2023年高考數(shù)學(xué)練習(xí)壓軸題（新高考版）15 平面向量（選填壓軸題） 含解析

專(zhuān)題15平面向量(選填壓軸題)

平面向量(選填壓軸題)

靖亶模問(wèn)題(定值，最面范圍)

②向量數(shù)量積(定值，最值，范圍)

③向量夾角(定值，最值，范圍)

④向量的其它問(wèn)題

①向量模問(wèn)題(定值，最值，范圍)

1.(2022?浙江?永嘉中學(xué)高一競(jìng)賽)已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的正五邊形433內(nèi)(含邊界)一點(diǎn)，

則卜A+P8+PC+PD+P目的最大值是()

55

C.-----------D.----------

2cos362sin362cos362sin36

【答案】D

【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系,取AB的中點(diǎn)F,則NAOB==72°,ZAOF=36°

AF1

圓UIR華佗r=ΛU=-~——-=——τ

sinZAOF2sιn36

貝∣JA(rcos901sin9θ)即A(Oj)

β(rcos(90￠+72°),rsin(90°+72°)),g∣JB(-rsin72°,rcos72")

Ccos(90+144),rsin(90°+144°)),即C(-rcos54,-rsin54)

￡)(rcos(90°+216),rsin(900+216)),即￡>(rcos54°,-rsin54)

E(rcos(90'+288)rsin(90*+288。))，即E(rsin72。/cos72。)

則

PA+PB+PC+PD+PE=[OA-OP^+[OB-OP^+[OC-OP^+[OD-OP^+[OE-OP^

=(OA+OB+OC+OQ+OE)-5OP

-.?OA+OB+OC+OD+OE=(0,r(1+2cos720-2sin54°))

設(shè)18°=f,則

cos3r=cos(2r+∕)=cos2zcos∕-sin2rsin/=cos2∕cosz-2sin2rcos∕=(2cos2r-ljcosr-2(1-cos2f)cosz=4cos,Γ-

,?,cos3r=sin2t,W∣J4cos31-3cosr=2sin/cost

又cos，W0,則4cos2f-3=2sin/

2(2COS2f-1)-1=2cos2f-l=2sin∕,貝∣Jl+2sinf-2cos2f=O

i'∣'l+2sinl8-2cos36=1+2cos72-2sin54=0

OA+OB+OC+OD+OE=0'則PA+P3+PC+尸。+PE=-5OP

5

由此易得IPA+P8+PC+PO+Pq=5∣OP∣≤5r,即其最大值是

2sin36”

2.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))在平面內(nèi)，定點(diǎn)A8,C,。滿(mǎn)足∣D4∣=∣D8∣=∣DC∣,

DΛ-DB=DB-DC=DC-DA^-2,動(dòng)點(diǎn)P,例滿(mǎn)足∣4PI=1,PM=MC，則∣8MF的最大值是

()

δ43r49_47+6√3n37+2屈

4444

【答案】B

【詳解】由題意知I。AI=IDB∣TDC∣,即點(diǎn)。到A,RC三點(diǎn)的距離相等，可得。為右⑷?。的外

心，

又由DADB=DBDC=DCDA=-2,

DADB-DBDC=DB(DA-DC)=DBCA=O,所以ZM_LAC,

同理可得。AL8C,DCLAB,所以。為aABC的垂心，

所以一ABC的外心與垂心重合，所以ABC為正三角形，且。為二ABC的中心，

^^jDADB≈∣DΛ∣∣DB∣cosZADB×(-?)=-2,解得Wd=2,

所以ASC為邊長(zhǎng)為2石的正三角形，

如圖所示，以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則B(3,-0),C(3,√5),I>(2,O),

因?yàn)榫W(wǎng)=1,可得設(shè)P(CoSaSin，)，其中，W。2m，

乂因?yàn)镻M=MC，即"為PC的中點(diǎn)，可得M(3+c°s°,石+sin外,

22

冗

所以阿|工土5+(T+后中4

即的最大值為日.

故選:B.

