第2章 計算機中的數(shù)制和編碼(2h)

西郵計算機學院第2章計算機中的數(shù)制和編碼主要內(nèi)容簡要介紹無符號數(shù)的表示方法、各種數(shù)制的相互轉(zhuǎn)換以及二進制數(shù)的運算規(guī)則；重點介紹帶符號數(shù)的表示方法、補碼加減法運算以及運算時溢出的判斷方法；十進制數(shù)的二進制編碼、字符的ASCII編碼補碼的表示及其運算溢出和進位的區(qū)別，補碼運算溢出的判斷方法1234章節(jié)安排計算機中的數(shù)制二進制運算計算機中的碼制符號數(shù)表示法引言二進制數(shù)及其編碼是所有微型計算機的基本語言，主要有以下優(yōu)點：二進制在物理上容易實現(xiàn)；運算規(guī)則簡單；采用二進制邏輯性強，用十六進制數(shù)表示和處理二進制數(shù)也極為方便。因此，建立這些數(shù)和編碼的雄厚基礎，對于深入學習微型計算機是非常重要的。2.1計算機中的數(shù)制2.1.1十進制數(shù)制區(qū)別一種數(shù)制的基本特征是底數(shù)或基數(shù)。底數(shù)表示所用的字符或數(shù)碼的數(shù)目，這些字符表示數(shù)制中量的大小。十進制數(shù)引用0~9十個數(shù)碼表示量的大小，故底數(shù)為101.按位計數(shù)法：十進制是有位、數(shù)的數(shù)制。即一個數(shù)中的每位都有特定的權，此權決定其數(shù)值的大小，每個位權由底數(shù)的n次冪確定。1.按位計數(shù)法100=1 105=100000 101=10106=1000000 102=100 107=10000000 103=1000 108=100000000 104=10000 109=1000000000例如：十進制數(shù)4603

按位計數(shù)表示為

4*103+6*102+0*101+3*100 =4000+600+00+3 =46032.小數(shù)十進制小數(shù)也是具有位權的數(shù)，其權都是10的負n次冪 10-1=0.1 10-5=0.0000110-2=0.01 10-6=0.00000110-3=0.001 10-7=0.000000110-4=0.0001 10-8=0.00000001

小數(shù)點把一個數(shù)分為整數(shù)和小數(shù)兩部分。如十進制數(shù)278.94，用按位計數(shù)法表示為：

2*102+7*101+8*100+9*10-1+4*10-2=200+70+8+0.9+0.04=278.94

即：每位數(shù)字乘以它所在的權，相加則得所求的數(shù)值。2.1.2二進制數(shù)制按位計數(shù)法中最簡單的是二進制。它只包括兩個元素或狀態(tài)，即1和0

。1.按位計數(shù)法和十進制數(shù)一樣，二進制數(shù)的每一位所在的位置均帶有一個確定數(shù)值大小的特定權。20=12 24=100002 21=102 25=100000222=1002 26=1000000223=10002 27=100000002例如，二進制數(shù)1101012按位計數(shù)為：

1*25+1*24+0*23+1*22+0*21+1*20=100000+10000+000+100+00+1=11010122.二進制小數(shù)把二進制小數(shù)表示為2

的負n次冪。

2-1=0.12 2-2=0.012 2-3=0.0012 2-4=0.00012 2-5=0.000012 2-6=0.0000012 2-7=0.00000012 2-8=0.000000012例如，二進制數(shù)0.1101按位表示為：

1*2-1+1*2-2+0*2-3+1*2-4=1*0.12+1*0.012+0*0.0012+1*0.00012=0.12+0.012+0.0002+0.00012=0.1101211（1）二——十進制轉(zhuǎn)換把二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成相應的十進制數(shù)，只要將二進制中出現(xiàn)1的所在位權（轉(zhuǎn)換為十進制）相加即可。整數(shù)和小數(shù)位權如下：

