新教材同步系列2024春高中數(shù)學(xué)第六章計(jì)數(shù)原理6.2排列與組合6.2.3組合課件新人教A版選擇性必修第三冊

第六章計(jì)數(shù)原理6.2排列與組合6.2.3組合學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1.通過實(shí)例理解組合的概念數(shù)學(xué)抽象2.會(huì)應(yīng)用組合知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題邏輯推理自學(xué)導(dǎo)引一般地，從n個(gè)不同元素中____________________________，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．【預(yù)習(xí)自測】下列問題屬于組合問題的是________．①由1，2，3，4構(gòu)成的雙元素集合；②由1，2，3構(gòu)成的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)；③由1，2，3構(gòu)成的無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)．【答案】①取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組組合的概念(1)共同點(diǎn)：兩者都是從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素．(2)不同點(diǎn)：排列與元素的順序_______，組合與元素的順序_______.注意：①元素相同且順序也相同的兩個(gè)排列才是相同的；②只要元素相同，不論元素的順序如何，兩個(gè)組合都是相同的．有關(guān)排列與組合之間的聯(lián)系與區(qū)別無關(guān)【預(yù)習(xí)自測】①從3，5，7，11中任取兩個(gè)數(shù)相除；②從3，5，7，11中任取兩個(gè)數(shù)相乘．以上兩個(gè)問題中哪個(gè)是排列問題？哪個(gè)是組合問題？①與②有何不同？提示：①是排列，②是組合．①中選取的兩個(gè)數(shù)相除是有順序要求的，②中選取的兩個(gè)數(shù)相乘是無順序要求的．課堂互動(dòng)判斷下列問題是排列問題，還是組合問題．(1)從1，2，3，…，9九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，組成一個(gè)三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有多少個(gè)？(2)從1，2，3，…，9九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，然后把這三個(gè)數(shù)字相加得到一個(gè)和，這樣的和共有多少個(gè)？(3)從a，b，c，d四名學(xué)生中選兩名去完成同一份工作，有多少種不同的選法？題型1組合的概念解：(1)當(dāng)取出3個(gè)數(shù)字后，如果改變3個(gè)數(shù)字的順序，會(huì)得到不同的三位數(shù)，此問題不但與取出的元素有關(guān)，而且與元素的安排順序有關(guān)，是排列問題．(2)取出3個(gè)數(shù)字之后，無論怎樣改變這3個(gè)數(shù)字的順序，其和均不變，此問題只與取出的元素有關(guān)，而與元素的安排順序無關(guān)，是組合問題．(3)兩名學(xué)生完成的是同一份工作，沒有順序，是組合問題．組合與排列的區(qū)別方法先弄清楚事件是什么，再根據(jù)有無順序區(qū)分排列與組合．區(qū)分有無順序的方法：把問題的一個(gè)選擇結(jié)果寫出來，然后交換這個(gè)結(jié)果中任意兩個(gè)元素的位置，看是否會(huì)產(chǎn)生新的變化．若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題．1．判斷下列問題是組合問題還是排列問題．(1)把5本不同的書分給5個(gè)學(xué)生，每人一本，有多少種不同的分法？(2)從7本不同的書中取出5本給某個(gè)同學(xué)，有多少種不同的分法？(3)10個(gè)人相互寫一封信，共寫了幾封信？(4)10個(gè)人互相通一次電話，共通了幾次電話？解：(1)由于書不同，每人每次拿到的也不同，有順序之分，是排列問題．(2)從7本不同的書中，取出5本給某個(gè)同學(xué)，在每種取法中某個(gè)同學(xué)拿到的5本書并不考慮書的順序，是組合問題．(3)兩人互寫一封信跟寫信人與收信人的順序有關(guān)，是排列問題．(4)互通電話一次沒有順序之分，是組合問題．現(xiàn)有6名教師，其中4名男教師，2名女教師．(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法？(2)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法？題型2簡單的組合問題解：(1)設(shè)4名男教師分別為“男1，男2，男3，男4”，2名女教師分別為“女1，女2”，則從中選2名的選法有“男1，男2；男1，男3；男1，男4；男1，女1；男1，女2；男2，男3；男2，男4；男2，女1；男2，女2；男3，男4；男3，女1；男3，女2；男4，女1；男4，女2；女1，女2”共15種．(2)從4名男教師中選2名有“男1，男2；男1，男3；男1，男4；男2，男3；男2，男4；男3，男4”共6種，2名女教師只有1種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有不同的選法6×1＝6(種).【例題遷移】

