九省聯(lián)考新題型背景專題訓(xùn)練-2024屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁新題型精典背景專題教研單選題歐拉1．（山東省名校考試聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）歐拉公式（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉提出的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024屆九省聯(lián)考高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)變式卷（2））歐拉恒等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的公式之一，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)常數(shù)聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超越數(shù)：自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，圓周率，兩個(gè)單位：虛數(shù)單位和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學(xué)里常見的0．因此，數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式，我們只能看它而不能理解它”．根據(jù)該公式，引出了復(fù)數(shù)的三角表示：，由此建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，是復(fù)數(shù)體系發(fā)展的里程碑．根據(jù)上述信息，下列結(jié)論正確的是（

）A．的實(shí)部為1 B．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限C．的虛部為1D．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限柯西3．（2024屆高三新高考改革數(shù)學(xué)適應(yīng)性練習(xí)（7）（九省聯(lián)考題型））柯西不等式最初是由大數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時(shí)得到的.而后來有兩位數(shù)學(xué)家Buniakowsky和Schwarz彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才能將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步.該不等式的三元形式如下：對(duì)實(shí)數(shù)和，有等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)已知，請(qǐng)你用柯西不等式，求出的最大值是（

）A．14 B．12 C．10 D．8數(shù)論4．（2024屆高三新高考改革數(shù)學(xué)適應(yīng)性練習(xí)（5）（九省聯(lián)考題型））“角股猜想”是“四大數(shù)論世界難題”之一，至今無人給出嚴(yán)謹(jǐn)證明．“角股運(yùn)算”指的是任取一個(gè)自然數(shù)，如果它是偶數(shù)，我們就把它除以2，如果它是奇數(shù)，我們就把它乘3再加上1．在這樣一個(gè)變換下，我們就得到了一個(gè)新的自然數(shù)．如果反復(fù)使用這個(gè)變換，我們就會(huì)得到一串自然數(shù)，該猜想就是：反復(fù)進(jìn)行角股運(yùn)算后，最后結(jié)果為1．我們記一個(gè)正整數(shù)經(jīng)過次角股運(yùn)算后首次得到1（若經(jīng)過有限次角股運(yùn)算均無法得到1，則記），以下說法有誤的是（

）A．可看作一個(gè)定義域和值域均為的函數(shù)B．在其定義域上不單調(diào)，有最小值，無最大值C．對(duì)任意正整數(shù)，都有D．是真命題，是假命題海倫公式5．（重慶市部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在他的著作《測地術(shù)》中最早記錄了“海倫公式”：，其中，，，分別為的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊，該公式具有輪換對(duì)稱的特點(diǎn).已知在中，，且的面積為，則邊上的中線長度為（

）A． B．4 C． D．曼哈頓距離6．（安徽省阜陽市第三中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期二調(diào)考試（12月）數(shù)學(xué)試題）“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)的曼哈頓距離為：.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A． B． C． D．多選題歐拉7．（云南省下關(guān)一中教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月段考（二）數(shù)學(xué)試卷）歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式為，i虛數(shù)單位，將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，這個(gè)公式也被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位依據(jù)上述公式，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)B．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半圓空間解析幾何8．（重慶市南開中學(xué)校2023-2024學(xué)年高三第六次質(zhì)量檢測（2月）數(shù)學(xué)試題）平面解析幾何的結(jié)論很多可以推廣到空間中，如：（1）平面上，過點(diǎn)，且以為方向向量的平面直線的方程為；在空間中，過點(diǎn)，且以為方向向量的空間直線的方程為.（2）平面上，過點(diǎn)，且以為法向量的直線的方程為；空間中，過點(diǎn)，且以為法向量的平面的方程為.現(xiàn)已知平面，平面，，，則（

）A． B． C． D．9．（浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2023屆高三下學(xué)期5月模擬考試數(shù)學(xué)試題）在空間直角坐標(biāo)系中，有以下兩條公認(rèn)事實(shí)：（1）過點(diǎn)，且以為方向向量的空間直線l的方程為；（2）過點(diǎn)，且為法向量的平面的方程為．現(xiàn)已知平面，，，（

