遼寧省沈陽市永泰中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

遼寧省沈陽市永泰中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在等比數(shù)列中，已知，則的值為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B2.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）A． B． C． D．參考答案：D【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算．【解答】解：∵=，∴．故選：D．3.已知不等式成立的充分不必要條件是，則m的取值范圍是()A.(－∞,]B.[,+∞)

C.[,]

D.[,]參考答案：D4.下列函數(shù)中，滿足“”的單調(diào)遞增函數(shù)是（

） （A）（B）

（C）

（D） 參考答案：A5.長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，若在側(cè)棱AA1上至少存在一點(diǎn)E，使得∠C1EB=90°，則側(cè)棱AA1的長的最小值（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：B【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】設(shè)側(cè)棱AA1的長為x，A1E=t，則AE=x﹣t，由已知得t2﹣xt+4=0，由此利用根的判別式能求出側(cè)棱AA1的長的最小值．【解答】解：設(shè)側(cè)棱AA1的長為x，A1E=t，則AE=x﹣t，∵長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，∠C1EB=90°，∴，∴8+t2+4+（x﹣t）2=4+x2，整理，得：t2﹣xt+4=0，∵在側(cè)棱AA1上至少存在一點(diǎn)E，使得∠C1EB=90°，∴△=（﹣x）2﹣16≥0，解得x≥4．或x≤﹣4（舍）．∴側(cè)棱AA1的長的最小值為4．故選：B．6.已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)，可以把不等式變形為：構(gòu)造函數(shù)，知道函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)，可以求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)函數(shù)，于是有，而，說明函數(shù)當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，所以，，因此?dāng)時(shí)，恒成立，即，當(dāng)時(shí)恒成立，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，即為，因此不等式，當(dāng)時(shí)恒成立，只需，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了通過構(gòu)造函數(shù)，得知函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求參問題，合理的恒等變形是解題的關(guān)鍵.7.已知f(x)＝，若0<a<b<1，則下列各式中正確的是參考答案：C因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又故選C.8.兩直線3x+y﹣3=0與3x+my+=0平行，則它們之間的距離是（）A．4 B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】兩條平行直線間的距離．【分析】根據(jù)兩條直線平行的條件，解出m=1，利用兩條平行直線間的距離公式加以計(jì)算，可得答案．【解答】解：∵直線3x+y﹣3=0與3x+my+=0平行，∴m=1．因此，直線3x+y﹣3=0與3x+y+=0之間的距離為d==，故選：D．9.設(shè)命題，；命題：若，則方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓．那么，下列命題為真命題的是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B10.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：C【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，求出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，則答案可求．【解答】解：由=，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣1，﹣1），位于第三象限．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)在直線上，若在圓上存在兩點(diǎn)，，使，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是__________．參考答案：根據(jù)題意，從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線為切線時(shí)才是最大的角，此時(shí)的長度為，故問題轉(zhuǎn)化為在直線上找到一點(diǎn)，便它到點(diǎn)的距離為．設(shè)，則：，解得或，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是：．12.已知函數(shù)f（x）=（）x2+4x+3，g（x）=x++t，若?x1∈R，?x2∈[1，3]，使得f（x1）≤g（x2），則實(shí)數(shù)t的取值范圍是．參考答案：

【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義；全稱命題．【分析】函數(shù)f（x）=（）x2+4x+3=，利用復(fù)合函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性可得最大值．g（x）=x++t，g′（x）=1﹣=，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出最大值．根據(jù)?x1∈R，?x2∈[1，3]，使得f（x1）≤g（x2），可得g（x）max≥f（x）max，即可得出．【解答】解：函數(shù)f（x）=（）x2+4x+3=，∵x∈R，∴u（x）=（x+2）2﹣1≥﹣1，∴f（x）∈（0，2]．∵g（x）=x++t，g′（x）=1﹣=，∴當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，g′（x）≥0，∴函數(shù)g（x）在x∈[1，3]時(shí)的單調(diào)遞增，∴g（x）max=g（3）=+t．?x1∈R，?x2∈[1，3]，使得f（x1）≤g（x2），∴g（x）max≥f（x）max，∴+t≥2，解得．則實(shí)數(shù)t的取值范圍是．故答案為：．13.已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是

。參考答案：214.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到兩條坐標(biāo)軸的距離之和等于它到點(diǎn)(1,1)的距離，記點(diǎn)P的軌跡為曲線W，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線W關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線W關(guān)于直線y＝x對(duì)稱；③曲線W與x軸非負(fù)半軸，y軸非負(fù)半軸圍成的封閉圖形的面積小于；④曲線W上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________；參考答案：②③④

15.由下列各式：

……請(qǐng)你歸納出一個(gè)最貼切的一般性結(jié)論:

參考答案：16.如圖，在扇形OAB中，，C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若，則的取值范圍是

．參考答案：17.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此直線斜率的取值范圍是________．參考答案：[-]三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）已知命題p：點(diǎn)M（1，3）不在圓（x+m）2+（y﹣m）2=16的內(nèi)部，命題q：“曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”，命題s：“曲線表示雙曲線”．（1）若“p且q”是真命題，求m的取值范圍；（2）若q是s的必要不充分條件，求t的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；復(fù)合命題的真假．【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；簡易邏輯．【分析】（1）分別求出p，q為真時(shí)的m的范圍，根據(jù)“p且q”是真命題，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可；（2）先求出s為真時(shí)的m的范圍，結(jié)合q是s的必要不充分條件，得到關(guān)于t的不等式組，解出即可．【解答】解：（1）若p為真：（1+m）2+（3﹣m）2≥16解得m≤﹣1或m≥3，若q為真：則解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4若“p且q”是真命題，則，解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4；（2）若s為真，則（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1，由q是s的必要不充分條件，則可得{m|t＜m＜t+1}{m|﹣4＜m＜﹣2或m＞4}，即或t≥4，解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分必要條件，考查復(fù)合命題的判斷，考查集合的包含關(guān)系，是一道中檔題．19.（14分）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=2且Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3…）．（I）求a2，a3；（II）求證：數(shù)列{an﹣2an﹣1}是常數(shù)列；（III）求證：．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；證明題．【分析】（1）由Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3），知S2=4a1﹣2=6．所以a2=S2﹣a1=4．a(chǎn)3=8．（2）由Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3），知Sn=4an﹣1﹣2（n≥2）；所以an+1=4an﹣4an﹣1由此入手能推導(dǎo)出數(shù)列{an﹣2an﹣1}是常數(shù)列．（3）由題設(shè)條件知an=2n，所以．由此及彼可知．【解答】解：（1）∵Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3），∴S2=4a1﹣2=6．∴a2=S2﹣a1=4．同理可得a3=8．（2）∵Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3），∴Sn=4an﹣1﹣2（n≥2）．兩式相減得：an+1=4an﹣4an﹣1變形得：an+1﹣2an=2an﹣4an﹣1=2（an﹣2an﹣1）（n≥2）則：an﹣2an﹣1=2（an﹣1﹣2an﹣2）（n≥3）an﹣2an﹣1=2（an﹣1﹣2an﹣2）=22（an﹣2﹣2an﹣3）=23（an﹣3﹣2an﹣4）=2n﹣2（a2﹣2a1）∵a2﹣2a1=0∴an﹣2an﹣1=2n﹣2（a2﹣2a1）=0．?dāng)?shù)列{an﹣2an﹣1}是常數(shù)列．（3）由（II）可知：an=2an﹣1（n≥2）．?dāng)?shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．∴an=2n，∴．．（14分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的性質(zhì)及綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．20.已知復(fù)數(shù)z=(2+i)m2--2(1-i).當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí),復(fù)數(shù)z是:(1)虛數(shù);(2)純虛數(shù);(3)復(fù)平面內(nèi)第二、四象限角平分線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)?參考答案：由于m∈R,復(fù)數(shù)z可表示為z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)當(dāng)m2-3m+2≠0,即m≠2且m≠1時(shí),z為虛數(shù).（3分）(2)當(dāng)即m=-時(shí),z為純虛數(shù).（3分）(3)當(dāng)2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2時(shí),z為復(fù)平面內(nèi)第二、四象限角平分線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).（4）21.20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(單位：分)的頻率分布直方圖如圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計(jì)總體中成績落在[50，60)中的學(xué)生人數(shù)；(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)，平均數(shù)；參考答案：

(1)0.005

(2)2人

（3）75分，76.5分22.如圖，橢圓：（）和圓：，已知圓將橢圓的長軸三等分，橢圓右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，橢圓的下頂點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線與圓相交于點(diǎn)、．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若直線、分別與橢圓相交于另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)、.①求證：直線經(jīng)過一定點(diǎn)；②試問：是否存在以為圓心，為半徑的圓，使得直線和直線都與圓相交？若存在，請(qǐng)求出所有的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

參考答案：（Ⅰ）依題意，，則，∴，又，∴，則，∴橢圓方程為．…………4分（Ⅱ）①由題意知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的斜率為，則：，由得或∴，………………6分用去代，得，方法1：，∴：，即，∴直線經(jīng)過定點(diǎn)．方法2：作直線關(guān)于軸的對(duì)稱直線，此時(shí)得到的點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，則與相交于軸，可知定點(diǎn)在軸上，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)直線經(jīng)過軸上