整數(shù)小數(shù)272625242322212012864321684212-12-22-3.5.25.125.3.二進制數(shù)和十進制數(shù)的轉(zhuǎn)換3.二進制數(shù)和十進制數(shù)的轉(zhuǎn)換例：把二進制數(shù)101101.11轉(zhuǎn)換成相應的十進制數(shù)：二進制數(shù)101101.11

位權2524232221202-12-2十進制數(shù)32+0+8+4+0+1+0.5+0.25 =45.75（2）十進制——二進制轉(zhuǎn)換把一個十進制的整數(shù)依次除以所需要的底數(shù)，就能夠轉(zhuǎn)換成不同底數(shù)的數(shù)。如：把十進制的數(shù)轉(zhuǎn)換成相應的二進制數(shù)，只要把十進制數(shù)依次除以2并記下每次所得的余數(shù)（余數(shù)總是

1

或

0），所得的余數(shù)即為相應的二進制數(shù)。3.二進制數(shù)和十進制數(shù)的轉(zhuǎn)換例如，把十進制數(shù)25轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)：25/2=12

余數(shù)1LSB（leastsignificantbit）12/2=606/2=303/2=111/2=01MSB（mostsignificantbit

）

收集余數(shù)，得到110012=2510

要將一個十進制小數(shù)轉(zhuǎn)換成不同底數(shù)或基數(shù)的數(shù)時，則應把所需的底數(shù)或基數(shù)連續(xù)不斷地乘以該十進制小數(shù)，并且記錄所得的溢出數(shù)（即整數(shù)部分），直到小數(shù)得

0為止。3.二進制數(shù)和十進制數(shù)的轉(zhuǎn)換例：將十進制數(shù)0.3125轉(zhuǎn)換成相應的二進制數(shù)

0.3125*2=0.625=0.625

溢出

0MSB

0.6250*2=1.250=0.250

溢出

1

0.2500*2=0.500=0.500

溢出

0

0.5000*2=1.000=0

溢出

1LSB

即：0.3125=0.01012

如果十進制數(shù)包含整數(shù)和小數(shù)兩部分，則必須將小數(shù)點兩邊的整數(shù)和小數(shù)分開，分別完成相應的轉(zhuǎn)換，再把二進制整數(shù)和小數(shù)部分組合在一起。3.二進制數(shù)和十進制數(shù)的轉(zhuǎn)換3.二進制數(shù)和十進制數(shù)的轉(zhuǎn)換例如，將十進制數(shù)14.375轉(zhuǎn)換成相應的二進制數(shù)：

14.375=14+0.37514/2=7余數(shù)0LSM

0.375*2=0.75溢出0MSB

7/2=31

0.750*2=1.501

3/2=1

1

0.500*2=1.01LSB

1/2=0

1MSB即：14=11102

即：0.375=0.0112所以，14.375 =14+0.375=11102+0.0112=1110.01122.1.3十六進制數(shù)制二進制數(shù)書寫和閱讀均不方便，故采用十六進制數(shù)來縮寫相應的二進制數(shù)。顧名思義，十六進制以1610為底，用數(shù)字0~9和字母A~F表示。十進制數(shù)與十六進制數(shù)、二進制數(shù)的關系如下：十進制十六進制二進制000000110001220010330011440100550101660110770111十進制十六進制二進制88100099100110A101011B101112C110013D110114E111015F11112.2計算機中的碼制2.2.1二進制編碼的十進制

（BCD——披著二進制皮的十進制數(shù)）盡管用二進制工作有很多硬件設備方面的優(yōu)點，但轉(zhuǎn)換和認出二進制的大小還是要花費相當多的時間，這是一個明顯的缺點。BCD（BinaryCodedDecimal）編碼使用四位二進制碼表示0~9個十進制數(shù)。它采用標準的8421的純二進制碼的位權值，也稱為8421BCD編碼。因許多數(shù)字設備、儀器儀表均用十進制輸入輸出，故BCD碼被廣泛使用。十進制8421BCD二進制000000000100010001200100010300110011401000100501010101601100110701110111810001000910011001100001000010101100010001101112000100101100130001001111011400010100111015000101011111

