18.2.1矩形第1課時矩形的性質(zhì) 課件2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級

18.2.1矩形第1課時矩形的性質(zhì)1.我們都知道平行四邊形具有不穩(wěn)定性，在推動平行四邊形活動框架的過程中，什么發(fā)生變化了？什么沒變？思考平行四邊形的四個角在變化，四條邊沒有變化.新知學(xué)習(xí)一

矩形的定義及性質(zhì)2.在上述變化過程中，你有沒有發(fā)現(xiàn)一種熟悉的、更特殊的圖形？我發(fā)現(xiàn)了矩形！3.平行四邊形框架推動到什么情況時，出現(xiàn)的矩形呢？當(dāng)平行四邊形的一個角為直角時，出現(xiàn)了矩形！歸納有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.矩形的定義：平行四邊形矩形有一個角是直角教室里的黑板，門窗框，課桌的桌面，信封，明信片等都有矩形的形象.思考因為矩形是平行四邊形，所以它具有平行四邊形所有的性質(zhì).由于它有一個角是直角，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質(zhì)呢？問題1

矩形的內(nèi)角都是多少度呢？ABDC┐在矩形ABCD中，∠A=90?.猜想：∠A=∠B=∠C=∠D=90?試著證明你的猜想.猜想：矩形的四個角都是直角.已知：如圖，矩形ABCD

中，∠A=90°.求證：∠B=∠C=∠D=90°.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∵

∠A=90?,∴∠C=90?.∴AB//CD，AD//BC.

∴

∠D=90?,

∠B=90?,問題2

矩形的對角線除了互相平分外，還有什么特殊的性質(zhì)嗎？猜想：AC=BD.ABDC┐已知：AC，BD

是矩形ABCD

的兩條對角線.求證：AC=BD.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠ABC=90?，AD=BC，AB=BA,∴△DAB≌△CBA,∴AC=BD.歸納性質(zhì)1：矩形的四個角都是直角.性質(zhì)2：矩形的兩條對角線相等.矩形的性質(zhì)：思考矩形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸呢？ABDC┐矩形是軸對稱圖形.它有兩條對稱軸，分別是對邊中點的連線所在的直線.矩形數(shù)學(xué)語言邊對邊平行且相等AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，AD=BC角四個角都是直角∠A=∠B=∠C=∠D=90°對角線相等且互相平分AC=BD，AO=OB=OC=OD對稱性矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.O例1 如圖，矩形ABCD

的兩條對角線相交于點O，且∠AOB=60°，AB=4.求矩形對角線的長.解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC

與

BD相等且互相平分，∴AO=OB

，又∠AOB=60°，∴△AOB

為等邊三角形，∴AO=OB=4，∴AC=BD=2AO=8.二

直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)

上節(jié)我們運用平行四邊形的判定和性質(zhì)研究了三角形的中位線，下面我們用矩形的性質(zhì)研究直角三角形的一個性質(zhì).思考如圖，矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O.在Rt△ABC中，BO是斜邊AC上的中線，BO與AC有什么關(guān)系？ABDC┐O猜想：OB=AC.

ABDC┐O直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.歸納直角三角形的一個性質(zhì)：符號語言：∵Rt△ABC

中，O

為斜邊AC

中點，∴OB=AC(或OA=OB=OC=AC).CABO例2 三位學(xué)生正在做投圈游戲，他們分別站在一個直角三角形的三個頂點處，目標(biāo)物放在斜邊的中點處.三個人的位置對每個人公平嗎？請說明理由.解：三個人的位置對每個人是公平的，理由如下：∵Rt△ABC

中，О

為斜邊AC

中點，∴OA=OB=OC.隨堂練習(xí)1.如圖，在矩形

ABCD

中，對角線

AC、BD相交于點

O，∠AOD=120°，則圖中與線段

AO長度相等的線段共有

()A.3條

B.4條

C.5條

D.6條C2.下列關(guān)于矩形的說法不正確的是

()A.對角線平分且相等

B.四個角都是直角C.有四條對稱軸

D.是軸對稱圖形C3.

已知矩形的一條對角線的長度為

2，兩條對角線的一個夾角為

60°，求矩形的各邊長.解：如圖，可知

AC=BD=2，∠AOB=60°，∵四邊形ABCD為矩形，∴OA=OB=OC=OD=1，則△AOB為等邊三角形，∴AB=1，在Rt△ABC中，BC=.ABDCO四邊形平行四邊形矩形四邊形平行四邊形矩形兩組對邊平行一個角是直角新知學(xué)習(xí)

上面我們研究了矩形的性質(zhì)，下面我們研究如何判定一個平行四邊形或四邊形是矩形.

