醫(yī)用物理學(xué)（第2版）習(xí)題解答

第一章物體的彈性習(xí)題1解答

1.動(dòng)物骨骼有些是空心的，從力學(xué)角度看它有什么意義？

答：骨骼中軸線(xiàn)處切應(yīng)力為零，正應(yīng)力也為零，因此骨骼中空既節(jié)省材料又可以減輕重

量，同時(shí)不影響骨骼的抗彎曲、抗扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度。

2.低碳鋼是常用材料，其正應(yīng)力與線(xiàn)應(yīng)變的關(guān)系具有代表性。（1）簡(jiǎn)單說(shuō)明其四個(gè)階段，

以及C和F點(diǎn)的意義；（2）說(shuō)明胡克定律的適用范圍；（3）若F點(diǎn)距B點(diǎn)較遠(yuǎn)，說(shuō)明材料

具有什么性質(zhì)。

答：（1）彈性階段0B：去掉外力后物體能完全恢復(fù)原狀；

屈服階段CD：正應(yīng)力變化很小而應(yīng)變很大，低碳鋼容易拉伸；

硬化階段DE：繼續(xù)增加正應(yīng)力但物體的形變很小，低碳鋼難以拉伸；

頸縮階段EF：不再加大負(fù)荷，低碳鋼也會(huì)發(fā)生較大的形變直至斷裂。

⑵正比階段0A,即低碳鋼應(yīng)力與應(yīng)變保持線(xiàn)性函數(shù)關(guān)系時(shí)胡克定律適用。

（3）說(shuō)明材料能在較大范圍內(nèi)產(chǎn)生范性形變，即材料延展性好。

3.松弛的二頭肌，伸長(zhǎng)5cm時(shí)，所需的力為25N,而這條肌肉處于緊張狀態(tài)時(shí)，產(chǎn)生同

樣伸長(zhǎng)則需500N的力。如果把二頭肌看作是一條長(zhǎng)為0.2m、橫截面積為50cm'的圓柱

體，求其在上述兩種情況下的楊氏模量。

解：楊氏模量丫=-=fS-

t∣U∕L0Jil

已知1

Le=O85=SOcm=5X1（Γ*?M=5cm=5X10-?∣,

（1）松弛狀態(tài)時(shí)，代入F=25N,得Y=2xlO'N?m7;

（2）緊張狀態(tài)時(shí)，代入F=500N,得Y=4xl0SN?m-L

4.彈跳蛋白存在于跳蚤的彈跳機(jī)構(gòu)和昆蟲(chóng)的飛翔機(jī)構(gòu)中，其楊氏模量接近于橡皮。今有一

截面積為30Cm2的彈跳蛋白，在270N力的拉伸下，長(zhǎng)度變?yōu)樵L(zhǎng)的1.5倍，求其張應(yīng)

變和楊氏模量。

解：楊氏模量Y=?；="?!=N

*ΔL∕X?0SSL

已知a

S=30cm=3×10-*mV=TTQKtAL=L5?-Lt=0,SLo,

代入得楊氏模量Y=I.8x105.v?m-L

張應(yīng)變?chǔ)?華―=0.5。

5.某人的一條腿骨長(zhǎng)為0.6m,平均橫截面積為3cm工站立時(shí)，兩腿支撐著80ON的體重,

問(wèn)此人每條腿骨要縮短多少？（取骨的楊氏模量為I（JnlN?m-D

解：楊氏模量Y=J=??=吐3

?ΔL∕L0SSL

因此人每條腿骨縮短量AL=?=一二三=8x10-a≡

6.登山運(yùn)動(dòng)員所用的尼龍繩的楊氏模量為4.1xfOltN?rnY,如果繩原長(zhǎng)為50m,直徑為

9mm,問(wèn)當(dāng)爬山者體重為多少千克時(shí)，繩會(huì)伸長(zhǎng)1.5m。

解：楊氏模量Y=:=最=能=2￡

因此m二Ξ∑±2,

川。

代入

βes

Y=4?lX10Jf?Ir?r=d∕2=4?S×10?g=9Jm?*τ>Iw=50m>ΔL=LSllb可

得爬山者體重m=SOkgo

7.把橫截面積為10TmZ長(zhǎng)為1500Om的銅絲拉長(zhǎng)到15005m,銅的楊氏模量為

1.2×IO11Nm-%在銅絲上應(yīng)加的張力為多少？

解：楊氏模量丫=-=-??-~a*

IL0SX

因此F=*,

411a

代入S=4x10-?Uβ≡L5xIOHUI=5m,r=12×IO*-h,

可得銅絲上應(yīng)加的張力為F=1600‰

8.在邊長(zhǎng)為0.02m的正方體的兩個(gè)相對(duì)面上，各施加大小相等、方向相反的切向力

9.8X10:N,求施加力后兩面的相對(duì)位移。若施力時(shí)間為5s,對(duì)應(yīng)的應(yīng)變率為多少？（設(shè)

該物體的切變模量為4.9xrθ-N?m-2)

CTF/5Fd

解：切變模量G=，=嬴五=G

代入P=93xIoajLd=0.02m,G=4.9×IO7AF-m-aJ=da=4x

可得施加力后兩面的相對(duì)位移?x==O,OOlmo

CS

切變率為曳=m=上空L=o.01J^1o

dedr32mxSff

9.低碳鋼螺栓的受力部分長(zhǎng)120mm,擰緊后伸長(zhǎng)0.04mm,求線(xiàn)應(yīng)變和正應(yīng)力。(低碳鋼

楊氏模量為1.96X1011N?m-：)

解：線(xiàn)應(yīng)變E===￥"=3.33x107，

qx^β?fwι

正應(yīng)力■=Y?U=1.96X10ltir?∣B-j×333×10-*=6.53×IO7X?-a?

