2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第11講：導(dǎo)數(shù)（附答案解析）

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第11講：導(dǎo)數(shù)

選擇題（共10小題，滿分50分,每小題5分）

1.（5分）（2022春?朝陽區(qū)校級期中）如圖，函數(shù)y=∕（x）的圖像在點尸處的切線方程是

N=-χ+9,則/(5)+f(5)=()

A.-2B.3C.2D.-3

2.（5分）（2022春?黃埔區(qū)校級期中）函數(shù)f（X）」在點Z（1,1）處的切線為直線/,則

X

/的傾斜角是（）

A.?B.__C..兀D.5兀,

4646

3.（5分）（2022?上饒一模）設(shè)/G）為可導(dǎo)函數(shù)，且Iim叢止要匹立=-1，則

Δχ→041

曲線y=∕G）在點（1,/（1））處的切線斜率為（）

A.-1C.1D.」

2

4.（5分）（2022春?香洲區(qū)校級期中）已知函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù)為/（X）,且/（1）=5,

則Iim工11±2與）二f（IL=（）

?χ→0Ax

A.2C.5D.10

5.（5分）（2022春?船山區(qū)校級期中）已知函數(shù)/G）的導(dǎo)數(shù)為/（x）,若/（x）=X3+3∕

(I)X2+2X,(2)=()

A.26B.12C.8D.2

6.(5分)(2022春?濮陽期末)已知/(x)=Ixlnx-f(1)x,則/(e)=()

A.eB.OC.-eD.-1

7.（5分）（2022?南通模擬）已知函數(shù)∕G）=（χ-α）（x-b）產(chǎn)在處取極小值，且

/（x）的極大值為4,則6=（）

A.-1B.2C.~3D.4

第1頁（共42頁）

8.（5分）（2022春?思明區(qū)校級期中）若函數(shù)f（χ）與-InX+x（k∈R）有三個極值點，

e

則人的取值范圍是（）

A.Ce,+8)B.(0,e)C.(β-1,+8)D.(O,e-1)

9.（5分）（2022?乙卷）函數(shù)f(x)=COSX+(x+l)sinx+1在區(qū)間［0,2π］的最小值、最大值

分別為（）

π_π

A-冗冗B.工C.一,2L+2D?工2L+2

222V2222

10.（5分）（2022?景德鎮(zhèn)模擬）已知Q=C(U)3-1,b」,c—lni.03,則α,b,C的大小

103

關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

二.多選題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

（多選）11.（5分）（2021春?遼寧期末）已知/（x）=W,下列說法正確的是（）

X

A./（x）在x=l處的切線方程為V=X-I

B.單調(diào)遞減區(qū)間為（e,+∞）

C./（x）的極小值為工

e

D.方程/（x）=-1有兩個不同的解

（多選）12.（5分）（2021春?遼寧期中）已知函數(shù)/（x）及其導(dǎo)數(shù)/（x）,若存在xo,使

得/（xo）=/（xo），則稱xo是/（x）的一個“巧值點下列函數(shù)中，有“巧值點”的

是（）

2x

A.f（X）-XB.f（X）-eC.f（X）-InxD.f（χ）=A

X

（多選）13.（5分）（2021春?萬州區(qū)校級月考）已知函數(shù)/（x）="-"有兩個零點XlV

X2,則下列說法正確的是（）

A.a>e

B.X?+X2>2

C.X↑X2^>1

D.有極小值點xo,且XI+X2<2XO

（多選）14.（5分）（2022?新高考I）已知函數(shù)/（x）=x3-x+l,則（）

A./（x）有兩個極值點

B./（x）有三個零點

第2頁（共42頁）

C.點(O,1)是曲線y=/(X)的對稱中心

D.直線y=2x是曲線y=∕(x)的切線

(多選)15.(5分)(2022?滄州模擬)已知三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx-1?若函數(shù)g(x)

=/(-%)+1的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，且g(-2)<0,則()

A.?<0

B.g(x)有3個零點

C.f(x)的對稱中心是(-1,0)

D.12a-4b+c<0

Ξ.填空題(共5小題，滿分25分，每小題5分)

16.(5分)(2022?乙卷)己知x=xι和X=X2分別是函數(shù)/(x)-2ax-ex2(a>0且αWl)

的極小值點和極大值點.若xι<x2,則α的取值范圍是.

