三年(2021-2023)中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編(江蘇專(zhuān)用)專(zhuān)題23幾何壓軸題(原卷版+解析)

專(zhuān)題23幾何壓軸題1．（2023·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．

(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；(2)當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上移動(dòng)時(shí)，設(shè)，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．2．（2023·江蘇徐州·中考真題）【閱讀理解】如圖1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形為平行四邊形，若，則上述結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)加以判斷，并說(shuō)明理由．【拓展提升】如圖3，已知為的一條中線(xiàn)，．求證：．【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形中，若，點(diǎn)P在邊上，則的最小值為_(kāi)______．

3．（2023·江蘇·中考真題）如圖1，小麗借助幾何軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)探究：第一步，畫(huà)出矩形和矩形，點(diǎn)、在邊上（），且點(diǎn)、、、在直線(xiàn)的同側(cè)；第二步，設(shè)置，矩形能在邊上左右滑動(dòng)；第三步，畫(huà)出邊的中點(diǎn)，射線(xiàn)與射線(xiàn)相交于點(diǎn)（點(diǎn)、不重合），射線(xiàn)與射線(xiàn)相交于點(diǎn)（點(diǎn)、不重合），觀測(cè)、的長(zhǎng)度．(1)如圖，小麗取，滑動(dòng)矩形，當(dāng)點(diǎn)、重合時(shí)，______；(2)小麗滑動(dòng)矩形，使得恰為邊的中點(diǎn)．她發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意的總成立．請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)經(jīng)過(guò)數(shù)次操作，小麗猜想，設(shè)定、的某種數(shù)量關(guān)系后，滑動(dòng)矩形，總成立．小麗的猜想是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由．

4．（2023·江蘇南通·中考真題）正方形中，點(diǎn)在邊，上運(yùn)動(dòng)（不與正方形頂點(diǎn)重合）．作射線(xiàn)，將射線(xiàn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交射線(xiàn)于點(diǎn)．

(1)如圖，點(diǎn)在邊上，，則圖中與線(xiàn)段相等的線(xiàn)段是___________；(2)過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)在邊延長(zhǎng)線(xiàn)上且時(shí)，求的值．

5．（2023·江蘇·中考真題）綜合與實(shí)踐定義：將寬與長(zhǎng)的比值為（為正整數(shù)）的矩形稱(chēng)為階奇妙矩形．（1）概念理解：當(dāng)時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過(guò)的黃金矩形，它的寬（）與長(zhǎng)的比值是_________．（2）操作驗(yàn)證：用正方形紙片進(jìn)行如下操作（如圖（2））：第一步：對(duì)折正方形紙片，展開(kāi)，折痕為，連接；第二步：折疊紙片使落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，展開(kāi)，折痕為；第三步：過(guò)點(diǎn)折疊紙片，使得點(diǎn)分別落在邊上，展開(kāi)，折痕為．試說(shuō)明：矩形是1階奇妙矩形．

（3）方法遷移：用正方形紙片折疊出一個(gè)2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫(huà)出折疊示意圖并作簡(jiǎn)要標(biāo)注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)階奇妙矩形都可以通過(guò)折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)為正方形邊上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形的周長(zhǎng)與矩形的周長(zhǎng)比值總是定值．請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)定值，并說(shuō)明理由．

6．（2023·江蘇鹽城·中考真題）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】如圖1，小華將矩形紙片先沿對(duì)角線(xiàn)折疊，展開(kāi)后再折疊，使點(diǎn)落在對(duì)角線(xiàn)上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，折痕與邊，分別交于點(diǎn)，.【活動(dòng)猜想】（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四邊形是哪種特殊的四邊形？答：_________.【問(wèn)題解決】（2）如圖3，當(dāng)，，時(shí)，求證：點(diǎn)，，在同一條直線(xiàn)上.【深入探究】（3）如圖4，當(dāng)與滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，始終有與對(duì)角線(xiàn)平行？請(qǐng)說(shuō)明理由.（4）在（3）的情形下，設(shè)與，分別交于點(diǎn)，，試探究三條線(xiàn)段，，之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

7．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）【問(wèn)題情境】在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含的三角板開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，兩塊三角板分別記作和，設(shè)．【操作探究】如圖1，先將和的邊、重合，再將繞著點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中保持不動(dòng)，連接．(1)當(dāng)時(shí)，________；當(dāng)時(shí)，________；(2)當(dāng)時(shí)，畫(huà)出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；(3)如圖2，取的中點(diǎn)F，將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為_(kāi)_______．

8．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，有一張三角形紙片，小宏做如下操作：（1）取，的中點(diǎn)D，E，在邊上作；（2）連接，分別過(guò)點(diǎn)D，N作，，垂足為G，H；（3）將四邊形剪下，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至四邊形的位置，將四邊形剪下，繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至四邊形的位置；（4）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F．小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個(gè)結(jié)論是正確的：①點(diǎn)Q，A，T在一條直線(xiàn)上；②四邊形是矩形；③；④四邊形與的面積相等．【任務(wù)1】請(qǐng)你對(duì)結(jié)論①進(jìn)行證明．【任務(wù)2】如圖2，在四邊形中，，P，Q分別是，的中點(diǎn)，連接．求證：．【任務(wù)3】如圖3，有一張四邊形紙，，，，，，小麗分別取，的中點(diǎn)P，Q，在邊上作，連接，她仿照小宏的操作，將四邊形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的長(zhǎng)．

9．（2023·江蘇泰州·中考真題）已知：A、B為圓上兩定點(diǎn)，點(diǎn)C在該圓上，為所對(duì)的圓周角．知識(shí)回顧(1)如圖①，中，B、C位于直線(xiàn)異側(cè)，．①求的度數(shù)；②若的半徑為5，，求的長(zhǎng)；逆向思考(2)如圖②，P為圓內(nèi)一點(diǎn)，且，，．求證：P為該圓的圓心；拓展應(yīng)用(3)如圖③，在（2）的條件下，若，點(diǎn)C在位于直線(xiàn)上方部分的圓弧上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)D在上，滿(mǎn)足的所有點(diǎn)D中，必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變．請(qǐng)證明．

10．（2023·江蘇宿遷·中考真題）【問(wèn)題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測(cè)量某建筑物高度的方法如下：在地面點(diǎn)E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點(diǎn)D處恰好通過(guò)鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測(cè)得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．【活動(dòng)探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個(gè)測(cè)量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點(diǎn)D處不動(dòng)，將鏡子移動(dòng)至處，小軍恰好通過(guò)鏡子看到廣告牌頂端G，測(cè)出；再將鏡子移動(dòng)至處，恰好通過(guò)鏡子看到廣告牌的底端A，測(cè)出．經(jīng)測(cè)得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個(gè)廣告牌AG的高度．【應(yīng)用拓展】小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測(cè)量出斜坡上信號(hào)塔AB的高度．他們給出了如下測(cè)量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動(dòng)（小軍眼睛離地面距離），小明通過(guò)移動(dòng)鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測(cè)出；③測(cè)出坡長(zhǎng)；④測(cè)出坡比為（即）．通過(guò)他們給出的方案，請(qǐng)你算出信號(hào)塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．

11．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，在矩形中，，，是上一點(diǎn)，，是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，是上一點(diǎn)，且（為常數(shù)，），分別過(guò)點(diǎn)、作、的垂線(xiàn)相交于點(diǎn)，設(shè)的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為．(1)若，，則的值為_(kāi)_______；(2)求與之間的函數(shù)表達(dá)式；(3)在點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若線(xiàn)段上存在點(diǎn)，則的值應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？直接寫(xiě)出的取值范圍．

12．（2022·江蘇南京·中考真題）在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以自身的一個(gè)頂點(diǎn)為位似中心放大或縮小，再將所得多邊形沿過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)翻折，我們稱(chēng)這種變換為自位似軸對(duì)稱(chēng)變換，變換前后的圖形成自位似軸對(duì)稱(chēng)．例如：如圖①，先將以點(diǎn)為位似中心縮小，得到，再將沿過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)翻折，得到，則與成自位似軸對(duì)稱(chēng)．(1)如圖②，在中，，，，垂足為，下列3對(duì)三角形：①與；②與；③與．其中成自位似軸對(duì)稱(chēng)的是________（填寫(xiě)所有符合條件的序號(hào)）；(2)如圖③，已知經(jīng)過(guò)自位似軸對(duì)稱(chēng)變換得到，是上一點(diǎn)，用直尺和圓規(guī)作點(diǎn)，使與是該變換前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）；(3)如圖④，在中，是的中點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，，，連接，求證：．