10.實(shí)心圓軸的直徑d=IOcm,長(zhǎng)【=2m，兩端所加的扭矩M=104N,?加。設(shè)材料的切變

模量G=8x10'°N?m,求扭轉(zhuǎn)角及最大切應(yīng)力。

解：(1).已知實(shí)心圓扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)WP=?rd3/1€,

最大切應(yīng)力j='=學(xué)=Wt7*弋=Sdx10τjr?≡rao

rwr,Y*,ιτn?iMiΓ

(2).切應(yīng)力C=G

因此扭轉(zhuǎn)角.=4=(M)ZSSrad

11.一橫截面積為1.5加2的圓柱形骨樣品，在其上端加上一質(zhì)量為IOkg的重物，其長(zhǎng)度縮

小了0.0065%,求骨樣品的楊氏模量。

解:線(xiàn)應(yīng)變￡,=曰=6.5X10-s,

正應(yīng)力「="登?=65XWZ,

楊氏模量Y=卜=1-0XI。%???

12.什么是彈性形變和范性形變？

答：去掉外力后物體能完全恢復(fù)原狀的形變是彈性形變；去掉外力后，形變有殘留，物

體不能完全恢復(fù)原狀的形變稱(chēng)為范性形變。

13.什么是彈性模量？其物理意義何在？按物體形變不同，彈性模量可分為幾類(lèi)？

答：在彈性形變范圍內(nèi)，物體應(yīng)力與應(yīng)變的比值稱(chēng)為彈性模量。

彈性模量反映材料抵抗形變的能力，彈性模量越大，材料越不容易發(fā)生形變。

彈性模量可分為楊氏模量、體變模量、切變模量。

14.圖示為成人潤(rùn)濕四肢骨的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，其中最難以發(fā)生形變的是？請(qǐng)簡(jiǎn)述原因。

答：梯骨最難以形變，因?yàn)檫^(guò)了正比階段之后，在正應(yīng)力-線(xiàn)應(yīng)變關(guān)系圖中槎骨的斜率

最大，代表正應(yīng)力變化很大而線(xiàn)應(yīng)變變化較小，類(lèi)似低碳鋼的硬化階段，因此最難以形

變。

15.圖示為主動(dòng)脈彈性組織的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，試分析其各個(gè)階段代表的意義。

［應(yīng)力

1.0

0.5

O0.51.0

應(yīng)變

答：OA段幾乎與橫軸平行，表明正應(yīng)力很小而應(yīng)變很大，類(lèi)似于低碳鋼的屈服階

段，容易拉伸；

AB段繼續(xù)增大應(yīng)力，但物體的形變卻非常小，類(lèi)似于低碳鋼的硬化階段，因此難以

拉伸。

習(xí)題2解答第二章流體的運(yùn)動(dòng)

1.試說(shuō)明家用噴霧器的工作原理。

答：根據(jù)連續(xù)性方程和伯努利方程，水平流管中管徑細(xì)的地方流速增大，動(dòng)壓增

大，靜壓減小。當(dāng)水平管中活塞運(yùn)動(dòng)時(shí)，管中產(chǎn)生氣流，在截面縮小處，流速大,

壓強(qiáng)比大氣壓低。儲(chǔ)液器中液面上的大氣壓將液體壓上并混入氣流,被吹散成霧,

由噴嘴噴出。

2.為什么兩只船平行靠近向前行駛時(shí)很容易發(fā)生碰撞？

答：以船為參考系，河道中的水可看作是穩(wěn)定流動(dòng)，兩船之間的水所處的流管在

兩船之間的截面積減小，則流速增加，從而壓強(qiáng)減小，因此兩船之間水的壓強(qiáng)小

于兩船外側(cè)水的壓強(qiáng)，就使得兩船容易相互靠攏碰撞。

3.為什么自來(lái)水沿一豎直管道向下流時(shí)形成一連續(xù)不斷的水流，而當(dāng)水從高處

的水龍頭自由下落時(shí)，則斷裂成水滴？

答：當(dāng)水從高處的水龍頭自由下落時(shí)，下落速度越來(lái)越快，根據(jù)伯努利方程，水

流內(nèi)部的壓強(qiáng)越來(lái)越小，在大氣壓的作用下，水流被壓斷成水滴。而當(dāng)水沿一豎

直自來(lái)水管向下流時(shí)，由于管道壁使水與大氣壓隔絕，管道壁各處對(duì)水的壓強(qiáng)與

水流內(nèi)部各處的壓強(qiáng)對(duì)應(yīng)相等，故形成連續(xù)不斷的水流。

4.有人認(rèn)為從連續(xù)性方程來(lái)看，管子愈粗流速愈小，而從泊肅葉定律來(lái)看，管

子愈粗流速愈大，兩者似有矛盾，你認(rèn)為這樣嗎，為什么？

答：二者成立的條件不同。

連續(xù)性方程適用于不可壓縮的流體在同一條流管中作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)的情況，滿(mǎn)足這

