2023年北京重點校初二（下）期中數(shù)學(xué)試卷匯編：四邊形章節(jié)綜合3

答案第=page2020頁，共=sectionpages4646頁答案第=page1919頁，共=sectionpages4646頁2023北京重點校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編四邊形章節(jié)綜合3一、單選題1．（2023春·北京海淀·八年級首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，的對角線與相交于點，，若，，則的長是（

）A．4 B．5 C．6 D．82．（2023春·北京海淀·八年級首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在矩形中，對角線，相交于點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2023春·北京海淀·八年級北大附中?？计谥校┤鐖D，已知平行四邊形，的角平分線交邊于點．交延長線于點，如果，那么的度數(shù)是（

）A． B． C． D．4．（2023春·北京朝陽·八年級北京八十中?？计谥校┌岩粋€平面圖形分成面積相等的兩部分的線段稱作這個圖形的等積線段，菱形中，，，則菱形的等積線段長度取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023春·北京朝陽·八年級北京八十中?？计谥校┤鐖D，矩形，，對角線，交于，若，則的長為（

）A．4 B． C． D．166．（2023春·北京海淀·八年級人大附中?？计谥校┤鐖D，在中，，F(xiàn)是的中點，作于E，連接、，下列結(jié)論不成立的是（

）A． B．C． D．7．（2023春·北京海淀·八年級人大附中校考期中）如圖，在中，，E為上一點，且，過D作交于F，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．8．（2023春·北京海淀·八年級人大附中?？计谥校┤鐖D，的對角線相交于點O，且，．則的周長為（

）A．13 B．8 C．7 D．59．（2023春·北京西城·八年級北京市第一六一中學(xué)校考期中）如圖，在矩形中，E是邊上的一點，將沿所在直線折疊，點C落在邊上，落點記為F，過點F作交于點G，連接．若，，則四邊形的面積是（

）A． B． C．20 D．1010．（2023春·北京西城·八年級北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┰诹庑沃?，若，周長為16，則這個菱形的兩條對角線長分別為（

）A．2， B．4， C．4，4 D．，11．（2023春·北京西城·八年級北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，點D，E分別是邊，的中點，那么的長為（

）A． B．2 C．3 D．4二、填空題12．（2023春·北京海淀·八年級北大附中?？计谥校┤鐖D，在中，，分別為，邊的中點，若，則的長為．13．（2023春·北京西城·八年級北師大實驗中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，在邊上截取，連接，過點A作于點E．已知，，如果F是邊的中點，連接，那么的長是．14．（2023春·北京西城·八年級北師大實驗中學(xué)?？计谥校┤鐖D，菱形的兩條對角線，交于點O，若，，則菱形的周長為．

