2022年上海市上海中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2022年上海中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷一、填空題1．（3分）如圖是正方體的一種展開圖，那么在原正方體中，與“上”字所在面相對的面上的漢字是．2．（3分）下面圖1、2、3可分別用于說明．、“勾股定理”；、“平方差公式”；、“完全平方公式”；將、、按對應(yīng)順序填入）3．（3分）使得的值是一個正整數(shù)的整數(shù)一共有個．4．（3分）設(shè)動直線與函數(shù)的圖象交于點，，與函數(shù)的圖象交于點，，當(dāng)時，總有恒成立，則稱函數(shù)與在上是“逼近函數(shù)”，則下列結(jié)論：①函數(shù)與在上是“逼近函數(shù)”；②函數(shù)與在上是“逼近函數(shù)”；③函數(shù)與在上是“逼近函數(shù)”，其中，正確的命題序號是．5．（3分）如果方程的三個根可以作為一個等腰三角形的邊長，則實數(shù)．6．（3分）如圖，一個較大的圓內(nèi)有15個半徑為1的小圓，所有的交點都為切點，圖中陰影為大圓內(nèi)但在所有小圓外部分，則陰影部分的面積為．7．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、，動點在直線上，動點在軸上，則的最小值為．8．（3分）設(shè)，，，，是整數(shù)，且滿足下列條件：①，，2，3，，100；②；③，則的最小值和最大值的和為．9．（3分）如圖，一只小蟲沿著圖示的六邊形構(gòu)成的格子從點A爬行到點B，標(biāo)記有箭頭的邊只能按箭頭方向爬行，且小蟲爬行同一條邊最多一次，則共有種不同的爬行路徑．二、解答題10．斜邊和斜邊上的高分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形是否全等？判斷并給出理由．11．有一矩形紙片，，，將矩形沿對角線對折后放于桌面上，探究其覆蓋桌面的面積．12．我們學(xué)習(xí)了實數(shù)與向量相乘，對于兩個非零向量和，且，存在唯一實數(shù)，使得，記作，，如圖，已知、、、為同一直線上順次四點．（1）若，，則，；（2）若，則稱、、、為調(diào)和點列，請?zhí)骄看藭r、、這三條線段的長度滿足的關(guān)系，并證明．

2022年上海中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題1．（3分）如圖是正方體的一種展開圖，那么在原正方體中，與“上”字所在面相對的面上的漢字是迎．【分析】正方體的平面展開圖中，相對的面一定相隔一個正方形，據(jù)此作答．【解答】解：由圖可知，與“上”字所在面相對的面上的漢字是“迎”，故答案為：迎．2．（3分）下面圖1、2、3可分別用于說明、、．、“勾股定理”；、“平方差公式”；、“完全平方公式”；將、、按對應(yīng)順序填入）【分析】根據(jù)勾股定理、完全平方公式、平方差公式解決此題．【解答】解：由圖1得，，那么可說明完全平方公式．由圖2得，設(shè)大正方形的邊長為，則，即，那么可說明勾股定理．由圖3得，，那么可說明平方差公式．故答案為：、、．3．（3分）使得的值是一個正整數(shù)的整數(shù)一共有4個．【分析】因為，根據(jù)的值是一個正整數(shù)，則可以取0，1，2，3．【解答】解：原式．的值是一個正整數(shù)，可以取0，1，2，3，一共有4個．故答案為：4．4．（3分）設(shè)動直線與函數(shù)的圖象交于點，，與函數(shù)的圖象交于點，，當(dāng)時，總有恒成立，則稱函數(shù)與在上是“逼近函數(shù)”，則下列結(jié)論：①函數(shù)與在上是“逼近函數(shù)”；②函數(shù)與在上是“逼近函數(shù)”；③函數(shù)與在上是“逼近函數(shù)”，其中，正確的命題序號是①②③．【分析】由“逼近函數(shù)”定義逐項判斷即可．【解答】解：由“逼近函數(shù)”定義知在上，時，函數(shù)與在上是“逼近函數(shù)”，令，當(dāng)時，最大為1，最小為，函數(shù)與在上是“逼近函數(shù)”，①正確；令，在上，當(dāng)時，最大為1，當(dāng)時，最小為，函數(shù)與在上是“逼近函數(shù)”，②正確；令，在上，當(dāng)和時，取最大值1，時，取最小值為，③正確；故答案為：①②③．