3.（2022?全國(guó)■高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)向量4,b,C滿(mǎn)足：I?∣=∣?I=1,α?b=-g,^a-c,b-c^=60°,

則ICl的最大值為（）

A.2B.GC.√2D.1

【答案】A

【詳解】由題意可得IaI=Ibl=1,α?A=g,.?.Iχlχcos（α,》）=-/,

.?.cos（4,b）=-g,又（d,A）w[θ,7i],.?.（a,b）=120tl,

設(shè)OA=a，OB=b`OC=c>貝IJCA=a—c>CB=b-c>

又（q-c,力-c）=60°,.?.∠?Cβ+ZAOB=60o+120o=180p,

：.A,0、B、C四點(diǎn)共圓,

當(dāng)ICl最大時(shí)，有IdH用=2R,R為該圓的半徑，

由A4=S-α)2=∕+∕-2Λ?6=3,所以，IABI=G

√3

/kAOB'P,由正弦定理可得IR==2,

sinZAOBsin120°

當(dāng)且僅當(dāng)OC是NAOB的平分線(xiàn)時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)ICl的最大值為圓的直徑大小為2?

故選：A.

C

A

a

O

4.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))平面內(nèi)，定點(diǎn)A,B,C,。滿(mǎn)足In4目。8∣=∣OC∣=2,且

DA-DB=DBDC=DCDA=-2,動(dòng)點(diǎn)P,M滿(mǎn)足IAPI=1,PM=MC，則IBMI。的最大值為

()

37+6g37+2√33-43、49

Aλ.------dB.-------C.—D.—

4444

【答案】D

【詳解】由題∣D4∣=∣DB∣=∣DC∣,則。到A,B,C三點(diǎn)的距離相等，所以。是一ABC的外心.

又DA?DB=DB?DC=DC?DA=-2,

變形可得DADB-DBDC=DB(DA-DC)=DBCA=O,

所以f>3"LAC,同理可得D4_LBC,DClAB,

所以。是一ABC的垂心，

所以一43C的外心與垂心重合，

所以ABC是正三角形，旦。是，ABC的中心；

由。A?OB=|ZMUOSIcosZADB=∣DA??DB∣?(-∣)=-2,解得∣D41=2,

所以ABC的邊長(zhǎng)為26;

如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，

則B(3,-G),C=(3,√3),3(2,0),IAP∣=1,

可設(shè)P(COSaSin。)，其中。∈[0,2Λ?J,而PM=MC，

即〃是PC的中點(diǎn)，則〃（三等,在押

），

IBm2=（8se-32+呼+3叫=37+⑵in（"5）3=雪

22444

當(dāng)。=3%時(shí)，IBMf取得最大值為號(hào).

34

故選：D.

5.（2022?浙江?諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）已知=∣α+6∣=2,向量機(jī)滿(mǎn)

足H（"）=o,則口的取值范圍是（）

A.[1.2]B.Γ∣,∣C.[1,3]D.[0,1]

【答案】B

【詳解】由題意卜+,=2得：,+可-=4,即有，+〃=彳，

3

如圖示，設(shè)OA=03=仇COSNAo3=巳，

4

故不妨設(shè)α=（√Σ,O）,則∣α∣=√Σ,∣B∣=也，貝肌=（邁,巫），

—>—>

設(shè)OC=c，則C4=α-c,CB=6-c，因?yàn)镮a-CHb-C,|=0,故可得C4_LCB，

所以C點(diǎn)在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),

應(yīng)＞+（平）2=ι,AB的中點(diǎn)為（?^,嚕），

在二AC?中，IAβ∣=

1_

則以A8為直徑的圓的方程為（X_

4

故IOCI的最大值為L(zhǎng)最小值為

2

即口的取值范圍是：1，|3

22

故選：B

6.（2022?遼寧葫蘆島?高一期末）如圖，在等腰二ABC中，已知,耳=卜4=2,ZA=120,

E,F分別是邊43,AC上的點(diǎn)，且AE=TlA8,AF=μAC,其中/I,μwR,且;1+2〃=1,

若線(xiàn)段ERBC的中點(diǎn)分別為M,N,貝MMM的最小值是（）

A.且B.叵C.叵D.√∑I

7714

【答案】B

IUimIIuulIlmmuim∣uuπ∣∣uuιπ∣

【詳解】在等腰“BC中，已知?AB?=?AC?=ZZA=120°,則A8?AC=.8仙。卜。SA=-2,

因?yàn)镋,尸分別是邊A8,AC的點(diǎn)，所以AΛ∕=g(AF+AE)=g("AC+∕lA8),AN=g(AB+AC),

ffi]MN=AN-AM=?[(l-λ)AB+(1-μ)AC},左右兩邊平方得

.212,_2

22

MN=-[(1-Λ)AB+2(1-2)(1-ju)AB-AC+(I-H)AC]

4

=—[4(1-A)2—4(1—Λ)(l—/∕)÷4(1—/∕)~J—Λ2+卜ι~—λ∕d—λ-ju÷1,

4

又因?yàn)?+2〃=1,

UUir23

所以MN2=7)-4〃+1=7"-1)2+寧，

所以當(dāng)〃=5時(shí)，//的最小值為

即IMM的最小值為理.