15．（2023春·北京西城·八年級北師大實驗中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方形中，點E是對角線上的一點，且，連接，，則的度數(shù)為．16．（2023春·北京朝陽·八年級北京八十中校考期中）如圖，公路、互相垂直，公路的中點與點被湖隔開，若測得的長為，則，之間的距離是．17．（2023春·北京海淀·八年級人大附中?？计谥校┤鐖D，等邊邊長為2，點D為邊延長線上一動點，，，點F是線段的中點，連接．（1）用等式表示線段和的數(shù)量關(guān)系為：；（2）線段長度的最小值為：．18．（2023春·北京海淀·八年級人大附中校考期中）如圖，點A，B為定點，直線，P是l上一動點，點M，N分別為的中點，對于下列各值：①線段的長；②的周長；③的面積；④的大??；⑤直線與之間的距離．其中會隨點P的移動而發(fā)生變化的是（填序號）．19．（2023春·北京海淀·八年級人大附中校考期中）如圖，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合的部分構(gòu)成了一個四邊形．在轉(zhuǎn)動其中一張紙條的過程中，線段和的長度始終相等，這里蘊含的數(shù)學(xué)原理是．20．（2023春·北京海淀·八年級人大附中?？计谥校┤鐖D，在中，，，作于E，則；．21．（2023春·北京西城·八年級北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┱垖懗觥捌叫兴倪呅蔚膬山M對邊分別平行”的逆命題：，此逆命題是（“真”、“假”）命題．三、解答題22．（2023春·北京海淀·八年級北大附中校考期中）對平面上的兩個圖形，，若平移圖形所得的圖形與相交，則稱為關(guān)于的“巡邏平移圖形”，稱關(guān)于的所有巡邏平移圖形所組成的整體，為關(guān)于的“巡邏區(qū)域”，其面積為關(guān)于的“巡邏面積”．示例：如下圖，線段是線段關(guān)于線段的一個巡邏平移圖形；平行四邊形是線段關(guān)于線段的巡邏區(qū)域．注：圖中每個小方格都是邊長為1的正方形．(1)①請在圖中畫出線段關(guān)于線段的巡邏區(qū)域，其面積為______；②已知線段和線段的長度分別為1，，且關(guān)于的巡邏面積為1，則的取值范圍是______；(2)圖中三角形區(qū)域關(guān)于平行四邊形區(qū)域的巡邏面積為______；注：此處所指的三角形區(qū)域，平行四邊形區(qū)域，以及下文的正方形區(qū)域均包含內(nèi)部的所有點．(3)①若線段關(guān)于某邊長為1的正方形區(qū)域的巡邏面積為3，則線段長度的最小值為______；②若正方形區(qū)域關(guān)于某長度為1的線段的巡邏面積為12，則邊長的最小值為______．23．（2023春·北京海淀·八年級北大附中校考期中）如圖，每個小正方形的邊長都是1，，，，均在網(wǎng)格的格點上．(1)判斷是否為直角：______．（填寫“是”或“不是”）(2)直接寫出四邊形的面積為______．(3)找到格點，并畫出四邊形（一個即可），使得其面積與四邊形面積相等．24．（2023春·北京海淀·八年級北大附中?？计谥校┤鐖D，在中，，在邊上截取，連接，過點作于點．已知，，如果是邊的中點，連接，求的長．

25．（2023春·北京海淀·八年級北大附中?？计谥校┤鐖D，點、是平行四邊形的對角線上的兩點．．求證：．26．（2023春·北京西城·八年級北師大實驗中學(xué)校考期中）我們把連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．三角形的中位線有如下性質(zhì)：三角形的中位線平行于三角形的第三邊并且等于第三邊的一半．下面請對這個性質(zhì)進行證明．(1)如圖1，點D，E分別是的邊，的中點，求證：，且；(2)如圖2，四邊形中，點M是邊的中點，點N是邊的中點，若，，，直接寫出的長．27．（2023春·北京朝陽·八年級北京八十中?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，若，為某個矩形不相鄰的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為點，的“相關(guān)矩形”．圖1為點，的“相關(guān)矩形”的示意圖．已知點A的坐標為(1)如圖2，點的坐標為．①若，則點A，的“相關(guān)矩形”的面積是_____________；②若點A，的“相關(guān)矩形”的面積是8，則的值為_____________．(2)如圖3，點在過點且平行軸的直線上，若點A，的“相關(guān)矩形”是正方形，直接寫出點的坐標；(3)如圖4，等邊的邊在軸上，頂點在軸的正半軸上，點的坐標為，點的坐標為，若在的邊上存在一點，使得點，的“相關(guān)矩形”為正方形，請直接寫出的取值范圍．28．（2023春·北京朝陽·八年級北京八十中?？计谥校┤鐖D是由邊長為1的正方形單元格組成的網(wǎng)格，的三個頂點都在網(wǎng)格中的格點上，(1)的面積為__________；(2)若以點A，，，為頂點畫平行四邊形，請在網(wǎng)格中標出所有點的位置．29．（2023春·北京海淀·八年級人大附中校考期中）在平面直角坐標系中，對于沒有公共點的兩個圖形M、N給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意一點，若P、Q兩點間距離的最大值和最小值分別為和，則稱比值為圖形M和圖形N的“距離關(guān)聯(lián)值”，記為．已知頂點坐標為，，，．(1)若E為邊上任意一點，則的最大值為______，最小值為______，因此k（點O，）＝______；(2)若為對角線上一點，為對角線上一點，其中．①若，則k（線段，）______；②若（線段，），求m的取值范圍；(3)若的對角線交點為O，且頂點在直線上，頂點在直線上，其中，請直接用含n的代數(shù)式表示．30．（2023春·北京海淀·八年級人大附中?？计谥校┮阎?，．(1)如圖1，若以為邊作等邊，且點E恰好在邊上，直接寫出此時的面積；(2)如圖2，若以為斜邊作等腰直角，且點F恰好在邊上，過C作交BF于G，連接．①依題意將圖2補全；②用等式表示此時線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，以為邊作，且，．若，直接用等式表示此時與的數(shù)量關(guān)系．31．（2023春·北京海淀·八年級人大附中校考期中）如圖，在中，點E在上，點F在上，且．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若為的平分線，且，，求的周長．32．（2023春·北京西城·八年級北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┫旅媸切《≡O(shè)計的“利用直角三角形和它的斜邊中點作矩形”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖，在Rt中，，O為的中點．求作：四邊形，使得四邊形為矩形．作法：①作射線，在線段的延長線上截??；②連接，，則四邊形為矩形．根據(jù)小丁設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，在圖中補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：點O為的中點，．又①____________，四邊形為平行四邊形（②_____）．（填推理的依據(jù)），為矩形（③____________）．（填推理的依據(jù)）

