新教材同步系列2024春高中數(shù)學第六章計數(shù)原理6.2排列與組合6.2.1排列課件新人教A版選擇性必修第三冊

第六章計數(shù)原理6.2排列與組合6.2.1排列學習目標素養(yǎng)要求1.通過實例理解排列的概念數(shù)學抽象2.能應用排列知識解決簡單的實際問題邏輯推理自學導引一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照______________排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．一定的順排列的定義序【預習自測】思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)1，2，3與3，2，1為同一排列． (

)(2)有12名學生參加植樹活動，要求3人一組，分組方案的種數(shù)屬于排列問題． (

)(3)從1，2，3，4中任選兩個元素，就組成一個排列． (

)(4)從5個同學中任選2個同學分別參加數(shù)學和物理競賽的所有不同的選法是一個排列問題． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√同一個排列中，同一個元素能重復出現(xiàn)嗎？提示：由排列的定義知，在同一個排列中不能重復出現(xiàn)同一個元素．課堂互動(1)在各國舉行的足球聯(lián)賽中，一般采取“主客場制”(即每兩個球隊之間分為主隊和客隊各賽一場).若共有12支球隊參賽，則需進行多少場比賽？(2)在“世界杯”足球賽中，由于有東道主國家承辦，故無法實行“主客場制”，而采用“分組循環(huán)淘汰制”．若共有32支球隊參加，分為八組，每組4支球隊進行小組循環(huán)賽，則在小組循環(huán)賽中需進行多少場比賽？題型1排列的概念(3)在乒乓球單打比賽中，由于參賽選手較多，故常采取“抽簽組對淘汰制”決出冠軍，若共有100名選手參賽，待冠軍產(chǎn)生時，共需舉行多少場比賽？在上述三個問題中，是排列問題的是________(填序號).【答案】(1)【解析】對于(1)，同樣是甲、乙兩隊比賽，甲作為主隊和乙作為主隊是兩場不同的比賽，故與順序有關，是排列問題；對于(2)，由于是組內(nèi)循環(huán)，故甲、乙兩隊之間只需要進行一場比賽，與順序無關，不是排列問題；對于(3)，由于兩名選手一旦比賽后就淘汰其中一位，故也與順序無關，不是排列問題．故填(1).確認一個具體問題是否為排列問題，一般從兩個方面確認(1)要保證元素的無重復性，否則不是排列問題．(2)要保證選出的元素被安排的有序性，否則不是排列問題．而檢驗它是否有順序的標準是變換某一結果中兩元素的位置，看結果是否變化，有變化就是有順序，無變化就是無順序．1．判斷下列問題是不是排列問題，并說明理由．(1)從甲、乙、丙、丁四名同學中選出兩名參加活動，其中一名同學參加活動A，另一名同學參加活動B；(2)從甲、乙、丙、丁四名同學中選出兩名參加一項活動；(3)從所有互質(zhì)的三位數(shù)中選出兩個數(shù)求其和；(4)從所有互質(zhì)的三位數(shù)中選出兩個數(shù)求其商；(5)高二(1)班有四個空位，安排從外校轉來的三個學生坐這四個空位中的三個．解：(1)是排列問題，因為選出的兩名同學參加的是不同的活動，相當于把選出的同學按順序安排到兩個不同的活動中．(2)不是排列問題，因為選出的兩名同學參加的是同一個活動，沒有順序之分．(3)不是排列問題，因為選出的兩個三位數(shù)之和對順序沒有要求．(4)是排列，因為選出的兩個三位數(shù)之商會隨著分子、分母的順序而發(fā)生變化，且這些三位數(shù)是互質(zhì)的，不存在選出的數(shù)不同而商的結果相同的可能．(5)是排列問題，可看作從四個空位中選出三個座位，分別安排給三個學生．(1)從1，2，3，4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位不同的數(shù)，一共可以組成多少個？(2)寫出從4個元素a，b，c，d中任取3個元素的所有排列．解：(1)由題意作樹狀圖，如下．題型2排列中的樹狀圖法故組成的所有兩位數(shù)為12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12個．(2)由題意作樹狀圖，如下．故所有的排列為abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.利用“樹狀圖法”解決簡單排列問題的適用范圍及策略(1)適用范圍：樹狀圖在解決排列元素個數(shù)不多的問題時，是一種比較有效的表示方式．(2)策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標準進行分類，再安排第二個元素，并按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹狀圖寫出排列．2．寫出A，B，C，D四名同學站成一排照相，A不站在兩端的所有可能站法．解：由題意作樹狀圖，如下．故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB．(1)從100個兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個數(shù)，求其商的個數(shù)；(2)求由0，1，2，3組成的能被5整除且沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)；(3)有4名大學生可以到5家單位實習，若每家單位至多招1名新員工，每名大學生至多到1家單位實習，且這4名大學生全部被分配完畢，求分配方案的個數(shù)．題型3排列的簡單應用解：(1)從100個兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個數(shù)，分別作為商的分子和分母，其排列有100×99＝9900.(2)因為組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)能被5整除，所以這個四位數(shù)的個位數(shù)字一定是“0”，故確定此四位數(shù)，只需確定千位數(shù)字、百位數(shù)字、十位數(shù)字即可，共有3×2×1＝6(個).(3)可以理解為從5家單位中選出4家單位，分別把4名大學生安排到4家單位，有5×4×3×2＝120(個).【例題遷移1】