17.(5分)(2022春?滕州市期中)已知函數(shù)/(x)=SinX+αX在X=^-處取得極值，則”

18.(5分)(2022?河南模擬)已知函數(shù)/(x)=mlnx-2x3-4ex2-nix(w≥0),若/(x)

在[1,+8)上有零點，則實數(shù)機(jī)的取值范圍為.

19.(5分)(2022?重慶模擬)若函數(shù)/(x)=ex+αx在x=2處取極值，則α=.

20.(5分)(2022春?懷寧縣校級期中)已知函數(shù)f(χ)=eX]aχ3(aCR>若函數(shù)八工)

3

存在唯一的極小值點.則實數(shù)a的取值范圍是.

四.解答題(共5小題，滿分50分，每小題10分)

21.(10分)(2022?河西區(qū)模擬)已知函數(shù)/(x)=α∕"χ-f+3x+30.

(I)當(dāng)α=2時，求/(x)的極值.

(II)討論/(x)的單調(diào)性；

(HI)若0<a<[,證明：f(X)^≤---χ^+3χ?

4X

X

22.(10分)(2022?昌平區(qū)二模)己知函數(shù)/(x)=alnx-bx+b,g(χ)=Λ--a(x>Q)?

X

(I)若曲線y=∕(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(1,C)處具有公共切線，求實

數(shù)。，6的值；

(II)若函數(shù)g(X)無零點，求實數(shù)α的取值范圍；

(III)當(dāng)α=b時，函數(shù)∕7(x)=f(x)+g(X)在X=1處取得極小值，求實數(shù)a的取值

第3頁(共42頁)

范圍.

23.(10分)(2022?西城區(qū)二模)已知函數(shù)/(x)=Inx；a.

(I)若/(1)=L求。的值；

4

(II)當(dāng)α>2時，

①求證：/(x)有唯一的極值點XI；

②記/(x)的零點為xo,是否存在α使得紅We??說明理由.

xO

24.(10分)(2022?南開區(qū)模擬)設(shè)函數(shù)/(x)=eax-alnx(α∈R,α≠0)?

(I)當(dāng)α=l時，求曲線y=/(%)在點(1,/(D)處的切線方程；

(II)若/(x)有兩個極值點，求〃的取值范圍；

(III)當(dāng)〃=1時，若0<b《華→求證：f(x)+l>x2+sinx+(bχ-a)lux,

25.(10分)(2022?上饒模擬)已知函數(shù)/(x)=(X-Q)InX-XbU1,其中α>0?

(1)求/(x)的極值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=∕(x)有三個不同的極值點XI，X2,X3?

X

(i)求實數(shù)。的取值范圍；

(ii)證明：XI2+X22÷X32>3.

第4頁(共42頁)

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第11講：導(dǎo)數(shù)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題，滿分50分，每小題5分)

1.(5分)(2022春?朝陽區(qū)校級期中)如圖，函數(shù)y=∕(x)的圖像在點P處的切線方程是

y=-x+9,則/(5)4∕f(5)=()

A.-2B.3C.2D.-3

【考點】導(dǎo)數(shù)及其幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程.

【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及圖像得/(5),/(5),即可求出結(jié)果.

【解答】解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，f(5)=-1,/(5)=-5+9=4,

Λ∕(5)+f(5)=4+(-I)=3,

故選：B.

【點評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

2.(5分)(2022春?黃埔區(qū)校級期中)函數(shù)f(χ)hL在點/(1,1)處的切線為直線/,則

X

/的傾斜角是()

A.—B.—C..??D..??

4646

【考點】導(dǎo)數(shù)及其幾何意義.

【專題】計算題；對應(yīng)思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.

【解答】解：?.?f(x)」，.?./(X)=-?,(1)=-\,

XX2

即/(x)在Z(1,1)處的切線的斜率左=/(1)=-I,

即tanα=-1,Vα∈[0,π),

第5頁(共42頁)

.?.ɑ="

4

故選：C.

【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，其中切線斜率和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決

本題的關(guān)鍵.比較基礎(chǔ).

