江西省新余市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題卷【含答案解析】

新余市2023-2024學(xué)年度上學(xué)期期末質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)試題卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知，則（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)有，再由即可得解.【詳解】由組合數(shù)性質(zhì)知，，因為，所以，所以，得.故選：C.2.若直線與直線平行，則與之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行求出參數(shù)的值，再利用兩平行線之間的距離公式即可得解.【詳解】因為直線與直線平行，所以，解得或，當(dāng)時，與重合，不符合題意；當(dāng)時，與平行，符合題意；此時，可化為，則與之間的距離.故選：D.3.已知點D在確定的平面內(nèi)，O是平面外任意一點，正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間四點共面的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】因為，且四點共面，由空間四點共面的性質(zhì)可知，即，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：B.4.長時間玩手機可能影響視力.據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約的人近視，而該校大約有的學(xué)生每天玩手機超過1小時，這些人的近視率約為，現(xiàn)從每天玩手機不超過1小時的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定信息，結(jié)合全概率公式列式求解作答.【詳解】令“玩手機時間超過的學(xué)生”，“玩手機時間不超過的學(xué)生”，“任意調(diào)查一人，此人近視”，則，且互斥，，，依題意，，解得，所以所求近視的概率為.故選：B5.設(shè)，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，且點P到兩個焦點的距離之差為1，則的面積為（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合橢圓的定義求出，又因為，由余弦定理可求出，再求出，由三角形的面積公式即可得出答案.【詳解】因為橢圓的方程為：，則，，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，因為點P到兩個焦點的距離之差為1，所以假設(shè)，則，解得：，又因為，在中，由余弦定理可得：，所以，所以的面積為：.故選：C.6.某街道選派7名工作人員到A，B，C三個小區(qū)進行調(diào)研活動，每個小區(qū)至少去1人，恰有兩個小區(qū)所派人數(shù)相同，則不同的安排方式共有（）A.1176 B.2352 C.1722 D.1302【答案】A【解析】【分析】由排列、組合知識及兩個計數(shù)原理，結(jié)合分組分配問題求解即可．詳解】某街道疫情防控小組選派7名工作人員到A，B，C三個小區(qū)進行調(diào)研活動，若每個小區(qū)至少去1人，恰有兩個小區(qū)所派人數(shù)相同，共有三種方案：1,1,5；2,2,3；3,3,1，不同的安排方式共有＝1176，故選：A．7.如圖，在四棱柱中，底面是菱形，側(cè)面是正方形，且，，，與交于點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算可表示，再結(jié)合向量數(shù)量積公式可得的模.【詳解】在四棱柱中，四邊形是平行四邊形，又與交于點，所以是的中點，所以，又，，，所以，即，故選：A．8.中國古代數(shù)學(xué)瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體為上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，其中底面，底面扇環(huán)所對的圓心角為，扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑之比為1：2，，，E是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求解異面直線與所成角的余弦值.【詳解】設(shè)上底面圓心為，下底面圓心為，連接，，在下底面作，以為原點，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：因為扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑之比為1：2，，所以，得，則即，即，，，，，，，.所以，又異面直線所成角的范圍為，故異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，不選或有選錯的得0分）9.下列說法正確的是（）A.已知且，則B.已知，則越小，越大C.已知，且，則，D.若變量y關(guān)于x的線性回歸方程為且，，則【答案】BCD【解析】【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)判斷AB；利用二項分布的期望與方差列式判斷C；利用線性回歸方程必過樣本中心列式判斷D.【詳解】對于A，因為且，所以，故A錯誤;對于B，因為，所以越小，的概率曲線越集中于對稱軸處，而，所以越大，故B正確；對于C，因為，所以，，而，所以，解得，故C正確;對于D，變量y關(guān)于x的線性回歸方程為，且，，所以，解得，故D正確.故選：BCD10.當(dāng)下新能源汽車備受關(guān)注，某?！熬G源”社團對“學(xué)生性別和喜歡新能源汽車是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡新能源汽車的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡新能源汽車的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握認(rèn)為是否喜歡新能源汽車和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生有可能的人數(shù)為（）附：A.68 B. C.70 D.71【答案】CD【解析】【分析】設(shè)男女生總?cè)藬?shù)為，根據(jù)題目得到列聯(lián)表，計算，得到答案.