高一數(shù)學(xué)新教材同步教學(xué)講義 用二分法求方程的近似解（解析版）

用二分法求方程的近似解

【知識點梳理】

知識點一：二分法

1、二分法

對于區(qū)間,,可上圖象連續(xù)不斷且∕g)?∕e)<o的函數(shù)/(X),通過不斷把它的零點所在區(qū)間一分為

二，使所得區(qū)間的兩個端點逐漸逼近零點，進(jìn)而得到近似值的方法.

2、用二分法求函數(shù)零點的一般步驟：

已知函數(shù)y=∕(x)定義在區(qū)間。上，求它在。上的一個零點XO的近似值X，使它滿足給定的精確度.

第一步：在。內(nèi)取一個閉區(qū)間［旬也］三。，使f((?)與/(4)異號，即/(4)?f(4)<o，零點位于區(qū)

間［%聞中?

第二步：取區(qū)間［%,%］的中點，則此中點對應(yīng)的坐標(biāo)為

Xo=4+萬(為一%)=5(g+?)?

計算/(/)和/(%),并判斷：

①如果f(%)=0,則/就是的零點，計算終止；

②如果/(4))?∕(x())<0,則零點位于區(qū)間［<?,x<J中，令q=%,4=%：

③如果/(4)?∕(ΛO)>0,則零點位于區(qū)間區(qū)也］中，令

第三步：取區(qū)間［巧,4］的中點，則此中點對應(yīng)的坐標(biāo)為

百=q+g(4-aJ=；(q+4)-

計算f(χ)和〃q)，并判斷：

①如果/(xJ=O,則Λ1就是/(x)的零點，計算終止；

②如果)<0,則零點位于區(qū)間［α∣,x∣］中，令α2=4也=X1;

③如果/(0l)?y(x∣)>O,則零點位于區(qū)間［x∣,b∣］中,令%=為也=4；

繼續(xù)實施上述步驟，直到區(qū)間［%,勿］,函數(shù)的零點總位于區(qū)間［4,上，當(dāng)凡和"按照給定的精確

度所取的近似值相同時，這個相同的近似值就是函數(shù)y="x)的近似零點，計算終止.這時函數(shù))，=〃x)

的近似零點滿足給定的精確度.

知識點詮釋：

(1)第一步中要使：①區(qū)間長度盡量小；②/⑷、/S)的值比較容易計算且/(α)√?S)<0?

(2)根據(jù)函數(shù)的零點與相應(yīng)方程的根的關(guān)系，求函數(shù)的零點和求相應(yīng)方程的根式等價的.對于求方

程/(x)=g(x)的根，可以構(gòu)造函數(shù)尸(X)=/(x)-g(x),函數(shù)F(x)的零點即為方程/(x)=g(x)的根.

3、關(guān)于精確度

（1）“精確度'’與"精確至∣J''不是一回事，

這里的“精確度”是指區(qū)間的長度達(dá)到某個確定的數(shù)值￡，即;“精確到”是指某謳歌數(shù)的數(shù)位

達(dá)到某個規(guī)定的數(shù)位.

（2）精確度￡表示當(dāng)區(qū)間的長度小于￡時停止二分；此時除可用區(qū)間的端點代替近似值外，還可選用

該區(qū)間內(nèi)的任意一個數(shù)值作零點近似值.

【題型歸納目錄】

題型一：用二分法求近似解的條件

題型二：用二分法求方程近似解的過程

題型三：用二分法求函數(shù)零點的過程

【典型例題】

題型一：用二分法求近似解的條件

例1.（2022?全國?高一課時練習(xí)）下列圖像表示的函數(shù)中能用二分法求零點的是（）

【答案】C

【解析】四個圖像中，與X軸垂直的直線和圖像只有個交點，所以四個圖像都表示函數(shù)的圖像，

對于A,函數(shù)圖像和X軸無交點，所以無零點，故錯誤；

對于8,D,函數(shù)圖像和X軸有交點，函數(shù)均有零點，但它們均是不變號零點，因此都不能用二分法求零

點;

對于C,函數(shù)圖像是連續(xù)不斷的，且函數(shù)圖像與X軸有交點，并且其零點為變號零點.

故選：C.

例2.（2022?湖南?高一課時練習(xí)）觀察下列函數(shù)的圖象，判斷能用二分法求其零點的是（）

【答案】A

【解析】由圖象可知，8。選項中函數(shù)無零點，AC選項中函數(shù)有零點，C選項中函數(shù)零點兩側(cè)函數(shù)值符號

相同，A選項中函數(shù)零點兩側(cè)函數(shù)值符號相反，故4選項中函數(shù)零點可以用二分法求近似值，C選項不能

用二分法求零點.

故選：A

例3.(2022?四川省南充高級中學(xué)高一階段練習(xí))用二分法求函數(shù)/(x)=x+lgx-2的零點，可以取的初始

區(qū)間是()

A.(0,1)B,(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】因為y=χ,y=igχ是單調(diào)增函數(shù)，故/(X)是單調(diào)增函數(shù)，其零點至多有一個；

X∕(l)=-lJ'(2)=lg2>0,故用二分法求其零點，可以取得初始區(qū)間是(1,2).

故選:B.

變式L(2022?全國?高一課時練習(xí))下列函數(shù)中不能用二分法求零點近似值的是()

A.f(Λ)=3x—1B.f(x)=Λ3

C.f(?)=IXlD.f(x)=Inx

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，依次分析選項：

對于4,∕Q)=3x—1在R上是單調(diào)函數(shù)，有唯一零點，

且函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，可用二分法求零點；

對于B,/(?)=V在R上是單調(diào)函數(shù)，有唯一零點，

且函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，可用二分法求零點；

對于C,/(x)=IX雖然也有唯一的零點，但函數(shù)值在零點兩側(cè)都是正號，

故不能用二分法求零點：

對于C,f(x)=InX在(0,+oo)上是單調(diào)函數(shù)，有唯一零點，

且函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，可用二分法求零點；

故選：C.

變式2.(2022?江蘇?高一單元測試)下列函數(shù)一定能用“二分法”求其零點的是()

A.y=kx+b(k,6為常數(shù)，JL?≠O)

B.y=ax1+bx+c(a,b,C為常數(shù)，JLa≠O)

C.y=2x

k

D.y=-（k≠0,我為常數(shù)）

X

【答案】A

【解析】由指數(shù)函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)可知其沒有函數(shù)零點，故C，。不能用"二分法''求其零點，故Cz）

錯誤；

對于二次函數(shù)y=0χ2+6x+cCa,h,C為常數(shù)，Jla≠O）,當(dāng)A=∕-4"c≤0時，不能用二分法，故8錯

誤；

由于一次函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù)，且存在函數(shù)零點，故可以用“二分法''求其零點，故A選項正確.

故選：A

變式3.（2022.江蘇.高一專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)零點的近似值適合于（）

A.變號零點B.不變號零點

C.都適合D.都不適合

【答案】A

【解析】由零點存在定理可知，二分法求函數(shù)零點的近似值適合于在零點兩邊的函數(shù)值異號，即適用于變

號零點.

故選：A.

【方法技巧與總結(jié)】

判斷一個函數(shù)能否用二分法求其零點的依據(jù)是：其圖象在零點附近是連續(xù)不斷的，且該零點為變號零

點.因此，用二分法求函數(shù)的零點近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點適用，對函數(shù)的不變號零點不適用.

題型二：用二分法求方程近似解的過程

例4.（2022,甘肅?高臺縣第一中學(xué)高一期中）已知函數(shù)/（x）=In（X+2）+2x-〃z的一個零點附近的函數(shù)值的

參考數(shù)據(jù)如下表：

X00.50.531250.56250.6250.751

“X)-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099

由二分法，方程n(x+2)+2x-機(jī)=0的近似解(精確度為0.05)可能是()

A.0.625B.-0.009C.0.5625D.0.066

【答案】C

［解析】由題意得/O)=In(X+2)+2x-加在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，

設(shè)方程In(X+2)+2X-W=O的解的近似值為x0,

由表格得/(0.53125)?/(0.5625)<0,

所以XOe(0.53125,0.5625),

因為10.53125-0.56251=0.03125<0.05,

所以方程的近似解可取為0.5625.

故選：C.

例5.(2022.全國?高一課時練習(xí))若函數(shù)/(x)=d+V-2x-2的部分函數(shù)值如下，那么方程

V+W—2x-2=0的一個近似根(精確到0.1)可以是()

川廣2"1.5)=0.625/(1.25)≈-0.984

/(1.375)≈-0.260/(1.4375)≈0.162

A.1.2-B.1.3C.1.4

【答案】C

【解析】因為〃1?375)<O,/(1.4375)>0,且1.375與1.4375精確到().1的近似值都為1.4,

所以原方程的一個近似根為1.4.

故選：C.

例6.(2022?四川?廣安二中高一期中)函數(shù)F(X)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)

據(jù)如下：

A')=-2/(1.5)=0.625./(1.25)≈-0.984

/(1.375)=-0.260/(1.438)=0.165/(1.4065)=-0.052

那么方程的一個近似解(精確度為0?1)為()

A.1.5B.1.25C.1.41D.1.44

【答案】C

【解析】由所給數(shù)據(jù)可知，函數(shù)f(χ)在區(qū)間(LL5)內(nèi)有一個根,

因為/(1.5)=0.625>0,/(1.25)=-0.984<0,

所以根在(1.25,1.5)內(nèi)，

因為|1.5-1.25|=0.25>0.1,所以不滿足精確度，

繼續(xù)取區(qū)間中點1.375,

因為/(1.375)=-0.260<0,/(1.5)=0.625>0,

所以根在區(qū)間(1375,1.5),

因為∣1.5-1.375∣=0.125>0.1,所以不滿足精確度，

繼續(xù)取區(qū)間中點1.438,

因為/(1.438)=0.165>0,/(1.375)=-0.260<0,

所以根在區(qū)間(1.375,1.438)內(nèi)，

因為|1.438—1.375∣=0.063<0.1滿足精確度，

因為/(1.4065)=-0.052<0,所以根在(1.4065,1.438)內(nèi)，

所以方程的?個近似解為1.41,

故選：C

變式4.(2022?全國?高一課時練習(xí))用二分法研究函數(shù)/(x)=χ5+8x3-1的零點時，第一次經(jīng)過計算得

/(O)<0,/(0.5)>0,則其中一個零點所在區(qū)間和第二次應(yīng)計算的函數(shù)值分別為()