參考答案1．D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，利用勾股定理得出，進而利用平行四邊形的性質(zhì)得出即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，∵，，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握平行四邊形的對角線互相平分是解答本題的關(guān)鍵．2．D【分析】利用矩形的性質(zhì)求得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊對等角，掌握矩形的性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)角平分線的定義可得，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，，是的角平分線，，又，，故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識點，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．D【分析】根據(jù)過菱形對角線交點的直線l將該菱形分成面積相等的兩部分，設(shè)直線l交于點F，交于點E，則的長即為a的值．根據(jù)當時a最小，當線段與線段重合時a最大，結(jié)合題干所給條件和含30度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求解即可．【詳解】解：∵過菱形對角線交點的直線l將該菱形分成面積相等的兩部分，設(shè)直線l交于點F，交于點E，∴“等積線段”即為線段，即的長即為a的值．∵當直線時，最短，∴的最小值即為此時的長．過點作于點N，∵四邊形為菱形，∴，∴．∵，，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴．∵，，∴，∴，∴，∴，即的最小值為；∵當線段與線段重合時，最長，∴的最大值即為的長．∵，∴，∴，∴，∴，即的最大值為，∴的取值范圍是．故選D．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識．理解當時a最小，當線段與線段重合時a最大是解題關(guān)鍵．5．B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，證明是等邊三角形，再根據(jù)勾股定理即可求出的長．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，是等邊三角形，，在中，，故選B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，靈活運用相關(guān)知識解決問題是解題關(guān)鍵．6．D【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等且平行，再由全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)線段之間關(guān)系進而得出答案．【詳解】解：∵F是的中點，∴，∵在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故選項A不符合題意；延長，交延長線于M，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵F為中點，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故選項B不符合題意；∵，∴，設(shè)，則，∴，，∴，∵，∴，故選項C不符合題意，∵，∴，∵，∴，故選項D符合題意；故選：D．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解決本題的關(guān)鍵是得出．7．C【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得到平分，利用平行四邊形的性質(zhì)得到，，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵，，∴平分，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟記各圖形的性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即得出，，，再根據(jù)三角形的周長公式求解即可．【詳解】解：∵的對角線相交于點O，∴，，，∴．故選B．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)．掌握平行四邊形的對角線互相平分，對邊相等是解題關(guān)鍵．9．A【分析】根據(jù)題意和勾股定理，可以求得的長，設(shè)，利用勾股定理列出方程，進而求得和的值，證明四邊形是平行四邊形，從而可以得到面積．【詳解】解：由折疊可知：，，，則在矩形中，，，，，，設(shè)，則，，，，解得，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，四邊形的面積是：，故選A．【點睛】本題考查翻折變化、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．10．B【分析】連接、，、交于點，判定是等邊三角形，即可得到，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，求出，根據(jù)勾股定理即可得到的長．【詳解】解：如圖所示，，連接、，、交于點，四邊形是菱形，，，又菱形的周長為16，，又，是等邊三角形，，，在中，，．故選B．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)．關(guān)鍵是畫圖并找出圖中的等邊三角形．11．B【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【詳解】解：點，分別是邊，的中點，，故選：B．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．12．6【分析】直接根據(jù)三角形中位線定理即可得．【詳解】解：在中，，分別為，邊的中點，且，故答案為：6．【點睛】本題考查了三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．13．1【分析】根據(jù)勾股定理確定的長度，進而確定的長度；再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)確定E為中點，再根據(jù)中位線的性質(zhì)求出的長度．【詳解】解：∵，，，∴，∵，，∴E為中點，．∴，又∵F是的中點，∴是的中位線，∴．故答案為：1．【點睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形三線合一的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并運用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．14．【分析】利用菱形的對角線互相垂直平分和勾股定理，求出菱形的邊長，即可求解．【詳解】解：∵菱形的兩條對角線，交于點O，，，∴，，∴，∴菱形的周長為；故答案為：．【點睛】本題考查求菱形的性質(zhì)、勾股定理．熟練掌握菱形的對角線互相垂直平分，是解題的關(guān)鍵．15．/135度【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到，進而得到，利用三角形的內(nèi)角和定理，進行求解即可．【詳解】解：∵正方形中，點E是對角線上的一點，且，∴，，∴，，∴；故答案為：．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握等邊對等角，是解題的關(guān)鍵．16．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)，可得，即可得到答案．【詳解】解：為直角三角形，，點D為AB的中點，，，即，之間的距離是，故答案為：．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊中線的性質(zhì)．17．/【分析】（1）延長至點M，使，連接、，先證明，得出，則，再證，得，據(jù)此即可求解；（2）連接，取的中點N，作射線，先由等腰三角形的性質(zhì)得，再由三角形中位線定理得，則，得出點F的軌跡為射線，且，當時，最短，然后由直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）如圖1，延長至點M，使，連接、，∵點F是線段的中點，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，

