線性代數(shù)（財(cái)經(jīng)類） 課件 3.5 線性方程組解的結(jié)構(gòu)

§3.5線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)目錄Part1齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組的矩陣形式回顧回顧：齊次線性方程組解的判定

包含n個(gè)未知數(shù)的齊次線性方程組

Ax=0

有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)<n．

所謂線性方程組解的結(jié)構(gòu)，就是當(dāng)線性方程組有無窮多個(gè)解時(shí)，解與解之間的相互關(guān)系．備注：當(dāng)方程組存在唯一解時(shí)，無須討論解的結(jié)構(gòu)．下面的討論都是假設(shè)線性方程組有解．定義：設(shè)有齊次線性方程組Ax=0，則方程組的解稱為方程組的解向量．二、解向量的定義二、解向量的性質(zhì)齊次線性方程組解的性質(zhì)性質(zhì)1：若

x1=x1，

x2=x2是齊次線性方程組Ax=0的解，則

x=x1+x2

還是

Ax=0

的解．證明：A(x1+x2)=Ax1+Ax2

=0+0=0．性質(zhì)2：若x=x是齊次線性方程組Ax=0

的解，k為實(shí)數(shù)，則

x=kx

還是

Ax=0的解．證明：

A(kx

)=k(Ax

)

=k0=0．結(jié)論結(jié)論：若x1=x1,

x2=x2,...,

xt=xt

是齊次線性方程組Ax=0

的解，

則

x=k1x1+k2x2+…+ktxt

還是Ax=0

的解.思考已知齊次方程組Ax=0的幾個(gè)解向量，可以通過這些解向量的線性組合給出更多的解．思考：能否通過有限個(gè)解向量的線性組合把

Ax=0的解全部表示出來？例

求齊次線性方程組

的通解．即例題

令x3=c1，x4=c2，得通解表達(dá)式例題回顧：向量組的極大無關(guān)組的概念定義：設(shè)有向量組A

，如果在A

中能選出r個(gè)向量a1,a2,…,ar，滿足①

向量組A0：a1,a2,…,ar線性無關(guān)；②

向量組A

中任意r+1個(gè)向量（如果A

中有r+1個(gè)向量的話）都線性相關(guān)；②'

向量組A

中任意一個(gè)向量都能由向量組A0

線性表示；那么稱向量組A0是向量組A

的一個(gè)極大無關(guān)組．向量組的極大無關(guān)組一般是不唯一的．回顧把

Ax=0

的全體解組成的集合記作S，若求得S

的一個(gè)極大無關(guān)組S0：x1=x1,

x2=x2,...,,

xt=xt

，那么Ax=0的通解可表示為x=k1x1+k2x2+…+ktxt

．齊次線性方程組的解集的極大無關(guān)組稱為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系（不唯一）．結(jié)論三、基礎(chǔ)解系的概念定義：齊次線性方程組Ax=0的一組解向量：x1,x2,...,xr如果滿足①

x1，x2，...，xr線性無關(guān)；②方程組中任意一個(gè)解都可由x1,x2,...,xr線性表示，那么稱這組解是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系．后n-r

列前r

列

設(shè)

R(A)=r，為敘述方便，不妨設(shè)A行最簡形矩陣為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組令xr+1,…,xn

為自由變量，則方法一：先求出通解，再從通解求得基礎(chǔ)解系．方法一令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，則齊次線性方程組的通解記作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．（滿足基礎(chǔ)解系條件②）（x1,x2,...,xn-r

很明顯滿足基礎(chǔ)解系，并且這個(gè)基礎(chǔ)解系中恰含有n-r個(gè)解）

方法一n

?

r

列前

r

行后

n

?

r

行故R(x1,

x2,…,xn-r)=n

?

r

，即x1,

x2,…,xn-r

線性無關(guān)．（滿足基礎(chǔ)解系條件①）于是x1,

x2,…,xn-r

就是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系．方法一例：求齊次線性方程組

的基礎(chǔ)解系．方法一：先求出通解，再從通解求得基礎(chǔ)解系．即四、基礎(chǔ)解系的求解四、基礎(chǔ)解系的求解

令x3=c1，x4=c2，得通解表達(dá)式因?yàn)榉匠探M的任意一個(gè)解都可以表示為x1,x2的線性組合．x1,x2的四個(gè)分量不成比例，所以x1,x2線性無關(guān)．所以x1,x2

是原方程組的基礎(chǔ)解系．此即為Ax=0

的基礎(chǔ)解系．通解為x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r，則令方法二：對(duì)自由未知量賦值方法二例1：求齊次線性方程組

的基礎(chǔ)解系．方法二：對(duì)自由未知量賦值例題即令合起來便得到基礎(chǔ)解系，得

還能找出

其它基礎(chǔ)