A.(0,0.5),/(0.125)B.(0,0.5),/(0.375)

C.(0.5,1),/(0.75)D.(0,0.5),/(0.25)

【答案】。

【解析】因為F(O)/(0?5)<0,

由零點存在性知：零點不?0,。5),

根據(jù)二分法，第二次應(yīng)計算等”)即/(0?25),

故選：D.

變式5.(2022?全國?高一課前預(yù)習(xí))方程Y-2√+3x-6=0在區(qū)間［-2,4］上的根必定在()

「51Γ7~1「75"

A.［-2,1］±B.?4上C.1,-上D.上

ljL2」L4」|_42_

【答案】D

【解析】解析：設(shè)/(X)=V-2∕+3x-6,

則/(-2)=-8-8-6-6=-28<0,/(4)=64-32+12-6=38>0,

_?+4r1

因為"二=1且/(I)=I-2+3-6=-4<0,所以函數(shù)/(X)在［1,4］上必有零點.

又因為==：且/4)=學(xué)Y+［-6=*>0,所以函數(shù)/(X)在后］上必有零點.

222X22o［_2

5——

又因為1+建7且“3Y"2X(少+3χ］-6=T<0,所以函數(shù)Fa)在?j上必有零點.

444464」

~~lr142

^75^

即方程的根必在—上.

故選：D

變式6.(2022.全國?高一單元測試)若函數(shù)/(x)=d-x-l在區(qū)間［1,I.5］內(nèi)的一個零點附近函數(shù)值用二分

法逐次計算，列表如下：

X11.51.251.3751.3125

∕∞-10.875-0.29690.2246-0.05151

那么方程V—xT=。的一個近似根(精確度為0.1)可以為()

A.I.3B.1.32C.1.4375D.1.25

【答案】B

【解析】由)(l?3125)<0,/(1.375)>0,且f(x)為連續(xù)函數(shù)，由零點存在性定理知：區(qū)間(1.3125,1.375)

內(nèi)存在零點，故方程V-X-I=O的一個近似根可以為L32,B選項正確，其他選項均不可.

故選：B

變式7.(2022.內(nèi)蒙古?呼和浩特市教育教學(xué)研究中心高一期末)用二分法求方程的近似解，求得函數(shù)

"x)=V+2x-9的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下：/(l)=-6,/(2)=3,/(1.5)=-2.625,/(1.75)=-0.6406,

則方程V+2x-9=0的一個近似根X所在區(qū)間為()

A.(-0.6406,0)B.(1.75,2)C.(1.5,1.75)D.(1,1.5)

【答案】B

【解析】由題意，知/⑴?"2)<0J(1.5)?/⑵<OJ(1?75)?A2)<O,

所以函數(shù)的零點在區(qū)間(1?75,2)內(nèi)，即方程χ3+2x-9=0的一個近似根X所在區(qū)間為(1?75,2)?

故選：B.

變式8.(2022?全國?高一專題練習(xí))用二分法求函數(shù)/(x)=In(X+l)+x-l在區(qū)間［0,1］上的零點，要求精確

度為0.01時，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】開區(qū)間(0,1)的長度等于1,每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

經(jīng)過〃此操作后，區(qū)間長度變?yōu)?，?/p>

用二分法求函數(shù)/(x)=In(X+l)+x7在區(qū)間(0,1)上近似解，

要求精確度為OOl，

—≤0.01,解得zι≥7,

故選：C.

變式9.(2022.全國.高一專題練習(xí))函數(shù)/(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線,在用二分法求方程"x)=0在(1,2)

內(nèi)近似解的過程可得/(l)<0,/(l?5)>0,/(1.25)<0,則方程的解所在區(qū)間為()

Λ.(1.25,1.5)B.(1,1.25)

C.(1.5,2)D.不能確定

【答案】Λ

【解析】因為/(125)"(1.5)<0,故方程/(x)=0的解所在區(qū)間為(1.25,1.5).

故選：A.

變式10.(2022?廣東?珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí))若函數(shù)〃力=/+丁-2%-2的一個零點(正

數(shù))附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下表：那么方程％3+/一2》-2=0的一個近似解(精確

度0.04)為()

川)=-2/(1.5)=0.625

/(1.25)≈-<).9847(1.375卜-0.260

/(1.4375)≈0.162/(1.40625)≈-0.054

Λ.1.5B.1.25C.1.375D.1.4375

【答案】D

【解析】由表格結(jié)合零點存在定理知零點在(140625,1.4375)上，區(qū)間長度為0.03125,滿足精度要求，觀

察各選項，只有。中值L4375是該區(qū)間的一個端點，可以作為近似解，

故選：D.