∵是等邊三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴；故答案為：；（2）如圖2，連接，取的中點N，作射線，∵，，∴，∵點N是的中點，∴是的中位線，∴，∴，∴點F的軌跡為射線，且，當時，最短，∵，∴，在，，∴，∴線段長度的最小值為：．故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形和判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，作出合適的輔助線，是解題的關(guān)鍵．18．②④【分析】根據(jù)中位線，平行線間的距離處處相等，進行判斷即可．【詳解】解：∵點M，N分別為的中點，∴是的中位線，∴，，∵為定值，∴為定值，①不符合要求；的周長為，∵為變化的量，∴的周長變化，②符合要求；∵，，∴，∴到的距離為定值，∴為定值，③不符合要求；設(shè)減少的量為，增加的量為，由題意知，，，∵，與不一定相等，∴的大小隨著的變動而變化，④符合要求；∵，直線與之間的距離是定值，⑤不符合要求；∴發(fā)生變化的為②④，故答案為：②④．【點睛】本題考查了中位線，平行線之間距離處處相等．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．19．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形【分析】根據(jù)題意可證明四邊形是平行四邊形，再由平行四邊形的性質(zhì)即可得到．【詳解】解：蘊含的數(shù)學(xué)原理是兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴．故答案為：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”．20．/30度【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)求得，根據(jù)三角形內(nèi)角定理即可求得；利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求得的長．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，∵，∴，∴；∵四邊形是平行四邊形，，∴，∴，，故答案為：，．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．21．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形真【分析】寫出原命題的逆命題，根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可．【詳解】解：“平行四邊形的兩組對邊分別平行”的逆命題是：“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”，是真命題，故答案為：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，真．【點睛】本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．22．(1)①畫圖見解析，8；②(2)(3)①；②【分析】（1）①先根據(jù)題意畫出對應(yīng)的圖形，然后利用網(wǎng)格求出面積即可；②先畫出線段關(guān)于線段的巡邏區(qū)域，過點G作交延長線于M，由關(guān)于的巡邏面積為1，求出，由此即可得到答案；（2）如解析圖，先畫出三角形區(qū)域關(guān)于平行四邊形區(qū)域的巡邏區(qū)域，然后利用網(wǎng)格求出面積即可；（3）①如圖所示，是邊長為1的正方形，則由平行四邊形和正方形組成的區(qū)域即為線段關(guān)于正方形區(qū)域的巡邏區(qū)域，其中，過點作于N，過點K作于M，證明，得到，設(shè)，由線段關(guān)于正方形區(qū)域的巡邏面積為3，推出，再由勾股定理得到，則，即可求出線段長度的最小值為；②如圖所示，線段，則由平行四邊形和正方形組成的區(qū)域即為區(qū)域S關(guān)于線段的巡邏區(qū)域，過點C作于T，于W，證明四邊形是矩形，則，設(shè)，正方形區(qū)域S的邊長為，由正方形區(qū)域關(guān)于線段的巡邏面積為12，推出，由勾股定理得，再證明，得到進而求出或（舍去），則邊長的最小值為．