一條件，則有：Q=SU=常量。

泊肅葉定律可寫(xiě)成：Q=述竺=以￡,則V=?絲（V是水平管某一截面的

8ηLSπηL8πηL

平均速度），要滿(mǎn)足UOCS,其條件為AP、L為恒量，且為黏性流體在水平管中作

層流。

5.在水管的某一點(diǎn)，水的流速為2m?y,高出大氣壓的計(jì)示壓強(qiáng)為IO,pa,設(shè)水

管在另一點(diǎn)的高度比該點(diǎn)降低了1m,如果在另一點(diǎn)處水管的橫截面積是該點(diǎn)的

1/2,求另一點(diǎn)的計(jì)示壓強(qiáng)（不考慮水的黏性和可壓縮性）。

答：選取水管第二點(diǎn)的位置高度位0,則：為=。，5=；，；設(shè)第二點(diǎn)的計(jì)示壓

強(qiáng)位A,大氣壓位Po,則第二點(diǎn)壓強(qiáng)為2=4+2；

4

第一點(diǎn):V,=2.0mls,h2=lm,P1=P0+IO(Pa)；

j

由連續(xù)性方程SIW=S2嗎，可得：V2=--V1=4nVs

2

由伯努利方程7]+∣pvl+pg∕21=P2pv2-+pgh2,可得

422

鳥(niǎo)=片+gP(K2-匕、+2g%，即K+R=4+1。+gP(V1-V2)+pglti

4

代入數(shù)據(jù)，求得：Pv=1.38XIOPa=13.8kPa

6.水在截面不同的水平管中作穩(wěn)定流動(dòng)，出口處的截面積為管最細(xì)處的3倍，

若出口處的流速為2m?sL問(wèn)最細(xì)處的壓強(qiáng)為多少？若在此最細(xì)處開(kāi)一小孔，

水會(huì)不會(huì)流出來(lái)？

r

答:水出口處有:S2=3S1,V2=2πVsyP2=?.01×10'Pa9

由連續(xù)性方程Slvl=S2V2,求得匕=色彩=6Ws

Sl

224

由伯努利方程[+gp√=鳥(niǎo)+gθ√得：^=Λ+∣P(V2-V1)=8.5×10Pa

若在此處開(kāi)一小孔，水不會(huì)流出來(lái)。

7.一直立圓柱形容器，高為0.2m,直徑為0.1m,頂部開(kāi)啟，底部有一面積為

10-4πι2的小孔，水以1.4x10,∏13?s"的流量由水管自上面流入容器中。問(wèn)容器內(nèi)

水面可上升的高度為多少？若達(dá)到該高度時(shí)不再放水，求容器內(nèi)的水流盡所需

要的時(shí)間。

答：(1)設(shè)容器內(nèi)水面可上升的最大高度為H,此時(shí)放入容器的水流量和從小孔

流出的水流量相等，Q=S2V2=1.4X10-4rnλs-'o

因?yàn)榧?S2,由連續(xù)性方程可將容器中水面處流速Vi近似為零。

運(yùn)用伯努利方程有=PgH

則小孔處水流速彩=歷7

再由Q=S2V2=S2^得"="(當(dāng)2

代入數(shù)據(jù)得”=—!—(比字)2=0?l(m)

2×9.8K)T

(2)設(shè)容器內(nèi)水流盡需要的時(shí)間為T(mén),在r時(shí)刻容器內(nèi)水的高度為自小孔處流

速為為=√^，液面下降d/7高度水從小孔流出需要的時(shí)間也為

dr_S,-d/2_Si-dh

^2v2S?J2g〃

則T=JTdTHj"陛=如駕空、眄=lL2(s)

jn

J。S2√?ΛS2ygIO",9.8

答：容器內(nèi)水面可上升的最大高度為0?lm,容器內(nèi)的水流盡所需的時(shí)間為11.2so

8.一種測(cè)流速的裝置如圖所示。設(shè)U形管內(nèi)裝有密度為的液體，在水平管中有

密度為的液體作穩(wěn)定流動(dòng)。已知水平管中粗、細(xì)兩處的橫截面積分別為SA和SB,

測(cè)得U形管兩液面的高度差為心求液體在管子較粗處的流速以

答:設(shè)管子較粗處流速為小較細(xì)處流速為VB,則由連續(xù)性方程可得：SAUA=SBUB

由伯努利方程，得：“PVA*=旦+；夕靖

由題意,得“-穌=(“-P)g/l

聯(lián)立三個(gè)方程，可得y=SBJ2("一夕)g”,(S;-%)

9.用如圖2.11所示的流速計(jì)插入流水中測(cè)水流速度,設(shè)兩管中的水柱高度分別為5x10-3

m和5.4×10-2m,求水流速度。

解：由皮托管原理gpy2=pgA∕z

V=,2gA2=V2×9.8×4.9×10^2=0.98(m?s^')

答：水流速度為O?98ms∣

10.一條半徑為3mm的小動(dòng)脈被一硬斑部分阻塞,此狹窄段的有效半徑為2mm,

血流的平均速度為50Cm-s-1,設(shè)血液黏度為3.0×10?3Pas,密度為L(zhǎng)05xl(PkgmJ。

(1)求未變窄處的血流平均速度。

(2)試問(wèn)會(huì)不會(huì)發(fā)生湍流？

(3)求狹窄處的血流的動(dòng)壓強(qiáng)。

解：(1)由連續(xù)性方程Sivl=S2v2,得

22

πX0.003×vl-π×0.002×0.5

vl=0.22(m?s')

“、CPvr1.05×103×0.5×2×10^3.“八M-T-人心人皿、A

(2)R=E一=---------------------=350<1000故不會(huì)發(fā)生湍流。

'eη3.0x10-3ξ

232

(3)Piji=|PV=0.5×1.05×10×0.5=131.2(Pa)

答：未變窄處血流平均速度為0?22m?sL該血管中不會(huì)發(fā)生湍流，狹窄處血流動(dòng)

壓強(qiáng)為131.2Pa0

11.20C的水在半徑為IXlO-2n1的水平均勻圓管內(nèi)流動(dòng)，如果在管軸處的流速

為0.1m?s-ι,則由于黏滯性，水沿管子流動(dòng)Iom后，壓強(qiáng)降落了多少？(η水

=1.0×10-3Pa?s)

解：流體在水平細(xì)圓管中穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，流速隨半徑的變化關(guān)系為

V=—(/?2-r2),因此管軸處(r=0)流速為V=空

4ηL4ηL

心々化ΔηLv4×1.0×10^3×10×0.1“八小、

故壓強(qiáng)降落ΔP=?e-=------八S,,--------=40(Pa)

R-(l×10)

答：壓強(qiáng)降落了40Pa。

12.設(shè)某人的心輸出量為0.83x10"m3?s-ι,體循環(huán)的總壓強(qiáng)差為12.0kPa,試求此

人體循環(huán)的總流阻(即總外周阻力)。

解：/?=—=12,°xl°3≈1.45×10s(Pa?S∕m3)