由矩形的定義可知，有一個角是直角的平行四邊形是矩形.除此之外，還有沒有其他判定方法呢?思考還記得學(xué)習(xí)平行四邊形的判定時，我們是如何猜想并進(jìn)行證明的嗎？性質(zhì)猜想判定定理逆命題(修正)證明同樣，我們能否通過研究矩形性質(zhì)的逆命題，得到判定矩形的方法呢？矩形的性質(zhì)：矩形的對角線相等.猜想1：對角線相等的平行四邊形是矩形.試著證明這個猜想.猜想1：對角線相等的平行四邊形是矩形.已知：在□ABCD

中，AC=BD.求證：四邊形ABCD

是矩形．證明：∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴AB=DC.又∵BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌

△DCB，∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠ABC=∠DCB=90°.又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD

是矩形.歸納對角線相等的平行四邊形是矩形.通過以上證明，我們得到矩形的一個判定定理：數(shù)學(xué)語言：在□ABCD中，∵AC=BD，∴□ABCD是矩形.ABDC矩形的性質(zhì)：矩形的四個角都是直角.猜想：四個角都是直角的四邊形是矩形.猜想2：三個角是直角的四邊形是矩形.進(jìn)一步，至少有幾個角是直角的四邊形是矩形呢？××√┐一個角是直角┐┐兩個角是直角┐┐┐三個角是直角┐┐┐┐成立猜想2：三個角是直角的四邊形是矩形.已知：在四邊形ABCD

中，∠A=∠B=∠C=90°.求證：四邊形ABCD

是矩形.證明：∵∠A=∠B=90°，∴∠A+∠B=180°，∴AD∥BC.同理可證：AB∥CD，∴四邊形ABCD

是平行四邊形.∵∠A=90°

∴□

ABCD

是矩形.歸納三個角是直角的四邊形是矩形.通過以上證明，我們得到矩形的一個判定定理：數(shù)學(xué)語言：

在四邊形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90?，∴四邊形ABCD是矩形.ABDC┐┐┐歸納你能歸納矩形的判定方法嗎？方法1：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；方法2：對角線相等的平行四邊形是矩形；方法3：有三個角是直角的四邊形是矩形．木工師傅在制作窗框后，需要檢測所制作的窗框是否是矩形，那么他需要測量哪些數(shù)據(jù)，其根據(jù)又是什么呢？你有辦法幫他嗎？思考方案1：分別測量出兩組對邊的長度和一個內(nèi)角的度數(shù)，如果兩組對邊的長度分別相等，且這個內(nèi)角是直角，則窗框符合規(guī)格.依據(jù)：先用兩組對邊分別相等判定是平行四邊形，再用定義判定是矩形.方案2：分別測量出窗框四邊和兩條對角線的長度，如果窗框兩組對邊長度、兩條對角線的長度分別相等，那么窗框符合規(guī)格.依據(jù)：先用兩組對邊分別相等判定是平行四邊形，再用對角線相等判定是矩形.方案3：分別測量出窗框一組對邊和這組對邊所夾的一組同旁內(nèi)角，如果窗框這組對邊長度相等、且所夾同旁內(nèi)角都是90度角，那么窗框符合規(guī)格.依據(jù)：先用一組對邊平行且相等判定是平行四邊形，再用定義判定是矩形.方案4：測量出三個內(nèi)角的度數(shù)，如果三個內(nèi)角都是直角，則窗框符合規(guī)格.依據(jù)：有三個角是直角的四邊形是矩形.例1 下列各句判定矩形的說法是否正確？(1)有一個角是直角的四邊形是矩形. ()(2)四個角都相等的四邊形是矩形. ()(3)四個角都是直角的四邊形是矩形. ()(4)對角線相等的四邊形是矩形. ()(5)對角線互相平分且相等的四邊形是矩形. ()(6)兩組對邊分別平行，且對角線相等的四邊形是矩形. ()例1如圖，在□

ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且OA=OD，∠OAD=50?.求∠OAB的度數(shù).解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

又OA=OD

∴AC=BD,∴四邊形ABCD是矩形,

∴∠DAB=90?.ADBCO又∠OAD=50?,∴

∠OAB=40?.隨堂練習(xí)1.已知：如圖，四邊形ABCD

中，AO=BO=CO=DO，試證明四邊形ABCD

是矩形.證明：∵AO=BO=CO=DO，∴四邊形ABCD

是平行四邊形.又∵AO+CO=BO+DO，即AC=BD，∴四邊形ABCD

是矩形.2.如圖，□ABCD

四個內(nèi)角的平分線圍成四邊形EFGH，猜想四邊形

EFGH的形狀，并說明理由.解：四邊形EFGH

是矩形.理由如下：∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴AD