7.6雙星三星問題高一物理學(xué)與練（人教版2019）（原卷版）

7.6雙星、三星學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)認(rèn)識萬有引力定律的重要意義。1、繼續(xù)熟悉萬有引力定律。2、知道雙星的運(yùn)動特點(diǎn)、受力特點(diǎn)。3、知道三星系統(tǒng)的運(yùn)動特點(diǎn)、受力特點(diǎn)。002預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)課前研讀課本，梳理基礎(chǔ)知識：一、雙星模型分析情景導(dǎo)圖運(yùn)動特點(diǎn)轉(zhuǎn)動方向、周期、相同，運(yùn)動半徑一般不等受力特點(diǎn)兩星間的萬有引力提供兩星做圓周運(yùn)動的解題規(guī)律eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω2r2解題關(guān)鍵m1r1＝，r1＋r2＝二、三星模型分析情景導(dǎo)圖運(yùn)動特點(diǎn)轉(zhuǎn)動方向、周期、角速度、線速度大小均相同，圓周運(yùn)動半徑相等受力特點(diǎn)各星所受萬有引力的合力提供圓周運(yùn)動的解題規(guī)律eq\f(Gm2,r2)＋eq\f(Gm2,2r2)＝ma向eq\f(Gm2,L2)×cos30°×2＝ma向解題關(guān)鍵兩邊星體繞中間星體做半徑相同的圓周運(yùn)動r＝eq\f(L,2cos30°)（二）即時練習(xí)：【小試牛刀1】米歇爾·麥耶和迪迪?！た迤澮驗榘l(fā)現(xiàn)了第一顆太陽系外行星—飛馬座51b而獲得2019年諾貝爾物理學(xué)獎。飛馬座51b與恒星相距為L，構(gòu)成雙星系統(tǒng)(如圖所示)，它們繞共同的圓心O做勻速圓周運(yùn)動。設(shè)它們的質(zhì)量分別為m1、m2且(m1＜m2)，已知萬有引力常量為G。則下列說法正確的是()A.飛馬座51b與恒星運(yùn)動具有相同的線速度B.飛馬座51b與恒星運(yùn)動所受到的向心力之比為m1∶m2C.飛馬座51b與恒星運(yùn)動軌道的半徑之比為m2∶m1D.飛馬座51b與恒星運(yùn)動的周期之比為m1∶m2【小試牛刀2】(多選)如圖所示，質(zhì)量相等的三顆星體組成三星系統(tǒng)，其他星體對它們的引力作用可忽略．設(shè)每顆星體的質(zhì)量均為m，三顆星體分別位于邊長為r的等邊三角形的三個頂點(diǎn)上，它們繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)以相同的角速度做勻速圓周運(yùn)動．已知引力常量為G，下列說法正確的是()A．每顆星體所需向心力大小為2Geq\f(m2,r2)B．每顆星體運(yùn)行的周期均為2πeq\r(\f(r3,3Gm))C．若r不變，星體質(zhì)量均變?yōu)?m，則星體的角速度變?yōu)樵瓉淼膃q\r(2)倍D．若m不變，星體間的距離變?yōu)?r，則星體的線速度變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,4)【小試牛刀3】宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用。設(shè)四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個頂點(diǎn)上。已知引力常量為G。關(guān)于宇宙四星系統(tǒng)，下列說法錯誤的是()A．四顆星圍繞正方形對角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動B．四顆星的軌道半徑均為eq\f(a,2)C．四顆星表面的重力加速度均為eq\f(Gm,R2)D．四顆星的周期均為2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))003題型精講【題型一】雙星問題【典型例題1】(多選)天文學(xué)家通過觀測兩個黑洞并合的事件，間接驗證了引力波的存在。該事件中甲、乙兩個黑洞的質(zhì)量分別為太陽質(zhì)量的36倍和29倍，假設(shè)這兩個黑洞繞它們連線上的某點(diǎn)做圓周運(yùn)動，且兩個黑洞的間距緩慢減小。若該雙星系統(tǒng)在運(yùn)動過程中，各自質(zhì)量不變且不受其他星系的影響，則關(guān)于這兩個黑洞的運(yùn)動，下列說法正確的是()A．甲、乙兩個黑洞運(yùn)行的線速度大小之比為36∶29B．甲、乙兩個黑洞運(yùn)行的角速度大小始終相等C．隨著甲、乙兩個黑洞的間距緩慢減小，它們運(yùn)行的周期也在減小D．甲、乙兩個黑洞做圓周運(yùn)動的向心加速度大小始終相等【典型例題2】(多選)根據(jù)科學(xué)家們的推測，雙星的運(yùn)動是產(chǎn)生引力波的來源之一。假設(shè)宇宙中有一由a、b兩顆星組成的雙星系統(tǒng)，這兩顆星繞它們連線上的某一點(diǎn)在萬有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動，測得a星的周期為T，a、b兩星間的距離為l，軌道半徑之差為Δr，已知a星的軌道半徑大于b星的軌道半徑，則()A．b星的周期為eq\f(l－Δr,l＋Δr)TB．b星的線速度大小為eq\f(πl(wèi)－Δr,T)C．a(chǎn)、b兩星的軌道半徑之比為eq\f(l,l－Δr)D．a(chǎn)、b兩星的質(zhì)量之比為eq\f(l－Δr,l＋Δr)【對點(diǎn)訓(xùn)練1】(多選)如圖所示，雙星系統(tǒng)由質(zhì)量不相等的兩顆恒星P、Q組成，P、Q質(zhì)量分別為M、m(M>m)，它們圍繞共同的圓心O做勻速圓周運(yùn)動。從地球上A點(diǎn)看過去，雙星運(yùn)動的平面與AO垂直，AO距離恒為L。觀測發(fā)現(xiàn)質(zhì)量較大的恒星P做圓周運(yùn)動的周期為T，運(yùn)動范圍的最大張角為Δθ(單位是弧度)。已知引力常量為G，Δθ很小，可認(rèn)為sinΔθ＝tanΔθ＝Δθ，忽略其他星體對雙星系統(tǒng)的作用力。則()A．恒星Q的角速度為eq\f(2π,T)eq\r(\f(M,m))B．恒星Q的軌道半徑為eq\f(ML·Δθ,2m)C．恒星Q的線速度為eq\f(πML·Δθ,mT)D．兩顆恒星的質(zhì)量m和M滿足的關(guān)系式為eq\f(m3,m＋M2)＝eq\f(π2L·Δθ3,2GT2)【對點(diǎn)訓(xùn)練2】(多選)如圖所示,2020年11月8日,天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)一個奇異雙星系統(tǒng),并將其命名為ZTFJ1530+5027,這個雙星系統(tǒng)的環(huán)繞速度極快,它們大約每6.91min就會彼此環(huán)繞一周,體積較小的主星1要比地球大一點(diǎn),其質(zhì)量是太陽的60%;體積較大的伴星2質(zhì)量更小,只有太陽質(zhì)量的25%,它們一直在以每天26cm的速度彼此靠近。假設(shè)兩星均繞其連線上的某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動,由于它們間的距離L在逐漸減小,因此兩星做勻速圓周運(yùn)動的半徑r、線速度大小v、角速度ω、向心加速度大小a與運(yùn)動周期T均將發(fā)生變化。不考慮其他星系的影響,下列圖像中的曲線均為反比例曲線。則可能正確的圖像是()。A BC D【題型二】三星問題【典型例題3】宇宙空間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點(diǎn)，三角形邊長為L。忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運(yùn)動，引力常量為G。下列說法正確的是()A．每顆星做圓周運(yùn)動的線速度為eq\r(\f(3Gm,L3))B．每顆星做圓周運(yùn)動的加速度與三星的質(zhì)量無關(guān)C．若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍D．若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度變?yōu)樵瓉淼?倍【典型例題4】由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，存在著一種運(yùn)動形式，三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點(diǎn)上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運(yùn)動(下圖為A、B、C三顆星體質(zhì)量不相同時的一般情況)．若A星體質(zhì)量為2m、B、C兩星體的質(zhì)量均為m，三角形的邊長為a，求：(1)A星體所受合力大小FA；(2)B星體所受合力大小FB；(3)C星體的軌道半徑RC；(4)三星體做圓周運(yùn)動的周期T.【對點(diǎn)訓(xùn)練3】宇宙間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)。其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質(zhì)量均為M的星位于等邊三角形的三個頂點(diǎn)上，任意兩顆星的距離均為R，并繞其中心O做勻速圓周運(yùn)動。如果忽略其他星體對它們的引力作用，引力常數(shù)為G。以下對該三星系統(tǒng)的說法中正確的是()A.每顆星做圓周運(yùn)動的角速度為3eq\r(\f(GM,R3))B.每顆星做圓周運(yùn)動的向心加速度與三星的質(zhì)量無關(guān)C.若距離R和每顆星的質(zhì)量M都變?yōu)樵瓉淼?倍，則角速度變?yōu)樵瓉淼?倍D.若距離R和每顆星的質(zhì)量M都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度大小不變【對點(diǎn)訓(xùn)練4】(多選)如圖所示，A、B、C三顆行星組成一個獨(dú)立的三星系統(tǒng)，在相互的萬有引力作用下，繞一個共同的圓心O做角速度相等的圓周運(yùn)動，已知A、B兩星的質(zhì)量均為m，C星的質(zhì)量為2m，等邊三角形的每邊長為L，則()A.C星做圓周運(yùn)動的向心力大小為eq\r(3)Geq\f(m2,L2)B.A星所受的合力大小為eq\r(7)Geq\f(m2,L2)C.B星的軌道半徑為eq\f(\r(7),4)LD.三個星體做圓周運(yùn)動的周期為2πeq\r(\f(L3,Gm))【題型三】聯(lián)系實際、四星問題【典型例題5】科學(xué)家麥耶(M.Mayor)和奎洛茲(D.Queloz)對系外行星的研究而獲得2019年諾貝爾物理學(xué)獎。他們發(fā)現(xiàn)恒星“飛馬座51”附近存在一較大的行星，兩星在相互引力的作用下，圍繞兩者連線上的某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動。已知恒星與行星之間的距離為L，恒星做圓周運(yùn)動的半徑為R、周期為T，引力常量為G。據(jù)此可得，行星的質(zhì)量為()A.eq\f(4π2,GT2)R2L B.eq\f(4π2,GT2)RL2C.eq\f(4π2,GT2)L2(L－R) D.eq\f(4π2,GT2)R2(L－R)【典型例題6】(多選)宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用．設(shè)四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個頂點(diǎn)上．已知引力常量為G.關(guān)于四星系統(tǒng)，下列說法正確的是()A．四顆星圍繞正方形對角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動B．四顆星的軌道半徑均為eq\f(a,2)C．四顆星表面的重力加速度均為eq\f(Gm,R2)D．四顆星的周期均為2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))【對點(diǎn)訓(xùn)練5】麥克·梅耶和迪迪?！た迤澮驗榘l(fā)現(xiàn)了第一顆類太陽系系外行星——飛馬座51b而獲得2019年諾貝爾物理學(xué)獎。飛馬座51b與恒星相距為L,構(gòu)成雙星系統(tǒng)(如圖所示),它們繞共同的圓心O做勻速圓周運(yùn)動。設(shè)它們的質(zhì)量分別為m1、m2且(m1<m2),已知引力常量為G。則下列說法正確的是()。A.飛馬座51b與恒星運(yùn)動具有相同的線速度B.飛馬座51b與恒星運(yùn)動所受到的向心力之比為m1∶m2C.飛馬座51b與恒星運(yùn)動軌道的半徑之比為m2∶m1D.飛馬座51b與恒星運(yùn)動周期之比為m1∶m2【對點(diǎn)訓(xùn)練6】(多選)如圖為一種四顆星體組成的穩(wěn)定系統(tǒng)，四顆質(zhì)量均為m的星體位于邊長為L的正方形四個頂點(diǎn)，四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，忽略其他星體對它們的作用，引力常量為G.下列說法中正確的是()A．星體做勻速圓周運(yùn)動的圓心不一定是正方形的中心B．每顆星體做勻速圓周運(yùn)動的角速度均為eq\r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))C．若邊長L和星體質(zhì)量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運(yùn)動的加速度大小是原來的兩倍D．若邊長L和星體質(zhì)量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運(yùn)動的線速度大小不變004體系構(gòu)建1.雙星模型(1)定義：繞公共圓心轉(zhuǎn)動的兩個星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)。如圖所示。(2)特點(diǎn)①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2。②兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關(guān)系為r1＋r2＝L。④兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)。⑤雙星的運(yùn)動周期T＝2πeq\r(\f(L3,G（m1＋m2）))。⑥雙星的總質(zhì)量m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G)。2.多星模型(1)定義：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運(yùn)動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同。(2)三星模型①三顆星體位于同一直線上，兩顆質(zhì)量相等的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運(yùn)行(如圖甲所示)。②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點(diǎn)上(如圖乙所示)。(3)四星模型①其中一種是四顆質(zhì)量相等的星體位于正方形的四個頂點(diǎn)上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(如圖丙所示)。②另一種是三顆質(zhì)量相等的星體始終位于正三角形的三個頂點(diǎn)上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運(yùn)動(如圖丁所示)。005記憶清單1．雙星模型(1)兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動所需的向心力是由它們之間的萬有引力提供的．(2)它們的運(yùn)行周期和角速度是相等的．(3)兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動的半徑r1和r2與兩行星間距L的大小關(guān)系：r1＋r2＝L.2．多星模型(1)每顆行星運(yùn)行所需向心力都由其余行星對其萬有引力的合力來提供．(2)行星轉(zhuǎn)動的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等．(3)注意利用幾何知識求半徑．00601強(qiáng)化訓(xùn)練1．(多選)(2018·全國卷Ⅰ，20)2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過程，在兩顆中子星合并前約100s時，它們相距約400km，繞二者連線上的某點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)動12圈。將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并利用牛頓力學(xué)知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星()A.質(zhì)量之積 B.質(zhì)量之和C.速率之和 D.各自的自轉(zhuǎn)角速度2.如圖，“食雙星”是指在相互引力作用下繞連線上O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，彼此掩食(像月亮擋住太陽)而造成亮度發(fā)生周期性變化的兩顆恒星。在地球上通過望遠(yuǎn)鏡觀察這種雙星，視線與雙星軌道共面。觀測發(fā)現(xiàn)每隔時間T兩顆恒星與望遠(yuǎn)鏡共線一次，已知兩顆恒星A、B間距為d，萬有引力常量為G，則可推算出雙星的總質(zhì)量為()A.eq\f(π2d2,GT2) B.eq\f(π2d3,GT2)C.eq\f(2π2d2,GT2) D.eq\f(4π2d3,GT2)3.如圖所示，“食雙星”是兩顆相距為d的恒星A、B，只在相互引力作用下繞連線上O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，彼此掩食(像月亮擋住太陽)而造成亮度發(fā)生周期性變化的兩顆恒星．觀察者在地球上通過望遠(yuǎn)鏡觀察“食雙星”，視線與雙星軌道共面．觀測發(fā)現(xiàn)每隔時間T兩顆恒星與望遠(yuǎn)鏡共線一次，已知引力常量為G，地球距A、B很遠(yuǎn)，可認(rèn)為地球保持靜止，則()A．恒星A、B運(yùn)動的周期為TB．恒星A的質(zhì)量小于B的質(zhì)量C．恒星A、B的總質(zhì)量為eq\f(π2d3,GT2)D．恒星A的線速度大于B的線速度4.(多選)2019年人類天文史上首張黑洞圖片正式公布．在宇宙中當(dāng)一顆恒星靠近黑洞時，黑洞和恒星可以相互繞行，從而組成雙星系統(tǒng)．在相互繞行的過程中，質(zhì)量較大的恒星上的物質(zhì)會逐漸被吸入到質(zhì)量較小的黑洞中，從而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的過程也被稱為“潮汐瓦解事件”．天鵝座X－1就是一個由黑洞和恒星組成的雙星系統(tǒng)，它們以兩者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動，如圖所示．在剛開始吞噬的較短時間內(nèi)，恒星和黑洞的距離不變，則在這段時間內(nèi)，下列說法正確的是()A．兩者之間的萬有引力變大B．黑洞的角速度變大C．恒星的線速度變大D．黑洞的線速度變大5．(多選)宇宙中兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬有引力作用互相繞轉(zhuǎn)，稱之為雙星系統(tǒng)．設(shè)某雙星系統(tǒng)A、B繞其連線上的某固定點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動，如圖所示．若A、B兩星球到O點(diǎn)的距離之比為3∶1，則()A．星球A與星球B所受引力大小之比為1∶1B．星球A與星球B的線速度大小之比為1∶3C．星球A與星球B的質(zhì)量之比為3∶1D．星球A與星球B的動能之比為3∶16．(多選)宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng),通常可忽略其他星體對它們的引力作用,三星質(zhì)量也相同?，F(xiàn)已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式:一種是三顆星位于同一直線上,兩顆星圍繞中央星做勻速圓周運(yùn)動,如圖1所示;另一種是三顆星位于等邊三角形的三個頂點(diǎn)上,并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行,如圖2所示。設(shè)兩種系統(tǒng)中三個星體的質(zhì)量均為m,且兩種系統(tǒng)中各星間的距離已在圖中標(biāo)出,引力常量為G,則下列說法中正確的是()。A.直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運(yùn)動的線速度大小為GmLB.直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運(yùn)動的周期為4πLC.三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運(yùn)動的角速度為2LD.三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運(yùn)動的向心加速度大小為37.宇宙中有很多恒星組成的雙星運(yùn)動系統(tǒng)，兩顆恒星僅在彼此的萬有引力作用下繞共同點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，如圖所示．假設(shè)該雙星1、2的質(zhì)量分別為m1、m2，圓周運(yùn)動的半徑分別為r1、r2，且r1小于r2，共同圓周運(yùn)動的周期為T，引力常量為G.則下列說法正確的是()A．恒星1做圓周運(yùn)動所需的向心加速度大小為Geq\f(m2,r12)B．恒星1表面的重力加速度一定大于恒星2表面的重力加速度C．恒星1的動量一定大于恒星2的動量D．某些雙星運(yùn)動晚期，兩者間距逐漸減小，一者不斷吸食另一者的物質(zhì)，則它們在未合并前，共同圓周運(yùn)動的周期不斷減小8．質(zhì)量均為m的兩個星球A和B，相距為L，它們圍繞著連線中點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動．觀測到兩星球的運(yùn)行周期T小于按照雙星模型計算出的周期T0，且eq\f(T,T0)＝k.于是有人猜想在A、B連線的中點(diǎn)有一未知天體C，假如猜想正確，則C的質(zhì)量為()A.eq\f(1－k2,4k2)m B.eq\f(1＋k2,4k2)mC.eq\f(1－k2,k2)m D.eq\f(1＋k2,k2)m9．雙星系統(tǒng)中兩個星球A、B的質(zhì)量都是m，相距L，它們正圍繞兩者連線上某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動。實際觀測該系統(tǒng)的周期T要小于按照力學(xué)理論計算出的周期理論值T0，且eq\f(T,T0)＝k(k＜1)，于是有人猜測這可能是受到了一顆未發(fā)現(xiàn)的星球C的影響，并認(rèn)為C位于A、B的連線正中間，相對A、B靜止