【詳解】（1）解：①如圖所示，平行四邊形即為線段關(guān)于線段的巡邏區(qū)域，其面積為；②如圖所示，設(shè)，則平行四邊形是線段關(guān)于線段的巡邏區(qū)域，即平行四邊形是線段關(guān)于線段的巡邏區(qū)域，∴，過點G作交延長線于M，∵關(guān)于的巡邏面積為1，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，即為三角形區(qū)域關(guān)于平行四邊形區(qū)域的巡邏區(qū)域，∴三角形區(qū)域關(guān)于平行四邊形區(qū)域的巡邏面積為；（3）解：①如圖所示，是邊長為1的正方形，則由平行四邊形和正方形組成的區(qū)域即為線段關(guān)于正方形區(qū)域的巡邏區(qū)域，其中，過點作于N，過點K作于M，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，設(shè)，∵線段關(guān)于正方形區(qū)域的巡邏面積為3，∴平行四邊形和正方形組成的區(qū)域的面積為3，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，，∵，∴，∴，∴，∴線段長度的最小值為；②如圖所示，線段，則由平行四邊形和正方形組成的區(qū)域即為區(qū)域S關(guān)于線段的巡邏區(qū)域，過點C作于T，于W，∴，∴四邊形是矩形，∴，設(shè)，正方形區(qū)域S的邊長為，∵正方形區(qū)域關(guān)于線段的巡邏面積為12，∴平行四邊形和正方形組成的區(qū)域的面積為12，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∵都是非負數(shù)，∴，∴，∴，即，∴，∴由乘法的性質(zhì)可得或，∴或（舍去），∴邊長的最小值為．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，完全平方公式的變形求值，矩形的性質(zhì)與判斷，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，正確畫出對應(yīng)的巡邏區(qū)域示意圖是解題的關(guān)鍵．23．(1)不是(2)14(3)見解析（答案不唯一）【分析】（1）先利用勾股定理分別求出的長，再利用勾股定理的逆定理進行判斷即可得；（2）利用分割法求解即可得；（3）先利用平行四邊形的性質(zhì)找到格點，再利用等高模型畫出圖形即可．【詳解】（1）解：，，，，不是直角，故答案為：不是．（2）解：四邊形的面積為，故答案為：14．（3）解：如圖，點和四邊形即為所求．【點睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題、勾股定理的逆定理、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于常考題型．24．2【分析】先利用勾股定理可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得點是的中點，然后根據(jù)三角形中位線定理即可得．【詳解】解：在中，，，，，，，又，，點是的中點，是邊的中點，．【點睛】本題考查了勾股定理、等腰三角形的三線合一、三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．25．證明見解析【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形全等的判定可得，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，，，在和中，，，．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．26．(1)見解析(2)6【分析】（1）如圖所示，延長到F，使得，證明，得到，則，再由點D是的中點，得到，即可證明四邊形是平行四邊形，則，，再由，即可證明；（2）如圖所示，連接并延長交延長線于E，證明，得到，，即點N是的中點，由（1）的結(jié)論可知，則．【詳解】（1）證明：如圖所示，延長到F，使得，∵點E是的中點，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵點D是的中點，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，又，∴，∴，且；（2）解：如圖所示，連接并延長交延長線于E，∵，∴，∵點N是的中點，∴，在和中，，∴，∴，，即點N是的中點，又∵點M是的中點，∴由（1）的結(jié)論可知，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．27．(1)6，或5(2)或(3)或【分析】（1）①由矩形的性質(zhì)結(jié)合圖形和“相關(guān)矩形”的定義即可得出點A，B的“相關(guān)矩形”的面積為6；②分類討論：當點B在點A左側(cè)時和當點B在點A右側(cè)時，畫出圖形，結(jié)合矩形的性質(zhì)結(jié)合“相關(guān)矩形”的定義即可得出的值為或5；（2）由題意可知點A到直線l的距離為，即得出點A，的“相關(guān)矩形”是正方形時的邊長為3．分類討論：當點C在點A左側(cè)時和當點C在點A右側(cè)時，畫出圖形，結(jié)合正方形的性質(zhì)和“相關(guān)矩形”的定義即可得出點C的坐標；（3）由題意可求出，，．分類討論：①當點N在邊上時，求出此時m的取值范圍為或；②當點N在邊上時，求出此時m的取值范圍為或；③當點N在邊上時，求出此時m的取值范圍為或，即得出答案．【詳解】（1）解：①當時，點的坐標為，如圖．∵，∴由矩形的性質(zhì)可得：點A，B的“相關(guān)矩形”的面積為．故答案為：6；②分類討論：當點B在點A左側(cè)時，如圖點，由矩形的性質(zhì)可得：點A，B的“相關(guān)矩形”的面積為，解得：；當點B在點A右側(cè)時，如圖點，由矩形的性質(zhì)可得：點A，B的“相關(guān)矩形”的面積為，解得：．