13．（2022·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD為矩形，，點(diǎn)E在BC上，，將△ABC沿AC翻折到△AFC，連接EF．(1)求EF的長(zhǎng)；(2)求sin∠CEF的值．14．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點(diǎn)P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點(diǎn)，連接DE．過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線(xiàn)，與BC、AC分別交于F、G兩點(diǎn)．連接DG，交PC于點(diǎn)H．(1)∠EDC的度數(shù)為；(2)連接PG，求△APG的面積的最大值；(3)PE與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)求的最大值．

15．（2022·江蘇常州·中考真題）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點(diǎn)是圓心，直徑的長(zhǎng)是，是半圓弧上的一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），連接、．(1)沿、剪下，則是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)分別取半圓弧上的點(diǎn)、和直徑上的點(diǎn)、．已知剪下的由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為的菱形．請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個(gè)符合條件的菱形（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；(3)經(jīng)過(guò)數(shù)次探索，小明猜想，對(duì)于半圓弧上的任意一點(diǎn)，一定存在線(xiàn)段上的點(diǎn)、線(xiàn)段上的點(diǎn)和直徑上的點(diǎn)、，使得由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為的菱形．小明的猜想是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由．

16．（2022·江蘇蘇州·中考真題）（1）如圖1，在△ABC中，，CD平分，交AB于點(diǎn)D，//，交BC于點(diǎn)E．①若，，求BC的長(zhǎng)；②試探究是否為定值．如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如圖2，和是△ABC的2個(gè)外角，，CD平分，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，//，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．記△ACD的面積為，△CDE的面積為，△BDE的面積為．若，求的值．

17．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)E在折線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．(1)當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，作，垂足為M，求證；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)連接，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，試探究的最小值．

18．（2022·江蘇連云港·中考真題）【問(wèn)題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小昕同學(xué)將一大一小兩個(gè)三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中，，．【問(wèn)題探究】小昕同學(xué)將三角板繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．(2)若點(diǎn)、、在同一條直線(xiàn)上，求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．(3)連接，取的中點(diǎn)，三角板由初始位置（圖1），旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)、、首次在同一條直線(xiàn)上（如圖3），求點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．(4)如圖4，為的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值是_____．19．（2022·江蘇淮安·中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，同學(xué)們對(duì)菱形的折疊問(wèn)題進(jìn)行了探究．如圖（1），在菱形中，為銳角，為中點(diǎn)，連接，將菱形沿折疊，得到四邊形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】與的位置關(guān)系是______；(2)【思考表達(dá)】連接，判斷與是否相等，并說(shuō)明理由；(3)如圖（2），延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)?zhí)骄康亩葦?shù)，并說(shuō)明理由；(4)【綜合運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)時(shí)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)寫(xiě)出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．20．（2022·江蘇鹽城·中考真題）【經(jīng)典回顧】梅文鼎是我國(guó)清初著名的數(shù)學(xué)家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法圖1是其中一種方法的示意圖及部分輔助線(xiàn)．在中，，四邊形、和分別是以的三邊為一邊的正方形．延長(zhǎng)和，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)證明：；(2)證明：正方形的面積等于四邊形的面積；(3)請(qǐng)利用（2）中的結(jié)論證明勾股定理．(4)【遷移拓展】如圖2，四邊形和分別是以的兩邊為一邊的平行四邊形，探索在下方是否存在平行四邊形，使得該平行四邊形的面積等于平行四邊形、的面積之和．若存在，作出滿(mǎn)足條件的平行四邊形（保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

21．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖1，在中，，點(diǎn)在邊上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作，交射線(xiàn)于點(diǎn)．(1)分別探索以下兩種特殊情形時(shí)線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；①點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上且；②點(diǎn)在線(xiàn)段上且．(2)若．①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②直接寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值．

22．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）操作探究題(1)已知是半圓的直徑，（是正整數(shù)，且不是3的倍數(shù)）是半圓的一個(gè)圓心角．操作：如圖1，分別將半圓的圓心角（取1、4、5、10）所對(duì)的弧三等分（要求：僅用圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；交流：當(dāng)時(shí)，可以?xún)H用圓規(guī)將半圓的圓心角所對(duì)的弧三等分嗎？探究：你認(rèn)為當(dāng)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，就可以?xún)H用圓規(guī)將半圓的圓心角所對(duì)的弧三等分？說(shuō)說(shuō)你的理由．(2)如圖2，的圓周角．為了將這個(gè)圓的圓周14等分，請(qǐng)作出它的一條14等分弧（要求：僅用圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．23．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn).(1)如圖①，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC邊于點(diǎn)E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長(zhǎng)；(2)在圖②，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點(diǎn)F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）(3)如圖③，點(diǎn)F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線(xiàn)BC與⊙F的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

24．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，點(diǎn)、、、、均為格點(diǎn)．【操作探究】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，佳佳同學(xué)在如圖①的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺畫(huà)了兩條互相垂直的線(xiàn)段、，相交于點(diǎn)并給出部分說(shuō)理過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：解：在網(wǎng)格中取格點(diǎn)，構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因?yàn)椤稀?∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．(1)【拓展應(yīng)用】如圖②是以格點(diǎn)為圓心，為直徑的圓，請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺，在上找出一點(diǎn)P，使=，寫(xiě)出作法，并給出證明：(2)【拓展應(yīng)用】如圖③是以格點(diǎn)為圓心的圓，請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺，在弦上找出一點(diǎn)P．使=·，寫(xiě)出作法，不用證明．

25．（2021·江蘇南京·中考真題）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？（1）如圖①，圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，B為母線(xiàn)的中點(diǎn)，點(diǎn)A在底面圓周上，的長(zhǎng)為．在圖②所示的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中畫(huà)出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑，并標(biāo)出它的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．（2）圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成．O是圓錐的頂點(diǎn)，點(diǎn)A在圓柱的底面圓周上．設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為l，圓柱的高為h．①螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)O的最短路徑的長(zhǎng)為_(kāi)_______（用含l，h的代數(shù)式表示）．②設(shè)的長(zhǎng)為a，點(diǎn)B在母線(xiàn)上，．圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖如圖④所示，在圖中畫(huà)出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑的示意圖，并寫(xiě)出求最短路徑的長(zhǎng)的思路．

26．（2021·江蘇無(wú)錫·中考真題）已知四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)E是射線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，以為直角邊在直線(xiàn)的上方作等腰直角三角形，，設(shè)．（1）如圖1，若點(diǎn)E在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q，連結(jié)，①當(dāng)時(shí)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；②在中，設(shè)邊上的高為h，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示h，并求h的最大值；（2）設(shè)過(guò)的中點(diǎn)且垂直于的直線(xiàn)被等腰直角三角形截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為y，請(qǐng)直接寫(xiě)出y與m的關(guān)系式．

27．（2021·江蘇徐州·中考真題）如圖1，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)在邊上（不與重合），連接．將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，將線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．連接．（1）求證：①的面積；②；（2）如圖2，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，求的取值范圍．28．（2021·江蘇徐州·中考真題）如圖，斜坡的坡角，計(jì)劃在該坡面上安裝兩排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于點(diǎn)，過(guò)其另一端安裝支架，所在的直線(xiàn)垂直于水平線(xiàn)，垂足為點(diǎn)為與的交點(diǎn)．已知，前排光伏板的坡角．（1）求的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)）；（2）冬至日正午，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的太陽(yáng)光線(xiàn)與所成的角．后排光伏板的前端在上．此時(shí)，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影響，則的最小值為多少（結(jié)果取整數(shù)）？參考數(shù)據(jù)：三角函數(shù)銳角13°28°32°0.220.470.530.970.880.850.230.530.62

29．（2021·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在矩形中，線(xiàn)段、分別平行于、，它們相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在線(xiàn)段、上，，，連接、，與交于點(diǎn)．已知．設(shè)，．（1）四邊形的面積______四邊形的面積（填“”、“”或“”）；（2）求證：；（3）設(shè)四邊形的面積為，四邊形的面積為，求的值．30．（2021·江蘇南通·中考真題）如圖，正方形中，點(diǎn)E在邊上（不與端點(diǎn)A，D重合），點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)F，連接，設(shè)．（1）求的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?；（2）過(guò)點(diǎn)C作，垂足為G，連接．判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，連接，．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值．

31．（2021·江蘇連云港·中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．（1）是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E是邊上的一點(diǎn)，且，小亮以為邊作等邊三角形，如圖1，求的長(zhǎng)；（2）是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以為邊作等邊三角形，如圖2，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；（3）是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，M是高上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以為邊作等邊三角形，如圖3，在點(diǎn)M從點(diǎn)C到點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；（4）正方形的邊長(zhǎng)為3，E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小亮以B為頂點(diǎn)作正方形，其中點(diǎn)F、G都在直線(xiàn)上，如圖4，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F、G、H與點(diǎn)B重合．則點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____，點(diǎn)G所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____．

