高等數(shù)學(xué)（財(cái)經(jīng)類） 課件 1.1 函數(shù)

第一章函數(shù)和極限

§1.1函數(shù)

CONTENT1函數(shù)2初等函數(shù)3三角函數(shù)目錄4反三角函數(shù)5區(qū)間函數(shù)Chapter1前言

宇宙間的一切事物都在不斷地變化,變化是絕對(duì)的,不變是相對(duì)的。在我們的日常生活中,我們會(huì)遇到各種各樣的量,比如溫度、產(chǎn)量、面積等,這些量是變化的,而相對(duì)的一些量是不變的。我們稱變化著的量為變量,相對(duì)不變的量為常量。自變量因變量1、函數(shù)的概念定義1設(shè)x,y是兩個(gè)變量,D是一個(gè)給定的非空數(shù)集.如果對(duì)于每個(gè)數(shù),變量y按照一定法則總有確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng),那么稱y是x的函數(shù),記作其中,x稱為自變量,y稱為因變量.f是函數(shù)符號(hào),它表示x與y的對(duì)應(yīng)法則.數(shù)集D稱為這個(gè)函數(shù)的定義域,也記為Df,即.1、函數(shù)的概念

對(duì)

,按照對(duì)應(yīng)法則

f,

總有確定的值

y0(記為f(x0))與之對(duì)應(yīng),稱

f(x0)為函數(shù)在點(diǎn)

x0處的函數(shù)值.因變量與自變量的這種相依關(guān)系通常稱為函數(shù)關(guān)系.

當(dāng)自變量x取遍D的所有數(shù)值時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值

f(x)的全體構(gòu)成的集合稱為函數(shù)

f的值域,記為Rf或

f(D),即1、函數(shù)的概念注：構(gòu)成函數(shù)的要素為：定義域與對(duì)應(yīng)法則.它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則均相等.定義域的確定：(1)對(duì)實(shí)際問題,根據(jù)問題的實(shí)際意義確定；(2)對(duì)抽象函數(shù)表達(dá)式,約定:定義域是使算式有意義的一切實(shí)數(shù)組成的集合.例如兩函數(shù)相等1、函數(shù)的概念例1判斷下列函數(shù)是否相同.解

(1)

的定義域?yàn)?/p>

所以的定義域?yàn)?、函數(shù)的概念例1判斷下列函數(shù)是否相同.解

(2)

對(duì)應(yīng)法則不同

所以1、函數(shù)的概念顯函數(shù)：函數(shù)

y由

x的解析表達(dá)式直接表示.例如：隱函數(shù)：函數(shù)的自變量

x與因變量

y的對(duì)應(yīng)關(guān)系由方程

來確定.例如：分段函數(shù)：函數(shù)在其定義域的不同范圍內(nèi),具有不同的解析表達(dá)式.1、函數(shù)的概念例2

絕對(duì)值函數(shù)的定義域,值域.例3符號(hào)函數(shù)的定義域,值域.1、函數(shù)的概念例4

取整函數(shù),其中[x]表示不超過x的最大整數(shù).例如,取整函數(shù)的定義域,值域.2、函數(shù)的幾何特性（1）.函數(shù)的有界性

定義2

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,數(shù)集,若存在一個(gè)正數(shù)M,使得對(duì)一切,恒有,則稱函數(shù)f(x)在X上有界,或稱f(x)是X上的有界函數(shù).函數(shù)的界2、函數(shù)的幾何特性注：定義中的正數(shù)M不存在,則稱f(x)在X上無界,或稱f(x)是X上的無界函數(shù).結(jié)論：f(x)在X上有界f(x)在X上既有上界又有下界.幾何意義：曲線

y=f(x)的圖像在區(qū)間D內(nèi)被限制在y=-M和

y=M兩條直線之間.2、函數(shù)的幾何特性注：(1)若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有界,則正數(shù)M的取值不唯一.例如：在內(nèi)有界,我們也可以取M=2.(2)有界性與區(qū)間有關(guān).例如：在區(qū)間