故選：B.

7.(2022-內(nèi)蒙古通遼?高二期末(理))已知向量.也,滿(mǎn)足忖=3,慟=1,卜—4=近,口=2卜—4

設(shè)機(jī)=仍(ZGR),則M-Cl的最小值為()

A.√2B.2√3-2C.4D.2√3

【答案】B

【詳解】因?yàn)镮a-N=療，所以了_2夕。+d=7.乂H=3,W=1,所以9-6COSG,?+1=7,

解得cos<α,3g,則向量α力的夾角為:建立如圖所示

的直角坐標(biāo)系Xoy，設(shè)4=04=(3,0),〃=08=15，/)"=℃=(*,曰，因?yàn)榭?2卜-“卜

所以JX'V=2j(x-3f+y2,即(x-4)?+y?=4.設(shè)ZW=OM=/。臺(tái)，則點(diǎn)M在直線(xiàn)08上

運(yùn)動(dòng).M-c]=?pM-Oq=ICM??CM∣min=I”-TOElSi吟-2=-2.

故選:B.

8.(2022?貴州?高二學(xué)業(yè)考試)已知平面向量“Ac滿(mǎn)足忖=1,COSSC)=g,『--+3=0,

則M-Cl的最小值是()

A.3二■B.BC.√3D.√3-1

22

【答案】D

建立平面直角坐標(biāo)系X0V,設(shè)α=OA,b=OB,c=OC,由H=I,cos(a,c)=g,不妨設(shè)

a=OA=(1,0),

又(“?=(，不妨設(shè)C在直線(xiàn)y=G%(x>°)上，又片一4α?h+3=0可得〃2-4。3+4=1，

HlJA-4a?b+4a=1,

則僅-2a）=1,設(shè)。（2,0）,則OQ=2OA=2α,則（OB-OO）=1,即o/=],貝IJB在以

。（2,0）為圓心，1為半徑的圓上；

又B-CI=|。B-Oq=畫(huà)，則M-CI的最小值等價(jià)“詞的最小值，即以￡>（2,0）為圓心，1

為半徑的圓上一點(diǎn)

到直線(xiàn)y=Gx（x>0）上一點(diǎn)距離的最小值，即圓心到直線(xiàn)的距離減去半彳仝，即

-^-l=√3-∏則M-Cl的最小值是6-1.

故選：D.

9.（2022?浙江臺(tái)州?高一期末）已知α∕,c是平面內(nèi)三個(gè)非零向量，且

a±?,∣a-?∣=∣?-c∣=∣2-α∣=l,則當(dāng)〃一6與C的夾角最小時(shí)，同=（）

A.?B.—C.且D.√2

222

【答案】B

【詳解】^.a=OA,b=OB,c=OC,

因?yàn)?一同=,一4=卜一@=1,所以|瓦1|=「4=,4=1,即4他（7是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,

因?yàn)槿展し?，則可以。為原點(diǎn)，OAOB為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)NBAO=凡則A（COSO,0）,5（0,Sine）,

xr=COSe+cos（至-e]=且sin?+LCoSe,

,（3J22

.（2πA1√3

y=Sin------θ=—sm，+——cos，，

?rcI3J22

則H=Jxj+y/=Jl+—sin2θ，

?—sin0+icos^Λsin^+-cos0

(COSe,-sin6)

2222

LCoS26

2l-sit√26

「冬訪2。4+2√3sin20'

令sin2。=/∈[-1,1],則cos<a-b,c>=

令〃'）=d?"c[τ“‘貝"'S=（石/+1）（，+6）

則可得/(，)在-1,T單調(diào)遞增，在-日,1)單調(diào)遞減,

所以/⑺在t=-9取得最大值，即cos<α-b,c>最大，d-6與C的夾角最小,

故選：B.

10.(2022?江蘇?揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))己知〃與匕為單位向量，且〃_L》，向量

滿(mǎn)足總」-力I=2,則ICI的可能取值有()

A.6B.5C.4D.3

【答案】D

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)。A=a，OB=b'OC=c.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，場(chǎng)的方向?yàn)閄軸正方向，OB的方向?yàn)閥軸的正方向建立坐標(biāo)系，

則A(l,0),8(0,1),設(shè)C(X,y),則C-α-b=(X-Ly-1),

^?c-a-b?=2,則有(x-lf+(/-if=4,

則C在以(1,1)為圓心，半徑為2的圓上，

設(shè)(1,1)為點(diǎn)M,則IOMI=夜，則有一IOMI到。Clr+?OM?,

BP2-√2SJ∣OCI2+√2,

則Icl的取值范圍為［2-√Σ,2+√f∣;

故選：D.

2

11.(2022?浙江?高一期中)已知平面向量α,人c滿(mǎn)足忖=1,忖=2,a=a.b,2c=h-c'

則c-α+c-b的最小值為.

【答案】

2

【詳解】令OA=",OB=b，0C=c,08的中點(diǎn)為。，A8的中點(diǎn)為E,。力的中點(diǎn)為尸,

■與坂的夾角為6,連接。4、。5、（7。、。0、后「.|1巾|=1,慟=2，1=°2,得I=IX2xcos6,

CoSe=g,因?yàn)閑∈[0,司，所以0=g,在?.04B中，由余弦定理得IAq=6.

2（by

又由2c?=Rc，得。｛一51°，所以點(diǎn)C的軌跡為以。。為直徑的圓.

因?yàn)?（卜一“『+U）=2（時(shí)+閘）

（UlllIUUnY（UUU1Uimλ2^∣IUUT∣2∣UUΠ∣2

=2?EC-V-AB?+1EC--ABI=4∣CE∣+∣AB∣

=4CEJ+3≥4（可-g）+3=7-2√3.

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C、E、尸共線(xiàn)，且點(diǎn)C在點(diǎn)￡「之間時(shí)，等號(hào)成立.

所以c-α+c-b的最小值為

2

故答案為：--?∣3.

12.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A,B,C,。滿(mǎn)足∣D41=∣。Bl=IDCl=2,

DA-BC=DB-AC=DC-AB=O,M滿(mǎn)足IAPl=1,PM=MC,則IBM『的最大值為

【答案】$

4

【詳解】解：平面內(nèi)，IaAI=I。81=|。CI=2,DABC=DBAC=DCAB=Of

「?DAlBC1DBlAC?DC1AB

可設(shè)D(O,O),A(2,0),B(-l,√3),C(―1,一百)，

動(dòng)點(diǎn)P,〃滿(mǎn)足IAPI=1,PM=MC，

吁設(shè)P(2+cosO,sin6),M(Il箸，電咚把)，

?DΛ∕f3+cosSinO-3Λ∕5?

22

.Tt

：.C.,23+COS^,2,sin<9-3x∕5?26cos^-6>∕3sin0+3737+12Sin4,)49,

BM=(^^)+(—2—)=-------------4-------------=-----------4"W

當(dāng)且僅當(dāng)SinC-8)=1時(shí)取等號(hào)，

.??lBMI2的最大值為

4

故答案為：~γ.

4

13.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知平面向量ɑ,6和單位向量e∣,e2滿(mǎn)足。=-色，

卜-e∣+%∣=3h+e∣-司，b=λa+μex,2λ+μ=2,當(dāng)白變化時(shí)，忖的最小值為”?，則

〃?的最大值為.

【答案】§

(1

【詳解】不妨設(shè)G=(1,0),d=(x,y),則由題知&=(TO)

a-ex+e2=(x-2,γ),a+e]-e2=(x÷2,y)

又卜一e∣+e2∣=3,+e∣-e2∣,所以J(X-21+/=3必+2『+/

整理得(x+g]+y2=g①，所以YMXMT

又〃二而+μex,2A+χ√=2

所以〃="+(2—24),=(λx+2-2λ,λy)

2222

=y∣λ(x+y)+2λ(2-2λ)x+(2-2λ)

將①代入整理得：

2

∣?∣=Λ∕-9X2+(4X-8)Λ+4

4∕(Λ)=-9XΛ2+(4X-8)Λ+4,X∈[-4,-1],

.-9x>0(義)有最小值，

Y,)_[6x(_9x)一(4x_8)-_4xI16I20

八JmiK一≡‰^^9^+9χ+^9^

當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時(shí)等號(hào)成立

7

所以o≤機(jī)≤J3=2當(dāng)x=-2時(shí)加有最大值：.

V93

故答案為：：.

14.（2O22?黑龍江?哈爾濱三中高一階段練習(xí)）在一A3C中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,

c,。為-ABC外心，若“=α,3A=8+C,則∣OA+2O8+3OC∣的范圍是.

【答案】［√13-1,2√5）

TT

【詳解】因?yàn)?A=8+C,而A+B+C=1，故A=7,

4

故外接圓半徑R滿(mǎn)足2R==?=2,故R=I,

sin—

4

πTT3笈

所以04=QB=OC=1,∣TijZB0C=2×-=-,故NBoA+NCOA=—,

422

如圖，在單位圓中,

C

設(shè)N3O4=e,則0<e<jZCOA=——θ

22

又∣OA+2OB+3OC∣2=l+4+9+4OA?OB+6O4?OC+12OB?OC

Jr

?0<6>≤-,則4<NCOA<二，

22

故IOA+208+30CI2=14+4CoSe+6CoS2;T-C]

=14+4COSe+6CoS怎+0)=14+4cos6-6sin6,

若∕<e≤萬(wàn)，則'≤∕COA<乃，

故IOA+20B+30C∣=14+4COS6+6CoS(與一夕)=14+4CoSe-6sind,

3TTTT

^π<θ<-,則0<∕CQA<2,

22

故IOA+2OB+3OcJ=14+4cos(2τ-6)+6cos(U-e)=14+4COSe-6sin6,

綜上，0<6<與時(shí)，總有

?OA+2OB+3OC^=14+4cos61-6sin6>=14+2√l3cos(<9+σ),

∣,-l∣l2√i3.3√13日〃0(0萬(wàn)1

具IllCoSa=---------,s?nɑ=----------，1L?∈U,—?

1313I2；

343τr

因?yàn)镺<。<—>故0V6+α<--+Ct,

22

L2√13/.3√I3

IiiJCOSa=---------,cosa+—=SIna=----------，

13I2J13

?-l≤cos(^+α)<?^??，

所以14一2拒≤∣OA+2O3+3OC∣2<20,故店一1^04+203+3。。卜2石,

故答案為：[舊-1,2?)

15.(2022?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知平面向量”,b滿(mǎn)足∣5n-切=4,α?Ae∣0,l∣,則的取值范圍

是.

【答案】[0,1]

【詳解】當(dāng)同=0時(shí)，取A=(TO)明顯成立，

當(dāng)同>0時(shí)，不妨設(shè)”=(0,0)(「>0),。=伍封，則42=〃匹€[0,1],方€[0,5],

222

4=∣5α-?I=∣(5/2-X,-γ)∣=λ∕(5p-x)+(-y)≥λ∕(5p-x)=?5p-x?,

即存在xe[0,"],使∣5p-x∣≤4,

當(dāng)p>l時(shí)，0<2<l,-x∈(-l,0],5p-x∈(4,+co),不合題意，

當(dāng)0<p≤l時(shí)，存在使∣5p-X≤4,即同e(0,l]適合題意；

綜上，同的取值范圍是[0,1].

故答案為：[0,1].

16.(2022?浙江?瑞安市瑞祥高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí))已知平面向量”,6,c,e滿(mǎn)足：H=I,

a?e=2>h?e=4>|?-2/?|=10,c=-∕α+(l-r)?(r∈/?),則當(dāng)H取到最小值時(shí)，a?b=

【答案】?

【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)榭?1,α?e=2,b-e=4,設(shè)3=(1,0),a=(2,m),?=(4,n),

所以α-2h=(-6,〃z-2??),所以,一2b卜［(-6丫=10,

所以=64,所以〃?一2〃=8或〃?-2〃二一8,即/%=8+2〃或/%=-8+2〃；

1

當(dāng)m=8+2K時(shí)，因?yàn)閏=Q，a+(l-f)方?∈R),所以c=(4-3，,〃+4，)，

所以H=J(4-+07+4)2,當(dāng)且僅當(dāng)4一3/=0且〃+4/=0時(shí)，口取到最小值,

解得∕=g,〃=一與，w=-p所以〃?=,

200

所以α?b=2χ4+

~9~

當(dāng)帆=-8+2〃時(shí)，因?yàn)閏=grα+(lτ)"∕eR),所以c=(4—3f,"-4f),

所以H=J(4-3f)2+Q-4)2,當(dāng)且僅當(dāng)4-3t=0且"-4f=0時(shí)，，取到最小值,

4168f?81(.16

解得f=9=—>>n=~,所Rr以rla=[2,§J,?=l4,y

3

..?..816200

所rr以α?h=2x4+-X——=-----

339

O(Y)

綜上所述：a,b=￡

“依上”200

故答案為：

②向量數(shù)量積(定值，最值，范圍)

1.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知拋物線(xiàn)C:/=4)，，點(diǎn)M為直線(xiàn)V=T上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

M作直線(xiàn)M4,Mβ與C分別切于點(diǎn)AB則MA-MB=.

【答案】0

【詳解】由八仇得八封，則/=”

設(shè)A1%,今)βfx2?j,M(x0,-1),所以3A=3,K"S=1^,

22

得切線(xiàn)M4的方程為y-γ=5(x-x∣),即尸尹一斗

22

切線(xiàn)Affi的方程為y-1-=∕(x-3),即＞

又兩條切線(xiàn)過(guò)切點(diǎn)M(Xo,-1),有T=五*立、τ=%χ立，

2424

所以看、X,是方程一I=&x-工即1χ2-'χ-i=o的兩實(shí)根,

2442

得內(nèi)+W=2Λ0,X1X2=-4,

又MA=(Xl-X0,乎+1),MB=(X2-??,,+D，

numUUii

所以MA?M3=(X]一XO)(X2-?)÷(^--+1)(^--+1)

?jQ2χ2])

+l2+

=X1X2—x(x+x)?"+,^^+~(xj+X)?

012?oz42

χ2χ2?,

=

—X∣X0—Xθ(jf∣+/)+X0~----------1---[(x∣+々)~-2西入2]+1

將%+%=2A0,玉W=T代入上式，得

=+片+1+片+2+1=0.

故答案為：0,

2.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))在-BC中，若NAAC=I20。，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，AD=I,

UlUIIUUl

則AB-AC的最小值為.

【答案】-2

uικuιuιZUUBUiiix∕uuuUUiixuum?uuu/UiUiUimxUlJnιιuσ

【詳解】A8?AC=(AO+O3)?(AO+OC)=AD+AO?(θC+08)+OB?OC,因?yàn)镈為邊BC

的中點(diǎn),ΛD=1,故器吃=1.蕭,故求網(wǎng)的最大值.設(shè)闡=|蜀=x,AC=a,AB=c,

2222

r+1-rr+]2.∕72

o

則由余弦定理，COSZBDA=----------------------,COSZCDA=----------,因?yàn)镹BD4+NCD4=180，

2xIx

ι*2I1/?2丫2-?21/1

故二十=0,即2f+2=^+c2,又(2x)2=∕+c2+0c≥3hc,故

2x2xv7

4LlLlUUmU

2x2+2=4x2-bc^β∣J2x2=2+?C≤2+-X2,此時(shí)∕≤3,故A8?AC=l-f≥-2，當(dāng)且僅當(dāng)

/?=C時(shí)取等號(hào).即AB-AC的最小值為-2

故答案為：-2

3.（2022?浙江省義烏中學(xué)高一期末）已知向量46,滿(mǎn)足卜卜2忖=3忖=6,若以向量僦,為

基底，將向量C表示成c=2α+〃儀九μ為實(shí)數(shù)），都有W+",/,則α?b的最小值為

【答案】4-4√IO

【詳解】由題可知，W=6，W=3，H=2.

不妨設(shè)Q4=α=（6,0）,OC=〃，OB=C,則點(diǎn)8、C分別在以原點(diǎn)為圓心，半徑分別為2和3

的圓上運(yùn)動(dòng)，

V.C=λa+μtkλ,μ為實(shí)數(shù)），都彳+1,

所以當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)且此線(xiàn)與半徑為2的圓相切時(shí)，向量加,的夾角e最大，此時(shí)，

a`b的最小.

此時(shí)，在aAOC中，由余弦定理可得,

OA2+OC2-AC262+32~(^+4^?2-2√10

cosZAOC=

20AOC_2x3x6~~9~

c∕?b=∣4Wcose=6χ3cosNAOC=4-4710

故答案為：4-4比3.

4.(2022?浙江省臨安中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知單位向量e,向量B(i=l,2),滿(mǎn)足卜-胃=eg,

且必+yH=e,其中x+y=l,當(dāng)∣4一4I取到最小時(shí)，A也=

【答案】0

【詳解】由題意得(M+y力2>e=e?e=l,故端?e+)也?e=l,

=-

又xl?+yb2-e,x+y=l,故XSl-Z?2)=?_4，IXIl4一4IIeAI=e也，

同理得IylIa-￡He-4|=6々，

故Xlyi底一口I+yI刈及一NI=(XlyI+y∣χ∣)l偽一仇1=1?

