山東省即墨區(qū)重點高中2023-2024學年高二數(shù)學第一學期期末經典模擬試題含解析

山東省即墨區(qū)重點高中2023-2024學年高二數(shù)學第一學期期末經典模擬試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.某種心臟手術成功率為0.9,現(xiàn)采用隨機模擬方法估計“3例心臟手術全部成功”的概率.先利用計算器或計算機產生

09之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，由于成功率是0.9,故我們用0表示手術不成功，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示手術

成功，再以每3個隨機數(shù)為一組，作為3例手術的結果.經隨機模擬產生如下10組隨機數(shù)：

812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,由此估計“3例心臟手術全部成功”的概率為（）

A.0.9B.0.8

C.0.7D.0.6

2.設等差數(shù)列｛叫,也｝的前"項和分別是S“，力若/熹，*（）

1711

A.—B.—

2020

2212

C.—

1717

22

3.已知橢圓C：二+與=l（a〉6>0）的離心率為三，直線》=四與橢圓C交于A3兩點，。為坐標原點，且

a2b2

OALOB,則橢圓的方程為

222

A—+y2=1B.±+匕=1

242

22

-------1-------=1

84

4.如圖，過拋物線丁=2勿（0>0）的焦點R的直線/交拋物線于點A、B,交其準線于點C,若忸。|=2忸月，

且盟=6,則。的值為（）

A.2B.3

C.4D.5

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的看的值為3,則輸出的§的值為（）

A.3B.6

C.9D.12

6.在數(shù)列｛4｝中，4=2,%+i=1—‘（〃eN*）,則〃2022=。

an

1

A.—1B.—

2

C.2D.l

22

7.若拋物線必=2沖的焦點與橢圓（_+亍=1的下焦點重合，則機的值為（）

A.4B.2

CTD.-2

8.定義“等方差數(shù)列”：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項的平方與它的前一項的平方的差都等于同一個常數(shù)，那么這

個數(shù)列就叫作等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫作該數(shù)列的方公差.設｛a,J是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為4,

%=3&，則數(shù)列1—--\的前24項和為（）

[4+4+1,

A.逑B,3

2

C.3亞D.6

9.向量a=（2,4,5）,向量力=（1,24）,若心6,則實數(shù)。=（）

5

A.—B.1

2

8

C.—2D.——

10.已知F是橢圓C的一個焦點，5是短軸的一個端點，直線3尸與橢圓C的另一個交點為O,且B戶=2FD，則。

的離心率為（)

A.3RW

32

D.顯

-----

32

11.過拋物線/=8x的焦點R作互相垂直的弦AB,。。，貝!||A3|+；|CD|的最小值為（）

A.16B.18

C.32D.64

12.若過點（2,1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線2x-y-3=0的距離為O

A走B.—

55

「3君n475

55

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛a,J的前幾項和為S”，且滿足="2+〃+1,則q+%=.

14.如圖是一個無蓋的正方體盒子展開圖，A,B,C,O是展開圖上的四點，50則在正方體盒子中，AO與平面ABC

所成角的正弦值為.

15.已知正方體ABC。—A4cq的棱長為6,E為棱441的中點，F(xiàn)為棱其耳上的點，且4/：口片=1:5,則

EFBC{=，

16.已知雙曲線■-5=1（?！?］〉0）的左焦點為歹，點尸在雙曲線右支上，若線段PF的中點在以原點。為圓心,

耳為半徑的圓上，且直線PF的斜率為則該雙曲線的離心率是

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，C是以A3為直徑的圓上異于A,3的點，平面K4C,平面筋。,/用=2。=4。=2,后,尸分別是

PC,P3的中點.

（1）證明：石尸，平面PAC；

（2）若直線A3與平面PAC所成角的正切值為2,求銳二面角P-A尸-石的余弦值.

18.（12分）已知5〃為數(shù)列｛4｝的前“項和，。，戶0,且q=l,ASn=anan+l,其中2為常數(shù).

（1）求證：數(shù)列｛%+2-4｝為等差數(shù)列；

（2）是否存在4,使得｛4｝是等差數(shù)列？并說明理由.