Q0.83x10-4

答：此人體循環(huán)的總流阻為1.45x108pa.s.m3

13.一個(gè)紅細(xì)胞可以被近似地看作是一個(gè)半徑為2.0XIO6m的小球,它的密度是

1.09×103kg?m?試計(jì)算它重力作用下在血液中沉淀1Cm所需的時(shí)間。假設(shè)血液

溫度為37℃,血漿的黏度為1.2xl0-3pa?s,密度為1.04xKPkgmJ。如果利用一

臺(tái)加速度(dr)為i(15g的超速離心機(jī)，問(wèn)沉淀同樣距離所需的時(shí)間又是多少？

解：收尾速度

29

V=^/?2(p-p')^=-xl.2xl0-3x(2.0xl0-6)2x(1.09xl03-1.04xl03)x9.8

19η9

=0.36×10^6(m?s^1)

q1×1∩-2

4

沉淀ICm所需時(shí)間為ti=~==2.8×10(S)

V10.36X10

在離心機(jī)的加速作用下：

2?

v=-R2(p-p^=-----=——-×(2.0×10-6)2×(1.09×103-1.04×103)×9.8×105

29ηg9×1.2×10^

=0.36×10^l(m?s^,)

沉淀所需時(shí)間為

ICmZ2=—=cl”CT=θ?28(s)

v20.36×10

答：紅細(xì)胞在重力作用下沉淀ICm所需的時(shí)間位2.8χl()4s,在離心機(jī)的加速作

用下沉淀1cm所需的時(shí)間位0.28So

14.為維持血液循環(huán)，心臟需不停地做功，以克服血液流動(dòng)時(shí)的內(nèi)摩擦力等。已

知主動(dòng)脈中的平均血壓為IOOmmHg,平均血液速度為0.4m?L,若心臟每分鐘

輸出的血量為5000mL,血液循環(huán)到右心房時(shí)的流速和血壓近似為零，求心臟

每分鐘所做的功。

解：P=IOOmmHg=IOoXl33.28Pa=13.328kPa

每單位體積血液的能量改變?yōu)?/p>

233243

<y=z7+lpv=13.328kPα+^×1.04×10kg?m×(0.4m?s')≈1.34×10J/m

心臟每分鐘做功為

W=ωV=?,2A×104J∕m3×5000×10-6m3=67J

答：心臟每分鐘做功為67J。

思考題：

L試用伯努利方程討論血細(xì)胞為什么會(huì)發(fā)生軸向集中現(xiàn)象？

答：由于血液在血管中流動(dòng)時(shí)，靠血管中心流速最大，越靠外層流速越小，由伯

努利方程知道流速與壓強(qiáng)的關(guān)系為反比，這樣就在血細(xì)胞上產(chǎn)生一個(gè)指向血管中

心的力，從而產(chǎn)生血細(xì)胞軸向集中，此即馬格納斯(MagnUS)效應(yīng)。

2.毛細(xì)血管中血液流速較慢，可以用層流來(lái)描述嗎？

答：血液是一種非均勻液體，含有大量紅細(xì)胞。紅細(xì)胞的形狀呈圓餅狀，直徑約

為7μm,而毛細(xì)血管平均直徑約為6~8μm,實(shí)際上紅細(xì)胞是一個(gè)一個(gè)擠過(guò)去的。

因此血液在毛細(xì)血管中的流動(dòng)可視為非連續(xù)介質(zhì)流體，不能用層流描述。

3.試解釋血壓為何在小動(dòng)脈段降落最快。

答：?P=QRi

在體循環(huán)系統(tǒng)中，各段血管的血液總流量相同，而流阻卻又不同。

流阻Rf=嗎由小L、/?所決定。

小動(dòng)脈較于大動(dòng)脈管徑變化較大而分支管數(shù)又較多，因此小動(dòng)脈流阻比大動(dòng)脈流

阻大很多。

毛細(xì)血管由于分支極多，并聯(lián)總流阻較小，又因?yàn)榉?林效應(yīng)，血液在細(xì)管中流

動(dòng)時(shí)粘滯系數(shù)顯著減小，使毛細(xì)管段的流阻也小于小動(dòng)脈段。因此小動(dòng)脈段的流

阻最大；止匕外，小動(dòng)脈段長(zhǎng)度L較短，血壓在此段降落最快。

4.如圖，一很大的開(kāi)口容器，器壁上有一小孔，當(dāng)容器內(nèi)注入液體后，液體從小

孔處流出。設(shè)小孔距液面的高度時(shí)h,求液體從小孔流

出的速度。

解：任意選取一流線(xiàn)，A點(diǎn)為流線(xiàn)上通過(guò)液面的一點(diǎn)，

B點(diǎn)為該流線(xiàn)通過(guò)小孔上的一點(diǎn)。由于容器比小孔的橫

截面要大得多SA>>SB,根據(jù)連續(xù)性方程，液面處的液流

速度較小孔處要小得多，VA^O,且令小孔處的高度為

ZlB=O,

根據(jù)伯努利方程R+Pg限+；夕H=&+PghB+∣pVβ

所以凡+國(guó)〃=4+goW

VB=T?Λ

可見(jiàn),液體從液面下〃處的小孔流出的速度與物體從/7高處自由下落的速度相同,

這一結(jié)果又被稱(chēng)為托里拆利定理。

方立銘施燦

習(xí)題3解答

1.從運(yùn)動(dòng)學(xué)看什么是簡(jiǎn)諧振動(dòng)？從動(dòng)力學(xué)看什么是簡(jiǎn)諧振動(dòng)？說(shuō)明下列振動(dòng)是

否為簡(jiǎn)諧振動(dòng)：（1）拍皮球時(shí)球的上下運(yùn)動(dòng)；（2）一小球在半徑很大的光滑凹

球面底部的小幅度擺動(dòng)。

解：從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度看，符合特征方程所描述的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；從動(dòng)力學(xué)角度

看，在回復(fù)力E=TlX作用下所作的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

（1）不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，因?yàn)榍蚴艿降氖侵芷谛圆邉?dòng)力，而不是回復(fù)力。

（2）是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，因?yàn)槟軐?xiě)出特征方程，證明如下（如題圖1）：

設(shè)小球質(zhì)量為m,大碗半徑為R。當(dāng)小球擺到。角處時(shí)，重力的切向分量使小球

沿碗底運(yùn)動(dòng)：Gr=-mgSine

負(fù)號(hào)表示Gr總是指向平衡位置，因。很小，有Sineae

所以有一--mg—

根據(jù)牛頓第二定律，有噓=T*

代入上式，移相并整理，得駕+區(qū)/=0

d2tR

若令O=心則有"+1∕=o

2

?R9dt

這就是諧振特征式，說(shuō)明小球作諧振。

2.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度與加速度的表達(dá)式中都有個(gè)負(fù)號(hào)，這是否意味著速度和加速度總

是負(fù)值？是否意味著兩者總是同方向？

解：簡(jiǎn)諧振動(dòng)速度與加速度表達(dá)式中的負(fù)號(hào)，并不意味著速度和加速度總是負(fù)值,

也不意味著二者方向總是相同。前者因?yàn)?，正余弦函?shù)在±1范圍內(nèi)變化，會(huì)周期

性消去表達(dá)式中的負(fù)號(hào)。后者因?yàn)椋咭粋€(gè)是正弦形式，一個(gè)是余弦形式，沒(méi)

有共同的比較基礎(chǔ)；若想比較，應(yīng)都化成正弦或者余弦形式，比如都化成余弦形

式：

j

V--Aωs?n{ωt+φ?ι)=46ycos[3+%)+∣?]

22

a=-AωCOS(<υf+仰)=Aωcos[(<υr+^0)+^l

由此可以比較出來(lái),振動(dòng)速度的相位比振動(dòng)加速度的滯嗚，即二者方向恒相反。

3.一物體做諧振，振動(dòng)的頻率越高，則物體的運(yùn)動(dòng)速度越大，這種說(shuō)法對(duì)嗎？

解：不對(duì)，根據(jù)振動(dòng)速度表達(dá)式：v=-A<υsin（<yf+0o）可以看出來(lái)，速度的大小還

與振幅有關(guān)。如果加上“振幅不變”的前提，上述說(shuō)法就對(duì)了。

4.當(dāng)一個(gè)彈簧振子的振幅增大到原來(lái)的兩倍時(shí)，它的下列物理量將受到什么影響：振動(dòng)周期,

最大速度，最大加速度和振動(dòng)能量。

解：由0=、區(qū)可知，彈簧振子的振動(dòng)周期不變；

Vm

由%ax=A?？芍?，最大速度增倍；

由《“ax=可知，最大加速度增倍；

由E=JL42可知，振動(dòng)能量增為原來(lái)的4倍。

2

5.一彈簧振子，振幅為A,沿X軸運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t=0時(shí)，振子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分別如下，求其初相

位：

(1)X=A

(2)過(guò)平衡位置，且向X軸正向運(yùn)動(dòng)；

(3)過(guò)X=A/2,且向X軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)；

(4)過(guò)X=A/、反，且向X軸正向運(yùn)動(dòng)。

解法一：代數(shù)法。設(shè)彈簧振子的諧振表達(dá)式為X=ACOS(胡+/)

振動(dòng)速度表達(dá)式為v=-A<ysin(0>r+^0)

(1)將f=0,X=-A代人諧振表達(dá)式,得COSeO=-1

(2)將f=0,X=O代人諧振表達(dá)式,得ACoSGO=O

TT3

8o=5或5萬(wàn)即一、三象限，又YV=-AwinQo>0

371

sin%<0即為e三、四象限，；.網(wǎng)=］萬(wàn)(舍去,)

ΔA

(3)把f=0,X=近代入諧振表達(dá)式，得ACoSeO=5

JrS_

，夕()=§或］萬(wàn)即一、四象限，Xvv=-Aωsin<0

，sin%>0即夕。e一、二象限，；.eO=?（舍去W）

AA

(4)把f=0,X代入諧振表達(dá)式，得ACOSQo

√2√2

Wo=生或1萬(wàn)即一、四象限，Xvv=-A<υsin>0

44

.?.si∏eo<0即0°∈三、四象限，.?.eo=與（舍去?）

解法二：幾何法。利用旋轉(zhuǎn)矢量法求解，如圖所示

6.一彈簧振子，重物的質(zhì)量為m,彈簧的勁度系數(shù)為k,該振子作振幅為A的簡(jiǎn)諧振動(dòng).當(dāng)

重物通過(guò)平衡位置且向規(guī)定的正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，開(kāi)始計(jì)時(shí).則其諧振表達(dá)式為多少？

解：如圖，由題意所描述的振子狀態(tài)，利用旋轉(zhuǎn)矢量法可以容易地找出初相，

又依題意知。=J代入諧振表式，得

Vm

X=AcosC—t+—)或

Vm2

注意：相位（包括初相）的表述是不唯一的，只要符合（φ+2kπ）的形式都正

確，但通常以表述最簡(jiǎn)便為原則。

7.一質(zhì)點(diǎn)沿X軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，諧振表達(dá)式為Λ=4×10^2cos(2πf+π∕3)(SI).

從t=0時(shí)刻起，到質(zhì)點(diǎn)位置在X=-2Cm處，旦向X軸正方向運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間間

隔為多少？

解：此題利用旋轉(zhuǎn)矢量法最為便捷。依題意畫(huà)出旋轉(zhuǎn)矢量圖，矢量從初始時(shí)刻沿

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)?shù)谝淮蔚揭?guī)定點(diǎn)時(shí)，跨越角度為萬(wàn)，由α=不，解得r=0?5s.