）A． B． C． D．高斯函數(shù)10．（期末真題必刷壓軸60題（22個(gè)考點(diǎn)專練）-【滿分全攻略】（人教A版2019必修第一冊(cè)））高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，如：[1.2]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，y＝[x]又稱為取整函數(shù)，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費(fèi)，出租車收費(fèi)等均按“取整函數(shù)”進(jìn)行計(jì)費(fèi)，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（）A．?x∈R，[2x]＝2[x]B．?x∈R，[x]+C．?x，y∈R，若[x]＝[y]，則有x﹣y＞﹣1D．方程x2＝3[x]+1的解集為牛頓切線11．（廣東省東莞中學(xué)、廣州二中、惠州一中、深圳實(shí)驗(yàn)、珠海一中、中山紀(jì)念中學(xué)2024屆高三第四次六校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn).已知二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，其中.在函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作曲線的切線，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；用代替，重復(fù)以上的過程得到；一直下去，得到數(shù)列.記，且，，下列說法正確的是（

）A．（其中） B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和狄克雷函數(shù)12．（重慶市萬州第二高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）德國數(shù)學(xué)家狄里克雷在年時(shí)提出：“如果對(duì)于的每一個(gè)值，總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么是的函數(shù).”這個(gè)定義較清楚的說明了函數(shù)的內(nèi)涵，只要有一個(gè)法則，使得取值范圍內(nèi)的每一個(gè)，都有一個(gè)確定的和它對(duì)應(yīng)就行了，不管這個(gè)法則是用公式還是用圖象、表格等形式表示.他還發(fā)現(xiàn)了狄里克雷函數(shù)，即：當(dāng)自變量取有理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為，當(dāng)自變量取無理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為.狄里克雷函數(shù)的發(fā)現(xiàn)改變了數(shù)學(xué)家們對(duì)“函數(shù)是連續(xù)的”的認(rèn)識(shí)，也使數(shù)學(xué)家們更加認(rèn)可函數(shù)的對(duì)應(yīng)說定義，下列關(guān)于狄里克雷函數(shù)的性質(zhì)表述正確的是（

）A． B．是奇函數(shù)C．的值域是 D．三、填空題歐拉13．（湖南省張家界市慈利縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期中檢測數(shù)學(xué)試卷）數(shù)學(xué)中有很多公式都是數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard

Euler）發(fā)現(xiàn)的，它們都叫歐拉公式，分散在各個(gè)數(shù)學(xué)分支之中，任意一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)V.棱數(shù)E.面數(shù)F之間，都滿足關(guān)系式，這個(gè)等式就是立體幾何中的“歐拉公式”.若一個(gè)凸二十面體的每個(gè)面均為三角形，則由歐拉公式可得該多面體的頂點(diǎn)數(shù)為費(fèi)馬點(diǎn)14．（江西省景德鎮(zhèn)市2022屆高三第二次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理）試題）1643年法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出了一個(gè)著名的幾何問題：已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其到這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為最小.它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心（即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線段兩兩成角120°），該點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知中，其中，，P為費(fèi)馬點(diǎn)，則的取值范圍是.高斯15．（福建省泉州市普通高中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月學(xué)科競賽數(shù)學(xué)試題）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，為了紀(jì)念他，人們把函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù).設(shè)，則除以2023的余數(shù)是.四、解答題16．（2024年1月普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試適應(yīng)性測試（九省聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題）離散對(duì)數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)是素?cái)?shù)，集合，若，記為除以的余數(shù)，為除以的余數(shù)；設(shè)，兩兩不同，若，則稱是以為底的離散對(duì)數(shù)，記為．(1)若，求；(2)對(duì)，記為除以的余數(shù)（當(dāng)能被整除時(shí)，）．證明：，其中；(3)已知．對(duì)，令．證明：．不動(dòng)點(diǎn)17．（重慶市巴蜀中學(xué)校2024屆高考適應(yīng)性月考卷（六）數(shù)學(xué)試題）對(duì)于函數(shù)，若存在，使得，則稱為函數(shù)的一階不動(dòng)點(diǎn)；若存在，使得，則稱為函數(shù)的二階不動(dòng)點(diǎn)；依此類推，可以定義函數(shù)的階不動(dòng)點(diǎn).其中一階不動(dòng)點(diǎn)簡稱不動(dòng)點(diǎn)，二階不動(dòng)點(diǎn)也稱為穩(wěn)定點(diǎn).(1)已知，求的不動(dòng)點(diǎn)；(2)已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求證：“為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)”是“為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)”的充分必要條件；(3)已知，討論函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)個(gè)數(shù).微積分18．（2024·湖北·二模）微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段．對(duì)于函數(shù)在區(qū)間上的圖像連續(xù)不斷，從幾何上看，定積分便是由直線和曲線所圍成的區(qū)域（稱為曲邊梯形）的面積，根據(jù)微積分基本定理可得，因?yàn)榍吿菪蔚拿娣e小于梯形的面積，即，代入數(shù)據(jù)，進(jìn)一步可以推導(dǎo)出不等式：．(1)請(qǐng)仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法，證明：；(2)已知函數(shù)，其中．①證明：對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，曲線在和處的切線均不重合；②當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（重慶市第八中學(xué)校2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期入學(xué)適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可記為．若，則表示曲線，直線以及軸圍成的“曲邊梯形”的面積．(1)若，且，求；(2)已知，證明：，并解釋其幾何意義；(3)證明：，．20．（廣東省廣州市華南師范大學(xué)附屬中學(xué)2024屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)周測試題（12））多元導(dǎo)數(shù)在微積分學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)是由，，…等多個(gè)自變量唯一確定的因變量，則當(dāng)變化為時(shí)，變化為，記為對(duì)的導(dǎo)數(shù)，其符號(hào)為.和一般導(dǎo)數(shù)一樣，若在上，已知，則隨著的增大而增大；反之，已知，則隨著的增大而減小.多元導(dǎo)數(shù)除滿足一般分式的運(yùn)算性質(zhì)外，還具有下列性質(zhì)：①可加性：；②乘法法則：；③除法法則：；④復(fù)合法則：.記.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），(1)寫出和的表達(dá)式；(2)已知方程有兩實(shí)根，.①求出的取值范圍；②證明，并寫出隨的變化趨勢.牛頓切線21．（廣東省八校（石門中學(xué)、國華紀(jì)念中學(xué)、三水中學(xué)、珠海一中、中山紀(jì)念中學(xué)、湛江一中、河源中學(xué)、深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校）2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）關(guān)于的函數(shù)，我們?cè)诒匦抟恢袑W(xué)習(xí)過“二分法”求其零點(diǎn)近似值.現(xiàn)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，介紹另一種求零點(diǎn)近似值的方法——“牛頓切線法”.(1)證明：有唯一零點(diǎn)，且；(2)現(xiàn)在，我們?nèi)稳?1,a)開始，實(shí)施如下步驟：在處作曲線的切線，交軸于點(diǎn)；在處作曲線的切線，交軸于點(diǎn)；……在處作曲線的切線，交軸于點(diǎn)；可以得到一個(gè)數(shù)列，它的各項(xiàng)都是不同程度的零點(diǎn)近似值.（i）設(shè)，求的解析式(用表示)；（ii）證明：當(dāng)，總有.22．（廣東省廣州市天河區(qū)2024屆高三畢業(yè)班綜合測試（二）數(shù)學(xué)試卷）已知函數(shù).(1)證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)，且；(2)我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，另一種常用的求零點(diǎn)近似值的方法是“牛頓切線法”.任取，實(shí)施如下步驟：在點(diǎn)處作的切線，交軸于點(diǎn)：在點(diǎn)處作的切線，交軸于點(diǎn)；一直繼續(xù)下去，可以得到一個(gè)數(shù)列，它的各項(xiàng)是不同精確度的零點(diǎn)近似值.（i）設(shè)，求的解析式；（ii）證明：當(dāng)，總有.23．（浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度．考察如圖所示的光滑曲線C：上的曲線段，其弧長為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從A沿曲線段運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當(dāng)弧長固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫曲線C在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線C在點(diǎn)A處的曲率．（其中y＇，y＇＇分別表示在點(diǎn)A處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）(1)求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；(2)求橢圓在處的曲率；(3)定義為曲線的“柯西曲率”．已知在曲線上存在兩點(diǎn)和，且P，Q處的“柯西曲率”相同，求的取值范圍．同余24．（江西省紅色十校2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容．同余的定義為：設(shè)且．若，則稱a與b關(guān)于模m同余，記作（“|”為整除符號(hào)）．(1)解同余方程：；(2)設(shè)（1）中方程的所有正根構(gòu)成數(shù)列，其中．①若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求；②若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．25．（湖北省襄陽市第五中學(xué)2024屆高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）“物不知數(shù)”是中國古代著名算題，原載于《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二：五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二．