19.（12分）如圖，在三棱錐M—ABC中，MA=MB=CA=CB,點P為線段MC上的點.

B

(1)若MC，平面A45,試確定點P的位置，并說明理由；

(2)若M4=2,AB=1,MC=25在(1)成立的前提下，求二面角P-AB-。的余弦值.

20.(12分)在2021年“雙11”網(wǎng)上購物節(jié)期間，某電商平臺銷售了一款新手機，現(xiàn)在該電商為調查這款手機使用后的

“滿意度”，從購買了該款手機的顧客中抽取1000人，每人在規(guī)定區(qū)間[50,100]內給出一個“滿意度”分數(shù)，評分在60

分以下的視為“不滿意”，在60分到80分之間(含60分但不含80分)的視為“基本滿意”，在80分及以上的視為“非

常滿意”.現(xiàn)將他們的評分按[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5組，得到如圖所示的頻率分布直

方圖.

(1)求這1000人中對該款手機“非常滿意”的人數(shù)和“滿意度”評分的中位數(shù)的估計值.

(2)若按“滿意度”采用分層抽樣的方法從這1000名被調查者中抽取20人，再從這20人中隨機抽取3人，記這3人

中對該款手機“非常滿意”的人數(shù)為X.

①寫出X的分布列，并求數(shù)學期望E(X)；

②若被抽取的這3人中對該款手機“非常滿意”的被調查者將獲得100元話費補貼,其他被調查者將獲得50元話費補貼,

請求出這3人將獲得的話費補貼總額的期望.

21.(12分)在平面直角坐標系xQy中，動點尸到直線y=2的距離與到點歹(0,-1)的距離之差為1.

(1)求動點P的軌跡。的方程；

(2)過點”(0,-2)的直線/與。交于A、B兩點,若AOB的面積為4/，求直線/的方程.

22.(10分)(1)已知命題?4—2x20；命題?—<0,若“〃人(「q)”為真命題，求x的取值范圍

x+1

(2)設命題02X2-3X+1<0<0;命題中(x-?)(x-a-l)<0,若是了的充分不必要條件，求實數(shù)a的取

值范圍

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】由題可知10組隨機數(shù)中表示“3例心臟手術全部成功”的有8組，即求.

【詳解】由題意，10組隨機數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,表示“3例心臟手術全部成功”的有：

812,832,569,683,271,989,537,925,故8個，

Q

故估計“3例心臟手術全部成功”的概率為元=0.8.

故選：B.

2、B

【解析】利用魯=裂求解.

4Tn

【詳解】解：因為等差數(shù)列{4},{2}的前"項和分別是5〃,7；,

11（。］+。］］）

所以曰_2_222_11

b64+4111（4+41）G33+720'

22

故選：B

3、D

【解析】根據(jù)等腰直角三角形的性質可得A（夜,0）,將A（0,0）代入橢圓方程，結合離心率為等以及性質

（T=廿+°2列方程組求得/與萬2的值，從而可得結果.

【詳解】設直線》=應與橢圓在第一象限的交點為A（0,yo）,

因為Q4LO5,所以為=0,

方,j

即A（后,夜），由,：=#，

a2=Z?2+c2

可得〃2=6,b2=39

22

故所求橢圓的方程為L+乙=1.故選D.

63

【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程與性質，以及橢圓離心率的應用，意在考查對基礎知識掌握的熟練程度，屬于

中檔題.

4、B

【解析】分別過點A、3作準線的垂線，垂足分別為點￡、D,設忸耳=a,根據(jù)拋物線的定義以及直角三角形的性

質可求得N3CD=30，結合已知條件求得。=2,分析出R為AC的中點，進而可得出p=FG|=；|AE|,即可得

解.

【詳解】如圖，分別過點A、3作準線的垂線，垂足分別為點E、D,

設忸同=a,則由己知得忸。=2?,由拋物線的定義得忸Q|=a,故N3CD=30，

在直角三角形ACE中，|46=6,|AC|=6+3a,

因為2|AE|=|AC[,貝?。?+3a=12,從而得a=2,

所以，|。同=忸。|+忸同=3a=6=|AE|,則R為AC的中點，從而〃=但6|=；卜閭=3.