顯然*,y>0,故Xlyl+>∣X∣=2Q≤罟迂=；,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=g時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)|乙一”|取到最小值2,bi+b2=2e,得(乙+劣尸=(々一劣尸+4々也=4,得R也=0.

故答案為：0

5.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知向量α,Ac滿(mǎn)足Ial=2J勿=IjC—a—子|=1，若對(duì)任意c，

(C-a)?+(c—/?)2≤11恒成立，則a?6的取值范圍是.

【答案】卜詞

∕Γr2rr2rrr2rrr

【詳解】解析：因?yàn)?C一a)x+1z:一方λ)-?zc-a-b^x=c2-2a?b,

則S=(C-a)+(c-b)=l÷c-2ab,因?yàn)?+0∈[1,3],

由14一,。|〃一二)|/一(:；+向區(qū),+/+彳，

rFrrrrrrrrrrrr

由I=IC-(α+州≤,+卜+/即卜21-卜+0,由卜+^￠[1,3],則(pl-卜+6∣恒成立.

由人一'+'4'-([+l)bl,即卜+0-l≤H≤l+(+j

Y

則SmaX=^+(?a+b?+Y)--2a-b=x+a+b+?+2^a+b+2a-b

=7+2√5+2a?i≤ll'

解得;E≤-g,又:E≥-H?向=-2

rr「ι^

所以α?6∈-2,--.

故答案為：一2,-g

6.(2022?浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)模擬預(yù)測(cè))己知平面向量“力,c滿(mǎn)足|“∣=1,∣?I=ICl=20,

且(j).(…)=o,"M)jo≤”外則)?("-：)的取值范圍是_____________.

'4；?a-c?

……'2√52√5^

【答案】

【詳解】由題可設(shè)OA=q,OB=b，OC=C,儀0,0)，41,0),

B、C在以O(shè)為圓心半徑為2√Σ的圓上，

X(α-^)?(0-c)=O,則84_LC4.

因?yàn)楱MA0B=6w0,-,記。與a—C的夾角為α,

_4_

①當(dāng)夕=O時(shí)，a=gcosa=0?

②當(dāng)e=寸，由對(duì)稱(chēng)性可設(shè)8(2,-2)?

.?.k=-2.?.k=?,tanZOAC=

ABfAC-<ZOAC<π

22

cosZ.OAC=-^^~,sinZOAC=—5

一,

55

?,.cosa=cosfZOAC-^?=2√5√2√IO

—H----X=---------；

I4j525210

綜上，結(jié)合圖像可得C。SaW-?,?jw^

o^?,

所以b?(a-c)=∣1∣?∣α-c∣?cosα_?、h\2#>2#>

12cosa∈--------,------

?a-c?Ia-Cl55

yl

缶內(nèi)心,Γ2√52√5

故答案為：——^―

7.（2022?全國(guó)?高一）已知AABC三點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系My所在平面內(nèi)，點(diǎn)8、C分別在

TTTT

x、y正半軸上滑動(dòng)，ZBAC=-,ZBCA=-,AB=I,則。4?O8的最大值為

建立如圖的坐標(biāo)系，

,ZCAB=ZCOB=90,所以C,O,3,A四點(diǎn)共圓.ZACβ=ZAO8=30。,設(shè)∕δCO=6

(0≤0≤9O),則NOAB=6flNC3O=90-e,ZABO=90-0+60=150-θ,

ABOAOB1-OA-OB

在.AOB中,由正弦定理知：訴=Sin(150H)=硒，即JSin(150-，)-sin6，

.?.OA=2sin(l50-6?),08=2Sin6?,

故

OA?OB=∣(9A∣∣OB∣cos30=2√3sin(150-61)sin6>=√3[cos(150-9-6?)-COS(150-6?+6?)]=

V5cos(150—20^+—,其中O≤e≤90,

-30≤150-2(9≤150,.?.150-26=0=，=75時(shí)，CoS(150-26>)=1,故Q4?O8有最大

值7i+?∣.