變式11.(2022?全國?高一課時練習(xí))在用二分法求方程3"+2x-10=0在(1,2)上的近似解時，構(gòu)造函數(shù)

/(x)=3v+2x-10,依次計算得/(1)=—5<0,/(2)=3>0,/(1.5)<0,/(1.75)>0,/(1.625)<0,則

該近似解所在的區(qū)間是()

A.(1,1.5)B.(1.5,1.625)C.(1.625,1.75)D.(1.75,2)

【答案】C

【解析】根據(jù)已知f(l)=-5<0,/(1.5)<0,/(1.625)<0,/(1.75)>0,/(2)=3>0,

根據(jù)二分法可知該近似解所在的區(qū)間是(L625,1.75).

故選：C.

【方法技巧與總結(jié)】

(1)依據(jù)圖象估計零點所在的初始區(qū)間［孫(這個區(qū)間既要包含所求的根，又要使其長度盡可能的

小，區(qū)間的端點盡量為整數(shù)).

(2)取區(qū)間端點的平均數(shù)c,計算f(c),確定有解區(qū)間是(見C)還是(c,〃)，逐步縮小區(qū)間的“長度”，

直到區(qū)間的長度符合精確度要求(這個過程中應(yīng)及時檢驗所得區(qū)間端點差的絕對值是否達(dá)到給定的精確

度)，才終止計算，得到函數(shù)零點的近似值(為了比較清晰地表達(dá)計算過程與函數(shù)零點所在的區(qū)間往往采

用列表法).

題型三：用二分法求函數(shù)零點的過程

例7.(2022?江蘇?南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校高一期中)用二分法研究函數(shù)/(x)=V+2x-l的零點時，

第一次計算，得/(0)<0,/(0.5)>0,第二次應(yīng)計算/(%),則演等于()

A.1B.-1C.0.25D.0.75

【答案】C

【解析】因為/(0)<0,/(0?5)>0,所以/(x)在(0,0?5)內(nèi)存在零點,

根據(jù)二分法第二次應(yīng)該計算/(%),其中占=歸F=O.25；

故選：C

例8.(2022?山西?懷仁市大地學(xué)校高中部高一階段練習(xí))已知定義在［“回上的增函數(shù)/(x),在用二分法

尋找零點的過程中，依次確定了零點所在區(qū)間為忸,闿，a，審,α+g,g，又//a+：-5卜0,則

函數(shù)/(x)的零點為()

A.—B.—C.—D.—

3399

【答案】C

【解析】由"X)在[a,々上單調(diào)遞增得：/(?)<(),/(?)>0,又α+g>α恒成立，

a+brc

a+------2

?1a=——

-----------=aτ—.3

：.\22,解得J”,

a+bbb=-

I24'

4

.?./(x)的零點為一J+5_7,

39

故選：C.

例9.(2022.新疆昌吉.高一期末)在用“二分法”求函數(shù)〃x)零點近似值時，若第一次所取區(qū)間為[-2,6],

則第三次所取區(qū)間可能是()

A.[-2,-l]B.[-1,1]C.[2,4]D.[5,6]

【答案】C

【解析】第一次所取區(qū)間為[-2,6],則第二次所取區(qū)間可能是[-2,2],[2,6]；

第二:次所取的區(qū)間可能是[-2,OnO,2],[2,叫4,6].

故選：C.

變式12.(2022.江蘇.高一)已知函數(shù)/(x)=x3+2x-9在(1,2)內(nèi)有一個零點，且求得/(x)的部分函數(shù)值

數(shù)據(jù)如下表所示：

X121.51.751.76561.75781.7617

/(x)—63-2.625-0.140630.035181-0.05304-0.0088

要使/(x)零點的近似值精確度為0。1，則對區(qū)間(L2)的最少等分次數(shù)和近似解分別為()

A.6次1.75B.6次1.76C.7次1.75D.7次1.76

【答案】D

【解析】由表格數(shù)據(jù),零點區(qū)間變化如下：(1,2)→(1.5,2)→(1.75,2)→(1.75,1.875)→(1.75,1.8125)→

(1.75,1.78125)→(1.75,1.7656)→(1.7578,1.7656),此時區(qū)間長度小于0.01,在此區(qū)間內(nèi)取近似值,等分了

7次，近似解取1.76.

故選：D.

變式13.(2022?全國?高一單元測試)用二分法求方程1。&X-上=0近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是

3x

()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(2,4)

【答案】B

【解析】令/(x)=IoggX-*，

因為函數(shù)＞=1088匕丫=-*在(0,y)上都是增函數(shù)，

所以函數(shù)/(x)=log8x-=在(0,+∞)上是增函數(shù),

所以函數(shù)=在區(qū)間(1,2)上有唯一零點，

所以用二分法求方程logs%-4=0近似解時,所取的第一個區(qū)間可以是(L2).

3x

故選：B.

變式14.(2022?遼寧?沈陽市第一二。中學(xué)高一階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x3-d+5在xe[-2,T]上有零

點，用二分法求零點的近似值(精確度小于0.1)時，至少需要進(jìn)行次函數(shù)值的計算.