3.(5分)(2022?上饒一模)設(shè)/?)為可導(dǎo)函數(shù)，且Iim工U)三.=_1則

AXfO"

曲線y=∕(x)在點(1,/(D)處的切線斜率為()

A.2B.-1C.1D.,Λ

2

【考點】導(dǎo)數(shù)及其幾何意義.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】將已知關(guān)系式化為Iimf(?)-f(l-2?χ)X2,由此即可求解.

?x→θ2?X

【解答】解：因為/(χ)為可導(dǎo)函數(shù)，且Iim/L；W上2△9二-1，

AXfOX

貝UIimf'⑴r)x2=y(i)=-ι,

Δχ-*?Q2?X

所以/(1)=-?,即為曲線y=f(x)在點(1,/(1))處的切線斜率，

2

故選：D.

【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.(5分)(2022春?香洲區(qū)校級期中)已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/(X),且/(1)=5,

則Iim'JY'L'-=()

AXfO

A.2B.?C.5D.10

2

【考點】變化的快慢與變化率.

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題意，由極限的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的定義可得Iimf(l+2?x)-f(D

AXfO4%

(1),進(jìn)而得到答案.

【解答】解：函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),且/(1)=5,

則Iimf。+2個A，⑴=2XIim,(1+2△:Af⑴=2f(?)=10,

Δx→0Δx→03大

故選：D.

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的定義，涉及極限的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

第6頁(共42頁)

5.(5分)(2022春?船山區(qū)校級期中)已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)為/(x),若/(x)=/+3/

(1)X2+2X,則/(2)=()

A.26B.12C.8D.2

【考點】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計算即可.

【解答】解：因為/(x)=3x2+6f(1)x+2,所以/(1)=3×l2+6∕*(1)×l+2,解得:

/(1)=-1,所以/(2)=3×22+6×(-1)×2+2=2.

故選：D.

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.(5分)(2022春?濮陽期末)已知/(x)=2xlnx-f(1)x,則/(e)=()

A.eB.0C.-eD.-1

【考點】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式運(yùn)算判斷即可.

【解答】解：因為/(x)=2xlnx-f(1)X,所以∕'(X)=2lnx+2x?^-f(1)=2lnx+2

X

-/⑴，

所以/'(1)=2-/(1),解得/(1)=1,

所以/(e)2elne-f(1)e=e.

故選：A.

【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.(5分)(2022?南通模擬)已知函數(shù)/(x)=(χ-α)(x-b)，在x=α處取極小值，且

/(x)的極大值為4,則6=()

A.-IB.2C.-3D.4

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】計算題；函數(shù)思想；分析法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】對/(x)求導(dǎo)，由函數(shù)/(x)=(χ-α)(χ-b)，在x="處取極小值，所以，

(a)=0,所以α=b,.?.∕(x)=(χ-α)V,對/(x)求導(dǎo)，求單調(diào)區(qū)間及極大值，

由/(x)的極大值為4,列方程得解.

第7頁(共42頁)

【解答】解：fCx)—(X-α)(χ-b)ex-(x2-ax-bx+ab)et,

所以f(x)=(2x-a-b)ex+(x2-ax-bx+ab)ex-ex[x2+(.2-a-t>)x+ab-a-b},

因為函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)ex在x="處取極小值，

所以，(α)=ca[a2+(2-a-h)a+ah-a-b]=eaCa-b)=0,

所以a—b,二/(x)=(x-α)2ef,f(x)-ex[x2+(2-2α)x+a2-2a]-ex(x-4)[x

-(a-2)],

令，(X)=0,得x—a或x—a-2,當(dāng)Xe(-8,°-2)時，，(x)>0,所以/(X)

在(-8,α-2)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(α-2,a)時，f(x)<0,所以/(x)在(0-2,a)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈Ca,+∞)時，/(X)>0,所以/(x)在(4,+∞)單調(diào)遞增，

所以/(x)在x=α-2處有極大值為/(α-2)^4ea'2'4,

解得α=2,所以6=2.

故選:B.

【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

8.(5分)(2022春?思明區(qū)校級期中)若函數(shù)f(χ)與-InX+x(kER)有三個極值點，

則k的取值范圍是()

A.(e,+8)B.(0,e)C.(e-1,+∞)D.(0,e-1)

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；構(gòu)造法；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】把題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(χ)與-InX+x(k∈R)有三個極值點，即kW必有兩

exx

個不等于1的正實數(shù)根.利用導(dǎo)數(shù)求出%>c,再驗證其符合題意.