問物幾何？”問題的意思是，一個(gè)數(shù)被3除余2，被5除余3，被7除余2，那么這個(gè)數(shù)是多少？若一個(gè)數(shù)被除余，我們可以寫作．它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書九章》大衍求一術(shù)中給出的．大衍求一術(shù)（也稱作“中國剩余定理”）是中國古算中最有獨(dú)創(chuàng)性的成就之一，現(xiàn)將滿足上述條件的正整數(shù)從小到大依次排序．中國剩余定理：假設(shè)整數(shù)，，…，兩兩互質(zhì)，則對(duì)任意的整數(shù)：，，…，方程組一定有解，并且通解為，其中為任意整數(shù)，，，為整數(shù)，且滿足．(1)求出滿足條件的最小正整數(shù)，并寫出第個(gè)滿足條件的正整數(shù)；(2)在不超過4200的正整數(shù)中，求所有滿足條件的數(shù)的和．（提示：可以用首尾進(jìn)行相加）．行列式26．（河南省部分重點(diǎn)高中2024屆高三普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（期末聯(lián)考）數(shù)學(xué)試卷）三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，其運(yùn)算法則如下：．若，則稱為空間向量與的叉乘，其中（），（），為單位正交基底．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)、分別以的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，已知A，B是空間直角坐標(biāo)系中異于O的不同兩點(diǎn)．(1)①若，，求；②證明：．(2)記的面積為，證明：．(3)證明：的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的6倍．27．（北京市朝陽區(qū)2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知是個(gè)正整數(shù)組成的行列的數(shù)表，當(dāng)時(shí)，記．設(shè)，若滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：①；②對(duì)任意，存在，使得，則稱為數(shù)表．(1)判斷是否為數(shù)表，并求的值；(2)若數(shù)表滿足，求中各數(shù)之和的最小值；(3)證明：對(duì)任意數(shù)表，存在，使得．28．（廣東省2024屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬測試（一）數(shù)學(xué)試卷）數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計(jì)算，是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其主要研究對(duì)象包括向量和矩陣.對(duì)于平面向量，其模定義為.類似地，對(duì)于行列的矩陣，其模可由向量模拓展為（其中為矩陣中第行第列的數(shù)，為求和符號(hào)），記作，我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例如對(duì)于矩陣，其矩陣模.弗羅貝尼烏斯范數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)等前沿領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.(1)，，矩陣，求使的的最小值.(2)，，，矩陣求.(3)矩陣，證明：，，.泰勒公式29．（貴州省貴陽市2024屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷（一））英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問題.(1)證明：；(2)設(shè)，證明：；(3)設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.30．（福建省福州第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，.(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)設(shè)，若區(qū)間滿足當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”.（i）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由；（ii）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由.n維向量31．（北京市第四中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）對(duì)于給定的正整數(shù)n，記集合，其中元素稱為一個(gè)n維向量．特別地，稱為零向量．設(shè)，，，定義加法和數(shù)乘：，．對(duì)一組向量，，…，（，），若存在一組不全為零的實(shí)數(shù)，，…，，使得，則稱這組向量線性相關(guān)．否則，稱為線性無關(guān)．(1)對(duì)，判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由．①，；②，，；③，，，．(2)已知向量，，線性無關(guān)，判斷向量，，是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由．(3)已知個(gè)向量，，…，線性相關(guān)，但其中任意個(gè)都線性無關(guān)，證明下列結(jié)論：①如果存在等式（，），則這些系數(shù)，，…，或者全為零，或者全不為零；②如果兩個(gè)等式，（，，）同時(shí)成立，其中，則．代數(shù)基本定理32．（云南省昆明市西山區(qū)2024屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）我們把（其中，）稱為一元n次多項(xiàng)式方程．代數(shù)基本定理：任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式方程（即，，，…，為實(shí)數(shù)）在復(fù)數(shù)集內(nèi)至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根；由此推得，任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有n個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）．那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集內(nèi)一定可以分解因式，轉(zhuǎn)化為n個(gè)一元一次多項(xiàng)式的積．即，其中k，，，，，……，為方程的根．進(jìn)一步可以推出：在實(shí)系數(shù)范圍內(nèi)（即，，，…，為實(shí)數(shù)），方程的有實(shí)數(shù)根，則多項(xiàng)式必可分解因式．例如：觀察可知，是方程的一個(gè)根，則一定是多項(xiàng)式的一個(gè)因式，即，由待定系數(shù)法可知，．(1)解方程：；(2)設(shè)，其中，，，，且．（i）分解因式：；（ii）記點(diǎn)是的圖象與直線在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn)．求證：當(dāng)時(shí)，．帕德近似33．（山東省菏澤市2024屆高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，．（注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）已知在處的階帕德近似為．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)比較與的大小；(3)若在上存在極值，求的取值范圍．費(fèi)馬點(diǎn)34．（重慶市求精中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期階段測試數(shù)學(xué)試題）“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題．該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小．”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問題：已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且(1)求；(2)若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求；(3)設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的最小值．二進(jìn)制35．（東北三省三校（哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第一次聯(lián)合模擬考數(shù)學(xué)試題）十七世紀(jì)至十八世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上第一個(gè)提出二進(jìn)制記數(shù)法的人，用二進(jìn)制記數(shù)只需數(shù)字0和1，對(duì)于整數(shù)可理解為逢二進(jìn)一，例如：自然數(shù)1在二進(jìn)制中就表示為，2表示為，3表示為，5表示為，發(fā)現(xiàn)若可表示為二進(jìn)制表達(dá)式，則，其中，或1（）.(1)記，求證：；(2)記為整數(shù)的二進(jìn)制表達(dá)式中的0的個(gè)數(shù)，如，.（ⅰ）求；（ⅱ）求（用數(shù)字作答）.極點(diǎn)極線36．（2024屆廣東省（佛山市第一中學(xué)、廣州市第六中學(xué)、汕頭市金山中學(xué)、）高三六校2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）如圖，已知橢圓的短軸長為，焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合.點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