【詳解】設(shè)男女生總?cè)藬?shù)為，則男生喜歡新能源汽車的人數(shù)，女生喜歡新能源汽車的人數(shù)占女生人數(shù)的.則列出聯(lián)表如下：類別喜歡新能源汽車不喜歡新能源汽車小計男生女生小計...所以，即，所以，故選：CD11.在某次太空旅行中，宇航員們要對需要完成的A，B，C，D，E，F(xiàn)六個科學(xué)實驗進行排序，則下列說法正確的是（）A.若A，B相鄰，則不同的排序種數(shù)有240種B.若C，D相隔一個實驗，則不同的排序種數(shù)有96種C.若E不在第一個，F(xiàn)不在最后一個，則不同的排序種數(shù)有504種D.A排在B，C之前的概率為【答案】ACD【解析】分析】對于ABC，根據(jù)題意結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)分析求解；對于D，根據(jù)排列組合結(jié)合古典概型分析求解.【詳解】對于A，若A，B相鄰，則不同的排序種數(shù)有種，故A正確；對于B，若C，D相隔一個實驗，則不同的排序種數(shù)有種，故B錯誤；對于C，若E不在第一個，F(xiàn)不在最后一個，則不同的排序種數(shù)有種，故C正確；對于D，A排在B，C之前的概率為，故D正確.故選：ACD.12.已知雙曲線：的左右焦點分別為，，實軸長為8，離心率為，點，，是雙曲線上的任意兩點，過點分別作雙曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為，兩點.下列說法正確的是（）A.若點滿足，則的周長為52B.若點在雙曲線的左支，則的最小值為13C.存在點，使得D.若直線的斜率為，線段的垂直平分線與軸交于點，則或【答案】ABD【解析】【分析】由題意首先得到雙曲線方程以及漸近線方程，選項A，根據(jù)雙曲線定義運算即可判斷；選項B，畫出圖形，通過三角形兩邊之和大于第三邊即可判斷；對于C通過基本不等式可求得的最小值，從而即可判斷；對于D，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，結(jié)合韋達定理、判別式垂直平分線的求法即可判斷.【詳解】由題可知，所以，，，雙曲線：，漸近線為即.選項A，若，則，所以，，則的周長為，所以選項A正確.選項B，，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點共線且點線段上時(即點與點重合)取最小值.所以選項B正確.選項C，設(shè)，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即點為或時，取最小值.所以選項C錯誤.選項D，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立得，所以，，由得，即或；線段的中點為，所以線段的垂直平分線方程為，令得，由得或，所以選項D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點睛：對于A選項的判斷較為常規(guī)，判斷B選項的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，判斷C選項的關(guān)鍵是通過比較的最小值和的大小，判斷D選項的關(guān)鍵是聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，利用韋達定理、判別式來解決.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若的展開式中的系數(shù)為2025，則實數(shù)_______．【答案】【解析】【分析】利用二項展開式的通項公式求出的項的系數(shù)，結(jié)合，即可得的值．【詳解】因為，的通項公式為，所以的系數(shù)為，解得．故答案為：.14.某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的黑球和白球共5個．從袋中隨機取出3個球，已知取出的3個球全為黑球的概率為，若記取出3個球中黑球的個數(shù)為X，則______．【答案】【解析】【分析】利用組合與古典概型求得黑球的個數(shù)，從而求得的分布列，進而求得的期望，由此得解.【詳解】依題意，設(shè)黑球的個數(shù)為，由，得，則，記取出3個球中黑球的個數(shù)為，的取值可以為1，2，3；，，，則分布列如下：123所以.故答案為：.15.已知直線，直線與曲線有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由曲線表示以點為圓心，以為半徑的圓的下半圓，考察直線過點以及直線與曲線相切，利用直線與圓的位置關(guān)系求解.【詳解】直線的方程可化為即為，所以，直線是過點，且斜率為的直線，由可得，可得，整理可得，即，所以，曲線表示以點為圓心，以為半徑的圓的下半圓，如圖所示：其中，，當(dāng)直線與曲線相切時，則圓心到直線的距離為，且，整理可得，解得（舍去）或，若直線與曲線有兩個公共點，由圖象知：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.過點的直線與拋物線交于，兩點，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)直線，，，且，聯(lián)立拋物線方程得關(guān)于的一元二次方程，從而可求得，，再利用拋物線的定義即可求得，再結(jié)合基本不等式即可得最小值．【詳解】依題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線，，，且，聯(lián)立，得，則，則，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故的最小值為．故答案為：．四、解答題（本大題共6小題，17題10分，18~22題各12分，共70分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟）17.已知直線l和圓（1）若直線l過點，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，求直線l的方程；（2）過點引直線與圓C相切，切點為N，求線段MN的長．