32．（2021·江蘇淮安·中考真題）【知識(shí)再現(xiàn)】學(xué)完《全等三角形》一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)稱(chēng)HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．【簡(jiǎn)單應(yīng)用】如圖（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上．若CE＝BD，則線(xiàn)段AE和線(xiàn)段AD的數(shù)量關(guān)系是．【拓展延伸】在△ABC中，∠BAC＝（90°＜＜180°），AB＝AC＝m，點(diǎn)D在邊AC上．（1）若點(diǎn)E在邊AB上，且CE＝BD，如圖（2）所示，則線(xiàn)段AE與線(xiàn)段AD相等嗎？如果相等，請(qǐng)給出證明；如果不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且CE＝BD．試探究線(xiàn)段AE與線(xiàn)段AD的數(shù)量關(guān)系（用含有a、m的式子表示），并說(shuō)明理由．33．（2021·江蘇揚(yáng)州·中考真題）在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，李老師設(shè)計(jì)了一份活動(dòng)單：已知線(xiàn)段，使用作圖工具作，嘗試操作后思考：（1）這樣的點(diǎn)A唯一嗎？（2）點(diǎn)A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追夢(mèng)”學(xué)習(xí)小組通過(guò)操作、觀察、討論后匯報(bào)：點(diǎn)A的位置不唯一，它在以為弦的圓弧上（點(diǎn)B、C除外），……．小華同學(xué)畫(huà)出了符合要求的一條圓?。ㄈ鐖D1）．（1）小華同學(xué)提出了下列問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長(zhǎng)為_(kāi)__________；②面積的最大值為_(kāi)________；（2）經(jīng)過(guò)比對(duì)發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫(huà)的角的頂點(diǎn)不在小華所畫(huà)的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內(nèi)部，我們記為，請(qǐng)你利用圖1證明；（3）請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決問(wèn)題：如圖2，已知矩形的邊長(zhǎng)，，點(diǎn)P在直線(xiàn)的左側(cè)，且．①線(xiàn)段長(zhǎng)的最小值為_(kāi)______；②若，則線(xiàn)段長(zhǎng)為_(kāi)_______．

34．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，F(xiàn)E，DC為鉛直方向的邊，AF，ED，BC為水平方向的邊，點(diǎn)E在AB，CD之間，且在AF，BC之間，我們稱(chēng)這樣的圖形為“L圖形”，記作“L圖形ABC﹣DEF”．若直線(xiàn)將L圖形分成面積相等的兩個(gè)圖形，則稱(chēng)這樣的直線(xiàn)為該L圖形的面積平分線(xiàn)．【活動(dòng)】小華同學(xué)給出了圖1的面積平分線(xiàn)的一個(gè)作圖方案：如圖2，將這個(gè)L圖形分成矩形AGEF、矩形GBCD，這兩個(gè)矩形的對(duì)稱(chēng)中心O1，O2所在直線(xiàn)是該L圖形的面積平分線(xiàn)．請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺在圖1中作出其他的面積平分線(xiàn)．（作出一種即可，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）【思考】如圖3，直線(xiàn)O1O2是小華作的面積平分線(xiàn)，它與邊BC，AF分別交于點(diǎn)M，N，過(guò)MN的中點(diǎn)O的直線(xiàn)分別交邊BC，AF于點(diǎn)P，Q，直線(xiàn)PQ（填“是”或“不是”）L圖形ABCDEF的面積平分線(xiàn)．【應(yīng)用】在L圖形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．（1）如圖4，CD＝AF＝1．①該L圖形的面積平分線(xiàn)與兩條水平的邊分別相交于點(diǎn)P，Q，求PQ長(zhǎng)的最大值；②該L圖形的面積平分線(xiàn)與邊AB，CD分別相交于點(diǎn)G，H，當(dāng)GH的長(zhǎng)取最小值時(shí)，BG的長(zhǎng)為．（2）設(shè)＝t（t＞0），在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線(xiàn)中，如果只有與邊AB，CD相交的面積平分線(xiàn)，直接寫(xiě)出t的取值范圍．

35．（2021·江蘇泰州·中考真題）如圖，在⊙O中，AB為直徑，P為AB上一點(diǎn)，PA＝1，PB＝m（m為常數(shù)，且m＞0）．過(guò)點(diǎn)P的弦CD⊥AB，Q為上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），AH⊥QD，垂足為H．連接AD、BQ．（1）若m＝3．①求證：∠OAD＝60°；②求的值；（2）用含m的代數(shù)式表示，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果；（3）存在一個(gè)大小確定的⊙O，對(duì)于點(diǎn)Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一個(gè)定值，求此時(shí)∠Q的度數(shù)．

36．（2021·江蘇宿遷·中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周．(1)如圖①，連接BG、CF，求的值；(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，連接CF、BE，分別取CF、BE的中點(diǎn)M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)連接BE、BF，分別取BE、BF的中點(diǎn)N、Q，連接QN，AE=6，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段QN掃過(guò)的面積．

專(zhuān)題23幾何壓軸題1．（2023·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；(2)當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上移動(dòng)時(shí)，設(shè)，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接、，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及已知條件可得為等邊三角形，根據(jù)，可得為等腰直角三角形，則，，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得，，則，；同理，，；進(jìn)而根據(jù)，即可求解；（2）等積法求得，則，根據(jù)三角形的面積公式可得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）如圖，連接、，四邊形為菱形，，，為等邊三角形．為中點(diǎn)，，，，．，為等腰直角三角形，，，翻折，，，，；.同理，，，∴；（2）如圖，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．，，，．∵，，．，則，，，．∵，．2．（2023·江蘇徐州·中考真題）【閱讀理解】如圖1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形為平行四邊形，若，則上述結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)加以判斷，并說(shuō)明理由．【拓展提升】如圖3，已知為的一條中線(xiàn)，．求證：．【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形中，若，點(diǎn)P在邊上，則的最小值為_(kāi)______．

【答案】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立，理由見(jiàn)解析；拓展提升：證明見(jiàn)解析；嘗試應(yīng)用：【分析】探究發(fā)現(xiàn)：作于點(diǎn)E，作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則，證明，，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；拓展提升：延長(zhǎng)到點(diǎn)C，使，證明四邊形是平行四邊形，由【探究發(fā)現(xiàn)】可知，，則，得到，即可得到結(jié)論；嘗試應(yīng)用：由四邊形是矩形，，得到，，設(shè)，，由勾股定理得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立，理由如下：作于點(diǎn)E，作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則，

∵四邊形為平行四邊形，若，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；拓展提升：延長(zhǎng)到點(diǎn)C，使，

∵為的一條中線(xiàn)，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵．∴由【探究發(fā)現(xiàn)】可知，，∴，∴，∴；嘗試應(yīng)用：∵四邊形是矩形，，∴，，設(shè)，則，∴，∵，∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，∴當(dāng)時(shí)，的最小值是故答案為：3．（2023·江蘇·中考真題）如圖1，小麗借助幾何軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)探究：第一步，畫(huà)出矩形和矩形，點(diǎn)、在邊上（），且點(diǎn)、、、在直線(xiàn)的同側(cè)；第二步，設(shè)置，矩形能在邊上左右滑動(dòng)；第三步，畫(huà)出邊的中點(diǎn)，射線(xiàn)與射線(xiàn)相交于點(diǎn)（點(diǎn)、不重合），射線(xiàn)與射線(xiàn)相交于點(diǎn)（點(diǎn)、不重合），觀測(cè)、的長(zhǎng)度．(1)如圖，小麗取，滑動(dòng)矩形，當(dāng)點(diǎn)、重合時(shí)，______；(2)小麗滑動(dòng)矩形，使得恰為邊的中點(diǎn)．她發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意的總成立．請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)經(jīng)過(guò)數(shù)次操作，小麗猜想，設(shè)定、的某種數(shù)量關(guān)系后，滑動(dòng)矩形，總成立．小麗的猜想是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析；(3)小麗的猜想正確，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）證，利用相似三角形的性質(zhì)即矩形的性質(zhì)即可得解；（2）證得，同理可得，由，，得，進(jìn)而有，再根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得證；（3）當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接、，由，恰為邊的中點(diǎn)，得，進(jìn)而證，得，于是有，由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例得，同理可證：，于是有，從而即可得解．【詳解】（1）解：∵四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，∵，，∴，，∴是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，，∴，∴即，∴，∴，故答案為：；（2）證明：如下圖，解：∵小麗滑動(dòng)矩形，使得恰為邊的中點(diǎn)，∴，，∵四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，∵，∴，∴，同理可得，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（3）解：小麗的猜想正確，當(dāng)時(shí)，總成立，理由如下：如下圖，取的中點(diǎn)，連接、，

∵四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，∵，，∴，∵恰為邊的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，同理可證：，∵，∴，∴，∴小麗的猜想正確．4．（2023·江蘇南通·中考真題）正方形中，點(diǎn)在邊，上運(yùn)動(dòng)（不與正方形頂點(diǎn)重合）．作射線(xiàn)，將射線(xiàn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交射線(xiàn)于點(diǎn)．

