2023年初升高數(shù)學暑假銜接-指數(shù)函數(shù)（教師版）

第2.5章根本初等函數(shù)

2.5.3指數(shù)函數(shù)

度］溪理要求了iw求心中有修

1了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景，體會引入有理指數(shù)幕的必要性：

2理解有理指數(shù)基的含義，了解實數(shù)指數(shù)事的意義，掌握塞的運算；

高中要求3理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖

象，探究并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特別點；

4在解決簡單實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.

LJJ基礎(chǔ)知識SSSfl,■立完.知識體系

1指數(shù)函數(shù)概念

一般地，函數(shù)丫=談（。>0且a#l）叫做指數(shù)函數(shù)，其中％是自變量，函數(shù)的定義域為R.

注

（1）指數(shù)函數(shù)3/=談9>0且。彳1）中系數(shù)為1,底數(shù)是不為1的正實數(shù)的常數(shù)，指數(shù)是變量％.注意與塞函

數(shù)的區(qū)別，如y=2,是指數(shù)函數(shù)，y=x3是幕函數(shù).

（2）指數(shù)函數(shù)中為什么要限制a>0且a片1呢？

①假設(shè)a<0,則對于x的某些值或無意義，如（-2尸，此時x取;、：…等沒意義；其函數(shù)圖象沒明顯特點；

②假設(shè)a=0或a=1時，函數(shù)沒研究價值.

2指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)y=a'（a>0且awl）叫做指數(shù)函數(shù)

a>10<a<1

1

圖象

|2.(0,1)

定義域R

值域(0,+8)

過定點圖象過定點(0,1),即當x=0時，y=l.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

a變化對圖

在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低.

象的影響

(例)畫出函數(shù)、=2'和丫=(小2)X的圖象，說下他們的函數(shù)性質(zhì).

解

y=2Z在R上遞增，非奇非偶函數(shù)，值域是(0,+8);

y=(1)\在R上遞減，非奇非偶函數(shù)，值域是(0,+8).

y=2/y=(/12\)x關(guān)于y軸對稱.

3指數(shù)型函數(shù)模型

形如y="aX(keR,且kXO；a>0,且a41)的函數(shù)稱為指數(shù)型函數(shù).

量［經(jīng)典例題從典例中見.能力

(題型1)指數(shù)函數(shù)的概念

(典題1)已知指數(shù)函數(shù)/(%)的圖象經(jīng)過點(-2，孤試求f(-l)和/⑶.

解析設(shè)f(x)=a"(Q>0,且a工1),

???函數(shù)/(X)的圖象經(jīng)過點(-2,/,??.a-2=)解得a=±4.

又a>0,則a=4,???/(x)=4X,

.?./(_1)=4-1=：,/(3)=43=64.

變式練習

1.以下函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是（填序號）.

x11

①y=2.C\/2）X；②y=2X-l；③y=（g）；④、=必：⑤y=3、；?y=X3.

答案③

解析①y=2?（衣尸的系數(shù)不是1,不是指數(shù)函數(shù)；

②y=2，T的指數(shù)不是自變量X,不是指數(shù)函數(shù)：

③y=（T是指數(shù)函數(shù)；

④y=爐的底數(shù)是X不是常數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)；

⑤y=3二的指數(shù)不是自變量X,不是指數(shù)函數(shù)；

1

⑥y=%3是幕函數(shù).

故答案：③

2.函數(shù)y=（a-2）2a，是指數(shù)函數(shù)，則（）

A.。=1或（1=3B.a=1C.a=3D.a>0且aK1

答案c

解析由指數(shù)函數(shù)定義知Q藍七;，所以解得a=3.應選C.

（題型2）指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

（典題1）1.如圖是指數(shù)函數(shù)①y=a*②丫="③丫=/=#的圖象，貝ija力,c,d與1的大小關(guān)系是

（）

A.c<d<l<a<bB.d<c<l<b<a

C.c<d<l<b<aD.l<c<d<a<b

答案B

解析?.當?shù)讛?shù)大于1時指數(shù)函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，

當?shù)讛?shù)大于0小于1時是定義域內(nèi)的減函數(shù)，可知a，b大于1,c,d大于0小于L

又由圖可知a】>/,即a>b.di<c\即d<c.

a,b,c,d與1的大小關(guān)系是d<c<l<b<a.

應選：B.

變式練習

解析f(x)是分段函數(shù)，依據(jù)》的正負寫出分段函數(shù)的解析式，

y-[謨。>°)

f(xx)

^-[-a\x<oy

??.x>0時，圖象與y=a'在第一象限的圖象一樣，

x<0時，圖象與y=a*的圖象關(guān)于x軸對稱，

應選：C.