(變換條件)將例3(3)中的條件變?yōu)椤坝?本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本”，共有多少種不同的送法？解：從7本不同的書中選3本送給3名同學，相當于從7個元素中任取3個元素的一個排列，所以共有7×6×5＝210(種)不同的送法．【例題遷移2】

(變換條件)將例題遷移1中的條件變?yōu)椤坝?種不同的書，要買3本送給3名同學，每人各1本”，共有多少種不同的送法？解：從7種不同的書中買3本書，這3本書并不要求都不相同，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有7×7×7＝343(種)不同的送法．要想正確地表示排列問題的排列數(shù)，應弄清這件事中誰是分步的主體，分清m個元素和n(m≤n)個不同的位置各是什么．3．(2023年杭州期末)中國國家滑雪隊將開展自由式滑雪項目中的空中技巧、雪上技巧、障礙追逐和U型場地技巧四個項目表演．現(xiàn)安排兩名男隊員和兩名女隊員組隊參演，參演選手每人展示其中一個不同的項目，雪上技巧項目必須由女隊員展示，則所有不同出場順序與項目展示方案種數(shù)為

(

)A．576

B．288C．144

D．48【答案】B【解析】雪上技巧項目必須由女隊員展示，有2種情況，剩下3人表演其他3個項目，有3×2×1＝6(種)情況，而4個項目之間的排法有4×3×2×1＝24(種)，則有2×6×24＝288(種)展示方案．有6個人站成前后兩排照相，要求前排2人，后排4人，問有多少種不同的排法？錯解：前排共兩人，有6×5＝30(種)排法，后排有4×3×2×1＝24(種)排法，故共有30＋24＝54(種)排法．易錯防范：只有當元素完全相同，并且排列順序也完全相同時，才是同一排列．元素完全不同，或元素部分相同，或元素完全相同而順序不同的排列都不是同一排列．正解：本題實際上和6個人站成一排照相共有多少種不同排法的問題完全相同，所以不同的排法總數(shù)為6×5×4×3×2×1＝720(種).易錯警示分不清分類還是分步計數(shù)致誤素養(yǎng)達成排列的定義中包含兩個基本內(nèi)容：一是“取出元素”，二是“按照一定順序排成一列”．這里“一定的順序”與“位置”有關，所以不考慮順序就不是排列．1．(題型1)(多選)下列問題不是排列問題的有 (

)A．從10名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？B．8個人互相通信一次，共寫了多少封信？C．平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？D．從1，2，3，4四個數(shù)字中，任選兩個相加，其結果共有多少種？【答案】ACD【解析】排列問題是與順序有關的問題，四個選項中只有B中的問題是與順序相關的，其他問題都與順序無關，所以選ACD．2．(題型2，3)甲、乙、丙三人站成一排去照相，甲不站在排頭的所有排列種數(shù)為

(

)A．6 B．4C．8 D．10【答案】B【解析】列樹狀圖如下：所有的排列為丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4種．3．(題型3)某電視臺一節(jié)目收視率很高，現(xiàn)要連續(xù)插播4個廣告，包括2個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益宣傳廣告，要求最后播放的必須是商業(yè)廣告，則不同的播放方式有

(

)A．12種 B．16種C．18種 D．24種【答案】A【解析】可分二步：第一步，排最后一個商業(yè)廣告，有2種；第二步，在余下的三個位置排第二個商業(yè)廣告和兩個公益宣傳廣告，有3×2×1＝6(種).根據(jù)分步計數(shù)原理，不同的播放方式共有2×6＝12(種).4．(題型3)有3名大學畢業(yè)生，到5家招聘員工的公司應聘，若每家公司至多招聘一名新員工，且3名大學畢業(yè)生全部被聘用，若不允許兼職，則共有________種不同的招聘方案(用數(shù)字作答).【答案】60【解析】將