(1)如圖，點(diǎn)在邊上，，則圖中與線(xiàn)段相等的線(xiàn)段是___________；(2)過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)在邊延長(zhǎng)線(xiàn)上且時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)的度數(shù)為或(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和已知條件得到，即可得到答案；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，證明，得到，推出為等腰直角三角形，得到答案；當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，則四邊形是矩形，同理得到，得到為等腰直角三角形得到答案；（3）由平行的性質(zhì)得到分線(xiàn)段成比例．【詳解】（1）．正方形，，，，．（2）解：①當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)（如圖），過(guò)點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．，四邊形是矩形．．，，，為等腰直角三角形，．．．．，．為等腰直角三角形，．．

②當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)（如圖），過(guò)點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，則四邊形是矩形，同理，．．為等腰直角三角形，．．

綜上，的度數(shù)為45°或135°．（3）解：當(dāng)點(diǎn)在邊延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，點(diǎn)在邊上（如圖），設(shè)，則．．．，．5．（2023·江蘇·中考真題）綜合與實(shí)踐定義：將寬與長(zhǎng)的比值為（為正整數(shù)）的矩形稱(chēng)為階奇妙矩形．（1）概念理解：當(dāng)時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過(guò)的黃金矩形，它的寬（）與長(zhǎng)的比值是_________．（2）操作驗(yàn)證：用正方形紙片進(jìn)行如下操作（如圖（2））：第一步：對(duì)折正方形紙片，展開(kāi)，折痕為，連接；第二步：折疊紙片使落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，展開(kāi)，折痕為；第三步：過(guò)點(diǎn)折疊紙片，使得點(diǎn)分別落在邊上，展開(kāi)，折痕為．試說(shuō)明：矩形是1階奇妙矩形．

（3）方法遷移：用正方形紙片折疊出一個(gè)2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫(huà)出折疊示意圖并作簡(jiǎn)要標(biāo)注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)階奇妙矩形都可以通過(guò)折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)為正方形邊上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形的周長(zhǎng)與矩形的周長(zhǎng)比值總是定值．請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)定值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3），理由見(jiàn)解析【分析】（1）將代入，即可求解．（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，設(shè)，則，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；（3）仿照（2）的方法得出2階奇妙矩形．（4）根據(jù)（2）的方法，分別求得四邊形的周長(zhǎng)與矩形的周長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，故答案為：．（2）如圖（2），連接，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得設(shè)，則根據(jù)折疊，可得，，在中，，∴，在中，∴解得：∴∴矩形是1階奇妙矩形．（3）用正方形紙片進(jìn)行如下操作（如圖）：第一步：對(duì)折正方形紙片，展開(kāi)，折痕為，再對(duì)折，折痕為，連接；第二步：折疊紙片使落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，展開(kāi)，折痕為；第三步：過(guò)點(diǎn)折疊紙片，使得點(diǎn)分別落在邊上，展開(kāi)，折痕為．矩形是2階奇妙矩形，

理由如下，連接，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)折疊可得，則，

設(shè)，則根據(jù)折疊，可得，，在中，，∴，在中，∴解得：∴當(dāng)時(shí)，∴矩形是2階奇妙矩形．（4）如圖（4），連接誒，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，設(shè)，則，

設(shè)，則根據(jù)折疊，可得，，在中，，∴，在中，∴整理得，∴四邊形的邊長(zhǎng)為矩形的周長(zhǎng)為，∴四邊形的周長(zhǎng)與矩形的周長(zhǎng)比值總是定值6．（2023·江蘇鹽城·中考真題）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】如圖1，小華將矩形紙片先沿對(duì)角線(xiàn)折疊，展開(kāi)后再折疊，使點(diǎn)落在對(duì)角線(xiàn)上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，折痕與邊，分別交于點(diǎn)，.【活動(dòng)猜想】（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四邊形是哪種特殊的四邊形？答：_________.【問(wèn)題解決】（2）如圖3，當(dāng)，，時(shí)，求證：點(diǎn)，，在同一條直線(xiàn)上.【深入探究】（3）如圖4，當(dāng)與滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，始終有與對(duì)角線(xiàn)平行？請(qǐng)說(shuō)明理由.（4）在（3）的情形下，設(shè)與，分別交于點(diǎn)，，試探究三條線(xiàn)段，，之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】（1）菱形；（2）證明見(jiàn)解答；（3），證明見(jiàn)解析；（4），理由見(jiàn)解析【分析】（1）由折疊可得：，，再證得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，利用勾股定理可得，再證明，可求得，進(jìn)而可得，再由，可求得，，，運(yùn)用勾股定理可得，運(yùn)用勾股定理逆定理可得，進(jìn)而可得，即可證得結(jié)論；（3）設(shè)，則，利用折疊的性質(zhì)和平行線(xiàn)性質(zhì)可得：，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案；（4）過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)交于，設(shè)，，利用解直角三角形可得，，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四邊形是菱形．理由：設(shè)與交于點(diǎn)，如圖，由折疊得：，，，四邊形是矩形，，，，，四邊形是菱形．故答案為：菱形．（2）證明：四邊形是矩形，，，，，，，，，如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，由折疊得：，，，，，，，即，，，，，，，即，，，，，，，，，，點(diǎn)，，在同一條直線(xiàn)上．（3）當(dāng)時(shí)，始終有與對(duì)角線(xiàn)平行．理由：如圖，設(shè)、交于點(diǎn)，四邊形是矩形，，，，設(shè)，則，由折疊得：，，，，，，，，，即，，，，；（4），理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)交于，由折疊得：，，，設(shè)，，由（3）得：，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，即．7．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）【問(wèn)題情境】在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含的三角板開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，兩塊三角板分別記作和，設(shè)．【操作探究】如圖1，先將和的邊、重合，再將繞著點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中保持不動(dòng)，連接．

(1)當(dāng)時(shí)，________；當(dāng)時(shí)，________；(2)當(dāng)時(shí)，畫(huà)出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；(3)如圖2，取的中點(diǎn)F，將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】(1)2；30或210(2)畫(huà)圖見(jiàn)解析；(3)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，與重合，證明為等邊三角形，得出；當(dāng)時(shí)，根據(jù)勾股定理逆定理得出，兩種情況討論：當(dāng)在下方時(shí)，當(dāng)在上方時(shí)，分別畫(huà)出圖形，求出結(jié)果即可；（2）證明四邊形是正方形，得出，求出，得出，求出，根據(jù)求出兩塊三角板重疊部分圖形的面積即可；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出，即，確定將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)F在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，求出圓的周長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：∵和中，∴，∴當(dāng)時(shí)，與重合，如圖所示：連接，

∵，，∴為等邊三角形，∴；當(dāng)時(shí)，∵，∴當(dāng)時(shí)，為直角三角形，，∴，當(dāng)在下方時(shí)，如圖所示：

∵，∴此時(shí)；當(dāng)在上方時(shí)，如圖所示：

∵，∴此時(shí)；綜上分析可知，當(dāng)時(shí)，或；故答案為：2；30或210．（2）解：當(dāng)時(shí)，如圖所示：

∵，∴，∴，∵，又∵，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即兩塊三角板重疊部分圖形的面積為．（3）解：∵，為的中點(diǎn)，∴，∴，∴將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)F在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．故答案為：．

8．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，有一張三角形紙片，小宏做如下操作：

（1）取，的中點(diǎn)D，E，在邊上作；（2）連接，分別過(guò)點(diǎn)D，N作，，垂足為G，H；（3）將四邊形剪下，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至四邊形的位置，將四邊形剪下，繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至四邊形的位置；（4）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F．小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個(gè)結(jié)論是正確的：①點(diǎn)Q，A，T在一條直線(xiàn)上；②四邊形是矩形；③；④四邊形與的面積相等．【任務(wù)1】請(qǐng)你對(duì)結(jié)論①進(jìn)行證明．【任務(wù)2】如圖2，在四邊形中，，P，Q分別是，的中點(diǎn)，連接．求證：．【任務(wù)3】如圖3，有一張四邊形紙，，，，，，小麗分別取，的中點(diǎn)P，Q，在邊上作，連接，她仿照小宏的操作，將四邊形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的長(zhǎng)．【答案】[任務(wù)1]見(jiàn)解析；[任務(wù)2]見(jiàn)解析；[任務(wù)3]【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得對(duì)應(yīng)角相等，即，，由三角形內(nèi)角和定理得，從而得，即Q，A，T三點(diǎn)共線(xiàn)；（2）梯形中位線(xiàn)的證明問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為三角形的中位線(xiàn)問(wèn)題解決，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，證明，可得，，由三角形中位線(xiàn)定理得；（3）過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)R，由，得，從而得，由【發(fā)現(xiàn)】得，則，，由【任務(wù)2】的結(jié)論得，由勾股定理得．過(guò)點(diǎn)Q作，垂足為H．由及得，從而得，證明，得，從而得．【詳解】[任務(wù)1]證法1：由旋轉(zhuǎn)得，，．在中，，∴，∴點(diǎn)Q，A，T在一條直線(xiàn)上．證法2：由旋轉(zhuǎn)得，，．∴，．∴點(diǎn)Q，A，T在一條直線(xiàn)上．[任務(wù)2]證明：如圖1，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．∵，∴．∵Q是的中點(diǎn)，∴．在和中，∴．∴，．又∵P是的中點(diǎn)，∴，∴是的中位線(xiàn)，∴，∴．