解系嗎？例題問題：是否可以把x1

選作自由變量？答：可以，因?yàn)槭欠癜严禂?shù)矩陣化為行最簡形矩陣，其實(shí)并

不影響方程組的求解．當(dāng)兩個(gè)矩陣行等價(jià)時(shí)，以這兩個(gè)

矩陣為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組同解．思考令x1=c1，x2=c2，得通解表達(dá)式即思考從而可得另一個(gè)基礎(chǔ)解系：

和

．定理：設(shè)m×n

矩陣的秩R(A)=r，則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩

R(S)=n

?r．定理

解

對(duì)增廣矩陣(A|0)施以初等行變換

得即原方程組與方程組同解

其中x3

x4

x5為自由未知量

例題

讓自由未知量(x3

x4

x5)T分別取值(1

0

0)T

(0

1

0)T

(0

0

1)T

得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系:

1

(

2

1

1

0

0)T

3

(2

1

0

0

1)T

2

(

1

3

0

1

0)T

因此

方程組的全部解為

c1(

2

1

1

0

0)T

c2(

1

3

0

1

0)T

c3(2

1

0

0

1)T其中c1

c2

c3為任意常數(shù)

例題Part2非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)取b

0

得到的齊次線性方程組

Ax

0稱為非齊次線性方程組Ax

b的導(dǎo)出組

一、非齊次線性方程組及其導(dǎo)出組回顧：非齊次線性方程組解的判定

包含n個(gè)未知數(shù)的非齊次線性方程組Ax=b

有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩r(A)=r(A,b)，并且當(dāng)r(A)=r(A,b)=n時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)r(A)=r(A,b)<n時(shí)，方程組有無窮多個(gè)解．回顧非齊次線性方程組解的性質(zhì)性質(zhì)3：若x1=h1，

x2=h2是非齊次線性方程組

Ax=b

的解，則

x=h1?h2

是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組

Ax=0

（導(dǎo)出組）的解．證明：

A(h1?h2)=Ah1?Ah2=b

?b=0．性質(zhì)4：若x=h

是非齊次線性方程組

Ax=b

的解，x=x

是導(dǎo)出組

Ax=0

的解，則

x=x

+h

還是

Ax=b

解．證明：

A(x

+h

)=Ax

+Ah

=0+b=b

．二、性質(zhì)根據(jù)定理可知

設(shè)Ax=0

的通解為x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r

．于是Ax=b

的通解為

x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r+h定理

設(shè)

是非齊次線性方程組Ax

b的一個(gè)解

是其導(dǎo)出組Ax

0的全部解

則x

是非齊次線性方程組Ax

b的全部解

三、通解的結(jié)構(gòu)求非齊次線性方程組Ax=b通解的步驟:求非齊次方程組Ax=b

的一個(gè)特解h;求導(dǎo)出組Ax=0的通解為x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r；得非齊次方程組Ax=b

的通解為

x=x

+h

=

c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r+h

四、通解步驟例3：求線性方程組的通解．解：容易看出是方程組的一個(gè)特解

．其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組為例題導(dǎo)出組Ax=0的通解非齊次方程組Ax=b的特解例題

根據(jù)前面的結(jié)論，導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為于是，原方程組的通解為

對(duì)增廣矩陣(A|b)施以初等行變換

得

解

即原方程組與方程組同解

其中x3

x4為自由未知量

例題(x3

x4為自由未知量)

讓自由未知量(x3

x4)T取值(0

0)T

得方程組的一個(gè)特解

(13/7

4/7

0

0)T

與原方程組的導(dǎo)出組同解的方程組為

對(duì)自由未知量(x3

x4)T取值(1

0)T

(0

1)T

即得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系

1

(

3/7

2/7

1

0)T

2

(

13/7

4/7

0

1)T

因此所給方程組的全部解為

x

c1

1

c2

2(c1

c2為任意常數(shù))例題方程組有解的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

2.

設(shè)有非齊次線性方程組Ax=b，向量組A：a1,a2,…,an是系數(shù)矩陣A的列向量組.四個(gè)等價(jià)關(guān)系：

n元非齊次線性方程組Ax=b有解.向量b能由向量組A：a1,a2,…,an線性表示．

向量組a1,a2,…,an與向量組a1,a2,…,an,b等價(jià)．

r

(A

)=r

(A,b

)．回顧01小結(jié)求解線性方程組（第二章，利用矩陣的初等行變換）線性方程組的幾何意義（第三章，四種等價(jià)形式）齊次線性方程組的通解能由它的基礎(chǔ)解系來構(gòu)造．基礎(chǔ)解系是解集S

的極大無關(guān)組．解集S是基礎(chǔ)解系的所有可能的線性組合．非齊次線性方程組的通解與其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系的關(guān)系.02小結(jié)（一）設(shè)有齊次線性方程