8.一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為T(mén).當(dāng)它由平衡位置向X軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，從二分之一最大

位移處到最大位移處這段路程所需要的時(shí)間為多少？

解：此題利用旋轉(zhuǎn)矢量法最為便捷。依題意畫(huà)出旋轉(zhuǎn)矢量圖，矢量從1/2最大位

解：(由題圖知：時(shí)，

1)9(a)?.”=0XO=O,%>0，.?.0o=3τr∕2，

3

又A=IOCm,T=2s,即：ω=2π∕T=π(rad/s)?故xa=0.lcos(τ^+^ττ)m

ASTF

⑵由題9圖(b),:/=0時(shí)，x=-,v>O,.?φ=-

o2oo3.

又ψ?=ω×?-?--π=-π，Λω--π故=0.1CC)SeR+

32663

10.一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，速度最大值Um=5cm∕s,振幅4=2cm.若令速度具有正最大值的

那一時(shí)刻為t=0,則簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式為多少？

解：此題重點(diǎn)在于尋找諧振三要素：振幅、圓頻率和初相。設(shè)所求為：

-1

X=Acos(ωt+φa)vm=Aω=><u=2.55

“速度具有正最大值時(shí)”意味著質(zhì)點(diǎn)正處于平衡位置且向X軸正向運(yùn)動(dòng)，由旋轉(zhuǎn)

3萬(wàn)

矢量圖(題10圖)易知仰=三將“三要素”代入諧振表達(dá)式即可。

2.

x=2cos(2.5f+3乃/2)cιn

11.一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式為X=ACOS5+。)，已知t=0時(shí)的初位移為0.04m,初速度為

0.09m∕s,則振幅4和初相。各是多少？

解：已知與=0.04/%,%=0.09/%/$,69=35",,代入：A=J需+(%/G)2=0.05m

初相的求解則可利用旋轉(zhuǎn)矢量法(題11圖)，由題可知初始時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)在X軸正

半軸0.04m處且向正向運(yùn)動(dòng)，由圖易知*=-arctan%。

12.一豎直懸掛的彈簧振子，自然平衡時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為X。，此振子自由振動(dòng)的周期T是

多少？

所以τ=7?=7?=2√ξ7L

解：依題意，有叫=G),

13.一勁度系數(shù)為k的輕彈簧，下端掛一質(zhì)量為m的物體，系統(tǒng)的振動(dòng)周期為T(mén)1?若將此

彈簧截去一半的長(zhǎng)度，下端掛一質(zhì)量為帥的物體，則系統(tǒng)振動(dòng)周期72等于多少？

解：設(shè)截去一半后的彈簧其勁度系數(shù)為〃，根據(jù)：

-^-+???(彈簧串聯(lián)公式)，k'=2k7]=-?(周期公式)，可得:

kkk`y∣k∕m

14.一物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其諧振表達(dá)式為X=0.04cos(5ττt∕3-π∕2)(SI).則(1)此簡(jiǎn)諧

振動(dòng)的周期7■是多少？(2)當(dāng)t=0.6s時(shí)，物體的速度U是多少？

解：(1)由題意可知。='，故T='=12s

3ω

(2)把諧振表達(dá)式對(duì)r求一階導(dǎo)，即得振動(dòng)速度表達(dá)式，再把t=0.6s代入速度

表達(dá)式即得y=-0.21/〃/so

15.一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在力F=F2χ的作用下沿X軸運(yùn)動(dòng).求其運(yùn)動(dòng)的周期.

?-TT-

解：/-k,故T=-r~^?=2Vm

y∣k∕m

16.質(zhì)量/W=1.2kg的物體，掛在一個(gè)輕彈簧上振動(dòng).用秒表測(cè)得此系統(tǒng)在45s內(nèi)振動(dòng)了

90次.若在此彈簧上再加掛質(zhì)量m=0.6kg的物體，而彈簧所受的力未超過(guò)彈性限度.則該

系統(tǒng)新的振動(dòng)周期為多少？

解：設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k,新系統(tǒng)振動(dòng)周期為T(mén)'。依題意，有：

45

T=-=0.5s--------(1)

90

T二券一一一一⑵

2π

r=------(?)

y]k∕l(M+ni)

聯(lián)立(1)、(2)、(3)式，解得：Γ=0.61v

17.有一輕彈簧，下面懸掛質(zhì)量為IQg的物體時(shí)，伸長(zhǎng)為4.9cm。用這個(gè)彈簧和一個(gè)質(zhì)量

為8.()g的小球構(gòu)成彈簧振子，將小球由平衡位置向下拉開(kāi)LOCm后，給予向上的初速度

%=5.0cm∕s,求振動(dòng)周期和諧振表達(dá)式。

解：設(shè)町=LOg,=8.0g%=4.9c/”，彈簧的彈性系數(shù)為k,由題意有

^≡J?0×10^3×9?8≈0.2(N?m-)

2

X14.9×W

22l

1=0時(shí),χ0=-1.0×10m,v0=5.0×10~m?s(設(shè)向上為正)

又Y==5")即T吟"26s

.?.A=>JXQ+(-)2=J(1.0×10^2)2+(-?0^10-)2=√2×10^2(m)

tan/=-----"=_*XJ——=1夕O=一乃.*.x-y∕2×10~2cos(5z+-?)ITI

x0ω1.0×10^^×54,4

18.一輕彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為攵，其下端懸有一質(zhì)量為M的盤(pán)子。現(xiàn)有一質(zhì)量為機(jī)的物體從

離盤(pán)底h高度處自由下落到盤(pán)中并和盤(pán)子粘在一起，于是盤(pán)子開(kāi)始振動(dòng)。

⑴此時(shí)的振動(dòng)周期與空盤(pán)子作振動(dòng)時(shí)的周期有何不同？

⑵此時(shí)的振動(dòng)振幅多大？

⑶取平衡位置為原點(diǎn)，位移以向下為正，并以彈簧開(kāi)始振動(dòng)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求初位相并