故選:B.

5、A

【解析】模擬執(zhí)行程序框圖，根據(jù)輸入數(shù)據(jù)，即可求得輸出數(shù)據(jù).

【詳解】當/=3時，不滿足/<1,故s=4t-產=3,即輸出的$的值為3.

故選：A.

6、A

【解析】利用條件可得數(shù)列｛4｝為周期數(shù)列，再借助周期性計算得解.

1*

【詳解】?.?%=2,/+i=l一一(HGN)

an

—11_1_11_11

.?*=1—5=7%=1一廠I，4=-=2,

2「I

所以數(shù)列｛%｝是以3為周期的周期數(shù)列，

??^2022=〃673x4=~9

故選：A.

7、D

22

【解析】求出橢圓土+匕=1的下焦點，即拋物線必=2相丫的焦點，即可得解.

34

22

【詳解】解：橢圓.+：=1的下焦點為(0,—1),

即為拋物線k=2m丫焦點，...一=—1,...加=—2.

-2

故選：D.

8、C

【解析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義，結合等差數(shù)列的通項公式，運用裂項相消法進行求解即可.

【詳解】因為｛q,｝是方公差為4的等方差數(shù)列，所以寸=4,a；=18,

=a/+(H—5)-4=18+4-n—20=4-n—2,a〃=J4”—2，

2

%+4+i

S,4=—(-\/6—\/2^+—^-\/10-,\/6^H---卜］(A/98-J94)

=1(A/98-V2)=|(7V2-V2)=3A/2,

故選：C

9、C

【解析】由空間向量垂直的坐標表示列方程即可求解.

【詳解】因為向量a=（2,4,5）,向量力=（1,2/）,若皿,

則a?=2xl+4x2+5f=0,解得：t=-2,

故選：C.

10、A

【解析】設〃（根，〃），根據(jù)5戶=2ED得根=-e，〃=-萬，代入橢圓方程即可求得離心率.

22

【詳解】設橢圓方程5+與=1,。〉6〉0,02=6-

ab

所以5（03）,/（一（?,。），設￡＞（%〃），BF=2FD

h

所以（-c,—8）=2（〃z+c,〃），所以機=--

在橢圓上，

9c2b2c216

所以三+匚=1—=—e=-

4a24b2a2393

故選：A

11、B

【解析】根據(jù)拋物線方程求出焦點坐標，分別設出8所在直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關

系及弦長公式求得|A到，|CD|,然后利用基本不等式求最值.

【詳解】拋物線＞2=8》的焦點網(wǎng)2,0）,

設直線AB的直線方程為y=k（x-2）,則直線CD的方程為y=-1（x-2）.

K

鞏程％），C（F，%），

由",='（x—2）,得公龍2—（4左2+8）%+4k2=0,

y=8x、7

?.?%+%=”產，同理可得毛+%4=4+8左2.

|AB|H—|CZ)|二項+々+4H—(當+%+4)=4*J8+4+2+2k2

44人

8

=10++2—210+2x242=18.

Q_

當且僅當m=242,即人=±行時取等號.

所以|AB|+；|CD|的最小值為18.

故選：B

12、B

【解析】由題意可知圓心在第一象限，設圓心的坐標為可得圓的半徑為。，寫出圓的標準方程，利用

點（2,1）在圓上，求得實數(shù)。的值，利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線2x-y-3=0的距離.

【詳解】由于圓上的點（2,1）在第一象限，若圓心不在第一象限，

則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，

設圓心的坐標為（a,a）,則圓的半徑為a,

圓的標準方程為（x—a）2+（y—a）2=".

由題意可得（2-?）2+（1-?）2=a2,

可得"一64+5=0，解得。=1或。=5,

所以圓心的坐標為（1,1）或（5,5）,

|2X1-1-3|_2A/5

圓心（1.1）到直線？，，；u的距離均為4=

忑―甘

|2x5-5-3|_2V5

圓心（5.”到直線「，；”的距離均為％

75―甘

圓心到直線2x—y—3=0的距離均為d=

所以，圓心到直線2x-y-3=0的距離為平.