(1)求常數(shù)的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進(jìn)行解答)極點(diǎn)與極線是法國數(shù)學(xué)家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對(duì)于橢圓，極點(diǎn)（不是原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的極線為，且若極點(diǎn)在軸上，則過點(diǎn)作橢圓的割線交于點(diǎn)，則對(duì)于上任意一點(diǎn)，均有（當(dāng)斜率均存在時(shí)）.已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.連接交軸于點(diǎn).連接分別交橢圓于兩點(diǎn).①設(shè)直線、分別交軸于點(diǎn)、點(diǎn)，證明：點(diǎn)為、的中點(diǎn)；②證明直線：恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).拓?fù)鋵W(xué)37．（2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試卷）拓?fù)鋵W(xué)是一個(gè)研究圖形（或集合）整體結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的一門幾何學(xué)，以抽象而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言將幾何與集合聯(lián)系起來，富有直觀和邏輯．已知平面，定義對(duì)，，其度量（距離）并稱為一度量平面．設(shè)，，稱平面區(qū)域?yàn)橐詾樾?，為半徑的球形鄰域?1)試用集合語言描述兩個(gè)球形鄰域的交集；(2)證明：中的任意兩個(gè)球形鄰域的交集是若干個(gè)球形鄰域的并集；(3)一個(gè)集合稱作“開集”當(dāng)且僅當(dāng)其是一個(gè)無邊界的點(diǎn)集．證明：的一個(gè)子集是開集當(dāng)且僅當(dāng)其可被表示為若干個(gè)球形鄰域的并集．差分?jǐn)?shù)列38．（安徽省黃山市2024屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛．差分和差分方程是描述離散變量變化的重要工具，并且有廣泛的應(yīng)用．對(duì)于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，規(guī)定為數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列，其中．(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由？(2)數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，對(duì)于任意的，都存在，使得，求的值；(3)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且為常數(shù)列，對(duì)滿足，的任意正整數(shù)都有，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．懸鏈線39．（云南省昆明市第一中學(xué)2024屆高三上學(xué)期第六次考前基礎(chǔ)強(qiáng)化數(shù)學(xué)試題）懸鏈線的原理