高考數(shù)學(xué)理北師大版一輪復(fù)習(xí)測評9-2空間圖形的基本關(guān)系與公理

核心素養(yǎng)測評四十五空間圖形的基本關(guān)系與公理(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.在下列命題中,不是公理的是 ()A.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行B.過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面C.如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線【解析】選A.選項(xiàng)A是面面平行的性質(zhì)定理,是由公理推證出來的,而公理是不需要證明的.2.已知直線a,b分別在兩個(gè)不同的平面α,β內(nèi),則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的 ()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選A.若直線a和直線b相交,設(shè)交點(diǎn)為P,因?yàn)閍α,所以P∈α,因?yàn)閎β,所以P∈β,所以P是平面α,β的公共點(diǎn),所以平面α,β相交.若平面α,β相交,而直線a和直線b可能相交,可能異面,如圖.所以“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件.3.空間四邊形ABCD中,E,F分別為AC,BD的中點(diǎn),若CD=2AB,EF⊥AB,則EF與CD所成的角為 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選A.取AD的中點(diǎn)H,連接FH,EH,在△EFH中,∠EFH=90°,HE=2HF,從而∠FEH=30°,即EF與CD所成角為30°.4.空間四點(diǎn)A,B,C,D共面而不共線,那么這四點(diǎn)中 ()A.必有三點(diǎn)共線 B.必有三點(diǎn)不共線C.至少有三點(diǎn)共線 D.不可能有三點(diǎn)共線【解析】選B.如圖①②所示,A,C,D均不正確,只有B正確.5.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是BC1,CD1的中點(diǎn),則下列判斷錯(cuò)誤的是 ()A.MN與CC1垂直 B.MN與AC垂直C.MN與BD平行 D.MN與A1B1平行【解析】選D.連接B1C,B1D1,則點(diǎn)M是B1C的中點(diǎn),MN是△B1CD1的中位線,所以MN∥B1D1,因?yàn)镃C1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1,所以MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD.又因?yàn)锳1B1與B1D1相交,所以MN與A1B1不平行.6.如圖所示為一正方體的平面展開圖,在這個(gè)正方體中,有下列四個(gè)說法:①AF⊥GC;②BD與GC成異面直線且夾角為60°;③BD∥MN;④BG與平面ABCD所成的角為45°.其中正確的個(gè)數(shù)是 導(dǎo)學(xué)號()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.將平面展開圖還原成正方體(如圖所示).對于①,由圖形知AF與GC異面垂直,故①正確;對于②,BD與GC顯然成異面直線.連接EB,ED,則BM∥GC,所以∠MBD即為異面直線BD與GC所成的角(或其補(bǔ)角).在等邊△BDM中,∠MBD=60°,所以異面直線BD與GC所成的角為60°,故②正確;對于③,BD與MN為異面垂直,故③錯(cuò)誤;對于④,由題意得GD⊥平面ABCD,所以∠GBD是BG與平面ABCD所成的角.但在Rt△BDG中,∠GBD不等于45°,故④錯(cuò)誤.二、填空題(每小題5分,共20分)7.將邊長為1的正方形AA1O1O(及其內(nèi)部)繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱,如圖,∠AOC=120°,∠A1O1B1=60°,其中B1與C在平面AA1O1O的同側(cè).則異面直線B1C與AA1所成的角的大小是________________________.

【解析】設(shè)點(diǎn)B1在下底面圓周的射影為B,連接BB1,則BB1∥AA1,所以∠BB1C為直線B1C與AA1所成角(或補(bǔ)角),|BB1|=|AA1|=1,連接BC,BO,∠AOB=∠A1O1B1=QUOTE,∠AOC=QUOTE,所以∠BOC=QUOTE,所以△BOC為正三角形,所以|BC|=|BO|=1,tan∠BB1C=1,所以直線B1C與AA1所成角的大小為45°.答案:45°8.若三個(gè)平面兩兩相交,且三條交線互相平行,則這三個(gè)平面把空間分成________________部分.

【解析】沿三條交線為投射線,把三個(gè)平面分成的空間投射到一個(gè)平面內(nèi),如圖,所以這三個(gè)平面把空間分成7部分.答案:79.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是棱CD,CC1的中點(diǎn),則異面直線A1M與DN所成的角的大小是________________.

【解析】如圖,取CN的中點(diǎn)K,連接MK,則MK為△CDN的中位線,所以MK∥DN.所以∠A1MK為異面直線A1M與DN所成的角.連接A1C1,AM.設(shè)正方體的棱長為4,則A1K=QUOTE=QUOTE,MK=QUOTEDN=QUOTE=QUOTE,A1M=QUOTE=6,所以A1M2+MK2=A1K2,所以∠A1MK=90°.答案:90°10.設(shè)a,b,c是空間中的三條直線,下面給出五個(gè)命題:①若a∥b,b∥c,則a∥c;②若a⊥b,b⊥c,則a∥c;③若a與b相交,b與c相交,則a與c相交;④若a平面α,b平面β,則a,b一定是異面直線;⑤若a,b與c成等角,則a∥b.上述命題中正確的命題是________________(只填序號). 導(dǎo)學(xué)號

【解析】由公理4知①正確;當(dāng)a⊥b,b⊥c時(shí),a與c可以相交、平行,也可以異面,故②不正確;當(dāng)a與b相交,b與c相交時(shí),a與c可以相交、平行,也可以異面,故③不正確;aα,bβ,并不能說明a與b“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”,故④不正確;當(dāng)a,b與c成等角時(shí),a與b可以相交、平行,也可以異面,故⑤不正確.答案:①(15分鐘35分)1.(5分)設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1,QUOTE和a,且長為a的棱與長為QUOTE的棱異面,則a的取值范圍是 ()A.(0,QUOTE) B.(0,QUOTE)C.(1,QUOTE) D.(1,QUOTE)【解析】選A.如圖所示的四面體ABCD中,設(shè)AB=a,則由題意可得CD=QUOTE,其他棱的長都為1,故三角形ACD及三角形BCD都是以CD為斜邊的等腰直角三角形,顯然a>0.取CD中點(diǎn)E,連接AE,BE,則AE⊥CD,BE⊥CD且AE=BE=QUOTE=QUOTE,顯然A,B,E三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,應(yīng)滿足任意兩邊之和大于第三邊,可得2×QUOTE>a,解得0<a<QUOTE.2.(5分)如圖,在四面體ABCD中,截面PQMN是正方形,則在下列命題中,錯(cuò)誤的為()A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC=BDD.異面直線PM與BD所成的角為45°【解析】選C.截面PQMN是正方形,可得QM⊥PQ且PQ∥MN,所以PQ∥平面DAC,又PQ平面BAC且平面DAC與平面BAC的交線為AC,所以PQ∥AC,同理QM∥BD,可得AC⊥BD,故A正確;由PQ∥AC,可得AC∥截面PQMN,故B正確;異面直線PM與BD所成的角等于PM與PN所成的角為45°,故D正確,C是錯(cuò)誤的.【變式備選】如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點(diǎn),在這個(gè)正四面體中,①GH與EF平行;②BD與MN為異面直線;③GH與MN成60°角;④DE與MN垂直.以上四個(gè)結(jié)論中,正確結(jié)論的序號是____________.

【解析】還原成正四面體ADEF,其中H與N重合,A,B,C三點(diǎn)重合.易知GH與EF異面,BD與MN異面.連接GM,因?yàn)椤鱃MH為等邊三角形,所以GH與MN成60°角,易證DE⊥AF,又MN∥AF,所以MN⊥DE.因此正確結(jié)論的序號是②③④.答案:②③④3.(5分)平面α過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.方法一:因?yàn)棣痢纹矫鍯B1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以m∥B1D1.因?yàn)棣痢纹矫鍯B1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,所以n∥CD1.所以B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.因?yàn)椤鰾1D1C為正三角形,所以∠B1D1C=60°,所以m,n所成的角的正弦值為QUOTE.方法二:由題意畫出圖形如圖,將正方體ABCDA1B1C1D1平移,補(bǔ)形為兩個(gè)全等的正方體如圖,易證平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即為平面α,m即為AE,n即為AF,所以AE與AF所成的角即為m與n所成的角.因?yàn)椤鰽EF是正三角形,所以∠EAF=60°,故m,n所成角的正弦值為QUOTE.4.(10分)已知:空間四邊形ABCD(如圖所示),E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),G,H分別是BC,CD上的點(diǎn),且CG=QUOTEBC,CH=QUOTEDC.求證: 導(dǎo)學(xué)號(1)E,F,G,H四點(diǎn)共面.(2)三直線FH,EG,AC共點(diǎn).【證明】(1)連接EF,GH,因?yàn)镋,F分別是AB,AD的中點(diǎn),所以EF∥BD.又因?yàn)镃G=QUOTEBC,CH=QUOTEDC,所以GH∥BD,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四點(diǎn)共面.(2)易知FH與直線AC不平行,但共面,所以設(shè)FH∩AC=M,所以M∈平面EFHG,M∈平面ABC.又因?yàn)槠矫鍱FHG∩平面ABC=EG,所以M∈EG,所以三直線FH,EG,AC共點(diǎn).5.(10分)如圖所示,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=QUOTE,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E為DA的中點(diǎn).求異面直線BE與CD所成角的余弦值. 導(dǎo)學(xué)號【解析】如圖所示,取AC的中點(diǎn)F,連接EF,BF,在△ACD中,E,F分別是AD,AC的中點(diǎn),所以EF∥CD,所以∠BEF或其補(bǔ)角即為異面直線BE與CD所成的角.在Rt△EA