【解答】解：fG)鳥-InX+x的定義域為(°，+8)?f'(X)=(I-X)(三工)?

令/(x)=0,顯然X=I是方程的一個根.

由函數(shù)f(x)=?Tnx+x(k∈R)有三個極值點，

e

可知kW必有兩個不等于1的正實數(shù)根.

X

XX

令g(x)=~，(x>0>則g'(x)(χ-l)?

XX2

第8頁(共42頁)

令g(x)>0,有X>l;令g(x)<0,有O<X<1;

所以g(X)而”=g(1)=e,因此有A>e.

此時k=?≤—有兩個根。、b,其中0<αVl<l<4

X

所以在(O,a)上，f(X)<0,f(x)單調(diào)遞減；

在(4,1)上，/(X)>0,f(x)單調(diào)遞增；

在(1,?)±,/(X)<0,f(,x)單調(diào)遞減；

在(b,+8)上，/(χ)>0,f(x)單調(diào)遞增.

所以/(x)有三個極值點，符合題意.

故人的取值范圍是(e,+o°).

故選：A.

【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，

屬中檔題.

9.(5分)(2022?乙卷)函數(shù)/(x)=cosx+(x+l)sinx+1在區(qū)間［O,2n］的最小值、最大值

分別為()

A-兀nB-3兀兀C-兀兀+2D-3兀兀+2

22222222

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.

【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)/(X)=(x+l)COSX,令COSX=O得，X=2L^,:-^-,根據(jù)導(dǎo)

函數(shù)，(X)的正負(fù)得到函數(shù)/(X)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)/(X)的極值，再與端點

值比較即可.

【解答】解：f(x)=CoSX+(Λ+1)sinx+l,x∈［0,2π］,

則，(x)=-sinx+sinx+(X+1)COSX=(x+l)cosr.

令COSX=O得，X=」或3兀，

22

.?.當(dāng)X∈［O,?)時，f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；當(dāng)工€(?,2∣L)時，/(x)

<0,f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(22L,2n］時，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

2

：.f(x)在區(qū)間［O,2π］上的極大值為/(?L)=工+2,極小值為/(空)=-^2L,

2222

又?：f(O)=2,f(2π)=2,

第9頁(共42頁)

.?.函數(shù)f(x)在區(qū)間［O,2τr］的最小值為-22L,最大值為工+2，

22

故選：D.

【點評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題.

10.(5分)(2022?景德鎮(zhèn)模擬)已知α=e°?°3-l,h=?,c=∕nl.03)則α,h,C的大小

103

關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；對數(shù)值大小的比較.

【專題】計算題；函數(shù)思想；構(gòu)造法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】記/(x)=∕-χ-1,g(x)=lnχ-χ+l,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可

得/03-1>0.o3,?1.03<0.03,即q>c;再記入(x)=In(1+x)--×—,利用

IOO100+x

導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可得歷1.03-2>0,由此能判斷α,b,C的大小關(guān)系.

103

【解答】解：記/(x)=∕-x-1,則/(x)=∕-l,

令/(X)>0,解得x>0,

令/(x)<0,解得x<0,

：.f(x)=e，-x-1在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

Λ∕(0.03)>/(0)=0,

即e003-l>0.03,

記g(x)-Inx-x+1,則g'(x)=_L-1,

X

令g'(x)<0,解得x>l,

故g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

故g(1.03)<g(1)=0,

BPZn1.03-1.03+K0,

即/n1.03<0.03,

故a>c,

i己〃(x)=In(1+—.x-)-——■*——，

100100+x

則〃，(X)=—?—K)O+X-X=-------X-------,

l-k?l00(100+x)2(100+x)2

100

故當(dāng)x∈(0,+∞)時，h'(X)>0,

第10頁(共42頁)

故〃(X)在(O,÷∞)上是增函數(shù),

故∕z(3)>h(0),

即加1.03--J->0,

103

即c>b,

故a>c>b,

故選：B.

【點評】本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查構(gòu)造法、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)

知識，考查運(yùn)算求解能力，是難題.