故選：B.

【點睛】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、17

【解析】根據(jù)所給S.的通項公式，代入求得為,并由%=S7-1代入求得由，即可求得1+%的值.

2

【詳解】數(shù)列｛%｝的前〃項和S0=/+〃+1,貝ij%=Si=1+1+1=3,而S?=7?+7+1=57,S6=6+6+1=43,

/.%—5*7—S6=57—43=14,貝!|q+%=3+14=17,

故答案為：17.

14、—##172

22

【解析】先復原正方體，再構造線面角后可求正弦值.

【詳解】

復原后的正方體如圖所示，設4瓦。所在面的正方形的余下的一個頂點為“,

連接DM,則刀加，平面ABC,

故為AO與平面ABC所成角，而NDAB=45°,

故NDAB為AD與平面ABC所成角的正弦值為注.

2

故答案為：

2

15、18

【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量的數(shù)量積運算求解.

【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系：

則E(6,0,3)，尸(6,1,6),2(6,6,0)6(066),

所以EP=(O,l,3),Bq=(-6,0,6),

所以跳■?Bq=18,

故答案為：18

16、3

Q

【解析】如圖利用條件可得忸尸|=2c,=r然后利用雙曲線的定義可得c=3a,即求.

【詳解】如圖設雙曲線的右焦點為尸'，線段尸尸的中點為“，連接尸尸，

則\OM\=c,\PF'\=2c,又直線PF的斜率為專,

在直角三角形FMF'中tanZMFF'=^~,cosNMFF'=|，附'|=2c,

：.\FM\=^,\FP\=^,

Q

,r

：.\FP\-\PF\=--2c=2af即c=3〃，

e=—=3.

a

故答案：3.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析

⑵也

19

【解析】（1）由民尸分別是。5PC的中點，得到BC//EF,在由是圓的直徑，所以BCLAC,結合面面垂直

的性質定理，證得面尸AC,即可證得EFL面PAC；

（2）以C為坐標原點，C4為x軸，CB為y軸，過C垂直于面ABC直線為z軸，建立空間直角坐標系，分別求

得平面AEF與平面的一個法向量，結合向量的夾角公式，即可求解.

【小問1詳解】

證明：在PBC,因為分別是P5PC的中點，所以BC//EF,

又因為8C是圓的直徑，所以

又由平面K4CL平面ABC,平面PA。平面ABC=AC,且BCu平面ABC,

所以面尸AC,

因為BC//EF,所以石尸，面PAC.

【小問2詳解】

解：由（1）知面尸AC,所以直線A3與平面PAC所成角為N54C,

由題意知延=2,BC=4,以C為坐標原點，C4為x軸，CB為y軸，過C垂直于面ABC的直線為z軸，建立空

間直角坐標系，如圖所示，

可得A(2,O,O),3(O,4,O),P(1,O,G),E1,O,^j,F

則AE=-|，°，乎，EF=(0,2,0),AP=(-1,0,73),AF=-|,2,^

_373_

設面皿的法向量為加=(%，X，Z]),貝(1—萬再飛-4一，

EF-m=2yi=0

取玉=1,可得％=0*1=,所以m=(1,0,、/§),

AP-n=-x2+A/3Z2=0

設面尸的法向量為〃二(%,%，z2)，貝卜3百

AF?n——/+2y2-----z1=0'

、22

取Z2=l,可得々="%=旺所以"=6洋1,

2127

m.〃2、/572V57

則|cos〈私外|=------=,所以銳二面角P—A尸—E的余弦值為

|m||n|1919

18、(1)詳見解析:

(2)存在2=2時｛4｝是等差數(shù)列，詳見解析.

【解析】(1)利用S,,與%的關系可得兀%+i=%+](a,/—%),再結合條件即證；

(2)由題可得%=幾，%=1+幾，若｛%｝是等差數(shù)列，可得2=2,進而可求數(shù)列的通項公式，即證.