用BCD碼表示十進制數(shù)，只要把每個十進制數(shù)用適當?shù)亩M制4位碼代替即可。例如，834用BCD碼表示為：

100000110100BCD例如，0.7640.011101100100BCD例如，將BCD數(shù)轉(zhuǎn)換成相應的十進制數(shù)：011000101000.100101010111BCD=628.9571.壓縮型BCD碼壓縮型BCD碼是用一個字節(jié)表示兩位十進制數(shù)。例如：2900101001BCD

8610000110BCD2.非壓縮型BCD碼非壓縮型BCD碼用一個字節(jié)表示一位十進制數(shù)。高4位總是0000，低4位用0000~1001中的一種組合來表示0~9中的某一個十進制數(shù)。例如：900001001BCD3.BCD碼運算的修正如果兩個對應位BCD數(shù)相加的結果向高位無進位，且結果小于或等于9，則該位不需要修正；若結果大于9小于16，則該位需要加6修正。如果兩個對應位BCD數(shù)相加的結果向高位有進位（結果大于或等于16），則該位需要進行加6修正。因此，兩個數(shù)進行運算時，首先按二進制數(shù)進行運算，然后必須用相應的調(diào)整指令進行調(diào)整，從而得到正確的BCD碼結果。4.總結BCD碼的一個優(yōu)點就是十個BCD碼的組合格式容易記憶。一旦你能用二進制數(shù)工作，對BCD碼就可以像十進制數(shù)一樣迅速自如地讀出。同理也可以很快得出以BCD碼表示的十進制數(shù)。例如：011000101000.10010100100BCD=628.95410BCD碼可以簡化人機聯(lián)系，但比純二進制碼效率低。對同一個給定的十進制數(shù)，用BCD碼表示的位數(shù)比純二進制碼表示的位數(shù)要多。如：83，純二進制碼表示為1010011，只需七位。用BCD碼表示時，為10000011，需八位。4.總結BCD碼效率低，原因是每位數(shù)據(jù)都需要某些數(shù)字電路和他對應，這使得與BCD碼連接的附加電路成本提高，設備的復雜性增加，功率消耗較大。用BCD碼進行的運算所花的時間比純二進制碼要多，而且復雜。用二進制四位可以表示24=16中不同狀態(tài)的數(shù)，即：0~15個十進制數(shù)。而BCD數(shù)制，10~15中有六個狀態(tài)被浪費掉。所以，采用BCD數(shù)之后，為了改善數(shù)字設備與操作者間的通信，而損失了某些效率——代價。4.總結十進制—BCD碼的轉(zhuǎn)換是簡單和直接的。但二進制—BCD碼的轉(zhuǎn)換就不能直接實現(xiàn),必須先將二進制轉(zhuǎn)換成十進制，然后再轉(zhuǎn)換成BCD碼。

例如：將二進制1011.01轉(zhuǎn)換成相應的BCD碼。

首先，將二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)

1011.01=1*23+0*22+1*21+1*20+0*2-1+1*2-2=11.25

然后，將十進制結果轉(zhuǎn)換成BCD碼：

00010001.00100101BCD

然后，將十進制結果轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)

96.625=96+0.62596/2=48 余數(shù)0 0.625*2=1.25 溢出148/2=24 0 0.25*2=0.50 024/2=12 0 0.50*2=1.0 112/2=6 0 6/2=3

03/2=1

11/2=0

1

10010110.011000100101BCD=1100000.1012將BCD碼轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)，則完成上述運算的逆運算即可。