2.二次函數(shù)y=-x2-4x(x>-2)與指數(shù)函數(shù)y=臺廠的交點個數(shù)有()

A.3個B.2個C.1個D.0個

答案C

解析因為二次函數(shù)y=-%2-4x=-(x+2尸+4(x>-2),

且#=一1時，y=-x2-4x=3,y=(1)x=2,

則在坐標系中畫出y=-x2-4x(x>—2)與y=&尸的圖象：

由圖可得，兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)是1個，應選C.

1x2-2x+6

3.函數(shù)f(x)=G)的單調(diào)遞增區(qū)間是.

答案(-8,1)

解析設(shè)”(久)=/-2x+6=(x-1)2+5,對稱軸為x=l,

則”(無)在(-8,1)單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增，

而/(X)=(；)"(")，

所以u(x)的單調(diào)性與/(%)的單調(diào)性相反,

即/'(乃在(-8,1)單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減,

故填：(-00,1)

4.方程|2X-1|=a有唯—實數(shù)解，則a的取值范圍是

答案a或a=0

解析作出y=|2'-l|的圖象，要使直線y=a與圖象的交點只有一個，a＞Inga=0.

2X-1

5.已知函數(shù)f(x)亍斤則此函數(shù)的值域為

答案(-14).

…,2,+1-22

解析,?"(X)=2旺］=1-沅?

222

又0V2。/.1<2X4-1,A0<^—<2,2—<0,A-1<1--^―<1,

2*+12*+12*+1

BP-l</(x)<l.

???此函數(shù)的值域為(-1,1).

(題型3)指數(shù)函數(shù)的應用

(典題1)設(shè)yi=4°9山=8°482=Q),貝1()

兒丫3>月〉y2B.y2>yi>y3C.yx>y2>y3D.yr>y3>y2

解析利用'幕的運算性質(zhì)可得，

/I\1.5

y\=40,9=218,yi=80,48=2144,y3=?=21,5,

再由y=2*是增函數(shù),知丫1＞為＞、2?

應選：D.

(典題2)已知集合％=口#<2，+1<4,》62},M=則MCN=.

解析??彳<2"+1<4,<2X+1<22,.?.-1<X+1<2=-2<X<1,

???集合N={x|-2<x<l,xez}={-1,0],

又?.?"={-1,1},AMClAf={-1}.

(典題3)如果函數(shù)y=a2x+2ax-i(a>o,且a力1)在區(qū)間[-1,1]上有最大值14,試求a的值.

解析設(shè)1=標，則t>0,原函數(shù)可化為y=(t+l)2-2,其圖象的對稱軸為t=-l.

(1)假設(shè)a>l,VXG[-1,1],tG[^,a],

則函數(shù)y=(t+I)2-2在區(qū)間R,a]上單調(diào)遞增，

二當t=a時，函數(shù)y取得最大值(a+1)2-2,

即(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍去).

⑴假設(shè)0<a<L1-?x&[-1,1],te[a,^],

則函數(shù)y=(t+I)2-2在區(qū)間，a]上單調(diào)遞增，

.?.當t=:時，函數(shù)y取得最大值G+1)2-2,

即(1+1)-2=14,解得a=：或a=-g(舍去).

綜上可知，a的值為3或1

變式練習

1.己知a=0.721,b=0.725.C=2.1°7,則這三個數(shù)的大小關(guān)系為()

A,b<a<cB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

答案A

解析依據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：函數(shù)y=0.7x的底數(shù)小于1,是減函數(shù)，

???2.1<2.5,???0.721>0.725,即a>b.

又c=2.107>2.1°=1,a=0.721<0.7°=1,

c<a,所以b<a<c,應選：A.

2.已知a=1.6°，3/=1.6°,8,c=0.7°,8,則()

A.c<a<bB.a<b<cC,b>c>aD,a>b>c

答案A

解析y=1.6,是增函數(shù)，故Q=1.603Vb=1.608,

而1.6°，>1>c=0.7°3故cVQ<b,應選：A.

3.已知/(乃=2"-?)假設(shè)f(m)+/(n)>0,貝ij()

A.m4-n>0B.m4-n<0C.m-n>0D.m-n<0

答案A

解析由/'(x)=2*-(；),xeR；

所以/(-%)=2-J?=(I)-2X=-/(x),

所以/(x)是定義域R上的奇函數(shù)，且是增函數(shù)；

X/(m)+f(n)>0,所以f(m)>-f(n)=f(-n),

所以m>-n,所以m+n>0.

應選：A.

4.假設(shè)2y”2-y_5y,則有()

A.x+y>0B,%+y<0C,x-y<0D,x-y>0

答案B

解析構(gòu)造函數(shù)〃x)=2X-5T,易得函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

由2工-57=2--5丫,可得/(x)Wf(-y)

x<-y=>x+y<0,

應選：B.

5.函數(shù)y=Jl-(3、的定義域是.

答案［0,+00)

解析由1-&%0得，(|)"<1,解得：x>0,

故函數(shù)y=-(}”的定義域是［0,+0°).

6.函數(shù)7=。*-2(。>0且。。1,-14無W1)的值域是［-1,1］,則實數(shù)Q=.