二.多選題(共5小題，滿分25分，每小題5分)

(多選)11.(5分)(2021春?遼寧期末)已知/(x)=亞，下列說法正確的是()

X

A.f(x)在X=I處的切線方程為V=X-I

B,單調(diào)遞減區(qū)間為(e,+8)

C./(x)的極小值為工

e

D.方程/(x)=-1有兩個不同的解

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上

某點切線方程.

【專題】函數(shù)思想；分析法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】對/(x)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得到切線的斜率，再利用直線的點

斜式，即可判斷/選項，根據(jù)已知條件，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/(x)的單調(diào)性，極值，即

可判斷5,C選項，將方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像交點的個數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)

性，即可求解.

【解答】解：?.>(x)=?

X

.V(X)=上虹

j2

X

：.f(1)=1/1)=0,

：.f(x)的圖像在點(1,0)處的切線方程為y-0=/(x)(X-1),即y=χ-1,故《選

項正確，

當(dāng)x∈(0,e)時，f(X)>0,/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x6(e,+∞)時，/(x)<0,f(x)

第11頁(共42頁)

單調(diào)遞減，即/(x)的極大值也是最大值為/(e)==空?hL,故B選項正確，C選項錯

ee

誤，

方程/(x)=-1有兩個不同的解，即為/"x=-χ,函數(shù)y=/〃x與N=-X圖像交點的個

數(shù)，

；函數(shù)N=加X在(0,+8)單調(diào)遞增，且當(dāng)X趨近于正0時，y趨近于-8,且y=-X

單調(diào)遞減，

.?.函數(shù)V=∕"X與N=-X圖像交點的個數(shù)為1個，故。選項錯誤.

故選：AB.

【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，以及函數(shù)的單調(diào)性，最值，切線，屬于中檔題.

(多選)12.(5分)(2021春?遼寧期中)已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)數(shù)/(x),若存在xo,使

得f(X0)=/(Xl)),則稱XO是/(x)的一個“巧值點下列函數(shù)中，有“巧值點”的

是()

2x

A.f(X)=xB.f(x)=eC.f(X)=InxD.?(χ)=A

X

【考點】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】數(shù)形結(jié)合；方程思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、“巧值點”的定義即可得出結(jié)論.

【解答】解：A./(x)=x2,f(x)=2x,由f=2χ,解得X=0,2,因此此函數(shù)有“巧

B.f(x)-e'x,f(x)--e'x,由eY=--*,即e'=0,無解，因此此函數(shù)無“巧

值點”；

C.uf(x)-Inx,f(x)=工，由/〃X=工，分別畫出圖象：y—lnx,y——(x>0))由

XXX

圖象可知：兩函數(shù)圖象有交點，因此此函數(shù)有“巧值點”：

第12頁(共42頁)

D.f(x)=Xf'(x)=--?,由工=--?-,解得X=-1,因此此函數(shù)有“巧值點”

XX2xX2

-1.

故選：ACD.

【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、新定義、方程的解法、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推

理能力，屬于基礎(chǔ)題.

(多選)13.(5分)(2021春?萬州區(qū)校級月考)已知函數(shù)/(x)=∕-αx有兩個零點內(nèi)<

X2,則下列說法正確的是()

A.a^>e

B.XI+%2>2

C.x?xι>1

D.有極小值點xo，且xι+x2V2xo

【考點】函數(shù)在某點取得極值的條件.

【專題】計算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.

【分析】對四個選項分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

【解答】解：???∕G)

xx

:?f(x)=e-a,令f(X)=e-a>0f

①當(dāng)αW0時?，/(x)=∕-α>0在XeR上恒成立，

.?.∕(x)在R上單調(diào)遞增.

②當(dāng)α>0時，?./(x)=∕-a>0,.?.∕-α>0,解得x>∕"”,

(x)在(-8,ιna)單調(diào)遞減，在kina,+∞)單調(diào)遞增.