(1,2)內(nèi)有界,但在區(qū)間

(0,1)內(nèi)無界.2、函數(shù)的幾何特性（2）.函數(shù)的單調(diào)性

定義3

設(shè)x1和x2為區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意兩個(gè)數(shù),若當(dāng)x1<x2時(shí)函數(shù)值,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)增加或遞增(如圖1所示);若當(dāng)x1<x2時(shí)有,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)減少或遞減(如圖2所示).例

討論函數(shù)的單調(diào)性.解函數(shù)的定義域?yàn)槿稳∏覄t即所以,f(x)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增加的.單調(diào)增加或單調(diào)減少的函數(shù),統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).相應(yīng)的區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2、函數(shù)的幾何特性2、函數(shù)的幾何特性（3）.函數(shù)的奇偶性

定義4

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若對(duì)任意的,恒有,則稱f(x)為奇函數(shù)；若對(duì)任意的,有,則稱f(x)為偶函數(shù).注：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(如圖a);奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(如圖b).2、函數(shù)的幾何特性例如

函數(shù)

是奇函數(shù),函數(shù)

是偶函數(shù),而函數(shù)

既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).例5

判斷函數(shù)

的奇偶性.解

因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?且所以f(x)為奇函數(shù).2、函數(shù)的幾何特性（4）.函數(shù)的周期性

定義5

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在常數(shù)T>0,使對(duì)任意的,恒有成立,則稱

f(x)為周期函數(shù),滿足上式的最小正數(shù)

T稱為f(x)的周期.注：若f(x)是周期為T的周期函數(shù),則在長(zhǎng)度為T的兩個(gè)相鄰的區(qū)間上,其函數(shù)圖形的形狀相同.

2、函數(shù)的幾何特性（4）.函數(shù)的周期性

定義5

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在常數(shù)T>0,使對(duì)任意的,恒有成立,則稱

f(x)為周期函數(shù),滿足上式的最小正數(shù)

T稱為f(x)的周期.例如三角函數(shù)

sinx與cosx均是R上的周期函數(shù),周期均為

.

tanx是周期為

的周期函數(shù).初等函數(shù)Chapter2第一部分：反函數(shù)定義6

設(shè)函數(shù)

y=f(x)的定義域?yàn)镈,值域?yàn)镽f,對(duì)任一,都有唯一確定的

與之對(duì)應(yīng),且滿足

f(x)=y,則x是定義在Rf上,以y為自變量的函數(shù),稱為函數(shù)

y=f(x)的反函數(shù),記為2.通常將反函數(shù)記作

;4.函數(shù)與其反函數(shù)的圖像關(guān)于直線

y=x對(duì)稱;5.單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù).注：1.與互為反函數(shù);3.的定義域與值域分別為

y=f(x)的值域與定義域;

函數(shù)與其反函數(shù)第一部分：反函數(shù)

反函數(shù)的圖像:

的圖像關(guān)于直線

y=x對(duì)稱.

定義域?yàn)镈,值域?yàn)镽f

第一部分：反函數(shù)

求反函數(shù)的步驟：解出,交換x和y反函數(shù).

第一部分：反函數(shù)例7求函數(shù)的反函數(shù).解

的定義域?yàn)?/p>

值域?yàn)榻粨Qx和y,得反函數(shù)第二部分：基本初等函數(shù)常值函數(shù):

定義域：函數(shù)圖像：與x軸平行或重合.基本初等函數(shù)包括:

常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù).第二部分：基本初等函數(shù)冪函數(shù):

定義域：(為實(shí)數(shù))當(dāng)取不同值時(shí),定義域也不同.1.當(dāng)時(shí),函數(shù)圖像：過原點(diǎn)(0,0)和(1,1),在內(nèi)單調(diào)增加且無界.2.當(dāng)時(shí),函數(shù)圖像：?jiǎn)握{(diào)減少且無界,曲線以x軸和y軸過點(diǎn)(1,1),在內(nèi)為漸近線.第二部分：基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù):

定義域：(a為常數(shù))1.當(dāng)時(shí),函數(shù)圖像:在x軸上方,且過點(diǎn)(0,1).函數(shù)單調(diào)增加且無界,值域：x軸的負(fù)半軸是曲線的漸近線.2.當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)減少且無界,x軸的正半軸是曲線的漸近線.第二部分：基本初等函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù):