【小問1詳解】

科=anan+l,

?,4S”+i=。“+1。”+2，

，S/i—%+i2-%)

丸(SR)=Aan+l=(?！?，又*0,

?*?an+2-4=%，

(4+3一%+1)一(%+2一%)=。,

二數(shù)列｛%+2-%｝為等差數(shù)列；

【小問2詳解】

V?i=1,XS“=a,,an+l,

：?%=X，又〃〃+2—=X，

.工/=1+X,

若｛%｝是等差數(shù)列，則q+%=2%，即1+1+4=24,

解得4=2,

當2=2時，由?！?2-。==4=2,

二數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項構成的數(shù)列為首項為L公差為2的等差數(shù)列，

a2m-1=2*1,即a,=九,〃為奇數(shù)，

...數(shù)列｛4｝的偶數(shù)項構成的數(shù)列為首項為2,公差為2的等差數(shù)列，

Aa2m=2m,即=",n為偶數(shù),

綜上可得，當」=2時,a”=n,an+l-an=i,

故存在4=2時，使數(shù)列｛q,｝是等差數(shù)列.

19、（1）點P為MC的中點，理由見解析；

⑵好

5

【解析】（1）由線面垂直得到線線垂直，進而由三線合一得到點P為的中點；（2）作出輔助線，找到二面角的平

面角，利用勾股定理求出各邊長，用余弦定理求出答案.

【小問1詳解】

點P為的中點，理由如下：

因為平面RIB,PAPBu平面7^45,所以MC，出,MC±PB,又舷4=MB=C4=CB,由三線合一

得：點P為的中點

【小問2詳解】

取A3的中點打，連接PH,CH,則由（1）知：MBC=MAC,結合點尸為MC的中點，所以故由三線

合一得：PHLAB,且所以NCHP即為二面角P-AB-C的平面角，

PC=6，BH=g,由勾股定理得：

因為A￡4=2,MC-2^/3>AB=1,所以=C4=CB=2,

―,CHZCB?-BH?4

PB=VBC2-PC2=A/4^3=1，PH=y/PB2-BH2===」—工=叵,

2V42

15,3.

CH2+PH2-PC~3―亞

在中，由余弦定理得：cosZCHP==-

ZCrz-rrL.屈百一5'

Zx-----x----

22

故二面角尸-AB-C的余弦值為好

5

M

9?

20、(1)65分(2)①分布列答案見解析，數(shù)學期望：—；②172.5元

20

【解析】(1)由圖可知中位數(shù)在第二組，則設中位數(shù)為60+尤(0<%<10),從而得Q3+0.04%=0.5,解方程可得答

案，

(2)①由題意可求得“不滿意”與“基本滿意”的用戶應抽取17人，“非常滿意”的用戶應抽取3人，則X的可能取值分

別為0,1,2,3,然后求出對應的概率，從而可求得其分布列和期望，②設這3人獲得的話費補貼總額為匕則

Y=100X+50(3-X)=50X+150,然后由①結合期望的性質可求得答案

【小問1詳解】

這1000人中對該款手機“非常滿意”的人數(shù)為1000X0.015X10=150.

由頻率分布直方圖可得，得分的中位數(shù)為60+無(0<%<10),則Q3+0.04x=0.5,解得x=5,所以中位數(shù)為65分.

【小問2詳解】

①若按“滿意度”采用分層抽樣的方法從這1000名被調查者中抽取20人，貝!1“不滿意”與“基本滿意”的用戶應抽取

20x—=17A,“非常滿意”的用戶應抽取20x-=3人，

100100

X的可能取值分別為0,1,2,3,

P(X=6=*黑嗡"=1)=巖=篙34

95

C2cl5117C31

23=2)=上孕=旦——，P(X=3)===——

C；o1140380Cl1140

則X的分布列為

X0123

6580408511

P

1140114011401140

di、八八680,408?51c15139

故E(X)=0x-------nix-------1-2x------F3x-------=------——

11401140114011401