：函數(shù)/(x)=∕-αx有兩個零點xι<x2,

(Ina)<0>α>0,.?elna-alna<0,.'.a>e,/正確;

設(shè)t上,則/>1,-tτ)x∣=t=χ,3,

1

χ1t-1

??xi÷x2-2=(t÷l)xι-2^(lnt-2×^)^(lnt-2÷τ?-)-

，―Jt-I)2〉o,

令g(t)=Int-2晨普，貝Ug(t)]

(t+l)2t(t+l)2

第13頁(共42頁)

.?.g(?)>g(,1)>0,.>.xι+x2^2>0>XI+X2>2,B正確；

f(O)=l>0,.?.0Vχι<l,XlX2>1不一定，C不正確；

f(x)在(-8,Irla)單調(diào)遞減，在Qna,+∞)單調(diào)遞增，,有極小值點XO=由

圖象觀察可得xι+x2<2xo=2∕"α,。正確.

故選：ABD.

【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，研究函數(shù)的零點問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

的單調(diào)性，對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性.

(多選)14.(5分)(2022?新高考I)已知函數(shù)/(x)=x3-x+l,則()

A./(x)有兩個極值點

B./(x)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=/(x)的對稱中心

D.直線y=2x是曲線y=/(x)的切線

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】對函數(shù)/(x)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性和極值情況，即可判斷選項由/(x)

(-X)=2,可判斷選項C；假設(shè)y=2x是曲線y=∕(x)的切線，設(shè)切點為(a,b),求

出。，6的值，驗證點(α,b)是否在曲線V=/(x)上即可.

【解答】解：f(?)=3/-1,令，(?)>0,解得χ<岑或x〉夸，令，(x)

<0,解得MΣ<χ<近，

3*3__

.?.∕(x)在(-8,-冬)，(喙，田)上單調(diào)遞增，在(冬，喙)上單調(diào)遞減，

且f(*金鏟?>0,f曄)上落〉0

dyOy

.?.∕(x)有兩個極值點，有且僅有一個零點，故選項/正確，選項8錯誤：

又f(X)+f(-x)=X3-x+1-x3+x+1=2,則f(x)關(guān)于點(0,1)對稱，故選項C正

確；

假設(shè)y=2x是曲線產(chǎn)/(x)的切線，設(shè)切點為(α"),則［3a2-l=2,解得卜=1或Ia=-I,

.2a=bIb=2Ib=-2

顯然(1,2)和(-1,-2)均不在曲線y=/(x)上，故選項。錯誤.

故選：AC.

第14頁(共42頁)

【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值以及曲線在某點的切線方程，考查

運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

(多選)15.(5分)(2022?滄州模擬)已知三次函數(shù)/(x)=ax3+bx2+cx-1,若函數(shù)gG)

=/(-%)+1的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，且g(-2)<0,則()

A.a<0

B.g(x)有3個零點

C./(x)的對稱中心是(-1,0)

D.12α-4b+c<0

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；直觀想象：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

［分析】由題設(shè)g(X)=-axi+bx2-ex,且g(x)+g(2-x)=0,可得b=3α,c=2a,

代入解析式，結(jié)合已知條件即可判斷選項的正誤.

【解答】解：由題設(shè)可知：g(x)=-axi+bx2-ex,且g(x)+g(2-x)=0,

所以0r3-bx2+cx+α(2-x)3-e(2-x)2+c(2-χ)=0,

整理得(3a-b)X2+2Cb-3a)x+4a-2b+c=0,

故(3a=b,可得6=3α,c=2a,

{4a+c=2b

故g(x)—-ax(X-I)(X-2),

又g(-2)=24a<0,即q<0,Z正確；

g(x)有3個零點，3正確；

由g(X)+g(2-x)—f(-x)+?+f(X-2)+1=0,

則/(-x)4∕(χ-2)=-2,所以/(x)關(guān)于(-1,-1)對稱，C錯誤；

12。-4?+c=12a-?2a+2a=2a<0,D正確.

故選：ABD.

【點評】本題考查了函數(shù)的對稱性及零點，難點在于找出α,b,C之間的關(guān)系，屬于中

檔題.

Ξ.填空題(共5小題，滿分25分，每小題5分)

16.(5分)(2022?乙卷)已知X=Xl和X=X2分別是函數(shù)/(x)—2crγ-ex2(α>0且αWl)

的極小值點和極大值點.若xι<x2,則α的取值范圍是_(工，1)_.

e

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

第15頁(共42頁)

【專題】函數(shù)思想；分類法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由已知分析函數(shù)/(%)=2Ina-ex)至少應(yīng)該兩個變號零點，對其再求導(dǎo)

f(x)=2/(∕πα)2-2e,分類討論O<α<l和o>l時兩種情況即可得出結(jié)果.