【答案】3

【解析】至少需要進(jìn)行3次函數(shù)值的計算，理由如下：

_9_1O

取區(qū)間的中點X1=,

/(-2)=-8-4+5=-7<0,∕(-l)=-l-l+5=3>0

"3"

所以∕∈-?,-l.

、3_r-i

取區(qū)間-j,T的中點Y_2_5,

L2J—二

+5>0,

^35_|_5._2

取區(qū)間一彳，一τ的中點y4211，

24A=---------=------

328

因為一>(-∣)<0?2,

^311-∣23

所以區(qū)間一彳,一丁的中點丫_-12-118_23即為零點的近似值，即玉產(chǎn)-孑，

L28J玉=口-=丁16

所以至少需進(jìn)行3次函數(shù)值的計算.

故答案為：3

變式15.(2022?全國?高一專題練習(xí))根據(jù)下表，用二分法求函數(shù)/(x)=χ3-3x+l在區(qū)間(1,2)上的零點的

近似值(精確度0.1)是.

/(I)=-1/(2)=3/(1.5)=-0.125

/(1.75)=1.109375/(1.625)=0.41601562/(1.5625)≈0.12719726

【答案】1.5(答案不唯一)

【解析】由二分法定義：由函數(shù)∕?(x)=d-3x+l,由圖表知/(l?5)=-0.125<0;/(1.75)=1.109375>0；

/(1.625)=0.41601562>0；/(1.5625)=0.12719726>0.由于/(1.5)?/(1.5625)<0,故零點的近似值是1.5

或1.5625或區(qū)間［1.5,1.5625］上的任何一個值.

故答案為：1.5.(答案不唯一)

1_γ

變式16.(2022?全國?高一專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=Nf

(1)探究/(x)在(-1,一)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；

(2)判斷方程［l+∕(x)小ogz∕(x)=2是否存在實根？若存在，設(shè)此根為％,請求出一個長度為:的區(qū)間(4,b),

O

使x°e(a,b);若不存在，請說明理由.(注：區(qū)間(。力)的長度為6-4)

/3」_.=2_(彳+1)_2__?

［解析］(1)1+x1+x一χ+ι,則函數(shù)/U)在(T'K°)上.為減函數(shù)，證明如下：

任取4、Λ?∈(-l,+∞)H,X∣>X2,

則“χjτ(χj=［?ι］j?ι］=r??,

IXl+1JIz+1)(百+1乂々+1)

因為x1>W>T,則/(』)-/(?)=((R)<0，即)</伍)，

故函數(shù)/(χ)在(-1,伊)上為減函數(shù).

1-xx-?

⑵由0+〃必唯/(X)=2,可知即77T<°,解得

即備喝W=2,I—Y

可得bg2*rX+l,

1—Y

構(gòu)造函數(shù)g(x)=χ+l-log2；~~-，

1—X

由（1）可知，函數(shù)〃在（TI）上為減函數(shù)，

1+x

1—γ

而函數(shù)y=Iog2"為定義域上的增函數(shù)，則函數(shù)y=-log,（-1,1）上為增函數(shù),

又因為函數(shù)y=χ+ι在（-1,1）上也為增函數(shù)，

故函數(shù)g(χ)=χ+l-log2三在(Ti)上為增函數(shù),

因為g(0)=l>0,=JTOg23<；-1<0,

由零點存在定理可知，函數(shù)g（x）在區(qū)間[g,θ）上存在零點，且零點記為X。,

.丫-閨=8-殷=648-625＞0,?

⑴8183

R）

g；-g21=∣°g?24-log2∣＞0,故XO

^H）4^ι°g2?^^ι^＞故為{-＞{l'且區(qū)間1一一）的長度為4+l=?

故滿足條件的一個區(qū)間為卜：,-.

變式17.（2022?全國?高一課時練習(xí)）用二分法求下列函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的零點：

⑴/（x）=3/-5x+1在區(qū)間（0,1）內(nèi)的零點（精確到0.1）；

⑵/（6=2/一3/一5》+3在區(qū)間（-2,-1）內(nèi)的零點（精確到0.1）.

【解析】⑴因為"°）＞°,f⑴＜°，貝Il在（（U）內(nèi)存在零點，

又Ju）則在（°，;）內(nèi)存在零點，

又O＜o(jì),/（0）＞0,則在（0，；）內(nèi)存在零點，

x∕[∣]＞θ,/（；）＜°，則在（：，；）內(nèi)存在零點，

又據(jù)）＞。，也卜。，則在島內(nèi)存在零點，

a1

因為啟“0.19,；=0.25,則/（x）=3χ2-5x+l在區(qū)間（0,1）內(nèi)的零點近似為0.2.

⑵因為〃一2）＜0,/（-1）＞0,則在（一2,-1）內(nèi)存在零點，

x∕f-∣］<o,/(τ)>o,則在卜j-1)內(nèi)存在零點，

又/(-∣?)<O,貝IJ在1∣?L∣J內(nèi)存在零點，

又，(一￡)<。，則在內(nèi)存在零點，

因為-裝≈-1.375,~=-1.25,則/(X)=2χ3—3d—5x+3在區(qū)間(―2,—1)內(nèi)的零點近似為—1.3.

變式18.(2022?湖南?益陽平高學(xué)校高一階段練習(xí))己知函數(shù)/(x)=2d-8x+m+3為R上的連續(xù)函數(shù).

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間［T,l］上存在零點，求實數(shù)〃?的取值范圍.

(2)若機(jī)=Y,判斷/(x)在(-L1)上是否存在零點？若存在，請在誤差不超過0.1的條件下，用二分法求出

這個零點所在的區(qū)間；若不存在，請說明理由.

【解析】⑴"x)=2Y-8x+"+3為二次函數(shù)，開口向上，對稱軸為χ=2,

可知函數(shù)/(x)在區(qū)間［-1』上單調(diào)遞減,

/(-ι)≥o

?.?∕(χ)在區(qū)間［T,l］上存在零點,

∕0)≤o

2+8+m+3≥0

,解得:-13≤∕π≤3,

2-8+m+3≤0

.?.實數(shù)m的取值范圍是［-13,3］.

(2)當(dāng)m=T時，/(x)=2x2-8x7為二次函數(shù)，開口向上，對稱軸為x=2,

所以/(x)在區(qū)間(Tl)上單調(diào)遞減，

.?J(T)=9,/⑴=一7,則/(T)?/⑴<0,

.?.函數(shù)F(X)在(TI)上存在唯一零點七,

又/(x)為R上的連續(xù)函數(shù)，

V/(O)=-KO,Λ∕(-l)√(0)<0,Λ?∈(-l,0),

∣4?∈I

?">0,4)?∕(0)<0,「阿

>0,n[

J(∣?∕(o)<o,.`.?WI「川,

$>。，”|]√(0)<0.

e0

,4.?.?H')

此時誤差為山」<?！?即滿足誤差不超過°」，

.?.零點所在的區(qū)間為Ko）

【方法技巧與總結(jié)】

利用二分法求函數(shù)近似零點的流程圖:

選

定

初

始結(jié)

區(qū)束

網(wǎng)

【同步練習(xí)】

一、單選題

1.（2022?全國?高一課時練習(xí)）下列函數(shù)圖像與X軸都有公共點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點近似值

【答案】A

【解析】函數(shù)在零點的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號相反，

即圖像穿過X軸時，能用二分法求函數(shù)零點近似值，據(jù)此分析選項，由圖知，

A選項中，零點的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號相同，函數(shù)不能用二分法求零點近似值；

B選項中，有零點且零點左右兩側(cè)函數(shù)值符號不同，函數(shù)能用二分法求零點近似值;

C選項中，有零點且零點左右兩側(cè)函數(shù)值符號不同，函數(shù)能用二分法求零點近似值;

D選項中，有零點且零點左右兩側(cè)函數(shù)值符號不同，函數(shù)能用二分法求零點近似值.

故選:A

2.（2022.湖北省武昌實驗中學(xué)高一期末）已知函數(shù)/（x）=x-e-'的部分函數(shù)值如下表所示

X10.50.750.6250.5625

f(x)0.6321-0.10650.27760.0897-0.007

那么函數(shù)/（x）的一個零點的近似值（精確度為0.01）為（）A.0.55B.0.57C.0.65D.0.7

【答案】B

【解析】函數(shù)/(x)=A(目在R上單調(diào)遞增，

由數(shù)表知：f(0?5)<f(0?5625)<0</(0.625)<A0.75)<f(l),

由零點存在性定義知，函數(shù)/(x)的零點在區(qū)間(05625,0.625)內(nèi)，

所以函數(shù)/(x)的一個零點的近似值為0.57.

故選：B

3.(2022?全國?高一課時練習(xí))下列選項中不能用二分法求圖中函數(shù)零點近似值的是()

【答案】B

【解析】由圖象可知B中零點是不變號零點，其他圖象中零點都是變號零點，故B不能用二分法求零點近

似值.

故選：B

4.(2022?浙江,高一期末)若"x)=V+/—2x-2的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，數(shù)據(jù)

如下表：

?(1)=-2/(1.5)=0.625

/(1.25)=-0.984/(1.375)=-0.260

“1.438)=0.165/(1.4065)=-0.052

那么方程x3+χ2-2x-2=0的一個近似根(精確到0.1)為()A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5

【答案】C

【解析】根據(jù)二分法，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，

由于/(1.438)=0,165>0,/(1.4065)=-0.052<0

所以方程Λ3+V一2x-2=0的一個近似根所在區(qū)間為(L4065,1.438)

所以符合條件的解為1.4

故選：c.

5.(2022?江蘇?高一)下列關(guān)于二分法的敘述，正確的是()

A.用二分法可求所有函數(shù)零點的近似值

B.用二分法求方程的近似解時，可以精確到小數(shù)點后的任一位

C.二分法無規(guī)律可循，無法在計算機(jī)上完成

D.只有求函數(shù)零點時才用二分法

【答案】B

【解析】根據(jù)二分法的概念可知，只有函數(shù)的圖象在零點附近是連續(xù)不斷且在該零點左右兩側(cè)函數(shù)值異號，

才可以用二分法求函數(shù)的零點的近似值，故A錯；

用二分法求方程的近似解時，可以精確到小數(shù)點后的任一位，故B正確；

二分法有規(guī)律可循，可以通過計算機(jī)來進(jìn)行，故C錯；

求方程的近似解也可以用二分法，故D錯.

故選：B.

6.(2022?全國?高一課時練習(xí))若函數(shù)AX)=X3+f-2x-2的一個正零點附近的函數(shù)值用二分法計算，其

參考數(shù)據(jù)如下：

/(D=-2/(1.5)=0.625/(1.25)=-0.984

/(1.375)=-0.260/(1.4375)=0.162/(1.40625)=-0.054

那么方程j+爐―2x-2=0的一個近似根(精確度0.1)為().A.1.2B.1.4C.1.3D.1.5

【答案】B

【解析】因為/⑴<0J(1.5)>0,所以AI)/(1.5)<0,所以函數(shù)在(1,1.5)內(nèi)有零點，因為1.5-I=O.5>0.<

所以不滿足精確度0.1；

因為/(1.25)<0,所以川.25)/(1.5)<0,所以函數(shù)在(1.25,1.5)內(nèi)有零點，因為L5-1.25=0.25>0.1,所以

不滿足精確度0.1；

因為/(1.375)<O,所以/(1.375)/(1.5)<0,所以函數(shù)在(1.375,1.5)內(nèi)有零點，因為1.5—1.375=0.125>0.1,

所以不滿足精確度0.1；

因為/(1.4375)>0,所以/(1.4375)/(1.375)<0,所以函數(shù)在(1375,1.4375)內(nèi)有零點,因為

1.4375-1.375=0.0625<0.1,所以滿足精確度0.1；

所以方程V+V-2x-2=0的一個近似根(精確度0.05)是區(qū)間(1375,1.4375)內(nèi)的任意一個值(包括端點值)，

根據(jù)四個選項可知選B.

故選：B

7.(2022?湖北?華中師大一附中高一階段練習(xí))在用二分法求方程3x+3χ-8=0在(1,2)內(nèi)近似根的過程

中,已經(jīng)得到〃D<OJ(1?5)>0,/(1.25)<0,則方程的根落在區(qū)間()

A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能確定

【答案】B

【解析】,?7(1)<0,/(1.5)>0,

在區(qū)間(1,1.5)內(nèi)函數(shù)/(x)=3x+3x-8存在一個零點

又?.?f(1.5)>0,/(1.25)<0,

.?.在區(qū)間(1.25,1.5)內(nèi)函數(shù)/(x)=3x+3x-8存在一個零點，

由此可得方程3*+3x-8=0的根落在區(qū)間(1.25,1.5)內(nèi)，

故選：B

8.(2022?全國?高一課時練習(xí))用二分法求函數(shù)/(x)=In(X+l)+x-l在區(qū)間(0,1)內(nèi)零點的近似值，要求誤

差不超過0.01時，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】開區(qū)間(0,1)的長度等于1,每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

所以經(jīng)過，次操作后，區(qū)間長度變?yōu)椤叮?/p>

?.?用二分法求函數(shù)/(x)=In(X+l)+x-1在區(qū)間(0,1)內(nèi)零點的近似值，

要求誤差不超過0.01，

—≤0.01,解得："≥7,

所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為7.

故選：C.

二、多選題

9.(2022.湖北.武漢市第十四中學(xué)高一階段練習(xí))給出下列命題：

①已知函數(shù)/(x-l)=Y-2x+l,貝∣J"5)=26

②當(dāng)α>0且ακl時，函數(shù)F(X)=ɑ'?-3的圖像必過定點(2,-2)

③用二分法求函數(shù)/(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2,3)內(nèi)的零點近似值，至少經(jīng)過3次二分后精確度達(dá)到0.1

④函數(shù)/*)=2”-V的零點有2個

以上命題錯誤的有().

A.①B"C.③D.@

【答案】ACD

【解析】①選項，函數(shù)/(x-l)=χ2-2x+l,所以令x=6代入得：/(5)=6?-12+1=25≠26,故選項錯誤；

②選項，函數(shù)/(x)="-2-3為指數(shù)函數(shù)，當(dāng)％—2=0時，α°=l,此時/(2)=α°-3=-2,所以，此函數(shù)必

過定點(2,-2),該選項正確；

③選項，區(qū)間(2,3)的長度等于1,每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，?jīng)過"次操作后，區(qū)間長

度變?yōu)?，故有/≤0.1,.??〃≥4,至少要操作4次，所以選項錯誤；

④選項，函數(shù)/S)=2'-V的零點有3個，一個是x<0,一個為x=2,一個為*=4,所以選項錯誤.

故選：ACD

10.(2022?全國?高一課時練習(xí))己知函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,3)上有兩個零點，且都可以用二分法求得，其圖

象是連續(xù)不斷的，若y(0)>不/(l)∕(2)∕(3)<O,則下列命題正確的是()

A.函數(shù)的兩個零點可以分別在區(qū)間(0,1)和(1,2)內(nèi)

B.函數(shù)f(x)的兩個零點可以分別在區(qū)間(1,2)和(2,3)內(nèi)

C.函數(shù)“力的兩個零點可以分別在區(qū)間(0』)和(2,3)內(nèi)

D.函數(shù)的兩個零點不可能同時在區(qū)間(1,2)內(nèi)

【答案】ABD

【解析】因為函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,3)上有兩個零點，且都可以用二分法求得，其圖象是連續(xù)不斷的，所以

零點兩側(cè)函數(shù)值異號，

又/(0)>0,/(l)∕(2)∕(3)<0,所以"3)>0,/(l)∕(2)<0,

若/⑴>0J(2)<0,可得/(2)"3)<0,/(l)∕(2)<0,即此時函數(shù)/(x)的兩個零點分別在區(qū)間(1,2)和

(2,3)內(nèi)，故B正確；

若/⑴<0,∕(2)>0,WJ∕(O)∕(1)<O,/(l)∕(2)<0,即此時函數(shù)〃x)的兩個零點分別在區(qū)間(0,1)和

(1,2)內(nèi)，故A正確.

綜上兩種情況，可知選項C錯誤，D正確.

故選：ABD.

11.(2022?全國?高一課時練習(xí))某同學(xué)用二分法求函數(shù)/(x)=2'+3x-7的零點時，計算出如下結(jié)果：

/(1.5卜0.33,/(1.25)≈-0.87,/(1.375)≈-0.28,/(1.4375)≈0.02,/(1.40625)≈-0.13.下列說法正

確的有()

A./(x)的零點在區(qū)間(1?375,1.40625)內(nèi)B.的零點在區(qū)間(125,1.4375)內(nèi)

C.精確到0.1的近似值為1.4D.精確到0.1的近似值為1.5

【答案】BC

【解析】易知是增函數(shù)，因為“1.375卜-0.28<0,/(1.4375)≈0.02>0,所以零點在(1.375,1.4375)

內(nèi)，所以A錯誤，B正確，

乂1.4375和1.375精確至IJ0.1的近似數(shù)都是1.4,所以C正確，D錯誤.

故選：BC.

⑵(2022?全國?高一課時練習(xí))如圖，函數(shù)/(x)的圖像與X軸交于Ma,0),N(X2,0),P(?,0),β(x4,0)

四點，則能用二分法求出/(x)的零點近似值的是()

【答案】ACD

【解析】由題圖，可知在兩側(cè)，函數(shù)f(x)的值均大于0,故巧的近似值不能用二分法求出.其他零點

兩側(cè)函數(shù)值符號均相反，可以用二分法求解近似值.

故選:ACD.

三、填空題

13.(2022?全國?高一專題練習(xí))用二分法研究函數(shù)F(X)=X3+2x-l的零點，第一次經(jīng)計算

/(0)<0,∕(0,5)>0,則第二次計算的/(X)的值為一.

【答案】【解析】因為空地=0.25=,,所以第二次應(yīng)計算

6424<4j

所以冏=Gj+2號T=號

31

故答案為：一力

64

14.(2022.全國?高一課時練習(xí))在用二分法求函數(shù)f(x)的零點近似值時，若第一次所取區(qū)間為［-2,6］,則

第三次所取區(qū)間可能是.(寫出一個符合條件的區(qū)間即可)

【答案】［-2,0］或［0,2］或［2,4］或［4,6］(寫一個即可).

【解析】第一次所取區(qū)間為卜2,6］,則第二次所取區(qū)間可能是12,2］,［2,6］；第三次所取區(qū)間可能是［-2,0］,

［0,2］.［2,4］,［4,6］.

故答案為：［-2,0］或［0,2］或［2,4］或［4,6］(有一個即可).

15.(2022?全國?高一專題練習(xí))用二分法求函數(shù)/(x)=In(X+I)+x-1在區(qū)間［0,1］上的零點，要求精確度

為0.01時，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為.

【答案】7

【解析】根據(jù)題意，原來區(qū)間［0,1］的長度等于1,

每經(jīng)過二分法的一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

則經(jīng)過〃次操作后，區(qū)間的長度為《，若看<0.01,

即n≥7;故最少為7次.

故答案為：7.

16.（2022.江蘇.高一專題練習(xí)）用二分法求方程/-8=0在區(qū)間（2,3）內(nèi)的近似解經(jīng)過________次“二分”

后精確度能達(dá)到0.01.

【答案】7

【解析】：區(qū)間（2,3）的長度為1,

當(dāng)7次二分后區(qū)間長度為J=2<R=0.01,

ZIZoIUU

故要經(jīng)過7次二分后精確度能達(dá)到0.01.

故答案為：7.

四、解答題

17.（2022?全國?高一專題練習(xí)）求函數(shù)F（X）=X3-3白一”+1的一個負(fù)零點（精確度0.01）.

【解析】列表如下：

端點

端點或中點函數(shù)值取區(qū)間

（中點）坐標(biāo)

/(-l)>0,∕(-2)<0(-2,T)

-1-2

?=-?-=-1?5∕?)=4375>0(-2,-1.5)

—1.5—2

X,=------------=-1.75/U,)≈