例如：將BCD碼10010110.011000100101轉(zhuǎn)換成相應的二進制數(shù)。

首先，將BCD碼轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)：

10010110.011000100101=96.6254.總結2.2.2ASCII碼行012345678910111213141576543210000010100111001011101110000NULDLESP0@P\p0001SOHDC1!1AQaq0010STXDC2“2BRbr0011ETXDC3#3CScs0100EOTDC4$4DTdt0101ENQNAK%5EUeu0110ACKSYN&6FVfv0111BELETB‘7GWgw1000BSCAN(8HXhx1001HTEM)9IYiy1010LFSUB*:JZjz1011VTESC+;K[k{1100FFFS,<L\l|1101CRGS-=M]m}1110SORS.>N^n~1111SIUS/?O_oDEL列012345672.3二進制運算2.3.1

二進制加法加法的四條規(guī)則：例如，100011112加101101012

（1）0+0=0

（2）0+1=1

（3）1+1=0進位1

10110101

（4）1+1+1=1進位1

+10001111101000100

2.3.2二進制減法二進制減法的四條規(guī)則：

（1）0-0=0

（2）1-1=0

（3）1-0=1

（4）0-1=1

借位1

例如，110001002減001001012

1011110110

（借位以后的被減數(shù)）

11000100

—00100101

100111112.3.3二進制乘法二進制乘法規(guī)則：（1）0*0=0（2）0*1=0（3）1*0=0（4）1*1=1例如，11112乘110121111*1101*111100000000（進位）

11111111111100（進位）

100101111111111000（進位）110000112.3.4二進制除法除法是乘法的逆運算。因此，它是確定一個數(shù)可以從另一個數(shù)中減多少次的過程。例如，1000112被1012除。

000111

商

101100011

被除數(shù)

101

111

余數(shù)

101

101

余數(shù)

101

0

余數(shù)

2.4符號數(shù)的表示法2.4.1符號數(shù)的表示法：原碼、反碼、補碼（1）原碼

采用這種方法時，一個二進制數(shù)同時包含有符號（+或-）和數(shù)量。因此正值和負值表示如下：

+4510=0

01011012

符號數(shù)量

-4510=1

010110122.4符號數(shù)的表示法（2）反碼

用這種方法時，正數(shù)表示法與原碼的表示方法一樣。如

+410=0

00001002+12710=0

11111112

負數(shù)表示為正數(shù)的反碼。一個數(shù)的反碼是把所有0變成1，所有1變成0而形成的。如上所示，

-410=111110112-12710=1

00000002（2）反碼位組合格式無符號二進制數(shù)反碼000000000+0000000011+1000000102+2000000113+3******01111100124+12401111101125+12501111110126+12601111111127+12710000000128-12710000001129-12610000010130-12510000011131-124******11111100252-311111101253-211111110254-111111111255-0（3）補碼

用這種方法，正數(shù)與原碼以及反碼法一樣表示，即：它對+12710以下的所有正值使用同樣的位組合格式，而負數(shù)則表示為正數(shù)的補碼。

一個數(shù)的補碼是把這個數(shù)的反碼再加1形成的。例如，-4為+4（00000100）的補碼。

111110112+1

111111002注意：8位補碼數(shù)的范圍是從-12810到+12710；

0只有一種表示法。位組合格式無符號二進制數(shù)補碼反碼0000000000+0000000011+1+1000000102+2+2000000113+3+3********01111100124+124+12401111101125+125+12501111110126+126+12601111111127+127+12710000000128-128-12710000001129-127-12610000010130-126-12510000011131-125-124****11111100252-4-311111101253-3-211111110254-2-111111111255-1-02.4.2補碼的運算