(改變問法)本例已知條件不變，若改為“現(xiàn)從中選2名教師參加會(huì)議，至少有1名男教師的選法有多少種？最多有1名男教師的選法又有多少種？”解：至少有1名男教師可分兩類：1男1女和2男0女．由例2知，1男1女有8種，2男0女有6種，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，有8＋6＝14(種).最多有1名男教師包括兩類：1男1女和0男2女．由例2知，1男1女有8種，0男2女有1種，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，有8＋1＝9(種).簡單的組合問題的解題思路及注意點(diǎn)1．解簡單的組合應(yīng)用題時(shí)，首先要判斷它是不是組合問題．排列問題與元素順序有關(guān)，而組合問題與元素的順序無關(guān)．2．要注意兩個(gè)基本原理的運(yùn)用，即分類與分步的靈活運(yùn)用．在分類和分步時(shí)，一定注意有無重復(fù)或遺漏．2．一個(gè)口袋內(nèi)裝有4個(gè)標(biāo)號(hào)不同的白球和1個(gè)黑球．(1)從口袋內(nèi)取出3個(gè)小球，共有多少種取法？(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？(3)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？解：設(shè)口袋內(nèi)的4個(gè)白球分別為“白1，白2，白3，白4”．(1)從口袋內(nèi)取出3個(gè)小球，有“白1，白2，白3；白1，白2，白4；白1，白2，黑；白1，白3，白4；白1，白3，黑；白1，白4，黑；白2，白3，白4；白2，白3，黑；白2，白4，黑；白3，白4，黑”共10種取法．(2)取出的3個(gè)球中有1個(gè)黑球，由(1)知有6種取法．(3)取出的3個(gè)球中不含黑球，由(1)知有4種取法．某外語組有9人，每人至少會(huì)英語和日語中的一門，其中7人會(huì)英語，3人會(huì)日語，從中選出會(huì)英語和日語的各一人，有多少種不同的選法？解：由題意得有1人既會(huì)英語又會(huì)日語，6人只會(huì)英語，2人只會(huì)日語．第一類：從只會(huì)英語的6人中選1人說英語有6種方法，則會(huì)日語的有2＋1＝3(種).此時(shí)共有6×3＝18(種).題型3雙重元素的組合問題第二類：選既會(huì)英語又會(huì)日語的1人說英語有1種方法，此時(shí)選會(huì)日語的有2種．故方法共有1×2＝2(種).所以由分類加法計(jì)數(shù)原理知，選法共有18＋2＝20(種).本題用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題，兩個(gè)原理的區(qū)別在于：分類每次得到的是最后結(jié)果，分步每次得到的是中間結(jié)果，即每次僅完成整件事情的一部分，當(dāng)且僅當(dāng)幾個(gè)步驟全部做完后，整件事情才算完成．3．某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課5門，一位同學(xué)要從中選3門．若要求兩類課程中各至少選1門，則不同的選法共有 (

)A．15種 B．30種C．45種 D．90種【答案】C【解析】分兩類，A類選修課選1門，B選修課選2門，或者A類選修課選2門，B類選修課選1門．因此共有3×10＋3×5＝45(種)選法．有甲、乙、丙3項(xiàng)任務(wù)，任務(wù)甲需要2人承擔(dān)，任務(wù)乙、丙各需要1人承擔(dān)，從5人中選派4人承擔(dān)這3項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有________種(用數(shù)字作答).易錯(cuò)警示“排列”“組合”概念混淆不清易錯(cuò)防范：錯(cuò)因是“排列”“組合”概念混淆不清．承擔(dān)任務(wù)甲的兩人與順序無關(guān)，此處應(yīng)是組合問題．(設(shè)5人分別為A，B，C，D，E，則有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10種)正解一：先從5人中選出2人承擔(dān)任務(wù)甲；再從余下3人中選出1人承擔(dān)任務(wù)乙；最后從剩下的2人中選出1人去承擔(dān)任務(wù)丙．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法共有10×3×2＝60(種).素養(yǎng)達(dá)成排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別：(1)聯(lián)系：二者都是從n個(gè)不同的元素中取m(m≤n)個(gè)元素．(2)區(qū)別：排列問題中元素有序，組合問題中元素?zé)o序．1．(題型1)以下四個(gè)問題，屬于組合問題的是 (

)A．從3個(gè)不同的小球中，取出2個(gè)排成一列B．老師在排座次時(shí)將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌C．在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星D．從13位司機(jī)中任選出兩位開同一輛車往返甲、乙兩地【答案】C【解析】只有從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星，與順序無關(guān)，是組合問題．2．(題型2)在1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各數(shù)位之和為偶數(shù)的共有

(

)A．36個(gè) B．24個(gè)C．18個(gè) D．6個(gè)【答案】A3．(題型3)某班級(jí)要從4名男生、2名女生中派4人參加社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為 (

)A．14 B．24C．28 D．48【答案】A【解析】可分類完成．第1類，選派1名女生、3名男生(男1男2男3，男1男2男4，男1男3男4，男2男3男4)，有2×4＝8(種)選派方案；第2類，選派2名女生、2名男生(男1男2，男1男3，男1男4，男2男3，男2男4，男3男4)，有1×6＝6(種)選派方案．故不同的選派方案共有8＋6＝14(種).4．(題型2)五個(gè)點(diǎn)中任意三點(diǎn)都不共線，則這五個(gè)點(diǎn)可以連成