綜上可知的值為或5．故答案為：或5；（2）解：∵點在過點且平行軸的直線上，，∴點A到直線l的距離為，∴點A，的“相關(guān)矩形”是正方形時的邊長為3．分類討論：當點C在點A左側(cè)時，如圖點C，∴，，即；當點C在點A右側(cè)時，如圖點，∴，，即．綜上可知點的坐標為或；（3）解：∵點M的坐標為，∴點M在直線上．∵是等邊三角形，頂點F在y軸的正半軸上，，∴，∴，∴．分類討論：①當點N在邊上時，若點N與點E重合，點M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且當點M位于點N左側(cè)時，則此時，若點N與點F重合，點M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且當點M位于點N左側(cè)時，則此時，則此時m的取值范圍為；若點N與點E重合，點M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且當點M位于點N右側(cè)時，則此時，若點N與點F重合，點M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且當點M位于點N右側(cè)時，則此時，則此時m的取值范圍為，∴此時m的取值范圍為或；②當點N在邊上時，若點N與點D重合，點M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且當點M位于點N右側(cè)時，則此時，若點N與點F重合，點M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且當點M位于點N右側(cè)時，則此時，則此時m的取值范圍為；若點N與點D重合，點M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且當點M位于點N左側(cè)時，則此時，若點N與點F重合，點M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且當點M位于點N左側(cè)時，則此時，則此時m的取值范圍為，∴此時m的取值范圍為或；③當點N在邊上時，點M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，其邊長為定值2，若點N與點E重合，點M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且點M位于點N左側(cè)時，則此時，若點N與點D重合，點M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且點M位于點N左側(cè)時，則此時，則此時m的取值范圍為；若點N與點E重合，點M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且點M位于點N右側(cè)時，則此時，若點N與點D重合，點M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且點M位于點N右側(cè)時，則此時，則此時m的取值范圍為，∴此時m的取值范圍為或．綜上可知的取值范圍是或．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，坐標與圖形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識．理解”相關(guān)矩形”的定義，并利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．28．(1)5(2)見解析【分析】（1）根據(jù)割補法即可求出的面積；（2）根據(jù)平行四邊形的判定，畫出圖形，即可得到點的位置．【詳解】（1）解：的面積，故答案為：5；（2）解：如圖所示，即為所有點的位置．【點睛】本題考查了割補法求三角形面積，平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定條件是解題關(guān)鍵．29．(1)2，1，2(2)①6；②或或或(3)當且時，【分析】（1）如圖1，過作于，過作于，與軸交于，則四邊形是正方形，由題意知，當與或重合時，最大，當與重合時，最小，求，，根據(jù)(點，)，計算求解即可；（2）①如圖2，設(shè)直線的解析式為，則，解得，即，，由題意知，線段上的點與上的點的最大距離為，最小距離為，根據(jù)(線段，)定義求解即可；②將代入，解得，即，分當時；當時；當時；當時；表示出最大與最小距離，然后解一元一次不等式組求解滿足要求的解即可；（3）如圖3，將代入，解得，即，由，可得，由（2）可知，將的邊等同于線段時求的求解方法求解即可．【詳解】（1）解：如圖1，過作于，過作于，與軸交于，則四邊形是正方形，由題意知，當與或重合時，最大，當與重合時，最小，∴，，∴最大為2，最小為1，(點，)，故答案為：2，1，2；（2）解：如圖2，設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴，當，，∴，由題意知，線段上的點與上的點的最大距離為，最小距離為，∴(線段，)，故答案為：6；②解：將代入，解得，