第4章 電路的暫態(tài)分析

第4章電路的暫態(tài)分析4.1

暫態(tài)過程與換路定則4.2

一階電路的暫態(tài)過程4.3一階電路的三要素法4.4微分電路與積分電路本章要求:1.理解暫態(tài)過程的基本概念和換路定則；2.掌握暫態(tài)過程初始值與穩(wěn)定值的計算方法；3.掌握一階電路的三要素法；了解零輸入響應和零狀態(tài)響應。

第4章電路的暫態(tài)分析4.1暫態(tài)過程與換路定則前面各章討論的線性電路中，當電源電壓（激勵）為恒定值或作周期性變化時，電路中各部分電壓或電流（響應）也是恒定或按周期性規(guī)律變化，即電路中響應與激勵的變化規(guī)律完全相同，稱電路所處的這種工作狀態(tài)為穩(wěn)定狀態(tài)，簡稱穩(wěn)態(tài)。

但是，在實際電路中，經(jīng)常遇到電路由一個穩(wěn)定狀態(tài)向另一個穩(wěn)定狀態(tài)變化的過程，尤其當電路中含有電感、電容等儲能元件時，這種狀態(tài)變化要經(jīng)歷一個時間過程，稱為暫態(tài)過程。4.1暫態(tài)過程與換路定則電路的暫態(tài)過程一般比較短暫，但它的作用和影響卻十分重要。

一方面，我們要充分利用電路的暫態(tài)過程來實現(xiàn)振蕩信號的產生、信號波形的改善和變換、電子繼電器的延時動作等；

另一方面，又要防止電路在暫態(tài)過程中可能產生的比穩(wěn)態(tài)時大得多的電壓或電流(即所謂的過電壓或過電流)現(xiàn)象。

過電壓可能會擊穿電氣設備的絕緣，從而影響到設備的安全運行；過電流可能會產生過大的機械力或引起電氣設備和器件的局部過熱，從而使其遭受機械損壞或熱損壞，甚至產生人身安全事故。4.1.1暫態(tài)過程一般來說，電路從一個穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一個穩(wěn)定狀態(tài)所經(jīng)歷的中間過程稱為電路的暫態(tài)過程。

通常將第一個穩(wěn)態(tài)稱為舊穩(wěn)態(tài)，第二個穩(wěn)態(tài)稱為新穩(wěn)態(tài)。電路處于暫態(tài)過程，實際上是電路中各支路的電壓、電流從舊穩(wěn)態(tài)值向新穩(wěn)態(tài)值的轉換。暫態(tài)過程的產生必須同時具備內因和外因兩個條件，缺一不可。

內因是：電路中必須包含儲能元件，實際上，暫態(tài)過程的實質就是儲能元件的充放電過程。

外因是：電路必須要進行換路。

所謂換路，是指電路工作狀態(tài)的改變，例如電路的接通或斷開、電路參數(shù)或電源的變化以及電路的改接等等。換路:

電路狀態(tài)的改變。如：

由于電路的接通、切斷、短路、電壓改變或參數(shù)改變等?！?/p>

L儲能：不能突變Cu\∵C儲能：產生暫態(tài)過程的原因：

由于物體所具有的能量不能躍變而造成在換路瞬間儲能元件的能量也不能躍變若發(fā)生突變，不可能！一般電路則4.1.2換路定則在電路分析中，通常認為換路是在瞬間完成，記為

t=0，并且用t=0-

表示換路前的終了時刻，用t=0+表示換路后的初始時刻，換路經(jīng)歷的時間為0-

到0+

。

需要注意的是，t=0-時刻電路仍處于舊穩(wěn)態(tài)，對于直流電源激勵下的電路，此時電容相當于開路，電感相當于短路；而t=0+時刻電路已經(jīng)進入暫態(tài)過程，是暫態(tài)過程的開始時刻。1.換路定則4.1.2換路定則電容電路：注：換路定則僅用于換路瞬間來確定暫態(tài)過程中

uC、iL初始值。

設：t=0—表示換路瞬間(定為計時起點)

t=0-—表示換路前的終了瞬間

t=0+—表示換路后的初始瞬間（初始值）1.換路定則電感電路：4.1.2換路定則

換路定則公式2.初始值的確定暫態(tài)過程期間，電路中電壓、電流的變化開始于換路后瞬間的初始值，即t=0+時刻的值，終止于達到新穩(wěn)態(tài)時的穩(wěn)定值。因此分析電壓、電流的初始值是必要的。確定電路中電壓、電流的初始值，換路定則是重要依據(jù)。電路中各處的電壓和電流的初始值記為

f(0+)。4.1.2換路定則(1)先作出t=0-時的等效電路,求出uC(

0–)

、iL(

0–)；

(2)根據(jù)換路定律求出uC(0+)、iL(0+)。(3)作t=0+時的等效電路，要對儲能元件做如下的處理：若

iL(0-)≠0，則用恒流源IS=iL(0+)

等效代替電感元件，若uC(0+)

≠0，則用恒壓源US(0+)=uC(0+)

等效代替電容元件；若

iL(0-)=0，則將電感元件開路掉，若

uC(0+)=0，則將電容元件短路掉。據(jù)此等效電路可求出各處電流和電壓的初始值

。2.初始值的確定4.1.2換路定則確定電路初始值

f(0+)的步驟如下。(b)t=0-時的等效電路例：電路如圖(a)所示，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)。在t=0時開關S斷開，試求換路后電路中各電量的初始值

。解：因為t=0-時電路已處于穩(wěn)態(tài)，則電感元件已儲滿能量，即uL(0-)=0V，電容元件被開關S短接而未儲能，即uC(0-)=0V。作出t=0-時的等效電路如圖

(b)所示。(a)(b)t=0-時的等效電路例：電路如圖(a)所示，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)。在t=0時開關S斷開，試求換路后電路中各電量的初始值

。(a)可知：作出t

=0+時的等效電路如圖

(c)所示，(c)t

=0+時的等效電路例：電路如圖(a)所示，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)。在t=0時開關S斷開，試求換路后電路中各電量的初始值

。(a)(c)t

=0+時的等效電路uC(0+)=uC(0-)=0V，iL(0+)=iL(0-)=0.6A可得：注意：iC(0-)=0A，而iC(0+)=0.6A，流過電容中的電流發(fā)生了突變，它會對線路或某些器件產生較大的沖擊，使用時應予以注意；uL(0-)=0V，而uL(0+)=-12V，加在電感元件兩端的電壓發(fā)生了突變，它會將線路或某些器件的絕緣擊穿，使用時也應予以注意。3．穩(wěn)態(tài)值的確定電路在穩(wěn)態(tài)工作時各處的電流和電壓之值稱為穩(wěn)態(tài)值，記為f(∞)。換路前電路的工作狀態(tài)通常為穩(wěn)態(tài)，則求t=0-

時的

iL(0-)和uC(0-)

之值，也就是求換路前的穩(wěn)態(tài)值；而當暫態(tài)過程結束后，電路進入一種新的穩(wěn)定狀態(tài)，此時的穩(wěn)態(tài)值是t→∞時的值，它與

t=0-時的穩(wěn)態(tài)值不同。穩(wěn)態(tài)值是分析一階電路暫態(tài)過程的重要因素。事實上，前面幾章所討論的電路及分析方法，均是在穩(wěn)態(tài)下進行的，所求解均為穩(wěn)態(tài)值。確定電路穩(wěn)態(tài)值f(∞)的步驟如下。①根據(jù)儲能元件的儲能狀態(tài)來決定對它們的處理方法，即若各儲能元件已經(jīng)儲滿能量即：iC(∞)=0A，則將電容元件視為開路，uL(∞)=0V，電感元件視為短路；若儲能元件未儲存能量，即uC(∞)=0V，則將電容元件視為短路。iL(∞)=0A，電感元件視為開路。3．穩(wěn)態(tài)值的確定②作出儲能元件處理后的等效電路，并求出此等效電路中各處的電流和電壓的值，即為

f(∞)值。4.2

一階電路的暫態(tài)過程對電路暫態(tài)過程進行分析可采用經(jīng)典法。所謂經(jīng)典法就是根據(jù)激勵、通過求解電路的微分方程來得出電路響應的方法。

經(jīng)典法的實質是根據(jù)電路的基本定律及電路元件的伏安約束關系，列出表征換路后電路運行狀態(tài)的微分方程，再根據(jù)已知的初始條件進行求解，分析電路從換路時刻開始直到建立新的穩(wěn)態(tài)終止時所經(jīng)歷的全過程。通常將描述電路暫態(tài)過程的微分方程的階數(shù)稱為電路的階數(shù)。當電路中僅含有一種儲能元件時，所列微分方程均為一階方程，故稱此時的電路為一階電路。

零輸入響應:

無電源激勵,輸入信號為零,僅由電容元件的初始儲能所產生的電路的響應。4.2.1.一階電路的零輸入響應+-SRU21+–+–換路前電路已處穩(wěn)態(tài)uc(0-)=0充電完畢，電路達到穩(wěn)態(tài)時，電容相當于開路。

在t=0時刻發(fā)生了換路，開關S從2端切換到1端，將電源從電路上斷開。之后電容器將通過電阻釋放電荷，把原來儲存在電容器中的電場能量釋放給電阻，并轉變成熱能消耗掉。根據(jù)換路定則可知：uC(0+)=uC(0-)=U，由于無外來激勵，所以電容器端電壓uC將逐漸減小，放電電流iC也逐漸減小，直到電容極板上儲存的電荷全部釋放完畢，使uC衰減到零，iC也衰減到零。至此，放電過程結束，電路達到一個新的穩(wěn)態(tài)。

零輸入響應:

無電源激勵,輸入信號為零,僅由電容元件的初始儲能所產生的電路的響應。4.2.1.一階電路的零輸入響應+-SRU21+–+–代入上式得換路前電路已處穩(wěn)態(tài)t=0時開關,電容C經(jīng)電阻R放電一階線性常系數(shù)齊次微分方程列

KVL方程電容電壓uC的變化規(guī)律(t0)實質：RC電路的放電過程4.2.1.一階電路的零輸入響應+-SRU21+–+–解方程：特征方程RCP+1=0

由初始值確定積分常數(shù)A齊次微分方程的通解：

電容電壓uC從初始值按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的快慢由RC決定。電容電壓uC的變化規(guī)律4.2.1.一階電路的零輸入響應+-SRU21+–+–

電容電壓uC從初始值按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的快慢由RC決定。時間常數(shù)令:單位:S當

時時間常數(shù)

決定電路暫態(tài)過程變化的快慢時間常數(shù)等于電壓衰減到初始值U0

的所需的時間。4.2.1.一階電路的零輸入響應+-SRU21+–+–時間常數(shù)令:單位:S當

時時間常數(shù)

決定電路暫態(tài)過程變化的快慢時間常數(shù)等于電壓衰減到初始值U0

的所需的時間。理論上認為、電路達穩(wěn)態(tài)工程上認為~

、電容放電基本結束。4.2.1.一階電路的零輸入響應+-SRU21+–+–時間常數(shù)令:單位:S時間常數(shù)

決定電路暫態(tài)過程變化的快慢tτ2

τ3

τ4τ5

τ6

τuc0.3680.1350.050.0180.0070.002

、變化曲線4.2.1.一階電路的零輸入響應+-SRU21+–+–電阻電壓：放電電流

電容電壓tO4.2.1.一階電路的零輸入響應

【例】在圖(a)所示的電路中，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)。求t>0后的i1(t),i2(t),i3(t)。解：因為t=0-時電路已處于穩(wěn)態(tài)，其等效電路如圖(b)所示。30Ω作出t=0+的等效電路如圖(c)所示4.2.1.一階電路的零輸入響應

【例】在圖(a)所示的電路中，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)。求t>0后的i1(t),i2(t),ic(t)。當t→∞,uc(∞)=0V。即電容要經(jīng)R1及R2

放電至零。4.2.1.一階電路的零輸入響應

【例】在圖(a)所示的電路中，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)。求t>0后的i1(t),i2(t),ic(t)。當t→∞,uc(∞)=0V。即電容要經(jīng)R1及R2

放電至零。14.2.1.一階電路的零輸入響應

【例】在圖(a)所示的電路中，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)。求t>0后的i1(t),i2(t),ic(t)。ic(t)=-[i1(t)+i2(t)]一階線性常系數(shù)非齊次微分方程方程的解=方程的特解+對應齊次方程的通解列

KVL方程uC(0-)=0sRU+_C+_iuc特解----4.2.2.一階電路的零狀態(tài)響應解得：K=U

uC(0-)=0sRU+_C+_iuc4.2.2.一階電路的零狀態(tài)響應

求對應齊次微分方程的通解即：

的解微分方程的解為確定積分常數(shù)A根據(jù)換路定則在t=0+時，則A=-UuC(0-)=0sRU+_C+_iuc4.2.2.一階電路的零狀態(tài)響應暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量電路達到穩(wěn)定狀態(tài)時的電壓-U+U僅存在于暫態(tài)過程中

63.2%U-36.8%UtouC(0-)=0sRU+_C+_iuc4.2.2.一階電路的零狀態(tài)響應

uc

、ic變化曲線t當t=

時

表示電容電壓uC從初始值上升到穩(wěn)態(tài)值的63.2%

時所需的時間。

電流

iC

的變化規(guī)律時間常數(shù)的物理意義為什么在t=0時電流最大？

U4.2.3一階電路的全響應根據(jù)疊加定理

全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應uC(0-)=U0sRU+_C+_iuC穩(wěn)態(tài)分量暫態(tài)分量全響應=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量4.3一階電路的三要素法穩(wěn)態(tài)分量暫態(tài)分量初始值利用求三要素的方法求解暫態(tài)過程，稱為三要素法。4.3一階電路的三要素法f(0+)：是針對換路后的瞬間；

f(∞)：是針對換路后的穩(wěn)態(tài)；

τ：是針對換路后的無源網(wǎng)絡。

τ的求解方法：去源等效法。①首先將換路后的有源網(wǎng)絡轉換成無源網(wǎng)絡(即：凡是恒壓源均短路，凡是恒流源均開路；電路結構保持不變)。②從任一儲能元件的兩端往里看，求出等效的R值即可。f(0+)：對儲能元件f(∞)：儲能元件穩(wěn)定后的狀態(tài)。三要素法的公式是針對換路后的研究例

在圖中，換路前已處于穩(wěn)態(tài)。t=0時將開關S從a擋打到b擋。求t>0后的i(t)uC(t)，并畫出化曲線。解：因t=0-

時有例在圖中，換路前已處于穩(wěn)態(tài)。t=0時將開關S從a擋打到b擋。求t>0后的i(t)uC(t)，并畫出化曲線。解：因t=0-

時有例

在圖中，換路前已