定義域：(a為常數(shù))1.當(dāng)時(shí),函數(shù)圖像:在y軸右方,且過點(diǎn)(1,0).函數(shù)單調(diào)增加且無界,值域：y軸的負(fù)半軸是曲線的漸近線.2.當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)減少且無界,y軸的正半軸是曲線的漸近線.第二部分：基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像可知,定義域：值域：交換x和y,得反函數(shù)第二部分：基本初等函數(shù)正弦函數(shù):

定義域：三角函數(shù)包括:

值域：函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),是奇函數(shù),也是有界函數(shù).第二部分：基本初等函數(shù)余弦函數(shù):

定義域：值域：函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),是偶函數(shù),也是有界函數(shù).注:

正弦函數(shù)的圖像沿x軸向左平移,即得余弦函數(shù)的圖像.正割函數(shù):

余割函數(shù):

第二部分：基本初等函數(shù)正切函數(shù):

函數(shù)是奇函數(shù),并以為周期,

在內(nèi)單調(diào)增加,直線為其漸近線.定義域：值域：第二部分：基本初等函數(shù)余切函數(shù):

值域：函數(shù)是奇函數(shù),并以為周期,

在內(nèi)單調(diào)減少,直線為其漸近線.定義域：第二部分：基本初等函數(shù)

對(duì)于值域中的任何

y值,三角函數(shù)的自變量

x均有無窮多個(gè)值與之對(duì)應(yīng),因此在整個(gè)定義域上所有三角函數(shù)都不存在反函數(shù).注：只有限制

x的取值范圍后,才能考慮其反函數(shù).

第二部分：基本初等函數(shù)反正弦函數(shù):

定義域：反三角函數(shù)包括:

值域：函數(shù)圖像:是單調(diào)增加的奇函數(shù).反正弦函數(shù)是正弦函數(shù)在主值區(qū)間上的反函數(shù).第二部分：基本初等函數(shù)反余弦函數(shù):

定義域：值域：函數(shù)圖像:是單調(diào)減少的非奇非偶函數(shù).反余弦函數(shù)是余弦函數(shù)在主值區(qū)間上的反函數(shù).第二部分：基本初等函數(shù)反正切函數(shù):

定義域：值域：函數(shù)圖像:是單調(diào)增加的奇函數(shù).反正切函數(shù)是正切函數(shù)在主值區(qū)間上的反函數(shù).第二部分：基本初等函數(shù)反余切函數(shù):

定義域：值域：函數(shù)圖像:是單調(diào)減少的非奇非偶函數(shù).反余切函數(shù)是余切函數(shù)在主值區(qū)間上的反函數(shù).第三部分：復(fù)合函數(shù)定義7

設(shè)函數(shù)

y=f(u)的定義域?yàn)镈f,而函數(shù)u=g(x)的值域?yàn)镽g,若,則稱函數(shù)

y=f[g(x)]為函數(shù)

y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù),其中,x稱為自變量,y稱為因變量,u稱為中間變量.(2)復(fù)合函數(shù)還可以由兩個(gè)以上的函數(shù)復(fù)合而成,即中間變量可以有多個(gè).注:(1)只有當(dāng)

時(shí),兩個(gè)函數(shù)才可以構(gòu)成一個(gè)復(fù)合函數(shù).第三部分：復(fù)合函數(shù)例10

第四部分：初等函數(shù)定義8由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合,并在定義域內(nèi)由一個(gè)解析式表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).例如

都是初等函數(shù).第四部分：初等函數(shù)形如

的函數(shù),稱為冪指函數(shù),其中f(x)和g(x)均為初等函數(shù),且

f(x)>0,由恒等式

可知,冪指函數(shù)為初等函數(shù).例如

1.等都是冪指函數(shù),因此都是初等函數(shù).2.分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).三角函數(shù)Chapter3*第一部分：三角函數(shù)三角函數(shù)公式正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)第二部分：三角函數(shù)常用公式常用公式：

1.倍角公式：

2.平方公式：3.半角公式：4.和差公式：第二部分：三角函數(shù)常用公式常用公式：

5.和差化積：

反三角函數(shù)Chapter4*第一部分：反三角函數(shù)反三角函數(shù)公式反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)限制三角函數(shù)x的取值區(qū)間,使其在所選區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),則存在三角函數(shù)的反函數(shù),即反三角函