[任務(wù)3]的方法畫(huà)出示意圖如圖2所示．

由【任務(wù)2】可得，．過(guò)點(diǎn)D作，垂足為R．在中，，∴．∴，∴，．在中，由勾股定理得．過(guò)點(diǎn)Q作，垂足為H．∵Q是的中點(diǎn)，∴．在中，，∴．又由勾股定理得．由，得．又∵，∴．∴，即，∴．∴．9．（2023·江蘇泰州·中考真題）已知：A、B為圓上兩定點(diǎn)，點(diǎn)C在該圓上，為所對(duì)的圓周角．

知識(shí)回顧(1)如圖①，中，B、C位于直線(xiàn)異側(cè)，．①求的度數(shù)；②若的半徑為5，，求的長(zhǎng)；逆向思考(2)如圖②，P為圓內(nèi)一點(diǎn)，且，，．求證：P為該圓的圓心；拓展應(yīng)用(3)如圖③，在（2）的條件下，若，點(diǎn)C在位于直線(xiàn)上方部分的圓弧上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)D在上，滿(mǎn)足的所有點(diǎn)D中，必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變．請(qǐng)證明．【答案】(1)①；②；(2)見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)，結(jié)合圓周角定理求的度數(shù)；②構(gòu)造直角三角形；（2）只要說(shuō)明點(diǎn)到圓上、和另一點(diǎn)的距離相等即可；（3）根據(jù)，構(gòu)造一條線(xiàn)段等于，利用三角形全等來(lái)說(shuō)明此線(xiàn)段和相等．【詳解】（1）解：①，，，．②連接，過(guò)作，垂足為，

，，是等腰直角三角形，且，，，是等腰直角三角形，，在直角三角形中，，．（2）證明：延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，則，

，，，，，，，為該圓的圓心．（3）證明：過(guò)作的垂線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接，，

，，是等腰直角三角形，，，，，是直徑，，，，，，，，必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變，點(diǎn)即為所求．10．（2023·江蘇宿遷·中考真題）【問(wèn)題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測(cè)量某建筑物高度的方法如下：在地面點(diǎn)E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點(diǎn)D處恰好通過(guò)鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測(cè)得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．【活動(dòng)探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個(gè)測(cè)量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點(diǎn)D處不動(dòng)，將鏡子移動(dòng)至處，小軍恰好通過(guò)鏡子看到廣告牌頂端G，測(cè)出；再將鏡子移動(dòng)至處，恰好通過(guò)鏡子看到廣告牌的底端A，測(cè)出．經(jīng)測(cè)得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個(gè)廣告牌AG的高度．【應(yīng)用拓展】小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測(cè)量出斜坡上信號(hào)塔AB的高度．他們給出了如下測(cè)量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動(dòng)（小軍眼睛離地面距離），小明通過(guò)移動(dòng)鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測(cè)出；③測(cè)出坡長(zhǎng)；④測(cè)出坡比為（即）．通過(guò)他們給出的方案，請(qǐng)你算出信號(hào)塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．【答案】[問(wèn)題背景]；[活動(dòng)探究]；[應(yīng)用拓展]【分析】[問(wèn)題背景]根據(jù)反射定理，結(jié)合兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)，列出相似比代值求解即可得到答案；[活動(dòng)探究]根據(jù)反射定理，結(jié)合兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)，運(yùn)用兩次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案；[應(yīng)用拓展]過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證，得，再由銳角三角函數(shù)定義得，設(shè)，，則，，進(jìn)而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性質(zhì)得，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：[問(wèn)題背景]如圖所示：

，，，，，，，，，解得；[活動(dòng)探究]如圖所示：

，，，，，，，，，解得；，，，，，，，，，解得；；[應(yīng)用拓展]如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意得：，，，，，即，，，，，即，，，，由題意得：，，，，設(shè)，，則，，，，解得：（負(fù)值已舍去），，，，，同【問(wèn)題背景】得：，，，解得：，，答：信號(hào)塔的高度約為．11．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，在矩形中，，，是上一點(diǎn)，，是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，是上一點(diǎn)，且（為常數(shù)，），分別過(guò)點(diǎn)、作、的垂線(xiàn)相交于點(diǎn)，設(shè)的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為．(1)若，，則的值為_(kāi)_______；(2)求與之間的函數(shù)表達(dá)式；(3)在點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若線(xiàn)段上存在點(diǎn)，則的值應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？直接寫(xiě)出的取值范圍．【答案】(1)5(2)(3)【分析】（1）根據(jù)，得，則，代入計(jì)算即可；（2）利用，得，再由，得，即可證明結(jié)論；（3）根據(jù)點(diǎn)P在上，可得，再由點(diǎn)G在上，可得，進(jìn)而解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：5；（2）解：∵，，∴，又∵，∴，∴，在中，，，∴，又∵，∴，∴即；（3）解：若點(diǎn)在上，則，由（2）得，∴，∵點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，∴，∴，∴即，又∵是上一點(diǎn)，∴，∴．12．（2022·江蘇南京·中考真題）在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以自身的一個(gè)頂點(diǎn)為位似中心放大或縮小，再將所得多邊形沿過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)翻折，我們稱(chēng)這種變換為自位似軸對(duì)稱(chēng)變換，變換前后的圖形成自位似軸對(duì)稱(chēng)．例如：如圖①，先將以點(diǎn)為位似中心縮小，得到，再將沿過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)翻折，得到，則與成自位似軸對(duì)稱(chēng)．(1)如圖②，在中，，，，垂足為，下列3對(duì)三角形：①與；②與；③與．其中成自位似軸對(duì)稱(chēng)的是________（填寫(xiě)所有符合條件的序號(hào)）；(2)如圖③，已知經(jīng)過(guò)自位似軸對(duì)稱(chēng)變換得到，是上一點(diǎn)，用直尺和圓規(guī)作點(diǎn)，使與是該變換前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）；(3)如圖④，在中，是的中點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，，，連接，求證：．【答案】(1)①②(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題中定義作出圖形，即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)題意和軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)作出軸對(duì)稱(chēng)前的，即以點(diǎn)為位似中心縮小的，在作出Q對(duì)應(yīng)的，進(jìn)而作出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P即可；（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，證明和得到，進(jìn)而得到，證明得到，利用平行線(xiàn)的判定即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①與成自位似軸對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)軸為的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)，如圖；

②與成自位似軸對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)軸為平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)，如圖，

，③與不成自位似軸對(duì)稱(chēng)，故答案為：①②；（2）解：如圖，1）分別在和上截取，，2）連接，在上截取，3）連接并延長(zhǎng)交于P，則點(diǎn)即為所求；

（3）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是中點(diǎn)，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．

13．（2022·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD為矩形，，點(diǎn)E在BC上，，將△ABC沿AC翻折到△AFC，連接EF．(1)求EF的長(zhǎng)；(2)求sin∠CEF的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)先由可求得的長(zhǎng)度，再由角度關(guān)系可得，即可求得的長(zhǎng);(2)過(guò)F作于，利用勾股定理列方程，即可求出的長(zhǎng)度，同時(shí)求出的長(zhǎng)度，得出答案.【詳解】（1）設(shè)，則，∴，在中，，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，由折疊可知，∴，，∴，∴，在中，.（2）過(guò)F作FM⊥BC于M，∴∠FME=∠FMC=90°，設(shè)EM=a,則EC=3-a，在中，，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴.14．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點(diǎn)P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點(diǎn)，連接DE．過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線(xiàn)，與BC、AC分別交于F、G兩點(diǎn)．連接DG，交PC于點(diǎn)H．