答案3%

解析當Q>1時，函數(shù)丫=。*-2（。>0且。云1,-是增函數(shù),

值域是[a—-2,a-2],

當0<a<l時，函數(shù)y=標-2(a>0且a41,-14xWl)是減函數(shù),

--2=1i

值域是[a-2,aT-2],a5=a=q.

h-2=-3

綜上所述，可得實數(shù)a=3或

1

+

--

7.已知函數(shù)f(x)12

2X

(1)求f(x)的定義域；(2)商量f(x)的奇偶性.

答案⑴(-8,0)U(0,+8)(2)C

解析⑴由2X-1￥0,得2XH1,即XHO,

因此函數(shù)/(x)的定義域為(-8,0)u(0,+8).

(2)由(1)知，函數(shù)-x)的定義域為(-8,0)u(0,+8),關(guān)于坐標原點對稱，

I112x12X-1+1111(11\

又/(一乃=廣1+2=匚^+2=不歹+2=_1_0+2=_仁1+句=_/(乃，

所以f(x)為奇函數(shù).

輕松訓練通過酷習，RSttt)

1.函數(shù)y=|2*-i|的大致圖象是()

解析y-m瑟:,

當x<0時，y=1—2,的圖象是將y=2、圖象先沿》軸對稱下來，再沿y軸向上平移1個單位，此時x<0時的

圖象在x軸上方，且為增函數(shù)，漸近線為y=l,

只有C項滿足題意.應選C.

2.如圖是指數(shù)函數(shù)①y=a',②>二〃，③y:/,@y=d，的圖象，則a,b,c,d與1的大小關(guān)系是()

A.a<b<1<c<dB.b<a<l<d<c

C.1<a<b<c<dD.a<b<l<d<c

答案B

解析設(shè)x=l與①②③④的圖象分別交于點4B,C,D,如圖，則其坐標依次為(1,a),(1力)，(l,c),(l,d),

由圖象觀察可得c>d>l>a>b.應選B.

3.如果a>l力<-1,那么函數(shù)/。)=砂+6的圖象在()

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第二、三、四象限D(zhuǎn).第一、二、四象限

答案B

解析?.1?>1,

.??丫=/的圖象過第—、第二象限，且是單調(diào)增函數(shù)，經(jīng)過(0,1),

/(x)=ax+b的圖象可看成把y=/的圖象向下平移一b(—b>1)個單位得到的，

故函數(shù)f(x)=ax+。的圖象，

經(jīng)過第一、第三、第四象限，不經(jīng)過第二象限，

應選：B.

4.函數(shù)y=eT%e是自然底數(shù))的大致圖象是()

111

5.已知a=4$,b=2*c=5\則a、b、c的大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

答案A

111

解析a=4妥=2,b=2^<2,c=5^>2,貝！|c>a>b,應選：A.

6.函數(shù)c<b<a,且/(c)>/(a)>f(b),則2。+2c與2的大小關(guān)系是()

A.2a+2c>2B.2a+2c>2C.2a+2c<2D.2a+2c<2

答案D

解析f3>=12,-1|

作出f(x)=|2X—1］的圖象如下圖，

由圖可知，要使c<b<a且/(c)>/(a)>f(b)成立，則有c<0且a>0,

故必有2c<1且2a>1,

又/(c)-f(a)>0,即為1-2'-(2。-1)>0,.-.2a+2c<2.

7.假設(shè)指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(2,9),則/(x)的解析式為.

答案f(x)=3"

解析設(shè)/'(x)=ax(a>0,且a*1),

因為函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(2,9),代入可得。2=9,解得a=3或a=-3(舍去).

故f(x)=3\

8.不等式3/+ax>32x+a-2恒成立，則a的取值范圍是.

答案(-2,2)

解析不等式3，+6>32'+”2恒成立，即x2+ax>2x+a-2,

亦即x2+(a-2)x-a+2>0恒成立,

則△=((!-2)2-4(-a+2)<0,解得-2<a<2,

故a的取值范圍是(-2,2).

12

9.函數(shù)y=ax-1+1圖象過定點4,點A在直線ni%+ny=3(m>l,n>0)上，則右y+q最小值為

一―9

答案2

解析由'=。*-1+1,令％-1=0,求得x=l,y=2,可得它的圖象過定點4(1,2),

v點4在直線+ny=3(m>l,n>0)上，:.m4-2n=3,即?n-14-2n=2.

.12/12\fm-1\5nm-15l-nm-19

則rl—+5=島+?.(丁+q=5+—+k>2+2j—?k=5?

當且僅當五即m=I，幾=:時等號成立.

10.已知函數(shù)/(%)=b^ax(a>0,aH1)的圖象經(jīng)過點4(1,2),8(3,8).

(1)求a力的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+/(-x)--(x<-2),求函數(shù)g(x)的值域.

答案(l)a=2,b