數(shù)，則，即，解得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，不符合要求，實(shí)數(shù).故選：B4．C【分析】結(jié)合一元二次不等式的解集，用分別表示和，并判斷的符號，然后求解一元二次不等式即可.【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，則，且和3是的兩個(gè)根，所以，即，，故，解得或，從而關(guān)于x不等式的解集為.故選：C.5．D【分析】由題知,進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合齊次式求解即可.【詳解】解:令得,故定點(diǎn)為,所以由三角函數(shù)定義得，所以故選：D6．B【分析】首先利用函數(shù)的奇偶性，排除選項(xiàng)，再取特殊值，可得答案.【詳解】，是奇函數(shù)，排除A、C，當(dāng)時(shí)，，排除D．故選：B.7．A【分析】根據(jù)扇形與圓面積公式，可知面積比即為圓心角之比，再根據(jù)圓心角和的關(guān)系，求解出扇形的圓心角．【詳解】與所在扇形圓心角的比即為它們的面積比，設(shè)與所在扇形圓心角分別為，則，又，解得故選:A【點(diǎn)睛】本題考查圓與扇形的面積計(jì)算，難度較易．扇形的面積公式：，其中是扇形圓心角的弧度數(shù)，是扇形的弧長．8．D【分析】利用均值不等式求出最小值，根據(jù)題意列不等式求解即可.【詳解】，要使得不等式有解，只需有解即可，解得或者，故選：D9．CD【分析】確定，再根據(jù)元素和集合，集合與集合的關(guān)系依次判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】，對選項(xiàng)A：，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)B：，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)C：，正確；對選項(xiàng)D：，正確；故選：CD10．ABD【分析】結(jié)合條件根據(jù)扇形面積，弧長公式逐項(xiàng)分析即得.【詳解】經(jīng)過1s后，質(zhì)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)1rad，質(zhì)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)2rad，此時(shí)∠BOA的弧度數(shù)為，故A正確；經(jīng)過s后，，故扇形AOB的弧長為，故B正確；經(jīng)過s后，，故扇形AOB的面積為，故C不正確；設(shè)經(jīng)過ts后，A，B在單位圓上第一次相遇，則，解得(s)，故D正確.故選：ABD.11．CD【分析】利用函數(shù)圖象開口、與軸交點(diǎn)位置以及對稱軸方程可判斷A；將x＝1代入函數(shù)，可判斷B；根據(jù)，設(shè)得，代入函數(shù)可判斷C；根據(jù)韋達(dá)定理可判斷D.【詳解】對于A，根據(jù)圖象，可知，又對稱軸，則，則，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，不能說明y的值是否大于0，故B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)，，將點(diǎn)B代入函數(shù)，得，故，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，方程的兩個(gè)根，所以，則D正確.故選：CD.12．ACD【分析】依題意令，求出，從而判斷A；令得到，再令，，即可判斷B；再利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；依題意原不等式等價(jià)于，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，則有，令，則，則，故A正確；令，則，令代，則，即，即，故B錯(cuò)誤；設(shè)且，則，由，令，則，即，令，，則，即，因?yàn)闀r(shí)，，又，故，所以，所以，即在上單調(diào)遞減，又，所以，，又，所以，故在上的最大值為，故C正確；由，即，即，即，又因?yàn)?，即，所以，即，故，即，解得，即原不等式的解集為，故D正確；故選：ACD.13．【分析】根據(jù)題意得到，然后結(jié)合正弦函數(shù)相關(guān)知識解方程即可.【詳解】因?yàn)椋?，若，則或，所以或，即方程的解集為.故答案為：14．【分析】抽象函數(shù)定義域求解，需整體在范圍內(nèi)，從而解出的范圍，同時(shí)注意需保證，最后求出交集即可得解.【詳解】由已知，的定義域?yàn)?，所以對于需滿足,解得故答案為：.15．【分析】轉(zhuǎn)化化二次函數(shù)零點(diǎn)分布問題，數(shù)形結(jié)合得到不等式組，求出的取值范圍.【詳解】令，根據(jù)題意得，由①得：，由②得：，由③得：，求交集得：故的取值范圍為.故答案為：16．【分析】分別討論和時(shí)，結(jié)合基本不等式和二次函數(shù)的單調(diào)性可得的最小值，解不等式可得所求范圍.【詳解】函數(shù)，可得時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，由時(shí)，，若時(shí)，在遞減，可得，由于的最小值為，所以，解得；若時(shí)，在處取得最小值與題意矛盾，故舍去；綜上得實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的最值求法，考查二次函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用，以及不等式的解法，屬于中檔題.17．（1）；（2）【分析】（1）利用指數(shù)，對數(shù)的性質(zhì)處理即可.（2）利用指數(shù)冪運(yùn)算法則結(jié)合條件求值即可.【詳解】（1）原式；（2）由已知得，同時(shí)平方得，即，平方得，故.18．(1)命題p是命題q的必要不充分條件(2){a|a3}【分析】（1）根據(jù)分式不等式，一元二次不等式和集合關(guān)系結(jié)合充分條件必要條件的定義即得；（2）分類討論參數(shù)結(jié)合條件即可求解.【詳解】（1）{x|x5或x3}，當(dāng)a8時(shí)，{x|x214x+48≤0}{x|6≤x≤8}，∵命題p：xA，命題q：xB，則B真包含于A，∴命題p是命題q的必要不充分條件．（2）∵A{x|x5或x3}，命題p是命題q的必要不充分條件，則B真包含于A