寫(xiě)出物體與盤(pán)子的諧振表達(dá)式。

解：(1)空盤(pán)的振動(dòng)周期為2萬(wàn)J*,落下重物后振動(dòng)周期為2萬(wàn)

,即增大。

⑵按⑶所設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)及計(jì)時(shí)起點(diǎn)，/=O時(shí)，則/=-〃際"。碰撞時(shí)，以孫M為

一系統(tǒng)動(dòng)量守恒，即：myj2gh=(∕2t÷M)v0

則有…產(chǎn)場(chǎng)'于是

A=一+(均2慳y+*?L=避

V①Nkk(m+M)kN(m-bM)g

(3)tan。。=-」M=IW-(第三象限)，所以振動(dòng)表達(dá)式為

°x0ω?(M+m)g

19.質(zhì)量為IOXl(TTg的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按x=().lcos(8R+2;r/3)(SI)

的規(guī)律作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，求：

⑴振動(dòng)的周期、振幅、初位相，速度最大值、加速度最大值；

⑵最大回復(fù)力、振動(dòng)能量、平均動(dòng)能和平均勢(shì)能，在哪些位置上動(dòng)能與勢(shì)能相等？

(3)與=5s與，I=IS兩個(gè)時(shí)刻的位相差；

解：⑴依據(jù)諧振標(biāo)準(zhǔn)式“對(duì)號(hào)入座”，則有：A=0.1m

@=8;Tnr=-^=O.25sGO=24/3MJ=GA=2.51(m∕S),

鼠|=1A=63.2(m∕1)

⑵

?f,?=nta=0.63(N)E=-mv^=3.16×10~2(J)

mm>21

____1“1

2

Ep=EkEJZ=∣S=1.58×10^(J)當(dāng)4=嗎時(shí)，有E=2E0

即gfct2=(.(；左42).?.χ=±*A=±().()7(m)

(3)^φ-ω(t2-tx)-8?(5-1)=32^

20.一彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，當(dāng)其偏離平衡位置的位移的大小為振幅的1A時(shí)，其動(dòng)能為振

動(dòng)總能量的幾分之幾？

解:設(shè)彈簧振子振幅為A,彈簧的彈性系數(shù)為4,由題意有

工&片)」E

16216

√.Ek=E—Ep=-E

21.一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，已知振動(dòng)周期為了，則其振動(dòng)動(dòng)能變化的周期是多少？

2ττ

解:設(shè)諧振表達(dá)式為X=ACoSGH+0),周期T=一

ω

2222

則系統(tǒng)動(dòng)能為：Ek=^mv=^mωAsin(ωt+φ)

--mω2A2[l-cos(2ωt+2(p)}

?7?T

故振動(dòng)動(dòng)能周期：Tf=-7=-

2ω2

22.一作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)系統(tǒng)，振子質(zhì)量為2kg,系統(tǒng)振動(dòng)頻率為IoOOHz,振幅為0.5cm,

則其振動(dòng)能量為多少？

解：已知〃2=2kg,V=1000Hz,ω=2πv=6280Hz,A=0,5cm,

.?.E=^mω2A1=985.96(J)

23.解：已知E=L(U,A=0.10m,vιn=↑.0m∕s

r.E=:左左n左=200(N∕加),

.*.v/w=Aco=A2τtv=>V=1.59(Λfe)o

24.兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其諧振表達(dá)式分別為:

22

x1=6×10~cos(5z+π∕2)(SI),x2=2×10~co?φι

它們的合振輻是多少？初相是多少？

解法一：把Z化成標(biāo)準(zhǔn)形式：?=2×10^2COS(5Z-Λ-)

然后套公式(3.12)、(3.13):

2

A-JAI2+#+2ΛI(xiàn)A2COS帆一例)=6.3x10'(m)

A2

題24圖

Asi∏69+Asi∏69C

φ-arctan—!------1------9------7-π-arctan3

A1cosφx+A2cosφ1

解法二：利用旋轉(zhuǎn)矢量法求解更為直觀便捷(題24圖)。

25.在一豎直輕彈簧下端懸掛質(zhì)量m=5g的小球，彈簧伸長(zhǎng)4=1Cm而平衡.經(jīng)推動(dòng)后，

該小球在豎直方向作振幅為八二4cm的振動(dòng)，求：(1)小球的振動(dòng)周期；(2)振動(dòng)能量.

解：mg=ΛΔ∕=>k=5(N/m)

2τr

(1)T=-‰==0.20(s)

麻

(2)E=I片=4χio-3(j)

26.一物體質(zhì)量為0.25kg,在彈性力作用下作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，彈簧的勁度系數(shù)k=25N?m'如

果起始振動(dòng)時(shí)具有勢(shì)能0.06J和動(dòng)能0.02J,求：(1)振幅；(2)動(dòng)能恰等于勢(shì)能時(shí)的位

移；⑶經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)物體的速度.

解：已知機(jī)=0.25Zg,￡10〃=0.06J,Eok=0.02J

2

(1)E=E0p+E0,=∣M=>A=0.08(m)

(2)—k￡=-E^>x=0.0566(加)

、1?

mv

(3)~∏ι-E=>vm-0.8(m/s)

27.有兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合成振動(dòng)的振幅為0.20m,位相與第一振動(dòng)的

