點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)-自然法（理論力學(xué)）

3、點(diǎn)的速度由，可得：速度的大小用v來表示，是一個(gè)代數(shù)量，等于動(dòng)點(diǎn)的弧坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。速度的方向沿著軌跡的切線方向，當(dāng)v

為正時(shí)指向與et相同，反之，與et相反。點(diǎn)的速度矢可寫為：三、自然法4、點(diǎn)的切向加速度和法向加速度由對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，v與et都是變量，得：（1）反映速度大小變化的加速度at切向加速度反映點(diǎn)的速度值對(duì)時(shí)間的變化率，它的代數(shù)值等于速度的代數(shù)值對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，或弧坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，它的方向沿著軌跡的切線。切向加速度（2）反映速度方向變化的加速度an法向加速度反映點(diǎn)的速度方向改變的快慢程度，它的大小等于點(diǎn)的速度平方除以曲率半徑，它的方向沿著主法線，指向曲率中心。法向加速度at，an均在密切面內(nèi)，因此全加速度a

也必在密切面內(nèi)。這表明加速度沿副法線上的分量為零，即令那么全加速度的大小全加速度與法線間的夾角的正切為當(dāng)a與切向單位矢量et的夾角為銳角時(shí)θ為正，否則為負(fù)。at=常量

，點(diǎn)做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。從而：當(dāng)速度v與切向加速度at的指向相同時(shí)，即v與at的符號(hào)相同時(shí)，點(diǎn)做加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)速度v與切向加速度at的指向相反時(shí)，即v與at的符號(hào)相反時(shí)，點(diǎn)做減速運(yùn)動(dòng)。v=常量

，at=0，點(diǎn)做勻速曲線運(yùn)動(dòng)。從而：點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，ρ→∞，從而an=0。三、自然法利用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡建立弧坐標(biāo)及自然軸系，并用它們來描述和分析點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的方法稱為自然法。適用于點(diǎn)的軌跡已知時(shí)的情形。1、弧坐標(biāo)上式稱為點(diǎn)沿軌跡的運(yùn)動(dòng)方程，或以弧坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡上任選一點(diǎn)O為參考點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)O的某一側(cè)為正向，動(dòng)點(diǎn)M在軌跡上的位置由弧長s確定，弧長s為動(dòng)點(diǎn)M在軌跡上的弧坐標(biāo)?；￠Ls是一代數(shù)量，隨時(shí)間變化，是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即2、自然軸系為沿軌跡切線方向的單位矢量，其指向與弧坐標(biāo)正向一致。當(dāng)時(shí)，，故矢量在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡上取極為接近的兩點(diǎn)M和M',其間的弧長為Δs

,這兩點(diǎn)矢徑的差為Δr

。點(diǎn)M和M'的切向單位矢量分別為et和e't。將e't平移至點(diǎn)M，則et和e't決定一平面。令M'無限趨近點(diǎn)M，則此平面趨近于某一極限位置，此極限平面稱為曲線在點(diǎn)M的密切面。以點(diǎn)M為原點(diǎn)，以切線、主法線和副法線為坐標(biāo)軸組成的正交坐標(biāo)系稱為曲線在點(diǎn)M的自然坐標(biāo)系，這三個(gè)軸稱為自然軸。過點(diǎn)M并與切線垂直的平面稱為法平面，法平面與密切面的交線稱為主法線。令主法線的單位矢量為en

,指向曲線內(nèi)凹一側(cè)。過點(diǎn)M且垂直于切線及主法線的直線稱為副法線，其單位矢量為eb

,指向與et、en構(gòu)成右手系，即在曲線運(yùn)動(dòng)中，軌跡的曲率或曲率半徑表示了曲線的彎曲程度。曲率與曲率半徑互為倒數(shù)關(guān)系。用ρ來表示曲率半徑，那么它與et,en有這樣一個(gè)關(guān)系式：注意：隨著點(diǎn)M在軌跡上運(yùn)動(dòng)，et,en,eb

的方向也在不斷變動(dòng)；自然坐標(biāo)系是沿曲線而變動(dòng)的游動(dòng)坐標(biāo)系。例1列車沿半徑為R=800m的圓弧軌道作勻加速運(yùn)動(dòng)。如初速度為零，經(jīng)過2min后，速度到達(dá)54km/h。求列車起點(diǎn)和未點(diǎn)的加速度。解：已知列車作勻加速曲線運(yùn)動(dòng)，即at=常量。初速度為零，即v0=0，那么：當(dāng)t=2min=120s時(shí)，v=54km/h=15m/s，代入上式，求得：自然法的應(yīng)用三、自然法在起點(diǎn)，v0=0，因此法向加速度an=0，列車只有切向加速度at在末點(diǎn)，速度不等于零，既有法向加速度an，又有切向加速度at末點(diǎn)的全加速度大小為末點(diǎn)的全加速度與法向的夾角θ為例2已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為x=2sin4t，y=2cos4t，z=4t（其中x,y,z均以m計(jì)，