(1)∠EDC的度數(shù)為；(2)連接PG，求△APG的面積的最大值；(3)PE與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)求的最大值．【答案】(1)45°(2)9(3)PE=DG，理由見(jiàn)解析(4)【分析】（1）先說(shuō)明∠B=45°，再說(shuō)明DE是△CBP的中位線(xiàn)可得DEBP，然后由平行線(xiàn)的性質(zhì)即可解答；（2）先說(shuō)明△EDF和△GFC是等腰直角三角形可得DF=EF=、GF=CF=；設(shè)AP=x，則BP=12-x，BP=12-x=2DE，然后通過(guò)三角形中位線(xiàn)、勾股定理、線(xiàn)段的和差用x表示出AG，再根據(jù)三角形的面積公式列出表達(dá)式，最后運(yùn)用二次函數(shù)求最值即可；（3）先證明△GFD≌△CFE，可得DG=CE，進(jìn)而可得PE=DG；由△GFD≌△CFE可得∠ECF=∠DGF，進(jìn)而得到∠GHE=∠CFE=90°，即可說(shuō)明DG、PE的位置關(guān)系；（4）先說(shuō)明△CEF∽△CDH得到，進(jìn)而得到，然后將已經(jīng)求得的量代入可得，然后根據(jù)求最值即可．【詳解】（1）解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12∴∠B=∠ACB=45°∵，D、E分別為BC、PC的中點(diǎn)∴DEBP，DE=∴∠EDC=∠B=45°．（2）解：如圖：連接PG∵∠EDC=∠ACB=45°，GF⊥DC∴△EDF和△GFC是等腰直角三角形∴DF=EF=，GF=CF=，設(shè)AP=x，則BP=12-x，BP=12-x=2DE∴DE=，EF=∵Rt△APC，∴PC=∴CE=∵Rt△EFC∴FC=FG=∴CG=CF=∴AG=12-CG=12-=∴S△APG=所以當(dāng)x=6時(shí)，S△APG有最大值9．

（3）解：DG=PE，DG⊥PE，理由如下：∵DF=EF，∠CFE=∠GFD，GF=CF∴△GFD≌△CFE(SAS)∴DG=CE∵E是PC的中點(diǎn)∴PE=CE∴PE=DG；∵△GFD≌△CFE∴∠ECF=∠DGF∵∠CEF=∠PEG∴∠GHE=∠EFC=90°，即DG⊥PE．（4）解：∵△GFD≌△CFE∴∠CEF=∠CDH又∵∠ECF=∠DCH∴△CEF∽△CDH∴，即∴∵FC=，CE=，CD=∴∴的最大值為．15．（2022·江蘇常州·中考真題）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點(diǎn)是圓心，直徑的長(zhǎng)是，是半圓弧上的一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），連接、．(1)沿、剪下，則是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)分別取半圓弧上的點(diǎn)、和直徑上的點(diǎn)、．已知剪下的由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為的菱形．請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個(gè)符合條件的菱形（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；(3)經(jīng)過(guò)數(shù)次探索，小明猜想，對(duì)于半圓弧上的任意一點(diǎn)，一定存在線(xiàn)段上的點(diǎn)、線(xiàn)段上的點(diǎn)和直徑上的點(diǎn)、，使得由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為的菱形．小明的猜想是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)直角(2)見(jiàn)詳解(3)小明的猜想正確，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）AB是圓的直徑，根據(jù)圓周角定理可知∠ACB=90°，即可作答；（2）以A為圓心，AO為半徑畫(huà)弧交⊙O于點(diǎn)E，再以E為圓心，EO為半徑畫(huà)弧交于⊙O點(diǎn)F連接EF、FO、EA，G、H點(diǎn)分別與A、O點(diǎn)重合，即可；（3）當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)A時(shí)，設(shè)，，可證,推出，分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點(diǎn)P，Q，可得，進(jìn)而可證四邊形MNQP是菱形；當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)B時(shí)，同理可證．【詳解】（1）解：如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB是直角，即△ABC是直角三角形，故答案為：直角；（2）解：以A為圓心，AO為半徑畫(huà)弧交⊙O于點(diǎn)E，再以E為圓心，EO為半徑畫(huà)弧交于⊙O點(diǎn)F連接EF、FO、EA，G、H點(diǎn)分別與A、O點(diǎn)重合，即可，作圖如下：由作圖可知AE=EF=FH=HG=OA=AB=6，即四邊形EFHG是邊長(zhǎng)為6cm的菱形；（3）解：小明的猜想正確，理由如下：如圖，當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)A時(shí)，設(shè)，，∴,∴,∴,∴．分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點(diǎn)P，Q，作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，∴．∵,，，∴，在和中，，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形MNQP是平行四邊形，又∵，∴四邊形MNQP是菱形；同理，如圖，當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)B時(shí)，采樣相同方法可以得到四邊形MNQP是菱形，故小明的猜想正確．16．（2022·江蘇蘇州·中考真題）（1）如圖1，在△ABC中，，CD平分，交AB于點(diǎn)D，//，交BC于點(diǎn)E．①若，，求BC的長(zhǎng)；②試探究是否為定值．如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如圖2，和是△ABC的2個(gè)外角，，CD平分，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，//，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．記△ACD的面積為，△CDE的面積為，△BDE的面積為．若，求的值．【答案】（1）①；②是定值，定值為1；（2）【分析】（1）①證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；②由，可得，由①同理可得，計(jì)算；（2）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)可得，又，則，可得，設(shè)，則．證明，可得，過(guò)點(diǎn)D作于H．分別求得，進(jìn)而根據(jù)余弦的定義即可求解．【詳解】（1）①∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．②∵，∴．由①可得，∴．∴．∴是定值，定值為1．（2）∵，∴．∵，∴．又∵，∴．設(shè)，則．∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．如圖，過(guò)點(diǎn)D作于H．∵，∴．∴．17．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)E在折線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．(1)當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，作，垂足為M，求證；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)連接，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，試探究的最小值．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)或(3)【分析】（1）證明即可得證．（2）分情況討論，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，借助，在中求解；當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥AC于點(diǎn)H，借助并利用勾股定理求解即可．（3）分別討論當(dāng)點(diǎn)E在BC和CD上時(shí)，點(diǎn)F所在位置不同，DF的最小值也不同，綜合比較取最小即可．【詳解】（1）如圖所示，由題意可知，，，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知：AE=AF，在和中，，，．（2）當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，在中，，，則，在中，，，則，由（1）可得，，在中，，，則，當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥AC于點(diǎn)H，同（1）可得，，由勾股定理得；故CF的長(zhǎng)為或．（3）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，由（1）知，，故點(diǎn)F在射線(xiàn)MF上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，DH的值最?。谂c中，，，，即，，，，在與中，，，，即，，故的最小值；如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段CD上時(shí)，將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，得到線(xiàn)段AR，連接FR，過(guò)點(diǎn)D作，，由題意可知，，在與中，，，，故點(diǎn)F在RF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)K重合時(shí)，DF的值最?。挥捎?，，，故四邊形DQRK是矩形；，，，，故此時(shí)DF的最小值為；由于，故DF的最小值為．18．（2022·江蘇連云港·中考真題）【問(wèn)題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小昕同學(xué)將一大一小兩個(gè)三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中，，．【問(wèn)題探究】小昕同學(xué)將三角板繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．(2)若點(diǎn)、、在同一條直線(xiàn)上，求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．(3)連接，取的中點(diǎn)，三角板由初始位置（圖1），旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)、、首次在同一條直線(xiàn)上（如圖3），求點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．(4)如圖4，為的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值是_____．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）在Rt△BEF中，根據(jù)余弦的定義求解即可；（2）分點(diǎn)在上方和下方兩種情況討論求解即可；（3）取的中點(diǎn)，連接，從而求出OG=，得出點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解；（4）由（3）知，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，過(guò)O作OH⊥AB于H，當(dāng)G在OH的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，GH最大，即點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大，在Rt△BOH中求出OH，進(jìn)而可求GH.【詳解】（1）解：由題意得，，∵在中，，，．∴．（2）①當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，如圖一，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，∵在中，，，，∴，∴．∵在中，，，，，∴．∵點(diǎn)、、在同一直線(xiàn)上，且，∴．又∵在中，，，，∴，∴．∵在中，，∴．②當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，如圖二，在中，∵，，，∴．∴．過(guò)點(diǎn)作，垂足為．在中，，∴．綜上，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為．（3）解：如圖三，取的中點(diǎn)，連接，則．∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上．當(dāng)三角板繞點(diǎn)B順時(shí)針由初始位置旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)、B、首次在同一條直線(xiàn)上時(shí)，點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的軌跡為所對(duì)的圓弧，圓弧長(zhǎng)為．∴點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．（4）解：由（3）知，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，如圖四，過(guò)O作OH⊥AB于H，當(dāng)G在OH的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，GH最大，即點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大，在Rt△BOH中，∠BHO=90°，∠OBH=30°，，∴，∴，即點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為.19．（2022·江蘇淮安·中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，同學(xué)們對(duì)菱形的折疊問(wèn)題進(jìn)行了探究．如圖（1），在菱形中，為銳角，為中點(diǎn)，連接，將菱形沿折疊，得到四邊形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】與的位置關(guān)系是______；(2)【思考表達(dá)】連接，判斷與是否相等，并說(shuō)明理由；(3)如圖（2），延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)?zhí)骄康亩葦?shù)，并說(shuō)明理由；(4)【綜合運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)時(shí)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)寫(xiě)出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)，理由見(jiàn)解析；(3)，理由見(jiàn)解析；(4)，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)判斷即可；（2）連接，，由可知點(diǎn)B、、C在以為直徑,E為圓心的圓上，則，由翻折變換的性質(zhì)可得，證明，可得結(jié)論；（3）連接，，，延長(zhǎng)至點(diǎn)H，求出，，可得，然后證明，可得，進(jìn)而得到即可解決問(wèn)題．（4）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，設(shè)，，解直角三角形求出，，利用勾股定理求出，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)及平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例求出，，再根據(jù)勾股定理列式即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵在菱形中，，∴由翻折的性質(zhì)可知，，故答案為：；（2）解：，理由：如圖，連接，，∵為中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)B、、C在以為直徑,E為圓心的圓上，∴，∴，由翻折變換的性質(zhì)可知，∴，∴；（3）解：結(jié)論：；理由：如圖，連接，，，延長(zhǎng)至點(diǎn)H，由翻折的性質(zhì)可知，設(shè)，，∵四邊形是菱形，

∴，，∴，∴，∴，∵，點(diǎn)B、、C在以為直徑,E為圓心的圓上，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（4）解：結(jié)論：，理由：如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，設(shè)，，∵，∴，∴，∴，，在中，則有，∴，∴，，∵，∴，∴，∴∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．20．（2022·江蘇鹽城·中考真題）【經(jīng)典回顧】梅文鼎是我國(guó)清初著名的數(shù)學(xué)家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法圖1是其中一種方法的示意圖及部分輔助線(xiàn)．在中，，四邊形、和分別是以的三邊為一邊的正方形．延長(zhǎng)和，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)證明：；(2)證明：正方形的面積等于四邊形的面積；(3)請(qǐng)利用（2）中的結(jié)論證明勾股定理．(4)【遷移拓展】如圖2，四邊形和分別是以的兩邊為一邊的平行四邊形，探索在下方是否存在平行四邊形，使得該平行四邊形的面積等于平行四邊形、的面積之和．若存在，作出滿(mǎn)足條件的平行四邊形（保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析(4)存在，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS證明△ACB≌△HCG，可得結(jié)論；（2）證明S△CHG＝S△CHL，所以S△AMI＝S△CHL，由此可得結(jié)論；（3）證明正方形ACHI的面積+正方形BFGC的面積＝?ADJK的面積+?KJEB的面積＝正方形ADEB，可得結(jié)論；（4）如圖2，延長(zhǎng)IH和FG交于點(diǎn)L，連接LC，以A為圓心CL為半徑畫(huà)弧交IH于一點(diǎn)，過(guò)這一點(diǎn)和A作直線(xiàn)，以A為圓心，AI為半徑作弧交這直線(xiàn)于D，分別以A，B為圓心，以AB，AI為半徑畫(huà)弧交于E，連接AD，DE，BE，則四邊形ADEB即為所求．【詳解】（1）證明：如圖1，連接HG，∵四邊形ACHI，ABED和BCGF是正方形，∴AC＝CH，BC＝CG，∠ACH＝∠BCG＝90°，AB＝AD，∵∠ACB＝90°，∴∠GCH＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，∴∠GCH＝∠ACB，∴△ACB≌△HCG（SAS），∴GH＝AB＝AD，∵∠GCH＝∠CHI＝∠CGL＝90°，∴四邊形CGLH是矩形，∴CL＝GH，∴AD＝LC；（2）證明：∵∠CAI＝∠BAM＝90°，∴∠BAC＝∠MAI，∵AC＝AI，∠ACB＝∠I＝90°，∴△ABC≌△AMI（ASA），由（1）知：△ACB≌△HCG，∴△AMI≌△HGC，∵四邊形CGLH是矩形，∴S△CHG＝S△CHL，∴S△AMI＝S△CHL，∴正方形ACHI的面積等于四邊形ACLM的面積；（3）證明：由正方形可得，又，所以四邊形是平行四邊形，由（2）知，四邊形是平行四邊形，由（1）知，，所以，延長(zhǎng)交于，同理有，所以．所以．（4）解：如圖為所求作的平行四邊形．21．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖1，在中，，點(diǎn)在邊上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作，交射線(xiàn)于點(diǎn)．(1)分別探索以下兩種特殊情形時(shí)線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；①點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上且；②點(diǎn)在線(xiàn)段上且．(2)若．①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②直接寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值．【答案】(1)①②(2)①②4【分析】（1）①算出各個(gè)內(nèi)角，發(fā)現(xiàn)其是等腰三角形即可推出；②算出各內(nèi)角發(fā)現(xiàn)其是30°的直角三角形即可推出；（2）①分別過(guò)點(diǎn)A，E作BC的垂線(xiàn)，得到一線(xiàn)三垂直的相似，即，設(shè)，，利用30°直角三角形的三邊關(guān)系，分別表示出，，，，列式求解a即可；②分別過(guò)點(diǎn)A，E作BC的垂線(xiàn)，相交于點(diǎn)G，H，證明可得，然后利用完全平方公式變形得出，求出AE的取值范圍即可．【詳解】（1）①∵在中，，∴∵∴，在中，∴∴∴；②如圖：∵∴，∴在中，∴∴；（2）①分別過(guò)點(diǎn)A，E作BC的垂線(xiàn)，相交于點(diǎn)H，G，則∠EGD＝∠DHA＝90°，∴∠GED＋∠GDE＝90°，∵∠HDA＋∠GDE＝90°，∴∠GED＝∠HDA，∴，設(shè)，，則，，在中，，AB=6則，在中，，則在中，，∴∴由得，即解得：，（舍）故；②分別過(guò)點(diǎn)A，E作BC的垂線(xiàn)，相交于點(diǎn)G，H，則∠EHD＝∠AGD＝90°，∵∠ADE＝90°，∴∠EDH=90°-∠ADG＝∠DAG，∵∠EHD＝∠AGD＝90°，∴，∴，∴，∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，∴∠B=30°，∴，∴，∴=，∵∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故AE的最小值為4.22．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）操作探究題(1)已知是半圓的直徑，（是正整數(shù)，且不是3的倍數(shù)）是半圓的一個(gè)圓心角．操作：如圖1，分別將半圓的圓心角（取1、4、5、10）所對(duì)的弧三等分（要求：僅用圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；交流：當(dāng)時(shí)，可以?xún)H用圓規(guī)將半圓的圓心角所對(duì)的弧三等分嗎？探究：你認(rèn)為當(dāng)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，就可以?xún)H用圓規(guī)將半圓的圓心角所對(duì)的弧三等分？說(shuō)說(shuō)你的理由．(2)如圖2，的圓周角．為了將這個(gè)圓的圓周14等分，請(qǐng)作出它的一條14等分?。ㄒ螅簝H用圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析；交流：，或；探究：正整數(shù)（不是3的倍數(shù)），理由見(jiàn)解析(2)作圖見(jiàn)解析【分析】（1）由操作可知，如果可以用與的線(xiàn)性表示，那么該圓弧就可以被三等分（2）將圓周14等分就是把所對(duì)的圓周角所對(duì)弧三等分即可,給出一種算法：【詳解】（1）操作：交流：，或；探究：設(shè)，解得（為非負(fù)整數(shù)）．或設(shè)，解得（為正整數(shù)）．所以對(duì)于正整數(shù)（不是3的倍數(shù)），都可以?xún)H用圓規(guī)將半圓的圓心角所對(duì)的弧三等分；（2）23．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn).(1)如圖①，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC邊于點(diǎn)E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長(zhǎng)；(2)在圖②，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點(diǎn)F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）(3)如圖③，點(diǎn)F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線(xiàn)BC與⊙F的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】(1)2(2)圖見(jiàn)詳解(3)直線(xiàn)BC與⊙F相切，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）由題意易得，則有，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定可進(jìn)行求解；（2）作DT∥AC交AB于點(diǎn)T，作∠TDF=∠ATD，射線(xiàn)DF交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求；（3）作BR∥CF交FD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)R，連接CR，證明四邊形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出，推出CD⊥DF，然后問(wèn)題可求解．【詳解】（1）解：∵DE∥AB，∴，∴，∵AB=5，BD=9，DC=6，∴，∴；（2）解：作DT∥AC交AB于點(diǎn)T，作∠TDF=∠ATD，射線(xiàn)DF交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求；如圖所示：點(diǎn)F即為所求，（3）解：直線(xiàn)BC與⊙F相切，理由如下：作BR∥CF交FD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)R，連接CR，如圖，∵∠DFA=∠A，∴四邊形ABRF是等腰梯形，∴，∵△FBC的面積等于，∴，∴CD⊥DF，∵FD是⊙F的半徑，∴直線(xiàn)BC與⊙F相切．24．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，點(diǎn)、、、、均為格點(diǎn)．【操作探究】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，佳佳同學(xué)在如圖①的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺畫(huà)了兩條互相垂直的線(xiàn)段、，相交于點(diǎn)并給出部分說(shuō)理過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：解：在網(wǎng)格中取格點(diǎn)，構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因?yàn)椤稀?∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．(1)【拓展應(yīng)用】如圖②是以格點(diǎn)為圓心，為直徑的圓，請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺，在上找出一點(diǎn)P，使=，寫(xiě)出作法，并給出證明：(2)【拓展應(yīng)用】如圖③是以格點(diǎn)為圓心的圓，請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺，在弦上找出一點(diǎn)P．使=·，寫(xiě)出作法，不用證明．【答案】(1)；見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）取格點(diǎn)，作射線(xiàn)交于點(diǎn)P，則根據(jù)垂徑定理可知，點(diǎn)P即為所求作；（2）取格點(diǎn)I，連接MI交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作．利用正切函數(shù)證得∠FMI=∠MNA，利用圓周角定理證得∠B=∠MNA，再推出△PAM∽△MAB，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：【操作探究】在網(wǎng)格中取格點(diǎn)，構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因?yàn)椤稀?∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．故答案為：；取格點(diǎn)，作射線(xiàn)交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作；（2）解：取格點(diǎn)I，連接MI交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作；證明：作直徑AN，連接BM、MN，在Rt△FMI中，，在Rt△MNA中，，所以．∴∠FMI=∠MNA，∵∠B=∠MNA，∴∠AMP=∠B，∵∠PAM=∠MAB，∴△PAM∽△MAB，∴，∴=·．25．（2021·江蘇南京·中考真題）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？（1）如圖①，圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，B為母線(xiàn)的中點(diǎn)，點(diǎn)A在底面圓周上，的長(zhǎng)為．在圖②所示的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中畫(huà)出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑，并標(biāo)出它的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．（2）圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成．O是圓錐的頂點(diǎn)，點(diǎn)A在圓柱的底面圓周上．設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為l，圓柱的高為h．①螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)O的最短路徑的長(zhǎng)為_(kāi)_______（用含l，h的代數(shù)式表示）．②設(shè)的長(zhǎng)為a，點(diǎn)B在母線(xiàn)上，．圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖如圖④所示，在圖中畫(huà)出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑的示意圖，并寫(xiě)出求最短路徑的長(zhǎng)的思路．【答案】（1）作圖如圖所示；（2）①h+l；②見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，即可得到最短路徑；連接OA，AC，可以利用弧長(zhǎng)與母線(xiàn)長(zhǎng)求出∠AOC，進(jìn)而證明出△OAC是等邊三角形，利用三角函數(shù)即可求解；（2）①由于圓錐底面圓周上的任意一點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離都等于母線(xiàn)長(zhǎng)，因此只要螞蟻從點(diǎn)A爬到圓錐底面圓周上的路徑最短即可，因此順著圓柱側(cè)面的高爬行，所以得出最短路徑長(zhǎng)即為圓柱的高h(yuǎn)加上圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)l；②如圖，根據(jù)已知條件，設(shè)出線(xiàn)段GC的長(zhǎng)后，即可用它分別表示出OE、BE、GE、AF，進(jìn)一步可以表示出BG、GA，根據(jù)B、G、A三點(diǎn)共線(xiàn)，在Rt△ABH中利用勾股定理建立方程即可求出GC的長(zhǎng)，最后依次代入前面線(xiàn)段表達(dá)式中即可求出最短路徑長(zhǎng)．【詳解】解：（1）如圖所示，線(xiàn)段AB即為螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑；設(shè)∠AOC=n°，∵圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為，∴，∴；連接OA、CA，∵，∴是等邊三角形，∵B為母線(xiàn)的中點(diǎn)，∴，∴．（2）①螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)O的最短路徑為：先沿著過(guò)A點(diǎn)且垂直于地面的直線(xiàn)爬到圓柱的上底面圓周上，再沿圓錐母線(xiàn)爬到頂點(diǎn)O上，因此，最短路徑長(zhǎng)為h+l②螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑的示意圖如下圖所示，線(xiàn)段AB即為其最短路徑（G點(diǎn)為螞蟻在圓柱上底面圓周上經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，圖中兩個(gè)C點(diǎn)為圖形展開(kāi)前圖中的C點(diǎn)）；求最短路徑的長(zhǎng)的思路如下：如圖，連接OG，并過(guò)G點(diǎn)作GF⊥AD，垂足為F，由題可知，，GF=h，OB=b，由的長(zhǎng)為a，得展開(kāi)后的線(xiàn)段AD=a，設(shè)線(xiàn)段GC的長(zhǎng)為x，則的弧長(zhǎng)也為x，由母線(xiàn)長(zhǎng)為l，可求出∠COG，作BE⊥OG，垂足為E，因?yàn)镺B=b，可由三角函數(shù)求出OE和BE，從而得到GE，利用勾股定理表示出BG，接著由FD=CG=x，得到AF=a-x，利用勾股定理可以求出AG，將AF+BE即得到AH，將EG+GF即得到HB，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線(xiàn)段最短，∴A、G、B三點(diǎn)共線(xiàn)，利用勾股定理可以得到：,進(jìn)而得到關(guān)于x的方程，即可解出x，將x的值回代到BG和AG中，求出它們的和即可得到最短路徑的長(zhǎng)．26．（2021·江蘇無(wú)錫·中考真題）已知四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)E是射線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，以為直角邊在直線(xiàn)的上方作等腰直角三角形，，設(shè)．（1）如圖1，若點(diǎn)E在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q，連結(jié)，①當(dāng)時(shí)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；②在中，設(shè)邊上的高為h，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示h，并求h的最大值；（2）設(shè)過(guò)的中點(diǎn)且垂直于的直線(xiàn)被等腰直角三角形截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為y，請(qǐng)直接寫(xiě)出y與m的關(guān)系式．【答案】（1）①；②，h最大值=；（2）【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，先證明，可得FM=，CM=，進(jìn)而即可求解；②由，得CP=，把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得，可得EQ=DQ+BE，利用勾股定理得DQ=，EQ=，QP=，結(jié)合三角形面積公式，即可得到答案；（2）以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線(xiàn)為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則E(m，0)，A(0，1)，F(xiàn)(1+m，m)，從而求出AE的解析式為：y=x+1，AF的解析式為：y=x+1，EF的解析式為：y=mx-m2，再分兩種情況：①當(dāng)0≤m≤時(shí)，②當(dāng)m＞時(shí)，分別求解即可．【詳解】解：（1）①過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，∵在等腰直角三角形中，，AE=FE，在正方形中，∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=∠FEM+∠AEB，∴∠BAE=∠FEM，又∵∠B=∠FME，∴，∴FM=BE=，EM=AB=BC，∴CM=BE=，∴CF=；②∵∠BAE=∠FEC，∠B=∠ECP=90°，∴，∴，即：，∴CP=，把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得，則AG=AQ，∠GAB=∠QAD，GB=DQ，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠QAD=∠BAE+∠GAB=90°-45°=45°，即：∠GAE=∠EAF=45°，∵∠ABG=∠ABE=90°，∴B、G、E三點(diǎn)共線(xiàn)，又∵AE=AE，∴，∴EQ=EG=GB+BE=DQ+BE，∴在中，，即：，∴DQ=，∴EQ=DQ+BE=+m=，QP=1--()=，∴，即：×(1-m)=×h，∴=，即m=時(shí)，h最大值=；（3）以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線(xiàn)為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則E(m，0)，A(0，1)，∵直線(xiàn)m過(guò)AB的中點(diǎn)且垂直AB，∴直線(xiàn)m的解析式為：x=，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，由（1）可知：，即FM=BE，EM=AB，∴F(1+m，m)，設(shè)AE的解析式為：y=kx+b，把E(m，0)，A(0，1)代入上式，得，解得：，∴AE的解析式為：y=x+1，同理：AF的解析式為：y=x+1，EF的解析式為：y=mx-m2，①當(dāng)0≤m≤時(shí)，如圖，G(，)，N(，m-m2)，∴y=-(m-m2)=，②當(dāng)m＞時(shí)，如圖，G(，)，N(，)，∴y=-=，綜上所述：．27．（2021·江蘇徐州·中考真題）如圖1，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)在邊上（不與重合），連接．將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，將線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．連接．（1）求證：①的面積；②；（2）如圖2，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，求的取值范圍．【答案】（1）①見(jiàn)詳解；②見(jiàn)詳解；（2）4≤MN＜【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，證明