故答案為：?/?+—

8.(2022?上海市七寶中學(xué)高三期中)設(shè)A"為，ABC中BC邊上的中線(xiàn)，且AP=PM.若

TT

ZBAC=-,BC=2,則PB，C的最大值為

【答案】-/#-0.25

4

[詳解]P8?PC=(A8-AP)(AC-AP)①

M為Be中點(diǎn),P為AW中點(diǎn)(由AP=PM得到)

.?.APTAB+AC),代入①式

^PBPC=[AB-ab+ac?[AC-ab+ac?=[-AB--Ac??-AC--AB↑

I4Jt4JU4JU4J

323I∣2S

=——AB~——AC+-AC?A8

1616l18

又ABAC=∣AB∣?∣AC∣?cosA=網(wǎng)?∣AC∣cosy=網(wǎng)]閡

2

代入得PBPC=^?AB?]AC?-^?AB--?∣ΛC∣

?222

由余弦定理,8SA=*千得/+cfc+4,∣陰=平4*葉.

.?PBPC=--(b2+c2]+-?bc=--(bc+4U-bc=---

16v)1616v71684

由b2+c2=6c+4結(jié)合基本不等得bc+4=/+c^..2bc

所以bc≤4

當(dāng)且僅當(dāng)人=c=2取等

13131

??.PBpC=—be——≤-×4——=——

84844

??核PC最大值為北

故答案為：-I

4

9.(2022?江蘇?輔仁高中高一階段練習(xí))已知A,B,C,。是平面內(nèi)四點(diǎn)，且

AC=(2,1),BD=(-2,1),則ABCD的最小值為.

【答案】-4

【詳解】設(shè)A(x,y),B{m,ri),則C(X+2,y+l),D(m-2,n+V),

所以AQ=Q"-x,"-y),CD=(m-x-4,n-y),

則AB-CD=(m-x)2-4(m-x)+(n-y)2=(m-x-2)2+(n-y)2-4,

^?m-x=2,n=y時(shí)AB?CO的最小值為-4.

故答案為：-4

10.(2022?福建?廈門(mén)一中高一階段練習(xí))已知三角形ABC,點(diǎn)。為線(xiàn)段AC上一點(diǎn)，BD

/、

是NABe的角平分線(xiàn)，/為直線(xiàn)BO上一點(diǎn)，滿(mǎn)足4/=彳而一向(義＞0)，∣C4∣+∣CB∣=4,

?CA-CB?=2,則B/&=.

【答案】6

ACAB

【詳解】由T-j，G為4CAB方向上的單位向星，易知:用是NBAC外角的角平分線(xiàn),

IAqM

又30是NABC的角平分線(xiàn)，即/為△A8C的旁心，而Ic4∣+∣CBI=4,∣C4-CB∣=∣BA∣=2,

法一：作于。點(diǎn)，則5O=[(A8+AC+BC)=3,如下圖示，

2

所以AO=1,×BIBA=(BA+AO+OI)BA^BA1+AOBA+OIBA'

所以8∕?8A=4+2+0=6?

法二：不妨設(shè)△ABC為等邊三角形，即2N4∕8=48=60。，則ZVB=/48/=30°,

所以ICd=ICq=|BAI=2,故∣A∕∣=2,而8/.BA=(8A+A∕)?BA=+4?BA，

所以B/?BA=4+2×2×cos600=6?

D

故答案為：6

11.(2022?廣東?廣州市協(xié)和中學(xué)高一期中)在，ABC中，AB=4,AC=?,P為AB邊上一

點(diǎn)，1∣AB+4AC∣=2√3,則P8?PC的最小值為.

49

【答案】，

I詳解】延長(zhǎng)AC至點(diǎn)。,使AD=4AC,連接BD,取BD的中點(diǎn)E,連接AE,由于AB=4,AC=1,

所以A￡>=4,由三線(xiàn)合一得：AEYBD,因?yàn)閊AB+4A4=26，所以AE=2√J,由勾股

定理得：BE=DE=√16^T2=2,所以AABD為等邊三角形,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直

線(xiàn)為X軸，垂直AS為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則B(4,0),CQ,外設(shè)P(%0)

(0≤∕n≤4),所以尸B?PC=(4-機(jī),θ)?^-―m,^-?=m2-^-m+2=(w-—77,當(dāng)，〃=斗

22)2?4/164

12.(2022?上海?華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高三階段練習(xí))已知點(diǎn)P在圓V+V=2上,

已知A(4,0),B(0,T),則尸4尸3的最小值為.

【答案】-6

【詳解】由題意，取線(xiàn)段A8的中點(diǎn)M(2,-2),則PA+P8=2PM,PA-PB=B