5．（3分）如果方程的三個根可以作為一個等腰三角形的邊長，則實數(shù)6或．【分析】先確定是方程的一個根，再由有兩個相等的根或有一個根是2，分別求解的值，根據(jù)等腰三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行驗證即可．【解答】解：由題意可知有兩個相等的根，當(dāng)時，，，方程的三個根可以作為一個等腰三角形的邊長，有兩個相等的根或有一個根是2，當(dāng)有兩個相等的根時，△，解得，此時方程的根為，三角形的三條邊長分別為2，，；當(dāng)有一個根是2時，，此時方程的根為或，三角形的三條邊長分別為2，2，3；綜上所述：的值為6或，故答案為：6或．6．（3分）如圖，一個較大的圓內(nèi)有15個半徑為1的小圓，所有的交點都為切點，圖中陰影為大圓內(nèi)但在所有小圓外部分，則陰影部分的面積為．【分析】如圖，為邊的高，利用兩圓相切的性質(zhì)得到，則可判斷為等邊三角形，則，利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到，再利用圓與圓相切的性質(zhì)得到的半徑，然后用大圓的面積減去15個小圓的面積得到陰影部分的面積．【解答】解：如圖，為邊的高，所有小圓相切，，為等邊三角形，，，，，與相切，的半徑，陰影部分的面積．故答案為：．7．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、，動點在直線上，動點在軸上，則的最小值為．【分析】作點關(guān)于軸的對稱點，作于，連接交軸于點，由垂線段最短以及兩點之間線段最短可知此時最短．【解答】解：作點關(guān)于軸的對稱點，作于，連接交軸于點，此時，點的坐標(biāo)為．．由直線可知，是等腰直角三角形，，，，．．故答案為：．8．（3分）設(shè)，，，，是整數(shù)，且滿足下列條件：①，，2，3，，100；②；③，則的最小值和最大值的和為160．【分析】由題意可設(shè)，，，，中有個，個0，個1，個2，再由已知列關(guān)于，，，的方程組，把，，用表示，求出的范圍，即可求解的最小值和最大值的和．【解答】解：由題意可設(shè)，，，，中有個，個0，個1，個2，則，，，可得，，，，由，解得：，當(dāng)時，的最小值為20，當(dāng)時，的最大值為140．的最小值和最大值的和為160．故答案為：160．9．（3分）如圖，一只小蟲沿著圖示的六邊形構(gòu)成的格子從點A爬行到點B，標(biāo)記有箭頭的邊只能按箭頭方向爬行，且小蟲爬行同一條邊最多一次，則共有64種不同的爬行路徑．【分析】如下圖，將圖形分為五步，分別求出第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路徑次數(shù)，再求第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路徑次數(shù)的乘積，即可求出爬行路徑種數(shù)．【解答】解：如下圖，將圖形分為五步，求出第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路徑種數(shù)，第一步：2；第二步：2；第三步：4；第四步：2；第五步：2；2×2×4×2×2＝64，∴則共有64種不同的爬行路徑．故答案為：64．二、解答題10．斜邊和斜邊上的高分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形是否全等？判斷并給出理由．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行判斷即可．【解答】解：全等，理由如下：證明：設(shè)點，分別為，的中點，則，于，于，，△，，，，，，，，，△，11．有一矩形紙片，，，將矩形沿對角線對折后放于桌面上，探究其覆蓋桌面的面積．【分析】由圖形可知：折疊后所成的圖形覆蓋桌面的面積是原矩形的面積減去重合的部分的面積，只要求出重合的部分的面積即三角形的面積即可得出結(jié)果．【解答】解：如圖，解：設(shè)折疊后所成圓形覆蓋桌面的面積為，，則：由△，得，設(shè)，則，即，，解得：，，；當(dāng)時，同理，，，故答案為：或．12．我們學(xué)習(xí)了實數(shù)與向量相乘，對于兩個非零向量和，且，存在唯一