位相差為〃/6,已知第一振動(dòng)的振幅為0.173m,求第二個(gè)振動(dòng)的振幅以及第一、第二兩振

動(dòng)的位相差。

解：由題意做出旋轉(zhuǎn)矢量圖(題27圖)，易知

22o

?f=Λ1+A-2Λ1Acos30

=(0.173)2+(0.2)2-2×0.173×0.2×√3∕2

=0.01

.?.A2=0.1m

設(shè)角AAO為。，貝IJ=A2+A∣-2A∣4COSe

即cos°_K+A；—4。173」+。1)2-(002)2一0

/.θ=π∣2

2Λ1A2×0.173×0.1

這說(shuō)明，4與42間夾角為乃/2，即二振動(dòng)的位相差為乃/2。

孫亞娟

習(xí)題4解答

1.機(jī)械波的波長(zhǎng)、頻率和速度大小分別由什么決定？在通過(guò)不同介質(zhì)時(shí),哪些會(huì)發(fā)生變化,

哪些不會(huì)改變？20eC時(shí)，在空氣中的IOOOHZ聲音及IHZ的次聲波波長(zhǎng)各為多少？

解：頻率由波源決定，速度由介質(zhì)決定，波長(zhǎng)入=W，因此與波源和介質(zhì)都有關(guān)。

在通過(guò)不同介質(zhì)時(shí)，頻率不會(huì)改變，而波長(zhǎng)和波速會(huì)改變。

2(ΓC時(shí)，聲波的波速為344m?s-',

對(duì)于IOOOHz的聲音，波長(zhǎng)入=；==0.344mj

對(duì)于IHZ的次聲波，波長(zhǎng)入=；'=344*

2.超聲波在空氣和水中的體變模量分別為1.42X105Pa和228XlO叩α,20eC時(shí)，空氣的

密度為L(zhǎng)'20kg?m-?,水的密度約為IOOOkg?m.,試計(jì)算超聲波在空氣和水中的速度。

超聲波與次聲波的波速相同嗎？

解：波速u(mài)=√而，

由于波速取決于介質(zhì)，因此超聲波與次聲波的波速相同。

3.已知波動(dòng)方程為y:06coβ(4jrt-2mx∕3)9n),試求此波的振幅、角頻率、波速、頻

率、周期、波長(zhǎng)和初相。

解：波函數(shù)Jr=AcDS[酎(t-：)+*]=V=QJScosftat一號(hào))

從而可知振幅A=0.6m,角頻率3.=4:Iradτ初相位(P=0,

波速U=.四==6Cni?S-；,周期T=型=OIS1,頻率V=W=2由。

M3T

4.沿繩子行進(jìn)的橫波波動(dòng)方程為s=0.10cos(Q01m-2Ht)(m).試求：⑴波的振幅、頻

率、傳播速度和波長(zhǎng)；(2)繩上某質(zhì)點(diǎn)的最大振動(dòng)速度。

解：波函數(shù)Ir=Acoc[?(t-3+=OΛOcoβ(<)Jθlax-2BQ=Oilα≤2at-OuDlnO

(1)振幅A=0.1cm，

角頻率3=2n，因此周期T=2π∕ω-1>頻率V=-1H:>

由u√u=0.0你可得波速U=A√(θm勾=200m?s^1>

波長(zhǎng)I=u/v-200m；

(2)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度V=-Aωsin(ω∣7~^)÷?>J

1

因此最大振動(dòng)速度t?jra-.4=0.1X2,?r-0.63∕,?i?i..

5.一平面簡(jiǎn)諧波沿3軸正向傳播，波動(dòng)方程y=Acos[2a(vt-x∕Q+9],求：⑴x；=Z

處介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初位相；(2)與X二處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)相同的其他質(zhì)點(diǎn)的位置；(3)與r：處

質(zhì)點(diǎn)速度大小相同，但方向相反的其它各質(zhì)點(diǎn)的位置。

解：波函數(shù)y=A8s[2波函-x∕z)+φ?

(1)代入Il=L?t=0,可得y=Acos[-苧'+<>],因此初相位為一苧十砂

⑵設(shè)位置為為X處與L處同相，相位相差2nrr,n=0J2…，

即2n(vt—3+■=2ιX(Vt—§+Φ+2ra>>由此可得X=L+nΛ,n=1,2.???

(3)設(shè)位置為X,X處與L處反相，相位相差rw,n=aL2,…，

即加(*-3+■=2n(vt-胃+.+■，由此可得X=L+Mn=0,12…

6.有一列平面簡(jiǎn)諧波，坐標(biāo)原點(diǎn)按y=?Aa>s(3t+3)的規(guī)律振動(dòng)。已知

A=0.10m,T=0.50s.λ=IOm。試求：(1)波動(dòng)方程表達(dá)式；⑵波線(xiàn)上相距2.5m的兩點(diǎn)

的相位差；(3)假如1=0時(shí)處于坐標(biāo)原點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移為y0=+0.050m,且向平衡

位置運(yùn)動(dòng)，求初相位并寫(xiě)出波動(dòng)方程。

解：原點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式y(tǒng)=.Aoos(3t+a),已知A=0.I0ntT=OLSO&入=IOm

⑴角速度3，:2"∕T-4.7rad?s^?>波速U=-=20m?s-1,

波函數(shù)y=Aoos[β?(t-3+5=0?lc□s[4w(t-2+W

(2)波長(zhǎng)h=10m，說(shuō)明相距Iom的兩質(zhì)點(diǎn)相位差為2n,因此兩質(zhì)點(diǎn)相距2.5m時(shí)，

相位差為2律4=JΓ∕2

(3)t=0時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)(K=O)滿(mǎn)足y.=0a05=dlcDβ(9),解得SDe?=1/2,因

此(P=Ti/3或51/3,

又t=0時(shí)，y0=0.05m且向平衡位置移動(dòng)，因此原點(diǎn)振動(dòng)速度

V≡—0.1sin^><0>因此初相位.=：,波動(dòng)方程y=0.1,cos[4jr(t—2)+斗

7.P和Q是兩個(gè)同方向、同頻率、同相位、同振幅的波源所在處。設(shè)它們?cè)诮橘|(zhì)中產(chǎn)生的

波列波長(zhǎng)為入，P、Q之前的距離為1.5兀R是PQ連線(xiàn)上Q點(diǎn)外側(cè)的任意一點(diǎn)。試求：

(1)P>Q兩點(diǎn)發(fā)出的波到達(dá)R時(shí)的相位差；(2)R點(diǎn)的振幅。

解：⑴相距為1的兩點(diǎn)相位差為2n，