【解答】解：對原函數(shù)求導(dǎo)∕'(X)=2(axlna-ex),分析可知：f(x)在定義域內(nèi)至

少有兩個變號零點，

對其再求導(dǎo)可得：f'(x)-2ax(Ina)2-Ie,

當(dāng)α>l時，易知/(X)在R上單調(diào)遞增，此時若存在Xo使得/(XO)=0,

則/(X)在(-∞,XO)單調(diào)遞減，(X0，+8)單調(diào)遞增，

此時若函數(shù)/(x)在X=Xl和X=X2分別取極小值點和極大值點，應(yīng)滿足X1>X2,不滿足

題意；

當(dāng)0<“<l時，易知/(x)在R上單調(diào)遞減，此時若存在xo使得/(XO)=0,

則/(X)在(-8,XO)單調(diào)遞增，(X0，+∞)單調(diào)遞減，且XC=IOg-------------

xOxuδa∕、2

(I1na)

此時若函數(shù)/(X)在X=Xl和X=X2分別取極小值點和極大值點，且Xl<X2,

故僅需滿足/(Xo)>0,

即

1e

τr->elog-?-=a=<―?Ina

aIna(Ina)

IrIa(Ina)(Ina)2

■"?"lna^≤I-In(Ina)2,

Ina

解得：l<a<e,又因為OVoVl,故工<@<1

ee

綜上所述：〃的取值范圍是R,1).

【點評】本題主要考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于

中檔題.

17.(5分)(2022春?滕州市期中)已知函數(shù)/(x)=SinX+αx在XT?處取得極值，則α=

JL_

~r2~'

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】方程思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)極值點處導(dǎo)函數(shù)為零可求解.

【解答】解：因為/(X)=SinX+QX,則/(X)=CoSX+4,

第16頁(共42頁)

由題意，可知f，(工)=cos?L+a=0=a=」，經(jīng)檢驗滿足題意.

x332

故答案為：-1.

2

【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了方程思想，屬基礎(chǔ)題.

18.(5分)(2022?河南模擬)已知函數(shù)/(冗)=mlnx-2x3-4βx2-mx(w≥0),若/(x)

在［1,+8)上有零點，則實數(shù)機(jī)的取值范圍為ro,.?iι..

e-1

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】將條件轉(zhuǎn)化為m上絲工=2χ2-4ex在口，+∞>上有解，令

X

g(x)="x、h(X)=2χ2-4ex并利用導(dǎo)數(shù)研究它們在口，+8)上的單調(diào)性和最值,

X

注意最值對應(yīng)的自變量，結(jié)合mg(X)max^h(X)加〃即可求用的范圍.

32

【解答】解：若/(x)=tnlnx-2x+4ex-mx=Q,則ιnL軍蘭=2x2-Mx，

X

令g(x)=i^且QL則g'(X)上磬，

XX

故［1,。)上g'(X)>0,(e,+8)上g'(X)<0,

所以g(X)在［1,e)上遞增，在(e,+8)上遞減，故g(χ)<g(e)上旦；

e

令〃(x)=2χ2-4ex且x21,貝U力'(X)=4x-4e>0f故［1,e)上〃'(x)<0,(e,

,

+8)上h(x)>0,

所以〃(x)在［1,e)上遞減，在(e,+8)上遞增，故〃(χ)2〃(e)=-2/；

要使/G)在［1,+8)上有零點，

只需LeZ,可得0=≤∏r≤'),

eeT

9a3

故答案為：［0,Z≡T?

e-l

【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，屬于中檔題.

19.(5分)(2022?重慶模擬)若函數(shù)/(x)=ex+αx在x=2處取極值，則a=-e?.

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】依題意，由/(2)=e2+a=0,可求得答案.

【解答】解：?.∕(x)=然+以在x=2處取極值，

第17頁(共42頁)

：.f(2)=e2+α=0,

解得a--e2,

經(jīng)檢驗，適合題意，

故答案為：-e2.

【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

20.(5分)(2022春?懷寧縣校級期中)已知函數(shù)f(x)=eX」ax3(aER)，若函數(shù)/⑴

3

2

存在唯一的極小值點.則實數(shù)〃的取值范圍是_