補碼表示法的特征:同一個電路既可用于無符號數(shù)相加,也可用于有符號數(shù)相加。例如，無符號數(shù)132和14相加

100001002132 000011102+14 100100102146

看上面給出的例子，如果假定輸入是有符號的補碼數(shù)，則為：100001002-124

000011102+14

100100102-1101.帶符號數(shù)的運算（1）正數(shù)相加例如，+7加+3

00000111+7

+0

0000011+3

00001010+10

注意：能表示為補碼形式的最大8位正數(shù)是+127，如果超

過這個值便產(chǎn)生錯誤。例如，+65加+67

01000001

+01000011

10000100例如，+7加-3

00000111（+7）

+11111101+（-3）

100000100（+4）丟掉最后的進位

注意：如果忽略進位位，則和是正確的。請記住MPU相加

兩個數(shù)時，是把它們看作無符號的二進制數(shù)。例如，-9加+8

11110111（-9）

+

00001000+（+8）

11111111（-1）

注意：和是-1的補碼表示法（2）正數(shù)和負數(shù)相加例如，-3與-4相加

11111101（-3）

+11111100+（-4）

111111001（-7）

丟掉最后的進位

注意：能用8位表示的最大負數(shù)是-128。

例如，-120加-18

10001000（-120）

+11101110+（-18）

101110110-138

注意：和的符號位是0。

（3）負數(shù)相加（4）溢出的判斷

1.進位與溢出： 進位是指運算結果的最高位向更高位的進位，用來判斷無符號數(shù)運算結果是否超出了計算機所能表示的最大無符號數(shù)的范圍。 溢出是指帶符號數(shù)的補碼運算的溢出，用來判斷帶符號數(shù)補碼運算結果是否超出了補碼所能表示的范圍。

2.溢出的判斷：

若OF=1，結果溢出。若OF=0，則結果未溢出。CFDF例

設有兩個操作數(shù)x=01000100B，y=01001000B，將這兩個操作數(shù)送運算器做加法運算，試問：①若為無符號數(shù)，計算結果是否正確？②若為帶符號補碼數(shù)，計算結果是否溢出？解:

若為無符號數(shù)，由于CF=0，說明結果未超出8位無符號數(shù)所能表達的數(shù)值范圍(0

255)，計算結果10001100B為無符號數(shù)，其真值為140，計算結果正確。若為帶符號數(shù)補碼，由于(CF⊕DF)=1，結果溢出；這里也可通過參加運算的兩個數(shù)的符號及運算結果的符號進行判斷，由于兩操作數(shù)均為正數(shù)，而結果卻為負數(shù)，因而結果溢出；+68和+72兩數(shù)補碼之和應為+140的補碼，而8位帶符號數(shù)補碼所能表達的數(shù)值范圍為?128

+127，結果超出該范圍，因此結果是錯誤的。2.無符號二進制數(shù)減法運算例如，69減26 0100010169 -00011010-26 0010101143

01000101

+11100110

100101011

丟掉最后的進位

3.邏輯運算（1）“與”運算（AND）

“與”函數(shù)產(chǎn)生兩個或兩個以上邏輯變量的邏輯積。

A*B=C

即：如果所有輸入變量是邏輯1，則其“與”運算的邏輯積是邏輯1。如果輸入變量中任意一個是邏輯0，則邏輯積是0。全1為1，有0出0。3.邏輯運算（續(xù)）例：把10011101和11000110相“與”

1*1=1MSB0*1=00*0=01*0=01*0=01*1=10*1=01*0=0LSB可應用于：清零，判別、屏蔽高字節(jié)。輸入輸出ABC0000101001113.邏輯運算（續(xù)）（2）“或”運算（OR）

“或”函數(shù)產(chǎn)生兩個或兩個以上邏輯變量的邏輯和。即有1出1，全0為0。

A+B=C

A、B表示輸入變量，而C表示輸出或者“或”運算的邏輯和。不要把此“+”號和數(shù)學的“+”號弄混。3.邏輯運算（續(xù)）例：把10011101和11000101相“或”

1+1=1MSB

0+1=10+0=01+0=11+0=11+1=10+0=01+1=1LSB