①當(dāng)a6，即a6時(shí)，此時(shí)B＝{x|6≤x≤a}，命題成立；

②當(dāng)a＝6，即a＝6時(shí)，此時(shí)B＝{6}，命題成立；

③當(dāng)a6，即a6時(shí)，此時(shí)B＝{a≤x≤6}，故有a＞3，解得6a3.

綜上所述，a的取值范圍是{a|a3}.19．（1）；（2）7【分析】（1）由已知直接利用基本不等式即可求解；（2）由題意得，，，然后結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】（1）因?yàn)?，，且，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號，所以，故的最大值為；（2）因?yàn)檎龜?shù)，滿足，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，所以的最小值為．20．(1)(2)函數(shù)在為單調(diào)遞減，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)可求得的值，再結(jié)合已知條件可求得實(shí)數(shù)的值；（2）由（1）由此可得出函數(shù)的解析式，可判斷是奇函數(shù)，判斷出函數(shù)在上是減函數(shù)，任取、且，作差，因式分解后判斷的符號，即可證得結(jié)論成立；（3）由得，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與定義域可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）在為奇函數(shù)，，解得：，

又，解得：，故，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題設(shè).（2）當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)函數(shù)在為奇函數(shù)，由，判斷函數(shù)在為單調(diào)遞減，證明：，，，，，

，函數(shù)在為單調(diào)遞減，（3）則，在為奇函數(shù)，，又函數(shù)在為單調(diào)遞減，t的不等式的解集為21．(1)設(shè)備從第2年開始實(shí)現(xiàn)總盈利(2)方案二較合理，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)題意可得到第年的總盈利額，結(jié)合一元二次不等式運(yùn)算求解，并注意；（2）對方案一根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求總利潤，對方案二根據(jù)題意整理可得，結(jié)合基本不等式求總利潤，對比分析.【詳解】（1）該設(shè)備到第年的總盈利額由題意可得：，解得∵故該設(shè)備從第2年開始實(shí)現(xiàn)總盈利.（2）方案二較合理，理由如下：方案一：由（1）可得：當(dāng)時(shí)，總盈利額達(dá)到最大值萬元，故總利潤萬元；方案二：平均盈利額，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，∴當(dāng)時(shí)，年平均盈利額達(dá)到最大