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）討論所求直線是否過原點，分別求出對應(yīng)方程即可；（2）利用直線與圓相切的性質(zhì)，結(jié)合兩點距離公式與勾股定理即可得解.【小問1詳解】當(dāng)直線過原點時，直線的方程是，即.當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，即，把點代入方程得，則直線的方程是.綜上，所求直線的方程為或【小問2詳解】因為圓可化為，則圓的圓心為，半徑為，如圖，因為直線相切于圓，所以，又，，所以.18.為弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，營造良好的文化氛圍，增強文化自覺和文化自信，某區(qū)組織開展了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識競答活動，該活動有單人賽和PK賽，每人只能參加其中的一項.據(jù)統(tǒng)計，中小學(xué)生參與該項知識競答活動的人數(shù)共計4.8萬，其中獲獎學(xué)生情況統(tǒng)計如下：獎項組別單人賽PK賽獲獎一等獎二等獎三等獎中學(xué)組4040120100小學(xué)組3258210100（1）從獲獎學(xué)生中隨機抽取1人，若已知抽到的學(xué)生獲得一等獎，求抽到的學(xué)生來自中學(xué)組的概率；（2）從中學(xué)組和小學(xué)組獲獎?wù)咧懈麟S機抽取1人，以表示這2人中PK賽獲獎的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從獲獎學(xué)生中隨機抽取3人，設(shè)這3人中來自中學(xué)組的人數(shù)為，來自小學(xué)組的人數(shù)為，試判斷與的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）（2）分布列見解析，期望（3），理由見解析【解析】【分析】（1）應(yīng)用條件概率公式求概率即可；（2）由題設(shè)可能值為，結(jié)合表格數(shù)據(jù)及超幾何分布概率公式求分布列，進而求期望；（3）由，應(yīng)用方差的性質(zhì)判斷的數(shù)量關(guān)系即可.【小問1詳解】若事件表示抽到的學(xué)生獲得一等獎，事件表示抽到的學(xué)生來自中學(xué)組，所以抽到的1個學(xué)生獲得一等獎，學(xué)生來自中學(xué)組的概率為，由表格知：，則.【小問2詳解】由題意，可能值為，，，，的分布列如下：012所以.【小問3詳解】由題設(shè)知，所以.19.已知二項式．（1）若，，求二項式的值被7除的余數(shù)；（2）若它的二項式系數(shù)之和為128，求展開式中系數(shù)最大的項．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入，，將二項式轉(zhuǎn)化為，利用二項式定理即可得解；（2）先由題意求得，再利用二項展開通項公式得到關(guān)于系數(shù)最大的項的不等式組，解之即可得解.【小問1詳解】因為，，，顯然能被7整除，，所以二項式的值被7除的余數(shù)為.【小問2詳解】因為的二項式系數(shù)之和為128，，則的展開通項公式為，假設(shè)展開式中系數(shù)最大的項為第項，則，即，即，解得，所以展開式中系數(shù)最大的項為第6，7項，即.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第2小問解決的關(guān)鍵是熟練掌握組合數(shù)公式，從而得解.20.某地政府為解除空巢老人日常護理和社會照料的困境，大力培育發(fā)展養(yǎng)老護理服務(wù)市場．從年開始新建社區(qū)養(yǎng)老機構(gòu)，下表為該地區(qū)近年新建社區(qū)養(yǎng)老機構(gòu)的數(shù)量對照表．年份2017201820192020202120222023年份代碼1234567新建社區(qū)養(yǎng)老機構(gòu)（1）若該地區(qū)參與社區(qū)養(yǎng)老的老人的年齡近似服從正態(tài)分布，其中年齡的有人，試估計該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人有多少？（結(jié)果按四舍五入取整數(shù)）（2）已知變量與之間的樣本相關(guān)系數(shù)，請求出關(guān)于的線性回歸方程，并據(jù)此估計年時，該地區(qū)新建社區(qū)養(yǎng)老機構(gòu)的數(shù)量．（結(jié)果按四舍五入取整數(shù)）參考公式與數(shù)據(jù)：①，.；②若隨機變量，則，，；③，.【答案】（1）約為人（2）回歸方程為；約為個.【解析】【分析】（1）利用原則求出的值，即可求得該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人人數(shù)為；（2）計算出的值，可求出的值，可求得的值，利用參考數(shù)據(jù)可求得的值，由此可得出回歸直線方程，然后將代入回歸直線方程可得結(jié)果.【小問1詳解】解：由題意可知，，，則，，所以，，所以，估計該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人人數(shù)為.【小問2詳解】解：由表格中的數(shù)據(jù)可得，所以，，由已知條件可得，所以，，所以，，又因為，顯然，解得，則，所以，關(guān)于的回歸直線方程為，當(dāng)時，.估計年時，該地區(qū)新建社區(qū)養(yǎng)老機構(gòu)的數(shù)量約為個.21.在四棱錐中，已知，，，，，，是線段上的點．（1）求證：底面；（2）是否存在點使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，且【解析】【分析】（1）首先證明面，可得出，利用勾股定理的逆定理可證得，再結(jié)合線面垂直的判定定理，即可證明面；（2）以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，且，求平面的法向量，利用，即可求得的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】證明：在中，，，所以.在中，，，，